Ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein

Reformulación de la relatividad general

En relatividad general , la ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein ( HJEE ) o ecuación de Einstein-Hamilton-Jacobi ( EHJE ) es una ecuación en la formulación hamiltoniana de la geometrodinámica en el superespacio , formulada en la "era de la geometrodinámica" alrededor de la década de 1960, por Asher Peres en 1962 y otros. ^[1] Es un intento de reformular la relatividad general de tal manera que se parezca a la teoría cuántica dentro de una aproximación semiclásica , muy similar a la correspondencia entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica .

Recibe su nombre en honor a Albert Einstein , Carl Gustav Jacob Jacobi y William Rowan Hamilton . La EHJE contiene tanta información como las diez ecuaciones de campo de Einstein (EFEs). ^[2] Es una modificación de la ecuación de Hamilton-Jacobi (HJE) de la mecánica clásica y se puede derivar de la acción de Einstein-Hilbert utilizando el principio de mínima acción en el formalismo ADM .

Antecedentes y motivación

Correspondencia entre la física clásica y cuántica

En la mecánica analítica clásica , la dinámica del sistema se resume en la acción S. En la teoría cuántica, es decir, la mecánica cuántica no relativista (MC), la mecánica cuántica relativista (MCR) y la teoría cuántica de campos (TCC), con diferentes interpretaciones y formalismos matemáticos en estas teorías, el comportamiento de un sistema está completamente contenido en una amplitud de probabilidad de valor complejo Ψ (más formalmente como un estado cuántico ket |Ψ⟩ – un elemento de un espacio de Hilbert ). Usando la forma polar de la función de onda, haciendo una transformación de Madelung:

${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\rho }}e^{iS/\hbar }}$

La fase de Ψ se interpreta como la acción y el módulo √ ρ = √ Ψ*Ψ = |Ψ| se interpreta según la interpretación de Copenhague como la función de densidad de probabilidad . La constante de Planck reducida ħ es el cuanto del momento angular. Sustituyéndola en la ecuación general cuántica de Schrödinger (SE):

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,}$

y tomando el límite ħ → 0 se obtiene la HJE clásica:

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\,,}$

lo cual es un aspecto del principio de correspondencia .

Defectos del espacio-tiempo de cuatro dimensiones

Por otra parte, la transición entre la teoría cuántica y la relatividad general (RG) es difícil de hacer; una razón es el tratamiento del espacio y el tiempo en estas teorías. En la mecánica cuántica no relativista, el espacio y el tiempo no están en igualdad de condiciones; el tiempo es un parámetro mientras que la posición es un operador . En la mecánica cuántica cuántica y la teoría cuántica de campos, la posición vuelve a las coordenadas espaciales habituales junto con la coordenada temporal, aunque estas teorías son consistentes solo con la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo plano de cuatro dimensiones de Minkowski , y no en el espacio curvo ni con la RG. Es posible formular la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo , pero incluso esto todavía no puede incorporar la RG porque la gravedad no es renormalizable en la teoría cuántica de campos. ^[3] Además, en la RG las partículas se mueven a través del espacio-tiempo curvo con una posición y un momento conocidos determinísticamente en cada instante, mientras que en la teoría cuántica, la posición y el momento de una partícula no se pueden conocer exactamente de manera simultánea; el espacio x y el momento p , y la energía E y el tiempo t , están sujetos por pares a los principios de incertidumbre.

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}\,,}$

lo que implica que pequeños intervalos en el espacio y el tiempo significan que son posibles grandes fluctuaciones en la energía y el momento. Dado que en la RG la masa-energía y el momento-energía son la fuente de la curvatura del espacio-tiempo , las grandes fluctuaciones en la energía y el momento significan que el "tejido" del espacio-tiempo podría potencialmente distorsionarse tanto que se rompa en escalas suficientemente pequeñas. ^[4] Hay evidencia teórica y experimental de la QFT de que el vacío tiene energía ya que el movimiento de los electrones en los átomos es fluctuante, esto está relacionado con el desplazamiento de Lamb . ^[5] Por estas razones y otras, a escalas cada vez más pequeñas, se piensa que el espacio y el tiempo son dinámicos hasta las escalas de longitud y tiempo de Planck . ^[4]

En cualquier caso, un continuo espacio-temporal curvo de cuatro dimensiones es una característica bien definida y central de la relatividad general, pero no de la mecánica cuántica.

Ecuación

Un intento de encontrar una ecuación que rija la dinámica de un sistema, de la forma más parecida posible a la mecánica cuántica y la RG, es reformular la ecuación de Hegel en un espacio curvo tridimensional entendido como "dinámico" (que cambia con el tiempo), y no como un espacio -tiempo cuatridimensional dinámico en todas las cuatro dimensiones, como lo son los EFE. El espacio tiene una métrica (ver Espacio métrico para más detalles).

El tensor métrico en la relatividad general es un objeto esencial, ya que el tiempo propio , la longitud de arco , el movimiento geodésico en el espacio-tiempo curvo y otras cosas dependen de la métrica. La HJE anterior se modifica para incluir la métrica, aunque solo es una función de las coordenadas espaciales 3D r (por ejemplo, r = ( x , y , z ) en coordenadas cartesianas ) sin el tiempo de coordenadas t :

${\displaystyle g_{ij}=g_{ij}(\mathbf {r} )\,.}$

En este contexto, g _ij se denomina "campo métrico" o simplemente "campo".

Ecuación general (espacio libre curvo)

Para una partícula libre en un " espacio vacío " curvo o "espacio libre", es decir en ausencia de materia distinta a la partícula misma, la ecuación se puede escribir: ^{[6] [7] [8]}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {g}}}\left({\frac {1}{2}}g_{pq}g_{rs}-g_{pr}g_{qs}\right){\frac {\delta S}{\delta g_{pq}}}{\frac {\delta S}{\delta g_{rs}}}+{\sqrt {g}}R=0}$

donde g es el determinante del tensor métrico y R la curvatura escalar de Ricci de la geometría 3d (sin incluir el tiempo), y el " δ " en lugar de " d " denota la derivada variacional en lugar de la derivada ordinaria . Estas derivadas corresponden a los momentos del campo "conjugados al campo métrico":

${\displaystyle \pi ^{ij}(\mathbf {r} )=\pi ^{ij}={\frac {\delta S}{\delta g_{ij}}}\,,}$

la tasa de cambio de la acción con respecto a las coordenadas del campo g _ij ( r ) . Aquí, g y π son análogos a q y p = ∂ S /∂ q , respectivamente, en la mecánica hamiltoniana clásica . Consulte las coordenadas canónicas para obtener más información.

La ecuación describe cómo se propagan los frentes de onda de acción constante en el superespacio, a medida que la dinámica de las ondas de materia de una partícula libre se desarrolla en el espacio curvo. Se necesitan términos fuente adicionales para tener en cuenta la presencia de influencias adicionales en la partícula, que incluyen la presencia de otras partículas o distribuciones de materia (que contribuyen a la curvatura del espacio) y fuentes de campos electromagnéticos que afectan a partículas con carga eléctrica o espín . Al igual que las ecuaciones de campo de Einstein, no es lineal en la métrica debido a los productos de los componentes métricos, y al igual que la HJE, no es lineal en la acción debido al producto de las derivadas variacionales en la acción.

El concepto mecánico cuántico de que la acción es la fase de la función de onda se puede interpretar a partir de esta ecuación de la siguiente manera: la fase tiene que satisfacer el principio de mínima acción; debe ser estacionaria para un pequeño cambio en la configuración del sistema, en otras palabras, para un ligero cambio en la posición de la partícula, que corresponde a un ligero cambio en los componentes métricos;

${\displaystyle g_{ij}\rightarrow g_{ij}+\delta g_{ij}\,,}$

El ligero cambio de fase es cero:

${\displaystyle \delta S=\int {\frac {\delta S}{\delta g_{ij}(\mathbf {r} )}}\delta g_{ij}(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =0\,,}$

(donde d ³ r es el elemento de volumen de la integral de volumen ). Por lo tanto, la interferencia constructiva de las ondas de materia es máxima. Esto se puede expresar mediante el principio de superposición ; aplicado a muchas funciones de onda no localizadas distribuidas por todo el espacio curvo para formar una función de onda localizada:

${\displaystyle \Psi =\sum _{n}c_{n}\psi _{n}\,,}$

para algunos coeficientes c _n , y además la acción (fase) S _n para cada ψ _n debe satisfacer:

${\displaystyle \delta S=S_{n+1}-S_{n}=0\,,}$

para todo n , o equivalentemente,

${\displaystyle S_{1}=S_{2}=\cdots =S_{n}=\cdots \,.}$

Las regiones donde Ψ es máximo o mínimo se dan en puntos donde existe una probabilidad de encontrar la partícula allí y donde el cambio de acción (fase) es cero. Por lo tanto, en el EHJE anterior, cada frente de onda de acción constante es donde podría encontrarse la partícula.

Esta ecuación todavía no "unifica" la mecánica cuántica y la relatividad general, porque se ha aplicado la aproximación semiclásica Eikonal en el contexto de la teoría cuántica y la relatividad general, para proporcionar una transición entre estas teorías.

Aplicaciones

La ecuación toma varias formas complicadas en:

• Gravedad cuántica
• Cosmología cuántica

Véase también

• Foliación
• Geometría cuántica
• Espacio-tiempo cuántico
• Cálculo de variaciones
• La ecuación también está relacionada con la ecuación de Wheeler-DeWitt .
• Métrica de Peres

Referencias

Notas

1. A. Peres (1962). "Sobre el problema de Cauchy en la relatividad general - II". Nuovo Cimento . 26 (1). Springer: 53–62. Bibcode :1962NCim...26...53P. doi :10.1007/BF02754342. S2CID  189781412.
2. UH Gerlach (1968). "Derivación de las diez ecuaciones de campo de Einstein a partir de la aproximación semiclásica a la geometrodinámica cuántica". Physical Review . 177 (5): 1929–1941. Bibcode :1969PhRv..177.1929G. doi :10.1103/PhysRev.177.1929.
3. A. Shomer (2007). "Una explicación pedagógica de la no renormalización de la gravedad". arXiv : 0709.3555 [hep-th].
4. RG Lerner ; GL Trigg (1991). Enciclopedia de Física (2.ª ed.). VHC Publishers. pág. 1285. ISBN 978-0-89573-752-6.
5. JA Wheeler , C. Misner , KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co., pág. 1190. ISBN 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. JA Wheeler , C. Misner , KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co., pág. 1188. ISBN 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. J. Mehra (1973). La concepción de la naturaleza por parte del físico. Springer. pág. 224. ISBN 978-90-277-0345-3.
8. JJ Halliwell; J. Pérez-Mercader; WH Zurek (1996). Orígenes físicos de la asimetría temporal. Cambridge University Press . pág. 429. ISBN. 978-0-521-56837-1.

Lectura adicional

Libros

• JL Lopes (1977). Mecánica cuántica, medio siglo después: artículos de un coloquio sobre cincuenta años de mecánica cuántica. Estrasburgo, Francia: Springer, Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-90-277-0784-0.
• C. Rovelli (2004). Gravedad cuántica. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83733-0.
• C. Kiefer (2012). Gravedad cuántica (3.ª ed.). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-958520-5.
• JK Glikman (1999). Hacia la gravedad cuántica: Actas de la XXXV Escuela Internacional de Invierno de Física Teórica. Polanica, Polonia: Springer. p. 224. ISBN 978-3-540-66910-4.
• LZ Fang; R. Ruffini (1987). Cosmología cuántica. Serie avanzada en astrofísica y cosmología. Vol. 3. World Scientific . ISBN 978-9971-5-0312-3.

Artículos seleccionados

• T. Banks (1984). "TCP, Gravedad cuántica, la constante cosmológica y todo eso..." (PDF) . Stanford, Estados Unidos.( Ecuación A.3 en el apéndice ).
• BK Darian (1997). "Resolución de la ecuación de Hamilton-Jacobi para campos electromagnéticos y escalares que interactúan gravitacionalmente". Gravedad clásica y cuántica . 15 (1). Canadá, EE. UU.: 143–152. arXiv : gr-qc/9707046v2 . Código Bibliográfico :1998CQGra..15..143D. doi :10.1088/0264-9381/15/1/010. S2CID  250879669.
• JR Bond; DS Salopek (1990). "Evolución no lineal de fluctuaciones métricas de longitud de onda larga en modelos inflacionarios". Phys. Rev. D. Canadá (EE. UU.), Illinois (EE. UU.).
• Sang Pyo Kim (1996). "Espacio-tiempo clásico a partir de la gravedad cuántica". Gravedad clásica y cuántica . 13 (6). Kunsan, Corea: IoP : 1377–1382. arXiv : gr-qc/9601049 . Código Bibliográfico :1996CQGra..13.1377K. doi :10.1088/0264-9381/13/6/011. S2CID  250877590.
• SR Berbena; AV Berrocal; J. Socorro; LO Pimentel (2006). "La ecuación de Einstein-Hamilton-Jacobi: búsqueda de la solución clásica para FRW barotrópico". Guanajuato y Autónoma Metropolitana (México). arXiv : gr-qc/0607123 . Código Bib : 2007RMxFS..53b.115B.