Clase de equivalencia

Concepto matemático

La congruencia es un ejemplo de una relación de equivalencia. Los dos triángulos más a la izquierda son congruentes, mientras que el tercero y el cuarto triángulos no son congruentes con ningún otro triángulo mostrado aquí. Por lo tanto, los dos primeros triángulos están en la misma clase de equivalencia, mientras que el tercero y el cuarto triángulos están cada uno en su propia clase de equivalencia.

En matemáticas , cuando los elementos de un conjunto tienen una noción de equivalencia (formalizada como una relación de equivalencia ), entonces se puede dividir naturalmente el conjunto en clases de equivalencia . Estas clases de equivalencia se construyen de modo que los elementos y pertenezcan a la misma clase de equivalencia si, y solo si , son equivalentes. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Formalmente, dado un conjunto y una relación de equivalencia sobre la clase de equivalencia de un elemento en se denota o, equivalentemente, para enfatizar su relación de equivalencia La definición de relaciones de equivalencia implica que las clases de equivalencia forman una partición de significado, que cada elemento del conjunto pertenece exactamente a una clase de equivalencia. El conjunto de las clases de equivalencia a veces se denomina conjunto cociente o espacio cociente de por y se denota por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle [a]_{\sim }}$ ${\displaystyle \sim .}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle S/{\sim }.}$

Cuando el conjunto tiene alguna estructura (como una operación de grupo o una topología ) y la relación de equivalencia es compatible con esta estructura, el conjunto cociente suele heredar una estructura similar de su conjunto padre. Algunos ejemplos son los espacios cocientes en álgebra lineal , los espacios cocientes en topología , los grupos cocientes , los espacios homogéneos , los anillos cocientes , los monoides cocientes y las categorías cocientes . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$

Definición y notación

Una relación de equivalencia en un conjunto es una relación binaria que satisface las tres propiedades: ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle a\sim a}$para todos ( reflexividad ), ${\displaystyle a\in X}$
• ${\displaystyle a\sim b}$implica para toda ( simetría ), ${\displaystyle b\sim a}$ ${\displaystyle a,b\in X}$
• si y entonces para todo ( transitividad ). ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle b\sim c}$ ${\displaystyle a\sim c}$ ${\displaystyle a,b,c\in X}$

La clase de equivalencia de un elemento se define como ^[2] ${\displaystyle a}$

${\displaystyle [a]=\{x\in X:a\sim x\}.}$

La palabra "clase" en el término "clase de equivalencia" puede considerarse generalmente como sinónimo de " conjunto ", aunque algunas clases de equivalencia no son conjuntos sino clases propias . Por ejemplo, "ser isomorfo " es una relación de equivalencia sobre grupos , y las clases de equivalencia, llamadas clases de isomorfismo , no son conjuntos.

El conjunto de todas las clases de equivalencia con respecto a una relación de equivalencia se denota como y se llama módulo (o el ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X/R,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$conjunto cociente depor).^[3]Lafunción sobreyectivadesobrela que asigna cada elemento a su clase de equivalencia, se denomina ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\mapsto [x]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/R,}$sobreyección canónica , oproyección canónica.

Cada elemento de una clase de equivalencia caracteriza a la clase y puede utilizarse para representarla . Cuando se elige un elemento de este tipo, se le denomina representante de la clase. La elección de un representante en cada clase define una inyección de a X . Dado que su composición con la sobreyección canónica es la identidad de dicha inyección se denomina sección , al utilizar la terminología de la teoría de categorías . ${\displaystyle X/R}$ ${\displaystyle X/R,}$

A veces, hay una sección que es más "natural" que las otras. En este caso, los representantes se llaman representantes canónicos . Por ejemplo, en aritmética modular , para cada entero m mayor que 1 , la congruencia módulo m es una relación de equivalencia sobre los enteros, para la cual dos enteros a y b son equivalentes—en este caso, se dice congruente — si m divide esto se denota Cada clase contiene un único entero no negativo menor que y estos enteros son los representantes canónicos. ${\displaystyle a-b;}$ ${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$ ${\displaystyle m,}$

El uso de representantes para representar clases permite evitar considerar explícitamente las clases como conjuntos. En este caso, la sobreyección canónica que asigna un elemento a su clase se reemplaza por la función que asigna un elemento al representante de su clase. En el ejemplo anterior, esta función se denota y produce el resto de la división euclidiana de a por m . ${\displaystyle a{\bmod {m}},}$

Propiedades

Cada elemento de es un miembro de la clase de equivalencia Cada dos clases de equivalencia y son iguales o disjuntas . Por lo tanto, el conjunto de todas las clases de equivalencia de forma una partición de : cada elemento de pertenece a una y solo una clase de equivalencia. ^[4] A la inversa, cada partición de proviene de una relación de equivalencia de esta manera, según la cual si y solo si y pertenecen al mismo conjunto de la partición. ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [x].}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle [y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

De las propiedades de la sección anterior se deduce que si es una relación de equivalencia en un conjunto y y son dos elementos de las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle x\sim y}$
• ${\displaystyle [x]=[y]}$
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

Ejemplos

• Sea el conjunto de todos los rectángulos en un plano, y la relación de equivalencia "tiene la misma área que", entonces para cada número real positivo habrá una clase de equivalencia de todos los rectángulos que tienen área ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A.}$
• Consideremos la relación de equivalencia módulo 2 en el conjunto de los números enteros , tal que si y solo si su diferencia es un número par . Esta relación da lugar a exactamente dos clases de equivalencia: una clase consta de todos los números pares y la otra clase consta de todos los números impares. Utilizando corchetes alrededor de un miembro de la clase para denotar una clase de equivalencia bajo esta relación, y todos representan el mismo elemento de ^[2] ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle [7],[9],}$ ${\displaystyle [1]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /{\sim }.}$
• Sea el conjunto de pares ordenados de números enteros con distinto de cero y defina una relación de equivalencia en tal que si y solo si entonces la clase de equivalencia del par puede identificarse con el número racional y esta relación de equivalencia y sus clases de equivalencia pueden usarse para dar una definición formal del conjunto de números racionales. ^[7] La ​​misma construcción puede generalizarse al campo de fracciones de cualquier dominio integral . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$ ${\displaystyle ad=bc,}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a/b,}$
• Si consta de todas las líneas en, digamos, el plano euclidiano , y significa que y son líneas paralelas , entonces el conjunto de líneas que son paralelas entre sí forman una clase de equivalencia, siempre que una línea se considere paralela a sí misma . En esta situación, cada clase de equivalencia determina un punto en el infinito . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\sim M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$

Representación gráfica

Gráfica de un ejemplo de equivalencia con 7 clases

Un grafo no dirigido puede asociarse a cualquier relación simétrica en un conjunto donde los vértices son los elementos de y dos vértices y están unidos si y solo si Entre estos grafos están los grafos de relaciones de equivalencia. Estos grafos, llamados grafos de conglomerados , se caracterizan por ser los grafos tales que los componentes conectados son camarillas . ^[2] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s\sim t.}$

Invariantes

Si es una relación de equivalencia en y es una propiedad de elementos de tal que siempre que sea verdadero si es verdadero, entonces se dice que la propiedad es un invariante de o bien definido bajo la relación ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\sim y,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle \,\sim .}$

Un caso particular frecuente ocurre cuando es una función de a otro conjunto ; si siempre que entonces se dice que es invariante de clase bajo o simplemente invariante bajo Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de caracteres de los grupos finitos. Algunos autores usan "compatible con " o simplemente "respeta " en lugar de "invariante bajo ". ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle \,\sim .}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$

Cualquier función es invariante de clase según la cual si y solo si La clase de equivalencia de es el conjunto de todos los elementos en los que se asigna , es decir, la clase es la imagen inversa de Esta relación de equivalencia se conoce como el núcleo de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle f.}$

En términos más generales, una función puede asignar argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia en ) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia en ). Una función de este tipo es un morfismo de conjuntos equipados con una relación de equivalencia. ${\displaystyle \sim _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim _{Y}}$ ${\displaystyle Y}$

Espacio cociente en topología

En topología , un espacio cociente es un espacio topológico formado sobre el conjunto de clases de equivalencia de una relación de equivalencia en un espacio topológico, utilizando la topología del espacio original para crear la topología en el conjunto de clases de equivalencia.

En álgebra abstracta , las relaciones de congruencia en el conjunto subyacente de un álgebra permiten que el álgebra induzca un álgebra en las clases de equivalencia de la relación, llamada álgebra cociente . En álgebra lineal , un espacio cociente es un espacio vectorial formado al tomar un grupo cociente , donde el homomorfismo cociente es una función lineal . Por extensión, en álgebra abstracta, el término espacio cociente puede usarse para módulos cocientes , anillos cocientes , grupos cocientes o cualquier álgebra cociente. Sin embargo, el uso del término para los casos más generales puede ser, con la misma frecuencia, por analogía con las órbitas de una acción de grupo.

Las órbitas de una acción de grupo sobre un conjunto pueden llamarse espacio cociente de la acción sobre el conjunto, en particular cuando las órbitas de la acción de grupo son las clases laterales derechas de un subgrupo de un grupo, que surgen de la acción del subgrupo sobre el grupo por traslaciones izquierdas, o respectivamente las clases laterales izquierdas como órbitas bajo traslación derecha.

Un subgrupo normal de un grupo topológico, que actúa sobre el grupo mediante una acción de traducción, es un espacio cociente en los sentidos de topología, álgebra abstracta y acciones de grupo simultáneamente.

Aunque el término puede utilizarse para cualquier conjunto de clases de equivalencia de una relación de equivalencia, posiblemente con una estructura adicional, la intención de utilizar el término es generalmente comparar ese tipo de relación de equivalencia en un conjunto con una relación de equivalencia que induce alguna estructura en el conjunto de clases de equivalencia a partir de una estructura del mismo tipo en las órbitas de una acción de grupo o hacia ellas. Tanto el sentido de una estructura preservada por una relación de equivalencia como el estudio de invariantes bajo acciones de grupo conducen a la definición de invariantes de relaciones de equivalencia dada anteriormente. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$

Véase también

• Partición de equivalencia , un método para diseñar conjuntos de pruebas en pruebas de software basado en dividir las posibles entradas del programa en clases de equivalencia según el comportamiento del programa en esas entradas.
• Espacio homogéneo , espacio cociente de grupos de Lie
• Relación de equivalencia parcial  : concepto matemático para comparar objetos
• Cociente por una relación de equivalencia  – Generalización de clases de equivalencia a la teoría de esquemas
• Setoide  – Construcción matemática de un conjunto con una relación de equivalencia
• Transversal (combinatoria)  – Conjunto que interseca a cada uno de una familia de conjuntos

Notas

1. Devlin 2004, pág. 122.
2. Devlin 2004, pág. 123.
3. Wolf 1998, pág. 178
4. Maddox 2002, pág. 74, Teoría 2.5.15
5. Avelsgaard 1989, pág. 132, Teoría 3.16
6. Avelsgaard 1989, pág. 127
7. Maddox 2002, págs. 77-78

Referencias

• Avelsgaard, Carol (1989), Fundamentos de matemáticas avanzadas , Scott Foresman, ISBN 0-673-38152-8
• Devlin, Keith (2004), Conjuntos, funciones y lógica: una introducción a las matemáticas abstractas (3.ª ed.), Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-449-1
• Maddox, Randall B. (2002), Pensamiento y escritura matemática , Harcourt/ Academic Press, ISBN 0-12-464976-9
• Wolf, Robert S. (1998), Prueba, lógica y conjetura: la caja de herramientas de un matemático , Freeman, ISBN 978-0-7167-3050-7

Lectura adicional

• Sundstrom (2003), Razonamiento matemático: escritura y demostración , Prentice-Hall
• Smith; Eggen; St.Andre (2006), Una transición a las matemáticas avanzadas (6.ª ed.), Thomson (Brooks/Cole)
• Schumacher, Carol (1996), Capítulo cero: nociones fundamentales de matemáticas abstractas , Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
• O'Leary (2003), La estructura de la prueba: con lógica y teoría de conjuntos , Prentice-Hall
• Lay (2001), Análisis con una introducción a la prueba , Prentice Hall
• Morash, Ronald P. (1987), Un puente hacia las matemáticas abstractas , Random House, ISBN 0-394-35429-X
• Gilbert; Vanstone (2005), Introducción al pensamiento matemático , Pearson Prentice-Hall
• Fletcher; Patty, Fundamentos de matemáticas superiores , PWS-Kent
• Iglewicz; Stoyle, Introducción al razonamiento matemático , MacMillan
• D'Angelo; West (2000), Pensamiento matemático: resolución de problemas y demostraciones , Prentice Hall
• Cupillari , Los detalles de las pruebas , Wadsworth
• Introducción a las matemáticas abstractas , Brooks/Cole
• Barnier; Feldman (2000), Introducción a las matemáticas avanzadas , Prentice Hall
• Ash, Una introducción a las matemáticas abstractas , MAA

Enlaces externos

• Medios relacionados con Clases de equivalencia en Wikimedia Commons