Resonancia

Tendencia a oscilar en ciertas frecuencias.

Aumento de la amplitud a medida que la amortiguación disminuye y la frecuencia se acerca a la frecuencia resonante de un oscilador armónico simple amortiguado accionado . ^{[1] [2]}

La resonancia es el fenómeno, perteneciente a los sistemas dinámicos oscilatorios , en el que los aumentos de amplitud son causados ​​por una fuerza externa con amplitud que varía en el tiempo con la misma frecuencia de variación que la frecuencia natural del sistema. ^[3] Los aumentos de amplitud que se producen son el resultado del hecho de que las fuerzas externas aplicadas a la frecuencia natural implican un aumento neto de la energía mecánica del sistema.

La resonancia puede ocurrir en varios sistemas, como sistemas mecánicos, eléctricos o acústicos, y a menudo es deseable en ciertas aplicaciones, como instrumentos musicales o receptores de radio. Sin embargo, la resonancia también puede ser perjudicial y provocar vibraciones excesivas o incluso fallos estructurales en algunos casos.

Todos los sistemas, incluidos los sistemas moleculares y las partículas, tienden a vibrar a una frecuencia natural dependiendo de su estructura; esta frecuencia se conoce como frecuencia resonante o frecuencia de resonancia . Cuando se aplica una fuerza oscilante , una vibración externa, a una frecuencia resonante de un sistema dinámico, objeto o partícula, la vibración externa hará que el sistema oscile con una amplitud mayor (con más fuerza) que cuando se aplica la misma fuerza. en otras frecuencias no resonantes. ^[4]

Las frecuencias resonantes de un sistema se pueden identificar cuando la respuesta a una vibración externa crea una amplitud que es un máximo relativo dentro del sistema. ^[4] Pequeñas fuerzas periódicas que están cerca de una frecuencia de resonancia del sistema tienen la capacidad de producir oscilaciones de gran amplitud en el sistema debido al almacenamiento de energía vibratoria .

Los fenómenos de resonancia ocurren con todo tipo de vibraciones u ondas : existe la resonancia mecánica , la resonancia orbital , la resonancia acústica , la resonancia electromagnética , la resonancia magnética nuclear (RMN), la resonancia de espín electrónico (ESR) y la resonancia de funciones de onda cuánticas . Los sistemas resonantes se pueden utilizar para generar vibraciones de una frecuencia específica (p. ej., instrumentos musicales ) o seleccionar frecuencias específicas a partir de una vibración compleja que contiene muchas frecuencias (p. ej., filtros).

El término resonancia (del latín resonantia , 'eco', de resonare , 'resonar') se originó en el campo de la acústica, particularmente la resonancia simpática que se observa en los instrumentos musicales, por ejemplo, cuando una cuerda comienza a vibrar y producir sonido después de otra diferente. es golpeado.

Descripción general

La resonancia ocurre cuando un sistema es capaz de almacenar y transferir fácilmente energía entre dos o más modos de almacenamiento diferentes (como la energía cinética y la energía potencial en el caso de un péndulo simple). Sin embargo, existen algunas pérdidas de un ciclo a otro, lo que se denomina amortiguación . Cuando la amortiguación es pequeña, la frecuencia de resonancia es aproximadamente igual a la frecuencia natural del sistema, que es una frecuencia de vibraciones no forzadas. Algunos sistemas tienen frecuencias resonantes múltiples y distintas.

Ejemplos

Empujar a una persona en un columpio es un ejemplo común de resonancia. El columpio cargado, un péndulo , tiene una frecuencia natural de oscilación, su frecuencia de resonancia, y se resiste a ser empujado a un ritmo más rápido o más lento.

Un ejemplo conocido es el columpio de un parque infantil , que actúa como péndulo . Empujar a una persona en un swing en el tiempo con el intervalo natural del swing (su frecuencia de resonancia) hace que el swing suba cada vez más (amplitud máxima), mientras que los intentos de empujar el swing a un ritmo más rápido o más lento producen arcos más pequeños. Esto se debe a que la energía que absorbe el columpio se maximiza cuando los empujones coinciden con las oscilaciones naturales del columpio.

La resonancia ocurre ampliamente en la naturaleza y se explota en muchos dispositivos. Es el mecanismo por el cual se generan prácticamente todas las ondas y vibraciones sinusoidales . Muchos sonidos que escuchamos, como cuando se golpean objetos duros de metal , vidrio o madera , son causados ​​por breves vibraciones resonantes en el objeto. La luz y otras radiaciones electromagnéticas de longitud de onda corta se producen por resonancia a escala atómica , como los electrones en los átomos. Otros ejemplos de resonancia:

• Mecanismos de cronometraje de relojes modernos, por ejemplo, el volante en un reloj mecánico y el cristal de cuarzo en un reloj de cuarzo.
• Resonancia de marea de la Bahía de Fundy
• Resonancias acústicas de instrumentos musicales y el tracto vocal humano.
• Rotura de una copa de cristal cuando se expone a un tono musical del tono correcto (su frecuencia de resonancia)
• Idiófonos de fricción , como hacer vibrar un objeto de vidrio (vidrio, botella, jarrón) frotando alrededor de su borde con la yema del dedo.
• Resonancia eléctrica de circuitos sintonizados en radios y televisores que permiten recibir radiofrecuencias de forma selectiva
• Creación de luz coherente mediante resonancia óptica en una cavidad láser .
• Resonancia orbital ejemplificada por algunas lunas de los gigantes gaseosos del Sistema Solar
• Las resonancias materiales a escala atómica son la base de varias técnicas espectroscópicas que se utilizan en la física de la materia condensada.
  • Resonancia de espín electrónico
  • efecto Mössbauer
  • Resonancia magnética nuclear

Sistemas lineales

La resonancia se manifiesta en muchos sistemas lineales y no lineales como oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio. Cuando el sistema es impulsado por una entrada externa sinusoidal, una salida medida del sistema puede oscilar en respuesta. La relación entre la amplitud de las oscilaciones de estado estable de la salida y las oscilaciones de la entrada se llama ganancia, y la ganancia puede ser función de la frecuencia de la entrada externa sinusoidal. Los picos de ganancia en determinadas frecuencias corresponden a resonancias, donde la amplitud de las oscilaciones de la salida medida es desproporcionadamente grande.

Dado que muchos sistemas lineales y no lineales que oscilan se modelan como osciladores armónicos cerca de sus equilibrios, esta sección comienza con una derivación de la frecuencia resonante para un oscilador armónico amortiguado y excitado. Luego, la sección utiliza un circuito RLC para ilustrar las conexiones entre la resonancia y la función de transferencia, la respuesta de frecuencia, los polos y los ceros de un sistema. A partir del ejemplo del circuito RLC, la sección generaliza estas relaciones para sistemas lineales de orden superior con múltiples entradas y salidas.

El oscilador armónico amortiguado y accionado

Considere una masa amortiguada sobre un resorte impulsado por una fuerza sinusoidal aplicada externamente. La segunda ley de Newton toma la forma

donde m es la masa, x es el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, F ₀ es la amplitud de conducción, ω es la frecuencia angular de conducción, k es la constante del resorte y c es el coeficiente de amortiguación viscosa. Esto se puede reescribir en la forma

dónde

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$se llama frecuencia angular no amortiguada del oscilador o frecuencia natural ,
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$se llama relación de amortiguamiento .

Muchas fuentes también se refieren a ω ₀ como frecuencia de resonancia . Sin embargo, como se muestra a continuación, al analizar las oscilaciones del desplazamiento x ( t ), la frecuencia de resonancia es cercana pero no igual a ω ₀ . En general, la frecuencia de resonancia es cercana, pero no necesariamente igual, a la frecuencia natural. ^[5] El ejemplo del circuito RLC en la siguiente sección brinda ejemplos de diferentes frecuencias resonantes para el mismo sistema.

La solución general de la ecuación ( 2 ) es la suma de una solución transitoria que depende de las condiciones iniciales y una solución de estado estacionario que es independiente de las condiciones iniciales y depende sólo de la amplitud de conducción F ₀ , frecuencia de conducción ω , frecuencia angular no amortiguada ω ₀ , y la relación de amortiguación ζ . La solución transitoria decae en un período de tiempo relativamente corto, por lo que para estudiar la resonancia es suficiente considerar la solución en estado estacionario.

Es posible escribir la solución en estado estacionario para x ( t ) como una función proporcional a la fuerza impulsora con un cambio de fase inducido φ ,

dónde ${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi .}$

Generalmente se considera que el valor de fase está entre −180° y 0, por lo que representa un desfase para los valores positivos y negativos del argumento arctan.

Variación de amplitud en estado estacionario con frecuencia relativa y amortiguación de un oscilador armónico simple accionado ${\displaystyle \omega /\omega _{0}}$ ${\displaystyle \zeta }$

La resonancia ocurre cuando, en ciertas frecuencias impulsoras, la amplitud en estado estacionario de x ( t ) es grande en comparación con su amplitud en otras frecuencias impulsoras. Para la masa sobre un resorte, la resonancia corresponde físicamente a las oscilaciones de la masa que tienen grandes desplazamientos desde la posición de equilibrio del resorte a ciertas frecuencias de accionamiento. Observando la amplitud de x ( t ) en función de la frecuencia de conducción ω , la amplitud es máxima en la frecuencia de conducción

$${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

ω _r es la frecuencia de resonancia para este sistema. Nuevamente, la frecuencia resonante no es igual a la frecuencia angular no amortiguada ω ₀ del oscilador. Son proporcionales, y si la relación de amortiguación llega a cero son las mismas, pero para una amortiguación distinta de cero no tienen la misma frecuencia. Como se muestra en la figura, la resonancia también puede ocurrir en otras frecuencias cercanas a la frecuencia de resonancia, incluida ω ₀ , pero la respuesta máxima es en la frecuencia de resonancia.

Además, ω _r sólo es real y distinto de cero si , por lo que este sistema sólo puede resonar cuando el oscilador armónico está significativamente subamortiguado. Para sistemas con una relación de amortiguación muy pequeña y una frecuencia de excitación cercana a la frecuencia de resonancia, las oscilaciones en estado estacionario pueden llegar a ser muy grandes. ${\textstyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$

el péndulo

Para otros osciladores armónicos amortiguados y accionados cuyas ecuaciones de movimiento no se parecen exactamente a la masa en un ejemplo de resorte, la frecuencia de resonancia permanece

$${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}},}$$

ω ₀ζℓθ1

$${\displaystyle m\ell {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}\sin(\omega t)-mg\theta -c\ell {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$$

y por lo tanto

• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{\ell }}},}$
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2m}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$

circuitos en serie RLC

Un circuito en serie RLC

Considere un circuito que consta de una resistencia con resistencia R , un inductor con inductancia L y un capacitor con capacitancia C conectados en serie con corriente i ( t ) y accionados por una fuente de voltaje con voltaje v _en ( t ). La caída de voltaje alrededor del circuito es

En lugar de analizar una solución candidata a esta ecuación como en el ejemplo anterior de masa en un resorte, esta sección analizará la respuesta de frecuencia de este circuito. Tomando la transformada de Laplace de la ecuación ( 4 ),

$${\displaystyle sLI(s)+RI(s)+{\frac {1}{sC}}I(s)=V_{\text{in}}(s),}$$

IsV _insscomplejo

$${\displaystyle I(s)={\frac {s}{s^{2}L+Rs+{\frac {1}{C}}}}V_{\text{in}}(s).}$$

Voltaje a través del capacitor

Un circuito RLC en serie presenta varias opciones sobre dónde medir un voltaje de salida. Suponga que el voltaje de salida de interés es la caída de voltaje a través del capacitor. Como se muestra arriba, en el dominio de Laplace este voltaje es

$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {1}{sC}}I(s)}$$

$${\displaystyle V_{\text{out}}={\frac {1}{LC(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}})}}V_{\text{in}}(s).}$$

Defina para este circuito una frecuencia natural y una relación de amortiguación,

$${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$$

$${\displaystyle \zeta ={\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}.}$$

La relación entre el voltaje de salida y el voltaje de entrada se convierte en

$${\displaystyle H(s)\triangleq {\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}}$$

H ( s ) es la función de transferencia entre el voltaje de entrada y el voltaje de salida. Esta función de transferencia tiene dos polos –raíces del polinomio en el denominador de la función de transferencia– en

y sin ceros: raíces del polinomio en el numerador de la función de transferencia. Además, para ζ ≤ 1 , la magnitud de estos polos es la frecuencia natural ω ₀ y para ζ < 1/ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , nuestra condición de resonancia en el ejemplo del oscilador armónico, los polos están más cerca del eje imaginario que del eje real.

Evaluando H ( s ) a lo largo del eje imaginario s = iω , la función de transferencia describe la respuesta de frecuencia de este circuito. De manera equivalente, la respuesta de frecuencia se puede analizar tomando la transformada de Fourier de la ecuación ( 4 ) en lugar de la transformada de Laplace. La función de transferencia, que también es compleja, se puede escribir como ganancia y fase,

$${\displaystyle H(i\omega )=G(\omega )e^{i\Phi (\omega )}.}$$

Gráfico de magnitud de Bode para el voltaje entre los elementos de un circuito en serie RLC. Frecuencia natural ω ₀ = 1 rad/s , relación de amortiguación ζ = 0,4 . El voltaje del capacitor alcanza un máximo por debajo de la frecuencia natural del circuito, el voltaje del inductor alcanza un máximo por encima de la frecuencia natural y el voltaje de la resistencia alcanza un máximo a la frecuencia natural con una ganancia máxima de uno. La ganancia del voltaje entre el capacitor y el inductor combinados en serie muestra antiresonancia, y la ganancia llega a cero en la frecuencia natural.

Un voltaje de entrada sinusoidal a la frecuencia ω da como resultado un voltaje de salida a la misma frecuencia que ha sido escalada por G ( ω ) y tiene un desplazamiento de fase Φ ( ω ). La ganancia y la fase se pueden representar frente a la frecuencia en un diagrama de Bode . Para el voltaje del capacitor del circuito RLC, la ganancia de la función de transferencia H ( iω ) es

Tenga en cuenta la similitud entre la ganancia aquí y la amplitud en la ecuación ( 3 ). Una vez más, la ganancia se maximiza en la frecuencia de resonancia.

$${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

Aquí, la resonancia corresponde físicamente a tener una amplitud relativamente grande para las oscilaciones de estado estacionario del voltaje a través del capacitor en comparación con su amplitud en otras frecuencias de excitación.

Voltaje a través del inductor

No es necesario que la frecuencia de resonancia adopte siempre la forma dada en los ejemplos anteriores. Para el circuito RLC, supongamos que el voltaje de salida de interés es el voltaje a través del inductor. Como se muestra arriba, en el dominio de Laplace el voltaje a través del inductor es

$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=sLI(s),}$$

$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}}V_{\text{in}}(s),}$$

$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}V_{\text{in}}(s),}$$

usando las mismas definiciones para ω ₀ y ζ que en el ejemplo anterior. La función de transferencia entre V _in ( s ) y esta nueva V _out ( s ) a través del inductor es

$${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

Esta función de transferencia tiene los mismos polos que la función de transferencia del ejemplo anterior, pero también tiene dos ceros en el numerador en s = 0 . Al evaluar H ( s ) a lo largo del eje imaginario, su ganancia se convierte en

$${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega ^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

En comparación con la ganancia en la ecuación ( 6 ) usando el voltaje del capacitor como salida, esta ganancia tiene un factor de ω ² en el numerador y, por lo tanto, tendrá una frecuencia de resonancia diferente que maximiza la ganancia. esa frecuencia es

$${\displaystyle \omega _{r}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}},}$$

Entonces, para el mismo circuito RLC pero con el voltaje a través del inductor como salida, la frecuencia resonante ahora es mayor que la frecuencia natural, aunque todavía tiende hacia la frecuencia natural cuando la relación de amortiguación llega a cero. Que el mismo circuito pueda tener diferentes frecuencias de resonancia para diferentes opciones de salida no es contradictorio. Como se muestra en la ecuación ( 4 ), la caída de voltaje en el circuito se divide entre los tres elementos del circuito y cada elemento tiene una dinámica diferente. El voltaje del capacitor crece lentamente al integrar la corriente a lo largo del tiempo y, por lo tanto, es más sensible a frecuencias más bajas, mientras que el voltaje del inductor crece cuando la corriente cambia rápidamente y, por lo tanto, es más sensible a frecuencias más altas. Si bien el circuito en su conjunto tiene una frecuencia natural en la que tiende a oscilar, la diferente dinámica de cada elemento del circuito hace que cada elemento resuene a una frecuencia ligeramente diferente.

Voltaje a través de la resistencia

Suponga que el voltaje de salida de interés es el voltaje a través de la resistencia. En el dominio de Laplace, el voltaje a través de la resistencia es

$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=RI(s),}$$

$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {Rs}{L\left(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}V_{\text{in}}(s),}$$

y usando la misma frecuencia natural y relación de amortiguación que en el ejemplo del capacitor, la función de transferencia es

$${\displaystyle H(s)={\frac {2\zeta \omega _{0}s}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

Esta función de transferencia también tiene los mismos polos que los ejemplos de circuito RLC anteriores, pero solo tiene un cero en el numerador en s = 0. Para esta función de transferencia, su ganancia es

$${\displaystyle G(\omega )={\frac {2\zeta \omega _{0}\omega }{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

La frecuencia de resonancia que maximiza esta ganancia es

$${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0},}$$

a

antirresonancia

Algunos sistemas exhiben antirresonancia que puede analizarse de la misma manera que la resonancia. Para la antirresonancia, la amplitud de la respuesta del sistema a ciertas frecuencias es desproporcionadamente pequeña en lugar de desproporcionadamente grande. En el ejemplo del circuito RLC, este fenómeno se puede observar analizando tanto el inductor como el condensador combinados.

Suponga que el voltaje de salida de interés en el circuito RLC es el voltaje entre el inductor y el capacitor combinados en serie. La ecuación ( 4 ) mostró que la suma de los voltajes a través de los tres elementos del circuito suma el voltaje de entrada, por lo que medir el voltaje de salida como la suma de los voltajes del inductor y del capacitor combinados es lo mismo que v _en menos la caída de voltaje a través de la resistencia. . El ejemplo anterior mostró que a la frecuencia natural del sistema, la amplitud de la caída de voltaje a través de la resistencia es igual a la amplitud de v _in y, por lo tanto, el voltaje a través del inductor y el capacitor combinados tiene amplitud cero. Podemos mostrar esto con la función de transferencia.

La suma de los voltajes del inductor y del capacitor es

$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=(sL+{\frac {1}{sC}})I(s),}$$

$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}+{\frac {1}{LC}}}{s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}}V_{\text{in}}(s).}$$

Utilizando la misma frecuencia natural y relaciones de amortiguación que en los ejemplos anteriores, la función de transferencia es

$${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}+\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

Esta transferencia tiene los mismos polos que los ejemplos anteriores pero tiene ceros en

Evaluando la función de transferencia a lo largo del eje imaginario, su ganancia es

$${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

En lugar de buscar resonancia, es decir, picos de ganancia, observe que la ganancia llega a cero en ω = ω ₀ , lo que complementa nuestro análisis del voltaje de la resistencia. Esto se llama antiresonancia , que tiene el efecto contrario a la resonancia. En lugar de dar como resultado salidas desproporcionadamente grandes a esta frecuencia, este circuito con esta elección de salida no tiene ninguna respuesta a esta frecuencia. La frecuencia que se filtra corresponde exactamente a los ceros de la función de transferencia, que se muestran en la ecuación ( 7 ) y estaban en el eje imaginario.

Relaciones entre resonancia y respuesta de frecuencia en el ejemplo del circuito en serie RLC

Estos ejemplos de circuitos RLC ilustran cómo se relaciona la resonancia con la respuesta de frecuencia del sistema. Específicamente, estos ejemplos ilustran:

• Cómo se pueden encontrar las frecuencias resonantes buscando picos en la ganancia de la función de transferencia entre la entrada y la salida del sistema, por ejemplo en un gráfico de magnitud de Bode
• Cómo la frecuencia de resonancia de un solo sistema puede ser diferente para diferentes opciones de salida del sistema
• La conexión entre la frecuencia natural del sistema, la relación de amortiguación del sistema y la frecuencia de resonancia del sistema.
• La conexión entre la frecuencia natural del sistema y la magnitud de los polos de la función de transferencia, señalada en la Ecuación ( 5 ), y por tanto una conexión entre los polos y la frecuencia resonante
• Una conexión entre los ceros de la función de transferencia y la forma de la ganancia en función de la frecuencia y, por lo tanto, una conexión entre los ceros y la frecuencia de resonancia que maximiza la ganancia.
• Una conexión entre los ceros de la función de transferencia y la antiresonancia.

La siguiente sección extiende estos conceptos a la resonancia en un sistema lineal general.

Generalización de resonancia y antiresonancia para sistemas lineales.

Consideremos a continuación un sistema lineal arbitrario con múltiples entradas y salidas. Por ejemplo, en la representación del espacio de estados, un sistema lineal invariante en el tiempo de tercer orden con tres entradas y dos salidas podría escribirse como

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\{\dot {x}}_{3}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+B{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\end{bmatrix}}=C{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+D{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$

u _itx _iy _itABCD

Este sistema cuenta con una matriz de funciones de transferencia cuyos elementos son las funciones de transferencia entre las distintas entradas y salidas. Por ejemplo,

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}Y_{1}(s)\\Y_{2}(s)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{11}(s)&H_{12}(s)&H_{13}(s)\\H_{21}(s)&H_{22}(s)&H_{23}(s)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}(s)\\U_{2}(s)\\U_{3}(s)\end{bmatrix}}.}$$

Cada Hij ( s ) es una función de transferencia escalar que vincula una _de las entradas con una de las salidas. Los ejemplos de circuitos RLC anteriores tenían un voltaje de entrada y mostraban cuatro posibles voltajes de salida: a través del capacitor, a través del inductor, a través de la resistencia y a través del capacitor y el inductor combinados en serie, cada uno con su propia función de transferencia. Si el circuito RLC estuviera configurado para medir estos cuatro voltajes de salida, ese sistema tendría una matriz de función de transferencia 4×1 que vincularía la entrada única a cada una de las cuatro salidas.

_{Evaluado a lo} largo del eje imaginario, cada Hij ( iω ) se puede escribir como una ganancia y un cambio de fase,

$${\displaystyle H_{ij}(i\omega )=G_{ij}(\omega )e^{i\Phi _{ij}(\omega )}.}$$

Los picos en la ganancia en ciertas frecuencias corresponden a resonancias entre la entrada y la salida de esa función de transferencia, suponiendo que el sistema sea estable .

Cada función de transferencia Hij ( s ) también se puede escribir como una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios _de s .

$${\displaystyle H_{ij}(s)={\frac {N_{ij}(s)}{D_{ij}(s)}}.}$$

Las raíces complejas del numerador se llaman ceros y las raíces complejas del denominador se llaman polos. Para un sistema estable, las posiciones de estos polos y ceros en el plano complejo dan alguna indicación de si el sistema puede resonar o antiresonar y en qué frecuencias. En particular, cualquier par de polos conjugados complejos, estables o marginalmente estables , con componentes imaginarios se puede escribir en términos de una frecuencia natural y una relación de amortiguamiento como

$${\displaystyle s=-\zeta \omega _{0}\pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$$

5ω ₀^[5]

• Los pares conjugados complejos de polos cerca del eje imaginario corresponden a un pico o resonancia en la respuesta de frecuencia en las proximidades de la frecuencia natural del polo. Si el par de polos está en el eje imaginario, la ganancia es infinita a esa frecuencia.
• Los pares conjugados complejos de ceros cerca del eje imaginario corresponden a una muesca o antiresonancia en la respuesta de frecuencia en las proximidades de la frecuencia del cero, es decir, la frecuencia igual a la magnitud del cero. Si el par de ceros está en el eje imaginario, la ganancia es cero a esa frecuencia.

En el ejemplo del circuito RLC, la primera generalización que relaciona los polos con la resonancia se observa en la ecuación ( 5 ). La segunda generalización que relaciona los ceros con la antiresonancia se observa en la ecuación ( 7 ). En los ejemplos del oscilador armónico, el voltaje del capacitor del circuito RLC y el voltaje del inductor del circuito RLC, los "polos cerca del eje imaginario" corresponden a la condición significativamente subamortiguada ζ < 1/ . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Ondas estacionarias

Una masa sobre un resorte tiene una frecuencia natural , ya que tiene un solo grado de libertad.

Un sistema físico puede tener tantas frecuencias naturales como grados de libertad y puede resonar cerca de cada una de esas frecuencias naturales. Una masa sobre un resorte, que tiene un grado de libertad, tiene una frecuencia natural. Un péndulo doble , que tiene dos grados de libertad, puede tener dos frecuencias naturales. A medida que aumenta el número de osciladores armónicos acoplados, el tiempo que lleva transferir energía de uno al siguiente se vuelve significativo. Se puede considerar que los sistemas con un gran número de grados de libertad son continuos y no osciladores discretos. ^{[ cita necesaria ]}

La energía se transfiere de un oscilador al siguiente en forma de ondas. Por ejemplo, la cuerda de una guitarra o la superficie del agua en un cuenco se pueden modelar como un continuo de pequeños osciladores acoplados y las ondas pueden viajar a lo largo de ellos. En muchos casos, estos sistemas tienen el potencial de resonar a determinadas frecuencias, formando ondas estacionarias con oscilaciones de gran amplitud en posiciones fijas. La resonancia en forma de ondas estacionarias subyace a muchos fenómenos familiares, como el sonido producido por instrumentos musicales, las cavidades electromagnéticas utilizadas en láseres y hornos microondas, y los niveles de energía de los átomos. ^{[ cita necesaria ]}

Ondas estacionarias en una cuerda

Una onda estacionaria (en negro), creada cuando dos ondas que se mueven de izquierda a derecha se encuentran y se superponen.

Cuando una cuerda de longitud fija se acciona a una frecuencia particular, una onda se propaga a lo largo de la cuerda a la misma frecuencia. Las ondas se reflejan en los extremos de la cuerda y, finalmente, se alcanza un estado estable con ondas que viajan en ambas direcciones. La forma de onda es la superposición de las ondas. ^[6]

A determinadas frecuencias, la forma de onda en estado estacionario no parece viajar a lo largo de la cuerda. En posiciones fijas llamadas nodos , la cuerda nunca se desplaza . Entre los nodos, la cuerda oscila y exactamente a mitad de camino entre los nodos, en posiciones llamadas antinodos, las oscilaciones tienen su mayor amplitud. ^{[7] [8] [9]}

Ondas estacionarias en una cuerda: el modo fundamental y los primeros 5 armónicos .

Para una cuerda de longitud con extremos fijos, el desplazamiento de la cuerda perpendicular al eje en el tiempo es ^[6] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin(kx)\cos(2\pi ft),}$$

dónde

• ${\displaystyle y_{\text{max}}}$es la amplitud de las ondas que viajan hacia la izquierda y hacia la derecha que interfieren para formar la onda estacionaria,
• ${\displaystyle k}$es el número de onda ,
• ${\displaystyle f}$es la frecuencia

Las frecuencias que resuenan y forman ondas estacionarias se relacionan con la longitud de la cuerda como ^{[10] [8]}

$${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$$

$${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$$

donde es la velocidad de la onda y el número entero denota diferentes modos o armónicos . La onda estacionaria con n = 1 oscila a la frecuencia fundamental y tiene una longitud de onda que es el doble de la longitud de la cuerda. Los posibles modos de oscilación forman una serie armónica . ^[10] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n}$

Resonancia en redes complejas

Una generalización a redes complejas de osciladores armónicos acoplados muestra que dichos sistemas tienen un número finito de frecuencias resonantes naturales, relacionadas con la estructura topológica de la propia red. En particular, dichas frecuencias resultan relacionadas con los valores propios de la matriz laplaciana de la red. Sea la matriz de adyacencia que describe la estructura topológica de la red y la matriz laplaciana correspondiente , donde es la matriz diagonal de los grados de los nodos de la red. Luego, para una red de osciladores armónicos clásicos e idénticos, cuando se aplica una fuerza impulsora sinusoidal a un nodo específico, las frecuencias de resonancia globales de la red vienen dadas por dónde están los valores propios del laplaciano . ^[11] ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\bf {L}}={\bf {K}}-{\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\bf {K}}={\rm {diag}}\,\{k_{i}\}}$ ${\displaystyle f(t)=F_{0}\sin \omega t}$ ${\displaystyle \omega _{i}={\sqrt {1+\mu _{i}}}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle {\bf {L}}}$

Tipos

Mecánico y acústico

Experimento de masa resonante escolar

La resonancia mecánica es la tendencia de un sistema mecánico a absorber más energía cuando la frecuencia de sus oscilaciones coincide con la frecuencia natural de vibración del sistema que en otras frecuencias. Puede causar movimientos de balanceo violentos e incluso fallas catastróficas en estructuras construidas incorrectamente, incluidos puentes, edificios, trenes y aviones. Al diseñar objetos, los ingenieros deben asegurarse de que las frecuencias de resonancia mecánica de los componentes no coincidan con las frecuencias de vibración de los motores u otras piezas oscilantes, un fenómeno conocido como desastre de resonancia .

Evitar desastres por resonancia es una preocupación importante en todo proyecto de construcción de edificios, torres y puentes . Como contramedida, se pueden instalar amortiguadores para absorber frecuencias resonantes y así disipar la energía absorbida. El edificio Taipei 101 se basa en un péndulo de 660 toneladas (730 toneladas cortas), un amortiguador de masa sintonizado , para cancelar la resonancia. Además, la estructura está diseñada para resonar a una frecuencia que no suele ocurrir. Los edificios en zonas sísmicas a menudo se construyen para tener en cuenta las frecuencias oscilantes del movimiento esperado del suelo . Además, los ingenieros que diseñan objetos con motores deben asegurarse de que las frecuencias de resonancia mecánica de los componentes no coincidan con las frecuencias de vibración de los motores u otras piezas que oscilan fuertemente.

Los relojes marcan el tiempo mediante resonancia mecánica en un volante , péndulo o cristal de cuarzo .

Se ha planteado la hipótesis de que la cadencia de los corredores es energéticamente favorable debido a la resonancia entre la energía elástica almacenada en el miembro inferior y la masa del corredor. ^[12]

La resonancia acústica es una rama de la resonancia mecánica que se ocupa de las vibraciones mecánicas en todo el rango de frecuencia del oído humano, en otras palabras, el sonido . Para los humanos, la audición normalmente se limita a frecuencias entre aproximadamente 20  Hz y 20 000 Hz (20  kHz ). ^[13] Muchos objetos y materiales actúan como resonadores con frecuencias resonantes dentro de este rango y, cuando se golpean, vibran mecánicamente, empujando el aire circundante para crear ondas sonoras. Esta es la fuente de muchos sonidos de percusión que escuchamos.

La resonancia acústica es una consideración importante para los constructores de instrumentos, ya que la mayoría de los instrumentos acústicos utilizan resonadores , como las cuerdas y el cuerpo de un violín , la longitud del tubo en una flauta y la forma y tensión de la membrana de un tambor.

Al igual que la resonancia mecánica, la resonancia acústica puede provocar una falla catastrófica del objeto en resonancia. El ejemplo clásico de esto es romper una copa de vino con un sonido en la frecuencia de resonancia precisa de la copa, aunque esto es difícil en la práctica. ^[14]

Estación Espacial Internacional

Los motores de los cohetes de la Estación Espacial Internacional (ISS) están controlados por un piloto automático . Normalmente, los parámetros cargados para controlar el sistema de control del motor del módulo Zvezda hacen que los motores del cohete impulsen la Estación Espacial Internacional a una órbita más alta. Los motores de los cohetes están montados sobre bisagras y normalmente la tripulación no se da cuenta de su funcionamiento. Sin embargo, el 14 de enero de 2009, los parámetros cargados hicieron que el piloto automático hiciera girar los motores del cohete en oscilaciones cada vez mayores, a una frecuencia de 0,5 Hz. Estas oscilaciones fueron capturadas en video y duraron 142 segundos. ^[15]

Eléctrico

Animación que ilustra la resonancia eléctrica en un circuito sintonizado , que consta de un condensador (C) y un inductor (L) conectados entre sí. La carga fluye hacia adelante y hacia atrás entre las placas del capacitor a través del inductor. La energía oscila hacia adelante y hacia atrás entre el campo eléctrico del capacitor ( E ) y el campo magnético del inductor ( B ).

La resonancia eléctrica ocurre en un circuito eléctrico a una frecuencia de resonancia particular cuando la impedancia del circuito es mínima en un circuito en serie o máxima en un circuito en paralelo (generalmente cuando la función de transferencia alcanza su punto máximo en valor absoluto). La resonancia en los circuitos se utiliza tanto para transmitir como para recibir comunicaciones inalámbricas como televisión, teléfonos móviles y radio.

Óptico

Una cavidad óptica , también llamada resonador óptico , es una disposición de espejos que forma una cavidad resonadora de onda estacionaria para ondas de luz . Las cavidades ópticas son un componente importante de los láseres , rodean el medio de ganancia y proporcionan retroalimentación de la luz láser. También se utilizan en osciladores paramétricos ópticos y algunos interferómetros . La luz confinada en la cavidad se refleja múltiples veces produciendo ondas estacionarias para ciertas frecuencias resonantes. Los patrones de ondas estacionarias producidos se denominan "modos". Los modos longitudinales difieren sólo en la frecuencia, mientras que los modos transversales difieren para diferentes frecuencias y tienen diferentes patrones de intensidad a lo largo de la sección transversal del haz. Los resonadores de anillo y las galerías susurrantes son ejemplos de resonadores ópticos que no forman ondas estacionarias.

Los diferentes tipos de resonadores se distinguen por las distancias focales de los dos espejos y la distancia entre ellos; Los espejos planos no se utilizan con frecuencia debido a la dificultad de alinearlos con precisión. La geometría (tipo resonador) debe elegirse de modo que el haz permanezca estable, es decir, que el tamaño del haz no siga creciendo con cada reflexión. Los tipos de resonador también están diseñados para cumplir otros criterios, como la cintura mínima del haz o no tener un punto focal (y por lo tanto, luz intensa en ese punto) dentro de la cavidad.

Las cavidades ópticas están diseñadas para tener un factor Q muy grande . ^[16] Un haz se refleja un gran número de veces con poca atenuación ; por lo tanto, el ancho de la línea de frecuencia del haz es pequeño en comparación con la frecuencia del láser.

Las resonancias ópticas adicionales son las resonancias en modo guiado y la resonancia de plasmón superficial , que dan como resultado una reflexión anómala y altos campos evanescentes en la resonancia. En este caso, los modos resonantes son modos guiados de una guía de ondas o modos de plasmón superficial de una interfaz dieléctrico-metálica. Estos modos suelen ser excitados por una rejilla de sublongitud de onda.

Orbital

En mecánica celeste , una resonancia orbital ocurre cuando dos cuerpos en órbita ejercen una influencia gravitacional periódica y regular entre sí, generalmente debido a que sus períodos orbitales están relacionados por una proporción de dos números enteros pequeños. Las resonancias orbitales aumentan en gran medida la influencia gravitacional mutua de los cuerpos. En la mayoría de los casos, esto da como resultado una interacción inestable , en la que los cuerpos intercambian impulso y cambian de órbita hasta que la resonancia ya no existe. En algunas circunstancias, un sistema resonante puede ser estable y autocorregirse, de modo que los cuerpos permanezcan en resonancia. Algunos ejemplos son la resonancia 1:2:4 de las lunas de Júpiter , Ganímedes , Europa e Io , y la resonancia 2:3 entre Plutón y Neptuno . Las resonancias inestables con las lunas interiores de Saturno dan lugar a huecos en los anillos de Saturno . El caso especial de resonancia 1:1 (entre cuerpos con radios orbitales similares) hace que los grandes cuerpos del Sistema Solar despejen el vecindario alrededor de sus órbitas expulsando casi todo lo que los rodea; este efecto se utiliza en la definición actual de planeta .

Atómico, de partículas y molecular.

Imán de RMN en HWB-NMR, Birmingham, Reino Unido. En su potente campo de 21,2 teslas , la resonancia de protones está a 900 MHz.

Resonancia magnética nuclear (RMN) es el nombre que se le da a un fenómeno de resonancia física que implica la observación de propiedades magnéticas de la mecánica cuántica específicas de un núcleo atómico en presencia de un campo magnético externo aplicado. Muchas técnicas científicas aprovechan los fenómenos de RMN para estudiar la física molecular , los cristales y los materiales no cristalinos mediante espectroscopia de RMN . La RMN también se utiliza habitualmente en técnicas avanzadas de imágenes médicas, como la resonancia magnética (MRI).

Todos los núcleos que contienen un número impar de nucleones tienen un momento magnético intrínseco y un momento angular . Una característica clave de la RMN es que la frecuencia de resonancia de una sustancia particular es directamente proporcional a la fuerza del campo magnético aplicado. Es esta característica la que se explota en las técnicas de obtención de imágenes; Si una muestra se coloca en un campo magnético no uniforme, las frecuencias de resonancia de los núcleos de la muestra dependen de en qué parte del campo se encuentran. Por tanto, la partícula puede localizarse con bastante precisión mediante su frecuencia de resonancia.

La resonancia paramagnética electrónica , también conocida como resonancia de espín electrónico (ESR), es una técnica espectroscópica similar a la RMN, pero en su lugar utiliza electrones desapareados. Los materiales a los que se puede aplicar esto son mucho más limitados ya que el material debe tener un espín no apareado y ser paramagnético .

El efecto Mössbauer es la emisión y absorción resonante y sin retroceso de fotones de rayos gamma por átomos unidos en forma sólida.

La resonancia en la física de partículas aparece en circunstancias similares a las de la física clásica a nivel de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos . Las resonancias también se pueden considerar como partículas inestables; la fórmula de la sección Curva de resonancia universal de este artículo se aplica si Γ es la tasa de desintegración de la partícula y Ω es la masa M de la partícula . En ese caso, la fórmula proviene del propagador de la partícula , con su masa reemplazada por el número complejo M  +  iΓ . La fórmula está además relacionada con la tasa de desintegración de la partícula mediante el teorema óptico .

Desventajas

Una columna de soldados que marchan con paso regular sobre un puente estrecho y estructuralmente flexible puede provocar oscilaciones de amplitud peligrosamente grandes . El 12 de abril de 1831, el puente colgante de Broughton, cerca de Salford, Inglaterra, se derrumbó mientras un grupo de soldados británicos cruzaba. ^[17] Desde entonces, el ejército británico ha tenido una orden permanente para que los soldados aminoren el paso al cruzar puentes, para evitar que la resonancia de su patrón de marcha regular afecte al puente. ^{[18] [19]}

Las vibraciones de un motor o motor pueden inducir vibraciones resonantes en sus estructuras de soporte si su frecuencia natural es cercana a la de las vibraciones del motor. Un ejemplo común es el traqueteo de la carrocería de un autobús cuando el motor se deja al ralentí.

La resonancia estructural de un puente colgante inducida por los vientos puede provocar su colapso catastrófico. Varios de los primeros puentes colgantes en Europa y Estados Unidos fueron destruidos por resonancia estructural inducida por vientos moderados. El colapso del puente Tacoma Narrows el 7 de noviembre de 1940 se caracteriza en física como un ejemplo clásico de resonancia. ^[20] Robert H. Scanlan y otros han argumentado que la destrucción fue causada por un aleteo aeroelástico , una interacción complicada entre el puente y los vientos que lo atraviesan, un ejemplo de autooscilación , o una especie de "autooscilación". -vibración sostenida" como se menciona en la teoría no lineal de las vibraciones. ^[21]

factor q

Factor Q alto y bajo

El factor Q o factor de calidad es un parámetro adimensional que describe qué tan subamortiguado está un oscilador o resonador y caracteriza el ancho de banda de un resonador en relación con su frecuencia central. ^{[22] [23]} Un valor alto para Q indica una menor tasa de pérdida de energía en relación con la energía almacenada, es decir, el sistema está ligeramente amortiguado. El parámetro está definido por la ecuación:

$${\displaystyle Q=2\pi {\text{ }}{\frac {\text{ maximum energy stored}}{\text{total energy lost per cycle at resonance}}}}$$

^[24]

Cuanto mayor sea el factor Q, mayor será la amplitud en la frecuencia de resonancia y menor será el ancho de banda o rango de frecuencias alrededor de la resonancia. En resonancia eléctrica, un circuito de alta Q en un receptor de radio es más difícil de sintonizar, pero tiene mayor selectividad y, por lo tanto, sería mejor para filtrar señales de otras estaciones. Los osciladores de Q alto son más estables. ^[24]

Los ejemplos que normalmente tienen un factor Q bajo incluyen los cierrapuertas (Q=0,5). Los sistemas con factores Q altos incluyen diapasones (Q=1000), relojes atómicos y láseres (Q≈10 ¹¹ ). ^[25]

Curva de resonancia universal

"Curva de Resonancia Universal", una aproximación simétrica a la respuesta normalizada de un circuito resonante; los valores de abscisas son la desviación de la frecuencia central, en unidades de frecuencia central dividida por 2Q; la ordenada es la amplitud relativa y la fase en ciclos; las curvas discontinuas comparan el rango de respuestas de circuitos bipolares reales para un valor Q de 5; para valores de Q más altos , hay menos desviación de la curva universal. Las cruces marcan los bordes del ancho de banda de 3 dB (ganancia de 0,707, cambio de fase de 45° o ciclo de 0,125).

La respuesta exacta de una resonancia, especialmente para frecuencias alejadas de la frecuencia de resonancia, depende de los detalles del sistema físico y, por lo general, no es exactamente simétrica con respecto a la frecuencia de resonancia, como se ilustra para el oscilador armónico simple anterior. Para un oscilador lineal ligeramente amortiguado con una frecuencia de resonancia Ω , la intensidad de las oscilaciones I cuando el sistema funciona con una frecuencia de conducción ω generalmente se aproxima mediante una fórmula que es simétrica con respecto a la frecuencia de resonancia: ^[26]

$${\displaystyle I(\omega )\equiv |\chi |^{2}\propto {\frac {1}{(\omega -\Omega )^{2}+\left({\frac {\Gamma }{2}}\right)^{2}}}.}$$

Donde la susceptibilidad vincula la amplitud del oscilador con la fuerza impulsora en el espacio de frecuencia: ^[27] ${\displaystyle \chi (\omega )}$

$${\displaystyle x(\omega )=\chi (\omega )F(\omega )}$$

La intensidad se define como el cuadrado de la amplitud de las oscilaciones. Esta es una función de Lorentz , o distribución de Cauchy , y esta respuesta se encuentra en muchas situaciones físicas que involucran sistemas resonantes. Γ es un parámetro que depende de la amortiguación del oscilador y se conoce como ancho de línea de la resonancia. Los osciladores muy amortiguados tienden a tener anchos de línea amplios y responden a una gama más amplia de frecuencias de conducción alrededor de la frecuencia resonante. El ancho de línea es inversamente proporcional al factor Q , que es una medida de la nitidez de la resonancia.

En ingeniería de radio e ingeniería electrónica , esta respuesta simétrica aproximada se conoce como curva de resonancia universal , un concepto introducido por Frederick E. Terman en 1932 para simplificar el análisis aproximado de circuitos de radio con un rango de frecuencias centrales y valores Q. ^{[28] [29]}

Ver también

• Portal de electrónica
• Portal de física

• Cimática
• Movimiento armónico impulsado
• Ingeniería Sísmica
• Resonancia de espín dipolar eléctrico
• formante
• resonancia límbica
• resonancia no lineal
• Modo normal
• Retroalimentación positiva
• resonancia schumann
• Movimiento armónico simple
• resonancia estocástica
• cuerda simpática

Notas

1. Ogata 2005, pag. 617.
2. Ghatak 2005, pag. 6.10.
3. Taylor, John R. (22 de enero de 2023). Mecanica clasica . Libros de ciencias universitarias (publicado el 1 de marzo de 2003). pag. 187.
4. Halliday, Resnick y Walker 2005, pág. 324.
5. Hardt 2004.
6. Halliday, Resnick y Walker 2005, pág. 432.
7. Halliday, Resnick y Walker 2005, págs. 431–432.
8. Serway y Faughn 1992, pág. 472.
9. Resonancia de cuerdas. Sonido y música digitales. 21 de mayo de 2014. ID del vídeo de YouTube: oZ38Y0K8e-Y . Consultado el 22 de agosto de 2020 .
10. Halliday, Resnick y Walker 2005, pág. 434.
11. Bartesaghi, Paolo (2023). "Notas sobre estados resonantes y sincronizados en redes complejas". Caos . 33 (3): 033120. arXiv : 2207.11507 . Código Bib :2023Caos..33c3120B. doi : 10.1063/5.0134285. ISSN  1054-1500. PMID  37003810. S2CID  251040250.
12. Snyder y Farley 2011.
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16. "Factor Q, factor de calidad, cavidad, resonador, oscilador, estándares de frecuencia". Enciclopedia de Física y Tecnología Láser . Consultado el 1 de enero de 2021 .
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18. Smith, Alan (12 de abril de 1975). "¡El puente Broughton se está cayendo!". Noticias de la noche de Manchester .
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26. Siegman 1986, págs. 105-108.
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Referencias

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enlaces externos

• Las conferencias Feynman sobre física vol. Yo cap. 23: Resonancia
• Resonancia: un capítulo de un libro de texto en línea
• Greene, Brian , " Resonancia en cuerdas ". El universo elegante , NOVA ( PBS )
• Sección de hiperfísica sobre conceptos de resonancia.
• Resonancia versus resonante (uso de términos)
• Resonancia de madera y aire en un clavecín
• Subprograma de Java que demuestra resonancias en una cuerda cuando se varía la frecuencia de la fuerza impulsora
• Subprograma de Java que demuestra la aparición de resonancia cuando la frecuencia de conducción coincide con la frecuencia natural de un oscilador.
• Rotura de cristales con sonido, incluidas imágenes de alta velocidad de cristales rotos