En la teoría del control , un sistema lineal continuo invariante en el tiempo (LTI) es exponencialmente estable si y sólo si el sistema tiene valores propios (es decir, los polos de los sistemas de entrada a salida) con partes reales estrictamente negativas (es decir, en la mitad izquierda del plano complejo ). [1] Un sistema LTI de entrada a salida en tiempo discreto es exponencialmente estable si y sólo si los polos de su función de transferencia se encuentran estrictamente dentro del círculo unitario centrado en el origen del plano complejo. Los sistemas que no son LTI son exponencialmente estables si su convergencia está limitada por una caída exponencial . La estabilidad exponencial es una forma de estabilidad asintótica , válida para sistemas dinámicos más generales .
Un sistema LTI exponencialmente estable es aquel que no "explota" (es decir, no da una salida ilimitada) cuando se le da una entrada finita o una condición inicial distinta de cero. Además, si al sistema se le da una entrada fija y finita (es decir, un paso ), entonces cualquier oscilación resultante en la salida decaerá a una tasa exponencial , y la salida tenderá asintóticamente a un nuevo valor final en estado estacionario. Si, en cambio, se le da al sistema un impulso delta de Dirac como entrada, las oscilaciones inducidas desaparecerán y el sistema volverá a su valor anterior. Si las oscilaciones no desaparecen, o el sistema no regresa a su producción original cuando se aplica un impulso, el sistema es marginalmente estable .
El gráfico de la derecha muestra la respuesta al impulso de dos sistemas similares. La curva verde es la respuesta del sistema con respuesta impulso , mientras que la azul representa el sistema . Aunque una respuesta es oscilatoria, ambas vuelven al valor original de 0 con el tiempo.
Imagínese poner una canica en un cucharón. Se asentará en el punto más bajo del cucharón y, a menos que lo molesten, permanecerá allí. Ahora imagina darle un empujón a la pelota, que es una aproximación a un impulso delta de Dirac . La canica rodará hacia adelante y hacia atrás pero eventualmente se reasentará en el fondo del cucharón. Dibujar la posición horizontal de la canica a lo largo del tiempo daría una sinusoide que disminuye gradualmente, similar a la curva azul en la imagen de arriba.
A step input in this case requires supporting the marble away from the bottom of the ladle, so that it cannot roll back. It will stay in the same position and will not, as would be the case if the system were only marginally stable or entirely unstable, continue to move away from the bottom of the ladle under this constant force equal to its weight.
It is important to note that in this example the system is not stable for all inputs. Give the marble a big enough push, and it will fall out of the ladle and fall, stopping only when it reaches the floor. For some systems, therefore, it is proper to state that a system is exponentially stable over a certain range of inputs.
