Espacio Super Minkowski

Superespacio vectorial que forma el superespacio base para las teorías de campos supersimétricos

En matemáticas y física , el superespacio de Minkowski o superespacio de Minkowski es una extensión supersimétrica del espacio de Minkowski , a veces utilizado como variedad base (o más bien, supervariedad ) para supercuerpos . Sobre él actúa el superálgebra de Poincaré .

Construcción

Construcción abstracta

De manera abstracta, el superespacio de Minkowski es el espacio de clases laterales (derechas) dentro del supergrupo de Poincaré del grupo de Lorentz , es decir,

${\displaystyle {\text{Super Minkowski space}}\cong {\frac {\text{Super Poincaré group}}{\text{Lorentz group}}}}$.

Esto es análogo a la forma en que el espacio-tiempo ordinario de Minkowski puede identificarse con las clases laterales (derechas) dentro del grupo de Poincaré del grupo de Lorentz, es decir,

${\displaystyle {\text{Minkowski space}}\cong {\frac {\text{Poincaré group}}{\text{Lorentz group}}}}$.

El espacio coset es naturalmente afín , y el comportamiento nilpotente y anticonmutativo de las direcciones fermiónicas surge naturalmente del álgebra de Clifford asociada con el grupo de Lorentz.

Construcción de suma directa

Para esta sección, la dimensión del espacio de Minkowski en consideración es . ${\displaystyle d=4}$

El superespacio de Minkowski se puede realizar concretamente como la suma directa del espacio de Minkowski, que tiene coordenadas , con 'espacio de espín'. La dimensión del 'espacio de espín' depende del número de supercargas en el superálgebra de Poincaré asociada al superespacio de Minkowski en consideración. En el caso más simple, , el 'espacio de espín' tiene 'coordenadas de espín' con , donde cada componente es un número de Grassmann . En total, esto forma 4 coordenadas de espín. ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle (\theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }})}$ ${\displaystyle \alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2}$

La notación para el superespacio de Minkowski es entonces . ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4}}$

Existen teorías que admiten supercargas. Tales casos tienen supersimetría extendida . Para tales teorías, el superespacio de Minkowski se denomina , con coordenadas con . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle (\theta _{\alpha }^{I},{\bar {\theta }}^{J{\dot {\alpha }}})}$ ${\displaystyle I,J=1,\cdots ,{\mathcal {N}}}$

Definición

La supervariedad subyacente del superespacio de Minkowski es isomorfa a un superespacio vectorial dado por la suma directa del espacio-tiempo de Minkowski ordinario en d dimensiones (que a menudo se considera 4) y un número de representaciones de espín reales del álgebra de Lorentz. ( Esto es ligeramente ambiguo porque hay 2 representaciones de espín reales diferentes, por lo que es necesario reemplazar por un par de números enteros , aunque algunos autores usan una convención diferente y toman copias de ambas representaciones de espín). ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle d\equiv 2\mod 4}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Sin embargo, esta construcción es engañosa por dos razones: primero, el superespacio de Minkowski es en realidad un espacio afín sobre un grupo en lugar de un grupo, o en otras palabras, no tiene un "origen" distinguido, y segundo, el supergrupo subyacente de traslaciones no es un superespacio vectorial sino un supergrupo nilpotente de longitud nilpotente 2.

Este supergrupo tiene la siguiente superálgebra de Lie . Supóngase que es un espacio de Minkowski (de dimensión ), y es una suma finita de representaciones de espinores reales irreducibles para un espacio de Minkowski de dimensión -. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$

Entonces, existe una función bilineal invariante y simétrica . Es definida positiva en el sentido de que, para cualquier , el elemento está en el cono positivo cerrado de , y si . Esta función bilineal es única salvo isomorfismo. ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:S\times S\rightarrow M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle [s,s]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [s,s]\neq 0}$ ${\displaystyle s\neq 0}$

La superálgebra de Lie tiene como parte par y como parte impar (fermiónica). La función bilineal invariante se extiende a toda la superálgebra para definir el corchete de Lie (graduado) , donde el corchete de Lie de cualquier cosa en con cualquier cosa es cero. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g_{0}}}\oplus {\mathfrak {g_{1}}}=M\oplus S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$

Las dimensiones de las representaciones espinorales reales irreducibles para varias dimensiones d del espacio-tiempo se muestran en la siguiente tabla. La tabla también muestra el tipo de estructura de realidad para la representación espinoral y el tipo de forma bilineal invariante en la representación espinoral.

La tabla se repite siempre que la dimensión aumenta en 8, excepto que las dimensiones de las representaciones de espín se multiplican por 16.

Notación

En la literatura de física, un superespacio-tiempo de Minkowski se especifica a menudo dando la dimensión de la parte par, bosónica (dimensión del espacio-tiempo), y el número de veces que cada representación de espinor irreducible ocurre en la parte impar, fermiónica. Este es el número de supercargas en el superálgebra de Poincaré asociada al superespacio de Minkowski. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

En matemáticas, el espacio-tiempo de Minkowski se especifica a veces en la forma M ^{m | n} o donde m es la dimensión de la parte par y n la dimensión de la parte impar. Esta es la notación utilizada para espacios vectoriales graduados . La notación se puede ampliar para incluir la firma del espacio-tiempo subyacente, a menudo esto es si . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m|n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,d-1|n}}$ ${\displaystyle m=d}$

La relación es la siguiente: el entero en la notación física es el entero en la notación matemática, mientras que el entero en la notación matemática es multiplicado por el entero en la notación física, donde es la dimensión de (cualquiera de) las representaciones de espinores reales irreducibles. Por ejemplo, el espacio-tiempo de Minkowski es . Una expresión general es entonces . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q|D{\mathcal {N}}}}$

Cuando , hay dos representaciones de espinores reales irreducibles diferentes y los autores utilizan distintas convenciones. Si se utiliza la notación anterior, si hay copias de una representación y de la otra, entonces, al definir , se cumple la expresión anterior. ${\displaystyle d\equiv 2\mod 4}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}}$

En física, la letra P se utiliza para la base de la parte bosónica par de la superálgebra de Lie, y la letra Q se utiliza a menudo para la base de la complejización de la parte fermiónica impar, por lo que, en particular, las constantes de estructura de la superálgebra de Lie pueden ser complejas en lugar de reales. A menudo, los elementos de la base Q vienen en pares conjugados complejos, por lo que el subespacio real se puede recuperar como los puntos fijos de la conjugación compleja.

Firma (p,q)

La dimensión real asociada al factor o se puede encontrar para el espacio de Minkowski generalizado con dimensión y signatura arbitraria . La sutileza anterior cuando en cambio se convierte en una sutileza cuando . En el resto de esta sección, la signatura se refiere a la diferencia . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N_{2}}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle d\equiv 2\mod 4}$ ${\displaystyle p-q\equiv 0\mod 4}$ ${\displaystyle p-q}$

La dimensión depende de la estructura de la realidad en la representación del espín. Esto depende de la firma módulo 8, dada por la tabla ${\displaystyle p-q}$

La dimensión también depende de . Podemos escribir como o , donde . Definimos la representación de espín como la representación construida usando el álgebra exterior de algún espacio vectorial, como se describe aquí . La dimensión compleja de es . Si la firma es par, entonces esto se divide en dos representaciones de medio espín irreducibles y de dimensión , mientras que si la firma es impar, entonces es en sí misma irreducible. Cuando la firma es par, existe la sutileza adicional de que si la firma es un múltiplo de 4, entonces estas representaciones de medio espín son inequivalentes, de lo contrario son equivalentes. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2m}$ ${\displaystyle 2m+1}$ ${\displaystyle m:=\lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 2^{m}}$ ${\displaystyle S_{+}}$ ${\displaystyle S_{-}}$ ${\displaystyle 2^{m-1}}$ ${\displaystyle S}$

Luego, si la firma es impar, cuenta el número de copias de la representación de espín . Si la firma es par y no es múltiplo de 4, cuenta el número de copias de la representación de medio espín. Si la firma es múltiplo de 4, cuenta el número de copias de cada representación de medio espín. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})}$

Entonces, si la estructura de la realidad es real, entonces la dimensión compleja se convierte en la dimensión real. Por otro lado, si la estructura de la realidad es cuaterniónica o compleja (hermítica), la dimensión real es el doble de la dimensión compleja.

La dimensión real asociada a o se resume en la siguiente tabla: ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})}$

Esto permite el cálculo de la dimensión del superespacio con espacio-tiempo subyacente con supercargas, o supercargas cuando la firma es un múltiplo de 4. El superespacio vectorial asociado es con donde corresponda. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N_{2}}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q|{\mathcal {N}}D}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}}$

Restricciones de dimensiones y sobrealimentaciones

Teoría del espín superior

Existe un límite superior en (igual a cuando corresponda). Más directamente, existe un límite superior en la dimensión del espacio de espín donde es la dimensión de la representación del espín si la firma es impar, y la dimensión de la representación de medio espín si la firma es par. El límite es . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}}$ ${\displaystyle N={\mathcal {N}}D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle N=32}$

Este límite surge porque cualquier teoría con más de supercargas automáticamente tiene campos con un espín (valor absoluto de) mayor que 2. Más matemáticamente, cualquier representación de la superálgebra contiene campos con espín mayor que 2. Las teorías que consideran tales campos se conocen como teorías de espín superior . En el espacio de Minkowski, hay teoremas de no aplicación que prohíben que tales teorías sean interesantes. ${\displaystyle N=32}$

Si no se desea considerar tales teorías, esto proporciona límites superiores en la dimensión y en . Para espacios de Lorentz (con signatura ), el límite en la dimensión es . Para espacios de Minkowski generalizados con signatura arbitraria, la dimensión superior depende sensiblemente de la signatura, como se detalla en una sección anterior. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle (-,+,\cdots ,+)}$ ${\displaystyle d<12}$

Supergravedad

Una gran cantidad de supercargas también implica supersimetría local. Si las supersimetrías son simetrías de calibración de la teoría, entonces, dado que las supercargas se pueden usar para generar traslaciones, esto implica que las traslaciones infinitesimales son simetrías de calibración de la teoría. Pero estas generan difeomorfismos locales , que son una característica de las teorías gravitacionales. Por lo tanto, cualquier teoría con supersimetría local es necesariamente una teoría de supergravedad. ${\displaystyle N}$

El límite impuesto a las representaciones sin masa es el campo de espín más alto que debe tener el espín , lo que impone un límite de supercargas para las teorías sin supergravedad. ${\displaystyle |h|\leq 1}$ ${\displaystyle N=16}$

Teorías supersimétricas de Yang-Mills

Se trata de teorías que consisten en un supercampo de calibración asociado con un supercampo de espinores. Esto requiere una correspondencia de grados de libertad. Si restringimos esta discusión al espacio lorentziano de dimensión 1, los grados de libertad del campo de calibración son , mientras que los grados de libertad de un espinor son una potencia de 2, lo que se puede calcular a partir de información que se encuentra en otras partes de este artículo. Esto impone restricciones a los superespacios de Minkowski que pueden respaldar una teoría de Yang-Mills supersimétrica. Por ejemplo, para , solo o respaldan una teoría de Yang-Mills. ^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle d=3,4,6}$ ${\displaystyle 10}$

Véase también

• Superespacio
• Espacio supervectorial
• Álgebra de Super-Poincaré

Referencias

• Deligne, Pierre ; Morgan, John W. (1999), "Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)", en Deligne, Pierre ; Etingof, Pavel; Freed, Daniel S.; Jeffrey, Lisa C.; Kazhdan, David; Morgan, John W.; Morrison, David R.; Witten., Edward (eds.), Campos y cuerdas cuánticas: un curso para matemáticos, vol. 1, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 41–97, ISBN 978-0-8218-1198-6, Sr.  1701597

1. Figueroa-O'Farrill, JM (2001). "Conferencias Busstepp sobre supersimetría". arXiv : hep-th/0109172 .