En matemáticas , muchos conjuntos de transformaciones forman un grupo bajo composición de funciones ; por ejemplo, las rotaciones alrededor de un punto del plano. Muchas veces resulta útil considerar al grupo como un grupo abstracto , y decir que se tiene una acción grupal del grupo abstracto que consiste en realizar las transformaciones del grupo de transformaciones. La razón para distinguir el grupo de las transformaciones es que, generalmente, un grupo de transformaciones de una estructura actúa también sobre varias estructuras relacionadas; por ejemplo, el grupo de rotación anterior actúa también sobre triángulos transformando triángulos en triángulos.
Formalmente, una acción grupal de un grupo G sobre un conjunto S es un homomorfismo grupal de G a algún grupo (bajo composición de funciones ) de funciones de S a sí mismo.
Si un grupo actúa sobre una estructura, normalmente también actuará sobre objetos construidos a partir de esa estructura. Por ejemplo, el grupo de isometrías euclidianas actúa sobre el espacio euclidiano y también sobre las figuras dibujadas en él; en particular, actúa sobre el conjunto de todos los triángulos . De manera similar, el grupo de simetrías de un poliedro actúa sobre los vértices , las aristas y las caras del poliedro.
Una acción grupal en un espacio vectorial se llama representación del grupo. En el caso de un espacio vectorial de dimensión finita, permite identificar muchos grupos con subgrupos del grupo lineal general GL( n , K ) , el grupo de las matrices invertibles de dimensión n sobre un campo K .
El grupo simétrico S n actúa sobre cualquier conjunto con n elementos permutando los elementos del conjunto. Aunque el grupo de todas las permutaciones de un conjunto depende formalmente del conjunto, el concepto de acción grupal permite considerar un solo grupo para estudiar las permutaciones de todos los conjuntos con la misma cardinalidad .
Si G es un grupo con elemento de identidad e , y X es un conjunto, entonces una acción de grupo ( izquierda ) α de G sobre X es una función
que satisface los dos axiomas siguientes : [1]
para todo g y h en G y todo x en X .
Entonces se dice que el grupo G actúa sobre X (desde la izquierda). Un conjunto X junto con una acción de G se llama conjunto G ( izquierdo ) .
Puede ser notacionalmente conveniente curry la acción α , de modo que, en su lugar, se tenga una colección de transformaciones α g : X → X , con una transformación α g para cada elemento del grupo g ∈ G . Las relaciones de identidad y compatibilidad luego leen
y
siendo ∘ la composición de funciones . El segundo axioma establece entonces que la composición de funciones es compatible con la multiplicación de grupos; Forman un diagrama conmutativo . Este axioma se puede acortar aún más y escribirse como α g ∘ α h = α gh .
Con el entendimiento anterior, es muy común evitar escribir α por completo y reemplazarlo con un punto o con nada en absoluto. Por lo tanto, α ( g , x ) se puede acortar a g ⋅ x o gx , especialmente cuando la acción se desprende del contexto. Los axiomas son entonces
De estos dos axiomas, se deduce que para cualquier g fijo en G , la función de X a sí misma que asigna x a g ⋅ x es una biyección , con biyección inversa la función correspondiente para g −1 . Por lo tanto, se puede definir de manera equivalente una acción grupal de G sobre X como un homomorfismo grupal de G en el grupo simétrico Sym( X ) de todas las biyecciones de X hacia sí mismo. [2]
Asimismo, una acción de grupo derecho de G sobre X es una función
que satisface los axiomas análogos: [3]
(con α ( x , g ) a menudo abreviado a xg o x ⋅ g cuando la acción que se está considerando se desprende del contexto)
para todo g y h en G y todo x en X .
La diferencia entre las acciones de izquierda y derecha está en el orden en que un producto gh actúa sobre x . Para una acción hacia la izquierda, h actúa primero, seguido de g segundo. Para una acción correcta, g actúa primero, seguido de h en segundo lugar. Debido a la fórmula ( gh ) −1 = h −1 g −1 , se puede construir una acción izquierda a partir de una acción derecha componiendo con la operación inversa del grupo. Además, una acción hacia la derecha de un grupo G sobre X puede considerarse como una acción hacia la izquierda de su grupo opuesto G op sobre X.
Por tanto, para establecer las propiedades generales de las acciones grupales, basta considerar sólo las acciones de izquierda. Sin embargo, hay casos en los que esto no es posible. Por ejemplo, la multiplicación de un grupo induce tanto una acción izquierda como una acción derecha en el grupo mismo: multiplicación a la izquierda y a la derecha, respectivamente.
Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto X. La acción se llamafiel oefectivo si g ⋅ x = x para todo x ∈ X implica que g = e G . De manera equivalente, elhomomorfismode G al grupo de biyecciones de X correspondiente a la acción esinyectivo.
La acción se llamalibre (osemirregularode punto fijo) si la afirmación de que g ⋅ x = x para algún x ∈ X ya implica que g = e G . En otras palabras, ningún elemento no trivial de G fija un puntode X. Ésta es una propiedad mucho más fuerte que la fidelidad.
Por ejemplo, la acción de cualquier grupo sobre sí mismo mediante la multiplicación por la izquierda es gratuita. Esta observación implica el teorema de Cayley de que cualquier grupo puede estar incluido en un grupo simétrico (que es infinito cuando el grupo lo está). Un grupo finito puede actuar fielmente sobre un conjunto de tamaño mucho menor que su cardinalidad (sin embargo, tal acción no puede ser libre). Por ejemplo, el grupo 2 abeliano ( Z / 2 Z ) n (de cardinalidad 2 n ) actúa fielmente en un conjunto de tamaño 2 n . Este no es siempre el caso, por ejemplo el grupo cíclico Z /2 n Z no puede actuar fielmente en un conjunto de tamaño inferior a 2 n .
En general, el conjunto más pequeño sobre el cual se puede definir una acción fiel puede variar mucho para grupos del mismo tamaño. Por ejemplo, tres grupos de tamaño 120 son el grupo simétrico S 5 , el grupo icosaédrico A 5 × Z / 2 Z y el grupo cíclico Z / 120 Z . Los conjuntos más pequeños en los que se pueden definir acciones fieles para estos grupos son de tamaño 5, 7 y 16 respectivamente.
La acción de G sobre X se llamatransitivo si para dos puntos cualesquiera x , y ∈ X existe un g ∈ G tal que g ⋅ x = y .
La acción essimplemente transitivo (omarcadamente transitivo, oregular ) si es transitivo y libre. Esto significa que dado x , y ∈ X el elemento g en la definición de transitividad es único. Si un grupo G actúa sobre X de forma simplemente transitiva, entonces se le llamaespacio principal homogéneopara G o G -torsor.
Para un número entero n ≥ 1 , la acción esn -transitivo siXtiene al menosnelementos, y para cualquier par den-tuplas(x1, ...,x n ), (y1, ...,y n ) ∈X n con entradas distintas por pares ( es decirx i ≠x j ,y i ≠y j cuandoi≠j) existe ung∈Gtal queg⋅x i =y i parai= 1, ...,n. En otras palabras, la acción sobre el subconjunto deX n de tuplas sin entradas repetidas es transitiva. Paran= 2, 3,esto a menudo se denomina transitividad doble o triple. La clase degrupos 2-transitivos(es decir, subgrupos de un grupo simétrico finito cuya acción es 2-transitiva) y, más generalmente,grupos transitivos múltiplesestá bien estudiada en la teoría de grupos finitos.
una acción esmarcadamente n -transitiva cuando la acción sobre tuplas sin entradas repetidas en X n es marcadamente transitiva.
La acción del grupo simétrico de X es transitiva, de hecho n -transitiva para cualquier n hasta la cardinalidad de X. Si X tiene cardinalidad n , la acción del grupo alterno es ( n − 2) -transitiva pero no ( n − 1) -transitiva.
La acción del grupo lineal general de un espacio vectorial V sobre el conjunto V ∖ {0} de vectores distintos de cero es transitiva, pero no 2-transitiva (de manera similar para la acción del grupo lineal especial si la dimensión de v está en menos 2). La acción del grupo ortogonal de un espacio euclidiano no es transitiva sobre vectores distintos de cero pero sí sobre la esfera unitaria .
La acción de G sobre X se llama primitiva si no hay ninguna partición de X preservada por todos los elementos de G aparte de las particiones triviales (la partición en una sola pieza y su dual , la partición en singletons ).
Supongamos que X es un espacio topológico y la acción de G es por homeomorfismos .
La acción es errante si todo x ∈ X tiene una vecindad U tal que sólo hay un número finito de g ∈ G con g ⋅ U ∩ U ≠ ∅ . [4]
De manera más general, un punto x ∈ X se llama punto de discontinuidad para la acción de G si hay un subconjunto abierto U ∋ x tal que solo hay un número finito de g ∈ G con g ⋅ U ∩ U ≠ ∅ . El dominio de discontinuidad de la acción es el conjunto de todos los puntos de discontinuidad. De manera equivalente, es el subconjunto abierto G -estable más grande Ω ⊂ X tal que la acción de G sobre Ω es errante. [5] En un contexto dinámico, esto también se denomina conjunto errante .
La acción es propiamente discontinua si para cada subconjunto compacto K ⊂ X sólo hay un número finito de g ∈ G tales que g ⋅ K ∩ K ≠ ∅ . Esto es estrictamente más fuerte que deambular; por ejemplo, la acción de Z sobre R 2 ∖ {(0, 0)} dada por n ⋅( x , y ) = (2 n x , 2 − n y ) es errante y libre pero no propiamente discontinua. [6]
La acción mediante transformaciones de cubierta del grupo fundamental de un espacio simplemente conectado localmente sobre un espacio de cobertura es errante y libre. Tales acciones se pueden caracterizar por la siguiente propiedad: cada x ∈ X tiene una vecindad U tal que g ⋅ U ∩ U = ∅ para cada g ∈ G ∖ { e G } . [7] Las acciones con esta propiedad a veces se denominan libremente discontinuas , y el subconjunto más grande en el que la acción es libremente discontinua se denomina conjunto regular libre . [8]
Una acción de un grupo G sobre un espacio X localmente compacto se llama cocompacto si existe un subconjunto compacto A ⊂ X tal que X = G ⋅ A . Para una acción propiamente discontinua, la cocopacidad es equivalente a la compacidad del espacio cociente G \ X .
Ahora supongamos que G es un grupo topológico y X un espacio topológico sobre el que actúa mediante homeomorfismos. Se dice que la acción es continua si el mapa G × X → X es continuo para la topología del producto .
Se dice que la acción esapropiado si el mapa G × X → X × X definido por( g , x ) ↦ ( x , g ⋅ x )espropio.[9]Esto significa que dados conjuntos compactos K , K ′el conjunto de g ∈ G tal que g ⋅ K ∩ K ′ ≠ ∅es compacto. En particular, esto es equivalente a la discontinuidad propia G es ungrupo discreto.
Se dice que es localmente libre si existe una vecindad U de e G tal que g ⋅ x ≠ x para todo x ∈ X y g ∈ U ∖ { e G } .
Se dice que la acción es fuertemente continua si el mapa orbital g ↦ g ⋅ x es continuo para cada x ∈ X . Al contrario de lo que sugiere el nombre, se trata de una propiedad más débil que la continuidad de la acción. [ cita necesaria ]
Si G es un grupo de Lie y X una variedad diferenciable , entonces el subespacio de puntos suaves para la acción es el conjunto de puntos x ∈ X tales que el mapa g ↦ g ⋅ x es suave . Existe una teoría bien desarrollada de las acciones grupales de Lie , es decir, acciones que son suaves en todo el espacio.
Si g actúa mediante transformaciones lineales sobre un módulo sobre un anillo conmutativo , se dice que la acción es irreducible si no hay submódulos g -invariantes adecuados distintos de cero. Se dice que es semisimple si se descompone como suma directa de acciones irreductibles.
Considere un grupo G que actúa sobre un conjunto X. ElLa órbita de un elemento x en X es el conjunto de elementos en X al que x puede ser movido por los elementosde G. La órbita de x se denota por G ⋅ x :
Las propiedades definitorias de un grupo garantizan que el conjunto de órbitas de (puntos x en) X bajo la acción de G formen una partición de X. La relación de equivalencia asociada se define diciendo x ~ y si y sólo si existe una g en G con g ⋅ x = y . Las órbitas son entonces las clases de equivalencia bajo esta relación; dos elementos xey son equivalentes si y solo si sus órbitas son las mismas, es decir, G ⋅ x = G ⋅ y .
La acción grupal es transitiva si y solo si tiene exactamente una órbita, es decir, si existe x en X con G ⋅ x = X . Este es el caso si y sólo si G ⋅ x = X para todo x en X (dado que X no está vacío).
El conjunto de todas las órbitas de X bajo la acción de G se escribe como X / G (o, con menos frecuencia, como G \ X ), y se llamacociente de la acción. En situaciones geométricas se le puede llamarespacio orbital , mientras que en situaciones algebraicas se le puede llamar espacio decoinvariantes , y escrito X G , en contraste con los invariantes (puntos fijos), denotados X G : los coinvariantes son uncocientemientras que los invariantes son unsubconjunto. La terminología y notación coinvariante se utilizan particularmente encohomologíayhomología, que utilizan la misma convención de superíndice/subíndice.
Si Y es un subconjunto de X , entonces G ⋅ Y denota el conjunto { g ⋅ y : g ∈ G e y ∈ Y } . Se dice que el subconjunto Y es invariante bajo G si G ⋅ Y = Y (que es equivalente G ⋅ Y ⊆ Y ). En ese caso, G también opera sobre Y restringiendo la acción a Y. El subconjunto Y se llama fijo bajo G si g ⋅ y = y para todo g en G y todo y en Y. Todo subconjunto que está fijo bajo G también es invariante bajo G , pero no a la inversa.
Cada órbita es un subconjunto invariante de X sobre el cual G actúa transitivamente . Por el contrario, cualquier subconjunto invariante de X es una unión de órbitas. La acción de G sobre X es transitiva si y sólo si todos los elementos son equivalentes, lo que significa que sólo hay una órbita.
Un elemento G -invariante de X es x ∈ X tal que g ⋅ x = x para todo g ∈ G . El conjunto de todos esos x se denota por X G y se denomina G -invariantes de X . Cuando X es un G -módulo , X G es el grupo de cohomología cero de G con coeficientes en X , y los grupos de cohomología superiores son los functores derivados del functor de G -invariantes.
Dado g en G y x en X con g ⋅ x = x , se dice que " x es un punto fijo de g " o que " g fija x ". Para cada x en X , elEl subgrupo estabilizador de G con respecto a x (también llamadogrupo de isotropíaopequeño grupo[10]) es el conjunto de todos los elementos en G que fijan x : este es unsubgrupode G , aunque normalmente no es normal. La acción de G sobre X eslibresi y sólo si todos los estabilizadores son triviales. El núcleo N del homomorfismo con el grupo simétrico, G → Sym( X ), viene dado por laintersecciónde los estabilizadores G x para todo x en X . Si N es trivial, se dice que la acción es fiel (o efectiva).
Sean x e y dos elementos en X , y sea g un elemento de grupo tal que y = g ⋅ x . Entonces los dos grupos estabilizadores G x y G y están relacionados por G y = gG x g −1 . Prueba: por definición, h ∈ G y si y solo si h ⋅( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Al aplicar g −1 a ambos lados de esta igualdad se obtiene ( g −1 hg )⋅ x = x ; es decir, g −1 hg ∈ G x . De manera similar se sigue una inclusión opuesta tomando h ∈ G x y x = g −1 ⋅ y .
Lo anterior dice que los estabilizadores de elementos en la misma órbita están conjugados entre sí. Así, a cada órbita, podemos asociar una clase de conjugación de un subgrupo de G (es decir, el conjunto de todos los conjugados del subgrupo). Sea ( H ) la clase de conjugación de H . Entonces la órbita O es de tipo ( H ) si el estabilizador G x de algún/cualquier x en O pertenece a ( H ) . Un tipo de órbita máxima a menudo se denomina tipo de órbita principal .
Las órbitas y los estabilizadores están estrechamente relacionados. Para una x fija en X , considere el mapa f : G → X dado por g ↦ g ⋅ x . Por definición la imagen f ( G ) de este mapa es la órbita G ⋅ x . La condición para que dos elementos tengan la misma imagen es En otras palabras, f ( g ) = f ( h ) si y sólo si g y h se encuentran en la misma clase lateral para el subgrupo estabilizador G x . Por lo tanto, la fibra f −1 ({ y }) de f sobre cualquier y en G ⋅ x está contenida en dicha clase lateral, y cada clase lateral también se presenta como una fibra. Por lo tanto f induce una biyección entre el conjunto G / G x de clases laterales para el subgrupo estabilizador y la órbita G ⋅ x , que envía gG x ↦ g ⋅ x . [11] Este resultado se conoce como teorema del estabilizador de órbita .
Si G es finito, entonces el teorema del estabilizador de órbita, junto con el teorema de Lagrange , da, en otras palabras, la longitud de la órbita de x multiplicado por el orden de su estabilizador es el orden del grupo . En particular, eso implica que la longitud de la órbita es un divisor del orden del grupo.
Este resultado es especialmente útil ya que puede emplearse para contar argumentos (normalmente en situaciones en las que X también es finito).
Un resultado estrechamente relacionado con el teorema del estabilizador de órbita es el lema de Burnside : donde X g es el conjunto de puntos fijados por g . Este resultado es principalmente útil cuando G y X son finitos, cuando se puede interpretar de la siguiente manera: el número de órbitas es igual al número promedio de puntos fijados por elemento del grupo.
Al fijar un grupo G , el conjunto de diferencias formales de conjuntos G finitos forma un anillo llamado anillo de Burnside de G , donde la suma corresponde a la unión disjunta y la multiplicación al producto cartesiano .
La noción de acción grupal puede codificarse mediante el grupoide de acción G ′ = G ⋉ X asociado a la acción grupal. Los estabilizadores de la acción son los grupos de vértices del grupoide y las órbitas de la acción son sus componentes.
Si X e Y son dos conjuntos G , un morfismo de X a Y es una función f : X → Y tal que f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x ) para todo g en G y todo x en X. Los morfismos de conjuntos G también se denominan mapas equivariantes o mapas G.
La composición de dos morfismos es nuevamente un morfismo. Si un morfismo f es biyectivo, entonces su inverso también es un morfismo. En este caso f se llama isomorfismo , y los dos conjuntos G X e Y se llaman isomórficos ; A todos los efectos prácticos, los conjuntos G isomórficos son indistinguibles.
Algunos ejemplos de isomorfismos:
Con esta noción de morfismo, la colección de todos los conjuntos G forma una categoría ; esta categoría es un topos de Grothendieck (de hecho, suponiendo una metalógica clásica , este topos será incluso booleano).
También podemos considerar acciones de monoides en conjuntos, usando los mismos dos axiomas anteriores. Sin embargo, esto no define mapas biyectivos ni relaciones de equivalencia. Ver acción de semigrupo .
En lugar de acciones sobre conjuntos, podemos definir acciones de grupos y monoides sobre objetos de una categoría arbitraria: comenzar con un objeto X de alguna categoría y luego definir una acción sobre X como un homomorfismo monoide en el monoide de endomorfismos de X. Si X tiene un conjunto subyacente, entonces todas las definiciones y hechos establecidos anteriormente pueden trasladarse. Por ejemplo, si tomamos la categoría de espacios vectoriales, obtenemos representaciones de grupos de esta manera.
Podemos ver un grupo G como una categoría con un solo objeto en el que cada morfismo es invertible . [14] Una acción de grupo (izquierda) no es entonces más que un funtor (covariante) de G a la categoría de conjuntos , y una representación de grupo es un funtor de G a la categoría de espacios vectoriales . [15] Un morfismo entre G -conjuntos es entonces una transformación natural entre los funtores de acción del grupo. [16] En analogía, una acción de un grupoide es un funtor del grupoide a la categoría de conjuntos o a alguna otra categoría.
Además de las acciones continuas de grupos topológicos sobre espacios topológicos, a menudo también se consideran acciones suaves de grupos de Lie sobre variedades suaves , acciones regulares de grupos algebraicos sobre variedades algebraicas y acciones de esquemas de grupo sobre esquemas . Todos estos son ejemplos de objetos de grupo que actúan sobre objetos de su categoría respectiva.