Teorema de Hahn-Banach

Teorema sobre la extensión de los funcionales lineales acotados

El teorema de Hahn-Banach es una herramienta central en el análisis funcional . Permite la extensión de los funcionales lineales acotados definidos en un subespacio vectorial de algún espacio vectorial a todo el espacio, y también muestra que hay "suficientes" funcionales lineales continuos definidos en cada espacio vectorial normado para hacer que el estudio del espacio dual sea "interesante". Otra versión del teorema de Hahn-Banach se conoce como teorema de separación de Hahn-Banach o teorema de separación de hiperplanos , y tiene numerosos usos en geometría convexa .

Historia

El teorema recibe su nombre de los matemáticos Hans Hahn y Stefan Banach , quienes lo demostraron de forma independiente a finales de la década de 1920. El caso especial del teorema para el espacio de funciones continuas en un intervalo fue demostrado anteriormente (en 1912) por Eduard Helly , ^[1] y un teorema de extensión más general, el teorema de extensión de M. Riesz , del que se puede derivar el teorema de Hahn-Banach, fue demostrado en 1923 por Marcel Riesz . ^[2] ${\displaystyle C[a,b]}$

El primer teorema de Hahn-Banach fue demostrado por Eduard Helly en 1912, quien demostró que ciertos funcionales lineales definidos en un subespacio de un cierto tipo de espacio normado ( ) tenían una extensión de la misma norma. Helly hizo esto a través de la técnica de probar primero que existe una extensión unidimensional (donde el funcional lineal tiene su dominio extendido por una dimensión) y luego usar la inducción . En 1927, Hahn definió espacios de Banach generales y usó la técnica de Helly para probar una versión preservadora de normas del teorema de Hahn-Banach para espacios de Banach (donde un funcional lineal acotado en un subespacio tiene una extensión lineal acotada de la misma norma a todo el espacio). En 1929, Banach, que desconocía el resultado de Hahn, lo generalizó reemplazando la versión preservadora de normas con la versión de extensión dominada que usa funciones sublineales . Mientras que la prueba de Helly usó inducción matemática, Hahn y Banach usaron inducción transfinita . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$

El teorema de Hahn-Banach surgió de los intentos de resolver sistemas infinitos de ecuaciones lineales. Esto es necesario para resolver problemas como el problema de los momentos , en el que, dados todos los momentos potenciales de una función, se debe determinar si existe una función que tenga esos momentos y, de ser así, hallarla en términos de esos momentos. Otro problema de este tipo es el problema de las series de cosenos de Fourier , en el que, dados todos los coeficientes de cosenos de Fourier potenciales, se debe determinar si existe una función que tenga esos coeficientes y, de nuevo, hallarla si es así.

Riesz y Helly resolvieron el problema para ciertas clases de espacios (como y ) donde descubrieron que la existencia de una solución era equivalente a la existencia y continuidad de ciertos funcionales lineales. En efecto, necesitaban resolver el siguiente problema: ^[3] ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle C([a,b])}$

(El problema vectorial ) Dada una colecciónde funcionales lineales acotados en unespacio normadoy una colección de escalares,determine si existe untal quepara todos ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f_{i}(x)=c_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Si resulta ser un espacio reflexivo entonces para resolver el problema vectorial, basta resolver el siguiente problema dual: ^[3] ${\displaystyle X}$

( El problema funcional ) Dada una colección de vectores en un espacio normado y una colección de escalares, determine si existe una función lineal acotada en tal que para todo ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{i}\right)=c_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Riesz definió el espacio ( ) en 1910 y los espacios en 1913. Mientras investigaba estos espacios, demostró un caso especial del teorema de Hahn-Banach. Helly también demostró un caso especial del teorema de Hahn-Banach en 1912. En 1910, Riesz resolvió el problema funcional para algunos espacios específicos y en 1912, Helly lo resolvió para una clase más general de espacios. No fue hasta 1932 que Banach, en una de las primeras aplicaciones importantes del teorema de Hahn-Banach, resolvió el problema funcional general. El siguiente teorema enuncia el problema funcional general y caracteriza su solución. ^[3] ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Teorema ^[3]  (El problema funcional)  —  Sean vectores en un espacio normado real o complejo y sean escalares también indexados por ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(c_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I\neq \varnothing .}$

Existe una función lineal continua en tal que para todo si y sólo si existe una tal que para cualquier elección de escalares donde todos excepto un número finito son , se cumple lo siguiente: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{i}\right)=c_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 0,}$ $${\displaystyle \left|\sum _{i\in I}s_{i}c_{i}\right|\leq K\left\|\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\right\|.}$$

El teorema de Hahn-Banach se puede deducir del teorema anterior. ^[3] Si es reflexivo , entonces este teorema resuelve el problema vectorial. ${\displaystyle X}$

Teorema de Hahn-Banach

Una función de valor real definida en un subconjunto de se dice que es ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$dominado (arriba) por una funciónsipara cada De ahí la razón por la que la siguiente versión del teorema de Hahn-Banach se llamateorema de extensión dominada. ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(m)\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M.}$

Teorema de extensión dominada de Hahn-Banach (para funcionales lineales reales) ^{[4] [5] [6]}  — Sies unafunción sublineal(como unanormaoseminormapor ejemplo) definida en un espacio vectorial realentonces cualquierfuncional linealdefinido en un subespacio vectorial deque está dominado arriba portiene al menos unaextensión lineala todoslos que también están dominados arriba por ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$

Explícitamente, si es una función sublineal , lo que por definición significa que satisface y si es una funcional lineal definida en un subespacio vectorial de tal que entonces existe una funcional lineal tal que Además, si es una seminorma entonces necesariamente se cumple para todos ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)\quad {\text{ and }}\quad p(tx)=tp(x)\qquad {\text{ for all }}\;x,y\in X\;{\text{ and all real }}\;t\geq 0,}$$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f(m)\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M}$$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle F(m)=f(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,}$$ $${\displaystyle F(x)\leq p(x)\quad ~\;\,{\text{ for all }}x\in X.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

El teorema sigue siendo verdadero si los requisitos de se relajan para requerir solo que sea una función convexa : ^{[7] [8]} Una función es convexa y satisface si y solo si para todos los vectores y todos los reales no negativos tales que Toda función sublineal es una función convexa. Por otro lado, si es convexa con entonces la función definida por es positivamente homogénea (porque para todo y uno tiene ), por lo tanto, al ser convexa, es sublineal . También está acotada superiormente por y satisface para cada funcional lineal Por lo que la extensión del teorema de Hahn-Banach a funcionales convexos no tiene un contenido mucho mayor que el clásico establecido para funcionales sublineales. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p(tx+(1-t)y)\leq tp(x)+(1-t)p(y)\qquad {\text{ for all }}0<t<1{\text{ and }}x,y\in X.}$$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(0)\leq 0}$ ${\displaystyle p(ax+by)\leq ap(x)+bp(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle a,b\geq 0}$ ${\displaystyle a+b\leq 1.}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(0)\geq 0,}$ ${\displaystyle p_{0}(x)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\inf _{t>0}{\frac {p(tx)}{t}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{0}(rx)=\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{t}})=r\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{tr}}=r\inf _{\tau >0}{\frac {p(\tau x)}{\tau }}=rp_{0}(x)}$ ${\displaystyle p_{0}\leq p,}$ ${\displaystyle F\leq p_{0}}$ ${\displaystyle F\leq p.}$

Si es lineal entonces si y solo si ^[4] que es la conclusión (equivalente) que algunos autores ^[4] escriben en lugar de Se sigue que si también es simétrica , lo que significa que se cumple para todos entonces si y solo Toda norma es una seminorma y ambas son funciones sublineales balanceadas simétricas . Una función sublineal es una seminorma si y solo si es una función balanceada . En un espacio vectorial real (aunque no en un espacio vectorial complejo), una función sublineal es una seminorma si y solo si es simétrica. La función identidad en es un ejemplo de una función sublineal que no es una seminorma. ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F\leq p}$ $${\displaystyle -p(-x)\leq F(x)\leq p(x)\quad {\text{ for all }}x\in X,}$$ ${\displaystyle F\leq p.}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(-x)=p(x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle |F|\leq p.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$

Para espacios vectoriales complejos o reales

El teorema de extensión dominada para funcionales lineales reales implica el siguiente enunciado alternativo del teorema de Hahn-Banach que puede aplicarse a funcionales lineales en espacios vectoriales reales o complejos.

Teorema de Hahn-Banach ^{[3] [9]}  — Supóngaseunaseminormaen un espacio vectorialsobre el cuerpoque eso Sies una funcional lineal en un subespacio vectorialtal que entonces existe una funcional linealtal que ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,}$$ ${\displaystyle F:X\to \mathbf {K} }$ $${\displaystyle F(m)=f(m)\quad \;{\text{ for all }}m\in M,}$$ $${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)\quad \;\,{\text{ for all }}x\in X.}$$

El teorema sigue siendo verdadero si los requisitos de se relajan para requerir solo que para todos y cada uno de los escalares y satisfaga ^[8]. Esta condición se cumple si y solo si es una función convexa y equilibrada que satisface o, equivalentemente, si y solo si es convexa, satisface y para todos y cada uno de los escalares de longitud unitaria . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle |a|+|b|\leq 1,}$ $${\displaystyle p(ax+by)\leq |a|p(x)+|b|p(y).}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0,}$ ${\displaystyle p(0)\leq 0,}$ ${\displaystyle p(ux)\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle u.}$

Se dice que un funcional de valor complejo es ${\displaystyle F}$dominado por ${\displaystyle p}$ sipara todosen el dominio de Con esta terminología, las afirmaciones anteriores del teorema de Hahn-Banach se pueden reformular de manera más sucinta: ${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F.}$

Teorema de extensión dominada de Hahn-Banach : Si es una seminorma definida en un espacio vectorial real o complejo , entonces cada funcional lineal dominada definida en un subespacio vectorial de tiene una extensión lineal dominada a todos los de En el caso donde es un espacio vectorial real y es simplemente una función convexa o sublineal , esta conclusión seguirá siendo verdadera si ambas instancias de "dominada" (que significa ) se debilitan para significar en su lugar "dominada por encima" (que significa ). ^{[7] [8]} ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle F\leq p}$

Prueba

Las siguientes observaciones permiten aplicar el teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales a funcionales lineales (de valores complejos) en espacios vectoriales complejos.

Todo funcional lineal sobre un espacio vectorial complejo está completamente determinado por su parte real mediante la fórmula ^{[6] [prueba 1]} y además, si es una norma sobre entonces sus normas duales son iguales: ^[10] En particular, un funcional lineal sobre extiende otro definido sobre si y solo si sus partes reales son iguales sobre (en otras palabras, un funcional lineal extiende si y solo si extiende a ). La parte real de un funcional lineal sobre es siempre una ${\displaystyle F:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \;\operatorname {Re} F:X\to \mathbb {R} \;}$ $${\displaystyle F(x)\;=\;\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix)\qquad {\text{ for all }}x\in X}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|F\|=\|\operatorname {Re} F\|.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle X}$funcional real-lineal (es decir, que es lineal cuandose considera como un espacio vectorial real) y sies un funcional real-lineal en un espacio vectorial complejo, entoncesdefine el único funcional lineal encuya parte real está ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto R(x)-iR(ix)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R.}$

Si es un funcional lineal en un espacio vectorial (complejo o real) y si es una seminorma entonces ^{[6] [prueba 2]} Expresado en un lenguaje más simple, un funcional lineal está dominado por una seminorma si y solo si su parte real está dominada arriba por ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle |F|\,\leq \,p\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Re} F\,\leq \,p.}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$

Prueba de Hahn-Banach para espacios vectoriales complejos por reducción a espacios vectoriales reales ^[3]

Supóngase que es una seminorma en un espacio vectorial complejo y sea una funcional lineal definida en un subespacio vectorial de que satisface en Considérese como un espacio vectorial real y aplique el teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales a la funcional lineal real para obtener una extensión lineal real que también está dominada anteriormente por de modo que satisface en y en La función definida por es una funcional lineal en que se extiende (porque sus partes reales concuerdan en ) y satisface en (porque y es una seminorma). ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} \;}$ ${\displaystyle R:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle R\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R=\operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle F(x)\;=\;R(x)-iR(ix)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

La prueba anterior muestra que cuando es una seminorma entonces existe una correspondencia biunívoca entre las extensiones lineales dominadas de y las extensiones real-lineales dominadas de la prueba incluso da una fórmula para construir explícitamente una extensión lineal de a partir de cualquier extensión real-lineal dada de su parte real. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} ;}$ ${\displaystyle f}$

Continuidad

Una funcional lineal en un espacio vectorial topológico es continua si y solo si esto es cierto para su parte real si el dominio es un espacio normado entonces (donde un lado es infinito si y solo si el otro lado es infinito). ^[10] Suponga que es un espacio vectorial topológico y es una función sublineal . Si es una función sublineal continua que domina una funcional lineal entonces es necesariamente continua. ^[6] Además, una funcional lineal es continua si y solo si su valor absoluto (que es una seminorma que domina ) es continuo. ^[6] En particular, una funcional lineal es continua si y solo si está dominada por alguna función sublineal continua. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F;}$ ${\displaystyle \|F\|=\|\operatorname {Re} F\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |F|}$ ${\displaystyle F}$

Prueba

El teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales se deriva en última instancia del resultado inicial de Helly para el caso especial en el que la funcional lineal se extiende desde a un espacio vectorial más grande en el que tiene codimensión ^[3]. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1.}$

Lema ^[6]  (Teorema de extensión dominado unidimensional ) — Seaunafunción sublinealen un espacio vectorial real,seaunafuncional linealen unsubespacio vectorialpropiotal queen(es decir,para todo), y seaun vectornoen(por lo que). Existe una extensión linealdetal queen ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\subsetneq X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(m)\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x=\operatorname {span} \{M,x\}}$ ${\displaystyle F:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x.}$

Prueba ^[6]

Dado cualquier número real, la función definida por es siempre una extensión lineal de a ^{[nota 1]} pero podría no satisfacer Se demostrará que siempre se puede elegir de manera de garantizar aquello que completará la prueba. ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle F_{b}:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{b}(m+rx)=f(m)+rb}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p,}$

Si entonces lo que implica Así que definamos donde son números reales. Para garantizarlo basta con que (de hecho, esto también es necesario ^{[nota 2]} ) porque entonces satisface "la desigualdad decisiva" ^[6] ${\displaystyle m,n\in M}$ $${\displaystyle f(m)-f(n)=f(m-n)\leq p(m-n)=p(m+x-x-n)\leq p(m+x)+p(-x-n)}$$ $${\displaystyle -p(-n-x)-f(n)~\leq ~p(m+x)-f(m).}$$ $${\displaystyle a=\sup _{n\in M}[-p(-n-x)-f(n)]\qquad {\text{ and }}\qquad c=\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)]}$$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p,}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle -p(-n-x)-f(n)~\leq ~b~\leq ~p(m+x)-f(m)\qquad {\text{ for all }}\;m,n\in M.}$$

Para ver lo que sigue, ^{[nota 3]} suponga y sustituya en para ambos y para obtener Si (respectivamente, si ) entonces el lado derecho (respectivamente, el izquierdo) es igual a de modo que al multiplicar por da ${\displaystyle f(m)+rb\leq p(m+rx)}$ ${\displaystyle r\neq 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle -p\left(-{\tfrac {1}{r}}m-x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right)~\leq ~b~\leq ~p\left({\tfrac {1}{r}}m+x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right).}$$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\left[p(m+rx)-f(m)\right]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle rb\leq p(m+rx)-f(m).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Este lema sigue siendo cierto si es simplemente una función convexa en lugar de una función sublineal. ^{[7] [8]} ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

El lema anterior es el paso clave para deducir el teorema de extensión dominada del lema de Zorn .

Demostración del teorema de extensión dominada mediante el lema de Zorn

El conjunto de todas las posibles extensiones lineales dominadas de están parcialmente ordenadas por extensión de cada una de ellas, por lo que hay una extensión máxima. Por el resultado de codimensión 1, si no está definido en todos los de entonces puede extenderse aún más. Por lo tanto, debe definirse en todas partes, como se afirma. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Cuando tiene codimensión numerable, entonces, utilizando la inducción y el lema, se completa la prueba del teorema de Hahn-Banach. La prueba estándar del caso general utiliza el lema de Zorn, aunque en su lugar se puede utilizar el lema del ultrafiltro estrictamente más débil ^[11] (que es equivalente al teorema de compacidad y al teorema del ideal primo de Boole ). Hahn-Banach también se puede demostrar utilizando el teorema de Tichonoff para espacios de Hausdorff compactos ^[12] (que también es equivalente al lema del ultrafiltro). ${\displaystyle M}$

El proyecto Mizar ha formalizado completamente y verificado automáticamente la prueba del teorema de Hahn-Banach en el archivo HAHNBAN. ^[13]

Teorema de extensión continua

El teorema de Hahn-Banach se puede utilizar para garantizar la existencia de extensiones lineales continuas de funcionales lineales continuos .

Teorema de extensión continua de Hahn-Banach ^[14]  — Toda función lineal continuadefinida en un subespacio vectorialespacio vectorial topológicolocalmente convexo(real o complejo)tiene una extensión lineal continuaa todos losSi ademáses unespacio normado, entonces esta extensión puede elegirse de modo que sunorma dualsea igual a la de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$

En términos de teoría de categorías , el campo subyacente del espacio vectorial es un objeto inyectivo en la categoría de espacios vectoriales localmente convexos.

En un espacio normado (o semirnormalizado ), se dice que una extensión lineal de un funcional lineal acotado es ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$preserva la norma si tiene la mismanorma dualque el funcional original: Debido a esta terminología, la segunda parte del teorema anterior a veces se denomina la versión "preservadora de la norma" del teorema de Hahn-Banach.^[15]Explícitamente: ${\displaystyle \|F\|=\|f\|.}$

Teorema de extensión continua de Hahn-Banach que preserva la norma ^[15]  — Toda función lineal continuadefinida en un subespacio vectorialde un espacio normado (real o complejo)tiene una extensión lineal continuaa todoslos que satisfacen ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|f\|=\|F\|.}$

Prueba del teorema de extensión continua

Las siguientes observaciones permiten deducir el teorema de extensión continua a partir del teorema de Hahn-Banach. ^[16]

El valor absoluto de un funcional lineal es siempre una seminorma. Un funcional lineal en un espacio vectorial topológico es continuo si y solo si su valor absoluto es continuo, lo que sucede si y solo si existe una seminorma continua en tal que en el dominio de ^[17] Si es un espacio localmente convexo, entonces esta afirmación sigue siendo verdadera cuando el funcional lineal está definido en un subespacio vectorial propio de ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |F|}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X.}$

Prueba del teorema de extensión continua para espacios localmente convexos ^[16]

Sea una función lineal continua definida en un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico localmente convexo . Como es localmente convexa, existe una seminorma continua en que domina (es decir, para todo ). Por el teorema de Hahn-Banach, existe una extensión lineal de que la llamaremos que satisface en Esta función lineal es continua ya que y es una seminorma continua. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle p}$

Prueba de espacios normados

Un funcional lineal en un espacio normado es continuo si y solo si está acotado , lo que significa que su norma dual es finita, en cuyo caso se cumple para cada punto en su dominio. Además, si es tal que para todo en el dominio del funcional, entonces necesariamente Si es una extensión lineal de un funcional lineal , entonces sus normas duales siempre satisfacen ^{[prueba 3]} de modo que la igualdad es equivalente a que se cumple si y solo si para cada punto en el dominio de la extensión. Esto se puede reformular en términos de la función definida por que es siempre una seminorma : ^{[nota 4]} ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}}$$ ${\displaystyle |f(m)|\leq \|f\|\|m\|}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c\geq 0}$ ${\displaystyle |f(m)|\leq c\|m\|}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \|f\|\leq c.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\leq \|F\|}$ ${\displaystyle \|f\|=\|F\|}$ ${\displaystyle \|F\|\leq \|f\|,}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq \|f\|\|x\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \|f\|\,\|x\|,}$

Una extensión lineal de una funcional lineal acotada preserva la norma si y solo si la extensión está dominada por la seminorma ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|.}$

La aplicación del teorema de Hahn-Banach a esta seminorma produce una extensión lineal dominada cuya norma es (necesariamente) igual a la que prueba el teorema: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|}$ ${\displaystyle f,}$

Prueba del teorema de extensión continua de Hahn-Banach que preserva la norma ^[15]

Sea una funcional lineal continua definida en un subespacio vectorial de un espacio normado. Entonces la función definida por es una seminorma en que domina, lo que significa que es válida para cada Por el teorema de Hahn-Banach, existe una funcional lineal en que se extiende (que garantiza ) y que también está dominada por, lo que significa que para cada El hecho de que sea un número real tal que para cada garantiza Como es finito, la funcional lineal está acotada y, por lo tanto, es continua. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x)=\|f\|\,\|x\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$ ${\displaystyle m\in M.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|\leq \|F\|}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle |F(x)|\leq \|f\|\|x\|}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \|F\|\leq \|f\|.}$ ${\displaystyle \|F\|=\|f\|}$ ${\displaystyle F}$

Espacios no localmente convexos

El teorema de extensión continua podría fallar si el espacio vectorial topológico (TVS) no es localmente convexo . Por ejemplo, para el espacio de Lebesgue es un TVS metrizable completo (un F-espacio ) que no es localmente convexo (de hecho, sus únicos subconjuntos abiertos convexos son él mismo y el conjunto vacío) y el único funcional lineal continuo en es la función constante (Rudin 1991, §1.47). Como es Hausdorff, cada subespacio vectorial de dimensión finita es linealmente homeomorfo al espacio euclidiano o (por el teorema de F. Riesz ) y, por lo tanto, cada funcional lineal no nulo en es continuo pero ninguno tiene una extensión lineal continua a todos los Sin embargo, es posible que un TVS no sea localmente convexo pero, sin embargo, tenga suficientes funcionales lineales continuos para que su espacio dual continuo separe los puntos ; para tal TVS, un funcional lineal continuo definido en un subespacio vectorial podría tener una extensión lineal continua a todo el espacio. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle M\subseteq L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\dim M}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\dim M}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Si el TVS no es localmente convexo , entonces podría no existir ninguna seminorma continua definida en (no solo en ) que domine , en cuyo caso el teorema de Hahn-Banach no se puede aplicar como se hizo en la prueba anterior del teorema de extensión continua. Sin embargo, el argumento de la prueba se puede generalizar para dar una caracterización de cuándo una funcional lineal continua tiene una extensión lineal continua: Si es cualquier TVS (no necesariamente localmente convexo), entonces una funcional lineal continua definida en un subespacio vectorial tiene una extensión lineal continua a todos los de si y solo si existe alguna seminorma continua en que domine. Específicamente, si dada una extensión lineal continua, entonces es una seminorma continua en que domina y, a la inversa, si dada una seminorma continua en que domina, entonces cualquier extensión lineal dominada de a (cuya existencia está garantizada por el teorema de Hahn-Banach) será una extensión lineal continua. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p:=|F|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f;}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Teoremas de separación de Hahn-Banach (geométrica de Hahn-Banach)

El elemento clave del teorema de Hahn-Banach es fundamentalmente un resultado sobre la separación de dos conjuntos convexos: y Este tipo de argumento aparece ampliamente en geometría convexa , ^[18] teoría de optimización y economía . Los lemas con este fin derivados del teorema original de Hahn-Banach se conocen como teoremas de separación de Hahn-Banach . ^{[19] [20]} Son generalizaciones del teorema de separación de hiperplanos , que establece que dos subconjuntos convexos no vacíos disjuntos de un espacio de dimensión finita pueden separarse por algún hiperplano afín , que es una fibra ( conjunto de niveles ) de la forma donde es un funcional lineal distinto de cero y es un escalar. ${\displaystyle \{-p(-x-n)-f(n):n\in M\},}$ ${\displaystyle \{p(m+x)-f(m):m\in M\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)=\{x:f(x)=s\}}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle s}$

Teorema ^[19]  —  Sean y subconjuntos convexos no vacíos de un espacio vectorial topológico localmente convexo real. Si y entonces existe un funcional lineal continuo en tal que y para todo (tal que es necesariamente distinto de cero). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {Int} A=\varnothing }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sup f(A)\leq \inf f(B)}$ ${\displaystyle f(a)<\inf f(B)}$ ${\displaystyle a\in \operatorname {Int} A}$ ${\displaystyle f}$

Cuando los conjuntos convexos tienen propiedades adicionales, como por ejemplo ser abiertos o compactos , entonces la conclusión puede fortalecerse sustancialmente:

Teorema ^{[3] [21]}  —  Sean y subconjuntos disjuntos no vacíos y convexos de un espacio vectorial topológico real ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$

• Si es abierto entonces y están separados por un hiperplano cerrado . Explícitamente, esto significa que existe una función lineal continua y tal que para todos Si tanto como son abiertos entonces el lado derecho puede tomarse estricto también. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(a)<s\leq f(b)}$ ${\displaystyle a\in A,b\in B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Si es localmente convexo, es compacto y cerrado, entonces y están estrictamente separados : existe una función lineal continua y tal que para todo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(a)<t<s<f(b)}$ ${\displaystyle a\in A,b\in B.}$

Si es complejo (en lugar de real), entonces se cumplen las mismas afirmaciones, pero para la parte real de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$

El siguiente corolario importante se conoce como el teorema geométrico de Hahn-Banach o teorema de Mazur (también conocido como teorema de Ascoli-Mazur ^[22] ). Se deduce del primer punto anterior y de la convexidad de ${\displaystyle M.}$

Teorema (Mazur) ^[23]  —  Sea un subespacio vectorial del espacio vectorial topológico y supongamos que es un subconjunto abierto convexo no vacío de con Entonces existe un hiperplano cerrado (subespacio vectorial de codimensión 1) que contiene pero permanece disjunto de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\cap M=\varnothing .}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle K.}$

El teorema de Mazur aclara que los subespacios vectoriales (incluso aquellos que no están cerrados) pueden caracterizarse mediante funcionales lineales.

Corolario ^[24]  (Separación de un subespacio y un conjunto convexo abierto)  —  Sea un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico localmente convexo y un subconjunto convexo abierto no vacío disjunto de Entonces existe una funcional lineal continua en tal que para todos y en ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(m)=0}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f>0}$ ${\displaystyle U.}$

Hiperplanos de apoyo

Dado que los puntos son trivialmente convexos , el Hahn-Banach geométrico implica que los funcionales pueden detectar el límite de un conjunto. En particular, sea un espacio vectorial topológico real y sea convexo con Si entonces hay un funcional que se desvanece en pero que se apoya en el interior de ^[19] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} A\neq \varnothing .}$ ${\displaystyle a_{0}\in A\setminus \operatorname {Int} A}$ ${\displaystyle a_{0},}$ ${\displaystyle A.}$

Se llama espacio normado liso si en cada punto de su bola unitaria existe un único hiperplano cerrado a la bola unitaria. Köthe demostró en 1983 que un espacio normado es liso en un punto si y sólo si la norma es Gateaux diferenciable en ese punto. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$

Barrios equilibrados o en disco

Sea un vecindario equilibrado convexo del origen en un espacio vectorial topológico localmente convexo y supongamos que no es un elemento de Entonces existe una funcional lineal continua en tal que ^[3] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sup |f(U)|\leq |f(x)|.}$

Aplicaciones

El teorema de Hahn-Banach es el primer signo de una filosofía importante en el análisis funcional : para comprender un espacio, uno debe comprender sus funcionales continuos .

Por ejemplo, los subespacios lineales se caracterizan por funcionales: si X es un espacio vectorial normado con subespacio lineal M (no necesariamente cerrado) y si es un elemento de X que no está en la clausura de M , entonces existe una función lineal continua con para todos y (Para ver esto, note que es una función sublineal). Además, si es un elemento de X , entonces existe una función lineal continua tal que y Esto implica que la inyección natural de un espacio normado X en su doble dual es isométrica. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f(m)=0}$ ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle f(z)=1,}$ ${\displaystyle \|f\|=\operatorname {dist} (z,M)^{-1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {dist} (\cdot ,M)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f(z)=\|z\|}$ ${\displaystyle \|f\|\leq 1.}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle V^{**}}$

Ese último resultado también sugiere que el teorema de Hahn-Banach puede usarse a menudo para localizar una topología "más agradable" en la que trabajar. Por ejemplo, muchos resultados en análisis funcional suponen que un espacio es Hausdorff o localmente convexo . Sin embargo, supongamos que X es un espacio vectorial topológico, no necesariamente Hausdorff o localmente convexo , sino con un conjunto abierto, propio, convexo y no vacío M. Entonces, el Hahn-Banach geométrico implica que hay un hiperplano que separa a M de cualquier otro punto. En particular, debe existir un funcional distinto de cero en X , es decir, el espacio dual continuo no es trivial. ^{[3] [25]} Considerando X con la topología débil inducida por entonces X se vuelve localmente convexo; por la segunda viñeta del Hahn-Banach geométrico, la topología débil en este nuevo espacio separa los puntos. Por lo tanto, X con esta topología débil se vuelve Hausdorff . A veces, esto permite que algunos resultados de espacios vectoriales topológicos localmente convexos se apliquen a espacios no Hausdorff y no localmente convexos. ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*},}$

Ecuaciones diferenciales parciales

El teorema de Hahn-Banach es a menudo útil cuando se desea aplicar el método de estimaciones a priori . Supongamos que deseamos resolver la ecuación diferencial lineal para con dado en algún espacio de Banach X . Si tenemos control sobre el tamaño de en términos de y podemos pensar en como un funcional lineal acotado en algún espacio adecuado de funciones de prueba, entonces podemos ver como un funcional lineal por adjunción: Al principio, este funcional solo se define en la imagen de pero utilizando el teorema de Hahn-Banach, podemos tratar de extenderlo a todo el codominio X . El funcional resultante a menudo se define como una solución débil para la ecuación . ${\displaystyle Pu=f}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|f\|_{X}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f,g)=(u,P^{*}g).}$ ${\displaystyle P,}$

Caracterización de los espacios reflexivos de Banach

Teorema ^[26]  —  Un espacio de Banach real es reflexivo si y solo si cada par de subconjuntos convexos cerrados, disjuntos y no vacíos, uno de los cuales está acotado, puede separarse estrictamente por un hiperplano.

Ejemplo de la teoría de Fredholm

Para ilustrar una aplicación real del teorema de Hahn-Banach, ahora demostraremos un resultado que se desprende casi en su totalidad del teorema de Hahn-Banach.

Proposición  —  Supongamos que es un TVS localmente convexo de Hausdorff sobre el cuerpo y es un subespacio vectorial de que es TVS–isomorfo a para algún conjunto Entonces es un subespacio vectorial cerrado y complementado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Prueba

Dado que es un TVS completo, entonces es y dado que cualquier subconjunto completo de un TVS de Hausdorff es cerrado, es un subconjunto cerrado de Sea un isomorfismo TVS, de modo que cada uno es un funcional lineal sobreyectivo continuo. Por el teorema de Hahn-Banach, podemos extender cada uno a un funcional lineal continuo en Sea entonces es una sobreyección lineal continua tal que su restricción a es Sea que es una función lineal continua cuya restricción a es donde denota la función identidad en Esto muestra que es una proyección lineal continua sobre (es decir, ). Por lo tanto, se complementa en y en la categoría de TVS. ${\displaystyle \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}:X\to \mathbf {K} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F:=\left(F_{i}\right)_{i\in I}:X\to \mathbf {K} ^{I}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F{\big \vert }_{Y}=\left(F_{i}{\big \vert }_{Y}\right)_{i\in I}=\left(f_{i}\right)_{i\in I}=f.}$ ${\displaystyle P:=f^{-1}\circ F:X\to Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ F{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ f=\mathbf {1} _{Y},}$ ${\displaystyle \mathbb {1} _{Y}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P\circ P=P}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=Y\oplus \ker P}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

El resultado anterior puede usarse para demostrar que cada subespacio vectorial cerrado de se complementa porque cualquier espacio de este tipo es de dimensión finita o TVS-isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Generalizaciones

Plantilla general

Existen actualmente muchas otras versiones del teorema de Hahn-Banach. La plantilla general para las distintas versiones del teorema de Hahn-Banach que se presentan en este artículo es la siguiente:

${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$es una función sublineal (posiblemente una seminorma ) en un espacio vectorial es un subespacio vectorial de (posiblemente cerrado), y es una funcional lineal en que satisface en (y posiblemente algunas otras condiciones). Entonces se concluye que existe una extensión lineal de a tal que en (posiblemente con propiedades adicionales). ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle X}$

Teorema ^[3]  —  Si es un disco absorbente en un espacio vectorial real o complejo y si es un funcional lineal definido en un subespacio vectorial de tal que en entonces existe un funcional lineal en que se extiende tal que en ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq 1}$ ${\displaystyle M\cap D,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |F|\leq 1}$ ${\displaystyle D.}$

Para seminormas

Teorema de Hahn-Banach para seminormas ^{[27] [28]}  — Sies unaseminormadefinida en un subespacio vectorialdey sies una seminorma ental queentonces existe una seminormaental queenyen ${\displaystyle p:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q{\big \vert }_{M},}$ ${\displaystyle P:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{M}=p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\leq q}$ ${\displaystyle X.}$

Demostración del teorema de Hahn-Banach para seminormas

Sea la envoltura convexa de Porque es un disco absorbente en su funcional de Minkowski es una seminorma. Entonces así sucesivamente ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p=P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\leq q}$ ${\displaystyle X.}$

Por ejemplo, supongamos que es una función lineal acotada definida en un subespacio vectorial de un espacio normado , de modo que su operador norma es un número real no negativo. Entonces, el valor absoluto de la función lineal es una seminorma en y la función definida por es una seminorma en que satisface en El teorema de Hahn-Banach para seminormas garantiza la existencia de una seminorma que es igual a en (ya que ) y está acotada por encima por en todas partes en (ya que ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle p:=|f|}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q(x)=\|f\|\,\|x\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q{\big \vert }_{M}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle P:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{M}=p=|f|}$ ${\displaystyle P(x)\leq \|f\|\,\|x\|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P\leq q}$

Separación geométrica

Teorema del sándwich de Hahn-Banach ^[3]  — Seauna función sublineal en un espacio vectorial real, seacualquier subconjunto dey seacualquierfunción. Si existen números reales positivosytales que entonces existe una función linealental queenyen ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle 0\geq \inf _{s\in S}[p(s-ax-by)-f(s)-af(x)-bf(y)]\qquad {\text{ for all }}x,y\in S,}$$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq F\leq p}$ ${\displaystyle S.}$

Extensión lineal dominada máxima

Teorema ^[3]  (Andenaes, 1970)  —  Sea una función sublineal en un espacio vectorial real, sea una funcional lineal en un subespacio vectorial de tal que en y sea cualquier subconjunto de Entonces existe una funcional lineal en que extiende a satisface a y es (puntualmente) máxima en en el siguiente sentido: si es una funcional lineal en que extiende y satisface a entonces a implica a ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {F}}\leq p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F\leq {\widehat {F}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F={\widehat {F}}}$ ${\displaystyle S.}$

Si es un conjunto singleton (donde es algún vector) y si es una extensión lineal dominada máxima de entonces ^[3] ${\displaystyle S=\{s\}}$ ${\displaystyle s\in X}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F(s)=\inf _{m\in M}[f(s)+p(s-m)].}$

Valor vectorial de Hahn–Banach

Teorema de Hahn-Banach con valores vectoriales ^[3]  — Siyson espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo y sies una función lineal definida en un subespacio vectorialdeentonces existe una función linealque extiende ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:M\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle f.}$

Invariante de Hahn-Banach

Un conjunto de mapas es ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X\to X}$conmutativa (con respecto ala composición de funciones ) sipara todos Digamos que una funcióndefinida en un subconjuntodees ${\displaystyle \,\circ \,}$ ${\displaystyle F\circ G=G\circ F}$ ${\displaystyle F,G\in \Gamma .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$-invariante siyparacada ${\displaystyle L(M)\subseteq M}$ ${\displaystyle f\circ L=f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L\in \Gamma .}$

Un teorema de Hahn-Banach invariante ^[29]  — Supóngaseque es un conjunto conmutativo de aplicaciones lineales continuas de unespacio normadoen sí mismo ysea una función lineal continua definida algún subespacio vectorialdeque es Γ {\displaystyle \Gamma } -invariante, lo que significa queyenpara cada Entoncestiene una extensión lineal continuapara todoslos que tiene la mismanorma de operadory también es-invariante, lo que significa queenpara cada ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(M)\subseteq M}$ ${\displaystyle f\circ L=f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L\in \Gamma .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|f\|=\|F\|}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F\circ L=F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\in \Gamma .}$

Este teorema se puede resumir:

Cada funcional lineal continuo invariante Γ {\displaystyle \Gamma } definido en un subespacio vectorial de un espacio normado tiene una extensión de Hahn-Banach invariante a todos los ^[29] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X.}$

Para funciones no lineales

El siguiente teorema de Mazur–Orlicz (1953) es equivalente al teorema de Hahn-Banach.

Teorema de Mazur-Orlicz ^[3]  — Seaunafunción sublinealen un espacio vectorial real o complejoseaun conjunto cualquiera, y seanycualquier aplicación. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R:T\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v:T\to X}$

1. existe una funcional lineal de valor real en tal que en y en ; ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R\leq F\circ v}$ ${\displaystyle T}$
2. para cualquier secuencia finita de números reales no negativos, y cualquier secuencia de elementos de ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$ ${\displaystyle T,}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}s_{i}R\left(t_{i}\right)\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v\left(t_{i}\right)\right).}$$

El siguiente teorema caracteriza cuando cualquier función escalar en (no necesariamente lineal) tiene una extensión lineal continua a todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema  (El principio de extensión ^[30] ) — Seauna función escalar en un subconjuntode unespacio vectorial topológico Entonces existe una función lineal continuaen queextiendesi y solo si existe una seminorma continuaental que para todos los enteros positivosy todas las secuencias finitasde escalares y elementosde ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(s_{i})\right|\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}\right)}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle S.}$

Conversar

Sea X un espacio vectorial topológico. Un subespacio vectorial M de X tiene la propiedad de extensión si cualquier funcional lineal continuo sobre M puede extenderse a un funcional lineal continuo sobre X , y decimos que X tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach ( HBEP ) si cada subespacio vectorial de X tiene la propiedad de extensión. ^[31]

El teorema de Hahn-Banach garantiza que todo espacio localmente convexo de Hausdorff tiene el HBEP. Para espacios vectoriales topológicos metrizables completos existe una recíproca, debida a Kalton: todo TVS metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo. ^[31] Por otra parte, un espacio vectorial X de dimensión incontable, dotado de la topología vectorial más fina , entonces este es un espacio vectorial topológico con la propiedad de extensión de Hahn-Banach que no es ni localmente convexo ni metrizable. ^[31]

Un subespacio vectorial M de un TVS X tiene la propiedad de separación si para cada elemento de X tal que existe un funcional lineal continuo en X tal que y para todos Claramente, el espacio dual continuo de un TVS X separa puntos en X si y solo si tiene la propiedad de separación. En 1992, Kakol demostró que cualquier espacio vectorial de dimensión infinita X , existen topologías TVS en X que no tienen la HBEP a pesar de tener suficientes funcionales lineales continuos para que el espacio dual continuo separe puntos en X . Sin embargo, si X es un TVS entonces cada subespacio vectorial de X tiene la propiedad de extensión si y solo si cada subespacio vectorial de X tiene la propiedad de separación. ^[31] ${\displaystyle x\not \in M,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f(m)=0}$ ${\displaystyle m\in M.}$ ${\displaystyle \{0\},}$

Relación con el axioma de elección y otros teoremas

La prueba del teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales ( HB ) utiliza comúnmente el lema de Zorn , que en el marco axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( ZF ) es equivalente al axioma de elección ( AC ). Łoś y Ryll-Nardzewski ^[12] e independientemente por Luxemburg ^[11] descubrieron que HB puede probarse utilizando el lema del ultrafiltro ( UL ), que es equivalente (según ZF ) al teorema del ideal primo de Boole ( BPI ). BPI es estrictamente más débil que el axioma de elección y más tarde se demostró que HB es estrictamente más débil que BPI . ^[32]

El lema del ultrafiltro es equivalente (según ZF ) al teorema de Banach-Alaoglu , ^[33] que es otro teorema fundamental en el análisis funcional . Aunque el teorema de Banach-Alaoglu implica HB , ^[34] no es equivalente a él (dicho de otra manera, el teorema de Banach-Alaoglu es estrictamente más fuerte que HB ). Sin embargo, HB es equivalente a una cierta versión debilitada del teorema de Banach-Alaoglu para espacios normados. ^[35] El teorema de Hahn-Banach también es equivalente a la siguiente afirmación: ^[36]

(∗): En cada álgebra de Boole B existe una "carga de probabilidad", es decir: una función finitamente aditiva no constante de en ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,1].}$

( BPI es equivalente a la afirmación de que siempre hay cargas de probabilidad no constantes que toman sólo los valores 0 y 1.)

En ZF , el teorema de Hahn-Banach es suficiente para derivar la existencia de un conjunto medible no Lebesgue. ^[37] Además, el teorema de Hahn-Banach implica la paradoja de Banach-Tarski . ^[38]

Para los espacios de Banach separables , DK Brown y SG Simpson demostraron que el teorema de Hahn-Banach se deduce de WKL ₀ , un subsistema débil de la aritmética de segundo orden que toma una forma del lema de König restringido a árboles binarios como axioma. De hecho, demuestran que bajo un conjunto débil de supuestos, los dos son equivalentes, un ejemplo de matemáticas inversas . ^{[39] [40]}

Véase también

• Lema de Farkas  – Teorema de solubilidad para sistemas finitos de desigualdades lineales
• Principio de existencia de Fichera  – Teorema en análisis funcional
• Teorema de extensión de M. Riesz  : teorema matemático demostrado por Marcel RieszPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema de los ejes de separación  – Sobre la existencia de hiperplanos que separan conjuntos convexos disjuntosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teoremas de Hahn-Banach con valores vectoriales

Notas

1. Esta definición significa, por ejemplo, que y si entonces De hecho, si es cualquier extensión lineal de a entonces para En otras palabras, cada extensión lineal de a es de la forma para algún (único) ${\displaystyle F_{b}(x)=F_{b}(0+1x)=f(0)+1b=b}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle F_{b}(m)=F_{b}(m+0x)=f(m)+0b=f(m).}$ ${\displaystyle G:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle G=F_{b}}$ ${\displaystyle b:=G(x).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle b.}$
2. Explícitamente, para cualquier número real en si y solo si Combinado con el hecho de que se sigue que la extensión lineal dominada de a es única si y solo si en cuyo caso este escalar será los valores de la extensión en Dado que cada extensión lineal de a es de la forma para algunos los límites también limitan el rango de valores posibles (en ) que pueden tomar cualquiera de las extensiones lineales dominadas de . Específicamente, si es cualquier extensión lineal de que satisface entonces para cada ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F_{b}\leq p}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c.}$ ${\displaystyle F_{b}(x)=b,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle a=c,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\oplus \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a\leq b=F_{b}(x)\leq c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\leq p}$ ${\displaystyle x\in X\setminus M,}$ ${\displaystyle \sup _{m\in M}[-p(-m-x)-f(m)]~\leq ~F(x)~\leq ~\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)].}$
3. Ilustración geométrica: La idea geométrica de la prueba anterior se puede presentar completamente en el caso de Primero, defina la extensión simple No funciona, ya que tal vez . Pero es un paso en la dirección correcta. sigue siendo convexo, y Además, es idénticamente cero en el eje x. Por lo tanto, hemos reducido al caso de en el eje x. Si en entonces hemos terminado. De lo contrario, elija algunos tales que La idea ahora es realizar una delimitación simultánea de en y tal que en y en luego definir daría la extensión deseada. Dado que están en lados opuestos de y en algún punto en por la convexidad de debemos tener en todos los puntos en Por lo tanto es finito. Geométricamente, esto funciona porque es un conjunto convexo que es disjunto de y por lo tanto debe estar completamente en un lado de Defina Esto satisface en Queda por verificar el otro lado. Para toda la convexidad implica que para todos por lo tanto Dado que durante la prueba, solo usamos la convexidad de , vemos que el lema sigue siendo verdadero para simplemente convexo ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},M=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}.}$ ${\displaystyle f_{0}(x,y)=f(x),}$ ${\displaystyle f_{0}\leq p}$ ${\displaystyle p-f_{0}}$ ${\displaystyle p-f_{0}\geq f-f_{0}.}$ ${\displaystyle f-f_{0}}$ ${\displaystyle f=0,p\geq 0}$ ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle p(v)<0.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v+M}$ ${\displaystyle -v+M}$ ${\displaystyle p\geq b}$ ${\displaystyle v+M}$ ${\displaystyle p\geq -b}$ ${\displaystyle -v+M,}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(w+rv)=rb}$ ${\displaystyle -v+M,v+M}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle p<0}$ ${\displaystyle v+M,}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle -v+M.}$ ${\displaystyle \inf _{u\in -v+M}p(u)}$ ${\displaystyle \{z:p(z)<0\}}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle b=-\inf _{u\in -v+M}p(u).}$ ${\displaystyle p\geq -b}$ ${\displaystyle -v+M.}$ ${\displaystyle v+w\in v+M,}$ ${\displaystyle -v+w'\in -v+M,p(v+w)+p(-v+w')\geq 2p((w+w')/2)=0,}$ ${\displaystyle p(v+w)\geq \sup _{u\in -v+M}-p(u)=b.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$
4. Como todo múltiplo escalar no negativo de una norma , esta seminorma (el producto del número real no negativo por la norma ) es una norma cuando es positivo, aunque este hecho no es necesario para la prueba. ${\displaystyle \|f\|\,\|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|f\|}$

Pruebas

1. Si tiene parte real entonces lo que demuestra que Sustituyendo en y usando da ${\displaystyle z=a+ib\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} z=a}$ ${\displaystyle -\operatorname {Re} (iz)=b,}$ ${\displaystyle z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz).}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle iF(x)=F(ix)}$ ${\displaystyle F(x)=\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Sea cualquier mapa escalar homogéneo en (como un funcional lineal) y sea cualquier mapa que satisfaga para todos los escalares de longitud unitaria ( como una seminorma). Si entonces Para el recíproco, suponga y fije Sea y elija cualquier tal que quede por demostrar Homogeneidad de implica es real de modo que Por suposición, y de modo que como se desea. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(ux)=p(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |F|\leq p}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq |\operatorname {Re} F|\leq |F|\leq p.}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq p}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle r=|F(x)|}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(x)=re^{i\theta };}$ ${\displaystyle r\leq p(x).}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\left(e^{-i\theta }x\right)=r}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)=F\left(e^{-i\theta }x\right).}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} F\leq p}$ ${\displaystyle p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),}$ ${\displaystyle r=\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)\leq p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. El mapa siendo una extensión de significa que y para cada En consecuencia, y por lo tanto el supremo del conjunto en el lado izquierdo, que es no excede al supremo del lado derecho, que es En otras palabras, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$ ${\displaystyle F(m)=f(m)}$ ${\displaystyle m\in \operatorname {domain} f.}$ $${\displaystyle \{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}=\{|F(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}\subseteq \{|F(x)\,|:\|x\|\leq 1,x\in \operatorname {domain} F\}}$$ ${\displaystyle \|f\|,}$ ${\displaystyle \|F\|.}$ ${\displaystyle \|f\|\leq \|F\|.}$

Referencias

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