Espacio cociente (álgebra lineal)

Espacio vectorial formado por subconjuntos afines

En álgebra lineal , el cociente de un espacio vectorial por un subespacio es un espacio vectorial obtenido por "colapsado" a cero. El espacio obtenido se denomina espacio cociente y se denota (se lee " mod " o " by "). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$

Definición

Formalmente, la construcción es la siguiente. ^[1] Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo , y sea un subespacio de . Definimos una relación de equivalencia en afirmando que si y solo si . Es decir, está relacionado con si y solo si uno puede obtenerse del otro añadiendo un elemento de . Esta definición implica que cualquier elemento de está relacionado con el vector cero; más precisamente, todos los vectores en se mapean en la clase de equivalencia del vector cero. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y\in N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

La clase de equivalencia –o, en este caso, la clase lateral– de se define como ${\displaystyle x}$

${\displaystyle [x]:=\{x+n:n\in N\}}$

y a menudo se denota utilizando la abreviatura . ${\displaystyle [x]=x+N}$

El espacio cociente se define entonces como , el conjunto de todas las clases de equivalencia inducidas por en . La multiplicación y la suma escalares se definen en las clases de equivalencia por ^{[2] [3]} ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V/_{\sim }}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle V}$

• ${\displaystyle \alpha [x]=[\alpha x]}$para todos , y ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$
• ${\displaystyle [x]+[y]=[x+y]}$.

No es difícil comprobar que estas operaciones están bien definidas (es decir, no dependen de la elección de representantes ). Estas operaciones convierten el espacio cociente en un espacio vectorial sobre siendo la clase cero, . ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [0]}$

La función que se asocia a la clase de equivalencia se conoce como función de cociente . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle [v]}$

En otras palabras, el espacio cociente es el conjunto de todos los subconjuntos afines de los cuales son paralelos a . ^[4] ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$

Ejemplos

Líneas en el plano cartesiano

Sea X = R ² el plano cartesiano estándar y sea Y una línea que pasa por el origen en X. Entonces, el espacio cociente X / Y puede identificarse con el espacio de todas las líneas en X que son paralelas a Y. Es decir, los elementos del conjunto X / Y son líneas en X paralelas a Y. Nótese que los puntos a lo largo de cualquiera de esas líneas satisfarán la relación de equivalencia porque sus vectores de diferencia pertenecen a Y. Esto proporciona una forma de visualizar los espacios cocientes geométricamente. (Al volver a parametrizar estas líneas, el espacio cociente puede representarse de manera más convencional como el espacio de todos los puntos a lo largo de una línea que pasa por el origen y que no es paralela a Y. De manera similar, el espacio cociente para R ³ por una línea que pasa por el origen puede representarse nuevamente como el conjunto de todas las líneas coparalelas o, alternativamente, puede representarse como el espacio vectorial que consiste en un plano que solo interseca la línea en el origen).

Subespacios del espacio cartesiano

Otro ejemplo es el cociente de R ⁿ por el subespacio generado por los primeros m vectores base estándar . El espacio R ⁿ consiste en todas las n -tuplas de números reales ( x ₁ , ..., x _n ) . El subespacio, identificado con R ^m , consiste en todas las n -tuplas tales que las últimas n − m entradas son cero: ( x ₁ , ..., x _m , 0, 0, ..., 0) . Dos vectores de R ⁿ están en la misma clase de equivalencia módulo el subespacio si y solo si son idénticos en las últimas n − m coordenadas. El espacio cociente R ⁿ / R ^m es isomorfo a R ^{n − m} de manera obvia.

Espacio vectorial polinomial

Sea el espacio vectorial de todos los polinomios cúbicos sobre los números reales. Entonces es un espacio cociente, donde cada elemento es el conjunto correspondiente a los polinomios que difieren solo en un término cuadrático. Por ejemplo, un elemento del espacio cociente es , mientras que otro elemento del espacio cociente es . ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )/\langle x^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \{x^{3}+ax^{2}-2x+3:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \{ax^{2}+2.7x:a\in \mathbb {R} \}}$

Subespacios generales

De manera más general, si V es una suma directa (interna) de los subespacios U y W,

${\displaystyle V=U\oplus W}$

entonces el espacio cociente V / U es naturalmente isomorfo a W. ^[5 ]

Integrales de Lebesgue

Un ejemplo importante de un espacio cociente funcional es un espacio L p .

Propiedades

Existe un epimorfismo natural de V al espacio cociente V / U dado al enviar x a su clase de equivalencia [ x ]. El núcleo (o espacio nulo) de este epimorfismo es el subespacio U . Esta relación se resume claramente en la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to U\to V\to V/U\to 0.\,}$

Si U es un subespacio de V , la dimensión de V / U se denomina codimensión de U en V . Como una base de V puede construirse a partir de una base A de U y una base B de V / U añadiendo un representante de cada elemento de B a A , la dimensión de V es la suma de las dimensiones de U y V / U . Si V es de dimensión finita , se deduce que la codimensión de U en V es la diferencia entre las dimensiones de V y U : ^{[6] [7]}

${\displaystyle \mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).}$

Sea T  : V → W un operador lineal . El núcleo de T , denotado ker( T ), es el conjunto de todos los x en V tales que Tx = 0. El núcleo es un subespacio de V . El primer teorema de isomorfismo para espacios vectoriales dice que el espacio cociente V /ker( T ) es isomorfo a la imagen de V en W . Un corolario inmediato , para espacios de dimensión finita, es el teorema de rango-nulidad : la dimensión de V es igual a la dimensión del núcleo (la nulidad de T ) más la dimensión de la imagen (el rango de T ).

El co-núcleo de un operador lineal T  : V → W se define como el espacio cociente W /im( T ).

Cociente de un espacio de Banach por un subespacio

Si X es un espacio de Banach y M es un subespacio cerrado de X , entonces el cociente X / M es nuevamente un espacio de Banach. El espacio cociente ya está dotado de una estructura de espacio vectorial por la construcción de la sección anterior. Definimos una norma en X / M por

${\displaystyle \|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}=\inf _{m\in M}\|x+m\|_{X}=\inf _{y\in [x]}\|y\|_{X}.}$

Ejemplos

Sea C [0,1] el espacio de Banach de funciones continuas de valor real en el intervalo [0,1] con la norma sup . Denotemos el subespacio de todas las funciones f ∈ C [0,1] con f (0) = 0 por M . Entonces la clase de equivalencia de alguna función g está determinada por su valor en 0, y el espacio cociente C [0,1]/ M es isomorfo a R .

Si X es un espacio de Hilbert , entonces el espacio cociente X / M es isomorfo al complemento ortogonal de M.

Generalización a espacios localmente convexos

El cociente de un espacio localmente convexo por un subespacio cerrado es nuevamente localmente convexo. ^[8] De hecho, supongamos que X es localmente convexo de modo que la topología en X se genera por una familia de seminormas { p _α  | α ∈  A } donde A es un conjunto índice. Sea M un subespacio cerrado y definamos las seminormas q _α en X / M por

${\displaystyle q_{\alpha }([x])=\inf _{v\in [x]}p_{\alpha }(v).}$

Entonces X / M es un espacio localmente convexo, y la topología en él es la topología cociente .

Si, además, X es metrizable , entonces también lo es X / M . Si X es un espacio de Fréchet , entonces también lo es X / M . ^[9]

Véase también

• Grupo de cocientes
• Módulo de cociente
• Conjunto cociente
• Espacio cociente (topología)

Referencias

1. Halmos (1974) págs. 33-34 §§ 21-22
2. Katznelson y Katznelson (2008) pág. 9 § 1.2.4
3. Roman (2005) pág. 75-76, cap. 3
4. Axler (2015) pág. 95, § 3.83
5. Halmos (1974) pág. 34, § 22, Teorema 1
6. Axler (2015) pág. 97, § 3.89
7. Halmos (1974) pág. 34, § 22, Teorema 2
8. Dieudonné (1976) pág. 65, § 12.14.8
9. Dieudonné (1976) pág. 54, § 12.11.3

Fuentes

• Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha . Textos de pregrado en matemáticas (3.ª ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Dieudonné, Jean (1976), Tratado de análisis , vol. 2, Prensa académica , ISBN 978-0122155024
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensión finita . Textos de pregrado en matemáticas (2.ª ed.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Roman, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada . Textos de posgrado en matemáticas (2.ª ed.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.