Teoría de Kaluza-Klein

Teoría del campo unificado

En física , la teoría de Kaluza-Klein ( teoría KK ) es una teoría clásica de campo unificado de la gravitación y el electromagnetismo construida alrededor de la idea de una quinta dimensión más allá de las 4D comunes del espacio y el tiempo y considerada un precursor importante de la teoría de cuerdas . En su configuración, el vacío tiene las 3 dimensiones habituales del espacio y una dimensión del tiempo pero con otra dimensión espacial extra microscópica en forma de un pequeño círculo. Gunnar Nordström tuvo una idea similar anterior. Pero en ese caso, se agregó un quinto componente al potencial vectorial electromagnético, que representa el potencial gravitatorio newtoniano y escribe las ecuaciones de Maxwell en cinco dimensiones. ^[1]

La teoría de cinco dimensiones (5D) se desarrolló en tres pasos. La hipótesis original provino de Theodor Kaluza , quien envió sus resultados a Einstein en 1919 ^[2] y los publicó en 1921. ^[3] Kaluza presentó una extensión puramente clásica de la relatividad general a 5D, con un tensor métrico de 15 componentes. Diez componentes se identifican con la métrica del espacio-tiempo 4D, cuatro componentes con el potencial vectorial electromagnético y un componente con un campo escalar no identificado a veces llamado " radión " o "dilatón". En consecuencia, las ecuaciones de Einstein 5D producen las ecuaciones de campo de Einstein 4D , las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético y una ecuación para el campo escalar. Kaluza también introdujo la hipótesis de la "condición del cilindro", según la cual ningún componente de la métrica de cinco dimensiones depende de la quinta dimensión. Sin esta restricción, se introducen términos que implican derivadas de los campos con respecto a la quinta coordenada, y este grado adicional de libertad hace que las matemáticas de la relatividad 5D totalmente variable sean enormemente complejas. La física 4D estándar parece manifestar esta "condición de cilindro" y, junto con ella, matemáticas más simples.

En 1926, Oskar Klein dio a la teoría clásica de cinco dimensiones de Kaluza una interpretación cuántica ^{[4] [5]} para que coincidiera con los descubrimientos entonces recientes de Heisenberg y Schrödinger. Klein introdujo la hipótesis de que la quinta dimensión estaba enrollada y era microscópica para explicar la condición del cilindro. Klein sugirió que la geometría de la quinta dimensión adicional podría tomar la forma de un círculo, con el radio de10 ⁻³⁰  cm . Más precisamente, el radio de la dimensión circular es 23 veces la longitud de Planck, que a su vez es del orden de10 ⁻³³  cm . ^[5] Klein también hizo una contribución a la teoría clásica al proporcionar una métrica 5D correctamente normalizada. ^[4] El trabajo sobre la teoría de campos de Kaluza continuó durante la década de 1930 por parte de Einstein y sus colegas en Princeton.

En la década de 1940, se completó la teoría clásica y las ecuaciones de campo completas, incluido el campo escalar, fueron obtenidas por tres grupos de investigación independientes: ^[6] Thiry, ^{[7] [8] [9]} trabajando en Francia en su disertación bajo la dirección de Lichnerowicz; Jordan, Ludwig y Müller en Alemania, ^{[10] [11] [12] [13] [14]} con aportes críticos de Pauli y Fierz; y Scherrer ^{[15] [16] [17]} trabajando solo en Suiza. El trabajo de Jordan condujo a la teoría escalar-tensor de Brans-Dicke ; ^[18] Brans y Dicke aparentemente desconocían a Thiry o Scherrer. Las ecuaciones completas de Kaluza bajo la condición del cilindro son bastante complejas y la mayoría de las revisiones en inglés, así como las traducciones al inglés de Thiry, contienen algunos errores. Los tensores de curvatura para las ecuaciones de Kaluza completas se evaluaron utilizando un software de álgebra tensorial en 2015, ^[19] verificando los resultados de Ferrari ^[20] y Coquereaux & Esposito-Farese. ^[21] Williams trata la forma covariante 5D de los términos de fuente de energía-momento. ^[22]

Hipótesis de Kaluza

En su artículo de 1921, ^[3] Kaluza estableció todos los elementos de la teoría clásica de cinco dimensiones: la métrica, las ecuaciones de campo, las ecuaciones de movimiento, el tensor de tensión-energía y la condición del cilindro. Sin parámetros libres , simplemente extiende la relatividad general a cinco dimensiones. Se comienza planteando la hipótesis de una forma de la métrica de cinco dimensiones , donde los índices latinos abarcan cinco dimensiones. También se introduce la métrica del espacio-tiempo de cuatro dimensiones , donde los índices griegos abarcan las cuatro dimensiones habituales del espacio y el tiempo; un 4-vector identificado con el potencial vectorial electromagnético; y un campo escalar . Luego se descompone la métrica 5D de modo que la métrica 4D esté enmarcada por el potencial vectorial electromagnético, con el campo escalar en la quinta diagonal. Esto se puede visualizar como ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^{2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}.}$

Se puede escribir con más precisión

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{5\nu }\equiv {\widetilde {g}}_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{55}\equiv \phi ^{2},}$

donde el índice indica la quinta coordenada por convención, aunque las primeras cuatro coordenadas están indexadas con 0, 1, 2 y 3. La métrica inversa asociada es ${\displaystyle 5}$

${\displaystyle {\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{\frac {1}{\phi ^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

Esta descomposición es bastante general y todos los términos son adimensionales. Kaluza luego aplica la maquinaria de la relatividad general estándar a esta métrica. Las ecuaciones de campo se obtienen a partir de las ecuaciones de Einstein de cinco dimensiones y las ecuaciones de movimiento de la hipótesis geodésica de cinco dimensiones. Las ecuaciones de campo resultantes proporcionan tanto las ecuaciones de la relatividad general como de la electrodinámica; las ecuaciones de movimiento proporcionan la ecuación geodésica de cuatro dimensiones y la ley de fuerza de Lorentz , y se encuentra que la carga eléctrica se identifica con el movimiento en la quinta dimensión.

La hipótesis para la métrica implica un elemento de longitud de cinco dimensiones invariante : ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }+\phi ^{2}(A_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.}$

Ecuaciones de campo a partir de la hipótesis de Kaluza

Las ecuaciones de campo de la teoría de cinco dimensiones nunca fueron proporcionadas adecuadamente por Kaluza o Klein porque ignoraron el campo escalar . Las ecuaciones de campo de Kaluza completas generalmente se atribuyen a Thiry, ^[8] quien obtuvo ecuaciones de campo de vacío, aunque Kaluza ^[3] proporcionó originalmente un tensor de tensión-energía para su teoría, y Thiry incluyó un tensor de tensión-energía en su tesis. Pero como lo describe Gonner, ^[6] varios grupos independientes trabajaron en las ecuaciones de campo en la década de 1940 y antes. Thiry es quizás más conocido solo porque Applequist, Chodos y Freund proporcionaron una traducción al inglés en su libro de revisión. ^[23] Applequist et al. también proporcionaron una traducción al inglés del artículo de Kaluza. Las traducciones de los tres artículos de Jordan (1946, 1947, 1948) se pueden encontrar en los archivos de ResearchGate y Academia.edu . ^{[10] [11] [13]} Las primeras ecuaciones de campo de Kaluza correctas en inglés, incluido el campo escalar, fueron proporcionadas por Williams. ^[19]

Para obtener las ecuaciones de campo 5D, las conexiones 5D se calculan a partir de la métrica 5D , y el tensor de Ricci 5D se calcula a partir de las conexiones 5D . ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

Los resultados clásicos de Thiry y otros autores presuponen la condición de cilindro:

${\displaystyle {\frac {\partial {\widetilde {g}}_{ab}}{\partial x^{5}}}=0.}$

Sin esta suposición, las ecuaciones de campo se vuelven mucho más complejas, proporcionando muchos más grados de libertad que pueden identificarse con varios campos nuevos. Paul Wesson y sus colegas han buscado la relajación de la condición del cilindro para obtener términos adicionales que puedan identificarse con los campos de materia, ^[24] para lo cual Kaluza ^[3] insertó un tensor de tensión-energía a mano.

Se ha objetado a la hipótesis original de Kaluza invocar la quinta dimensión sólo para negar su dinámica. Pero Thiry argumentó ^[6] que la interpretación de la ley de fuerza de Lorentz en términos de una geodésica de cinco dimensiones milita fuertemente a favor de una quinta dimensión independientemente de la condición del cilindro. Por lo tanto, la mayoría de los autores han empleado la condición del cilindro para derivar las ecuaciones de campo. Además, las ecuaciones de vacío se suponen típicamente para las cuales

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0,}$

dónde

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}}$

y

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{ad}(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}).}$

Las ecuaciones de campo de vacío obtenidas de esta manera por Thiry ^[8] y el grupo de Jordan ^{[10] [11] [13]} son ​​las siguientes.

La ecuación de campo para se obtiene de ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={\frac {1}{4}}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta },}$

donde y es una derivada covariante estándar 4D . Muestra que el campo electromagnético es una fuente para el campo escalar . Nótese que el campo escalar no puede establecerse en una constante sin restringir el campo electromagnético. Los tratamientos anteriores de Kaluza y Klein no tenían una descripción adecuada del campo escalar y no se dieron cuenta de la restricción implícita en el campo electromagnético al suponer que el campo escalar es constante. ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },}$ ${\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu },}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$

La ecuación de campo para se obtiene de ${\displaystyle A^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={\frac {1}{2}}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }(\phi ^{3}F_{\alpha \beta }).}$

Tiene la forma de las ecuaciones de Maxwell del vacío si el campo escalar es constante.

La ecuación de campo para el tensor de Ricci 4D se obtiene de ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R}}&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R&={\frac {1}{2}}\phi ^{2}\left(g^{\alpha \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right)+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi ),\end{aligned}}}$

¿Dónde está el escalar de Ricci 4D estándar? ${\displaystyle R}$

Esta ecuación muestra el notable resultado, llamado el "milagro de Kaluza", de que la forma precisa del tensor de energía-tensión electromagnética surge de las ecuaciones de vacío 5D como una fuente en las ecuaciones 4D: campo del vacío. Esta relación permite la identificación definitiva de con el potencial vectorial electromagnético. Por lo tanto, el campo necesita ser reescalado con una constante de conversión tal que . ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A^{\mu }\to kA^{\mu }}$

La relación anterior muestra que debemos tener

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}={\frac {2G}{c^{2}}}4\pi \epsilon _{0},}$

donde es la constante gravitacional , y es la permeabilidad del espacio libre . En la teoría de Kaluza, la constante gravitacional puede entenderse como una constante de acoplamiento electromagnético en la métrica. También hay un tensor de tensión-energía para el campo escalar. El campo escalar se comporta como una constante gravitacional variable, en términos de modular el acoplamiento de la tensión-energía electromagnética a la curvatura del espacio-tiempo. El signo de en la métrica se fija por correspondencia con la teoría 4D de modo que las densidades de energía electromagnética son positivas. A menudo se supone que la quinta coordenada es espacial en su firma en la métrica. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \phi ^{2}}$

En presencia de materia, no se puede asumir la condición de vacío 5D. De hecho, Kaluza no la supuso. Las ecuaciones de campo completas requieren la evaluación del tensor de Einstein 5D.

${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R}},}$

como se ve en la recuperación del tensor de energía-estrés electromagnético anterior. Los tensores de curvatura 5D son complejos y la mayoría de las revisiones en inglés contienen errores en o , al igual que la traducción al inglés de Thiry. ^[8] Consulte Williams ^[19] para obtener un conjunto completo de tensores de curvatura 5D bajo la condición del cilindro, evaluados utilizando software de álgebra tensorial. ${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}}$ ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

Ecuaciones de movimiento a partir de la hipótesis de Kaluza

Las ecuaciones de movimiento se obtienen a partir de la hipótesis geodésica de cinco dimensiones ^[3] en términos de una 5-velocidad : ${\displaystyle {\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={\frac {d{\widetilde {U}}^{a}}{ds}}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0.}$

Esta ecuación se puede reformular de varias maneras y ha sido estudiada en varias formas por autores como Kaluza, ^[3] Pauli, ^[25] Gross & Perry, ^[26] Gegenberg & Kunstatter, ^[27] y Wesson & Ponce de Leon, ^[28] pero es instructivo convertirla nuevamente al elemento de longitud de 4 dimensiones habitual , que está relacionado con el elemento de longitud de 5 dimensiones como se indica arriba: ${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$ ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}+\phi ^{2}(kA_{\nu }\,dx^{\nu }+dx^{5})^{2}.}$

Luego, la ecuación geodésica 5D se puede escribir ^[29] para los componentes del espacio-tiempo de la 4-velocidad:

${\displaystyle U^{\nu }\equiv {\frac {dx^{\nu }}{d\tau }},}$

${\displaystyle {\frac {dU^{\nu }}{d\tau }}+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }(U^{5})^{2}+U^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\ln {\frac {c\,d\tau }{ds}}=0.}$

El término cuadrático proporciona la ecuación geodésica 4D más algunos términos electromagnéticos: ${\displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{\beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

El término lineal proporciona la ley de fuerza de Lorentz : ${\displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}(F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}).}$

Esta es otra expresión del "milagro de Kaluza". La misma hipótesis para la métrica 5D que proporciona la energía-estrés electromagnético en las ecuaciones de Einstein, también proporciona la ley de fuerza de Lorentz en la ecuación de movimientos junto con la ecuación geodésica 4D. Sin embargo, la correspondencia con la ley de fuerza de Lorentz requiere que identifiquemos el componente de 5-velocidad a lo largo de la quinta dimensión con carga eléctrica:

${\displaystyle kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\to {\frac {q}{mc}},}$

donde es la masa de la partícula y es la carga eléctrica de la partícula. Por lo tanto, la carga eléctrica se entiende como movimiento a lo largo de la quinta dimensión. El hecho de que la ley de fuerza de Lorentz pudiera entenderse como una geodésica en cinco dimensiones fue para Kaluza una motivación primaria para considerar la hipótesis de cinco dimensiones, incluso en presencia de la condición estéticamente desagradable del cilindro. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$

Sin embargo, hay un problema: el término cuadrático en , ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}.}$

Si no hay gradiente en el campo escalar, el término cuadrático se anula. Pero en caso contrario, la expresión anterior implica ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle U^{5}\sim c{\frac {q/m}{G^{1/2}}}.}$

Para las partículas elementales, el término cuadrático debería dominar la ecuación, tal vez en contradicción con la experiencia. Esta fue la principal deficiencia de la teoría de cinco dimensiones tal como la vio Kaluza ^[3] , y la analiza en su artículo original. ^{[ Aclaración necesaria ]} ${\displaystyle U^{5}>10^{20}c}$ ${\displaystyle U^{5}}$

La ecuación de movimiento para es particularmente simple bajo la condición del cilindro. Comencemos con la forma alternativa de la ecuación geodésica, escrita para la 5-velocidad covariante: ${\displaystyle U^{5}}$

${\displaystyle {\frac {d{\widetilde {U}}_{a}}{ds}}={\frac {1}{2}}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{\frac {\partial {\widetilde {g}}_{bc}}{\partial x^{a}}}.}$

Esto significa que bajo la condición del cilindro, es una constante del movimiento de cinco dimensiones: ${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{\frac {c\,d\tau }{ds}}(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5})={\text{constant}}.}$

Hipótesis de Kaluza para el tensor de energía-tensión de la materia

Kaluza propuso ^{[3] un} tensor de tensión de materia de cinco dimensiones de la forma ${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}}$

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {\frac {dx^{a}}{ds}}{\frac {dx^{b}}{ds}},}$

donde es una densidad y el elemento de longitud es como se definió anteriormente. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle ds}$

Entonces, el componente espacio-temporal da un tensor de tensión-energía de "polvo" típico:

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}.}$

El componente mixto proporciona una fuente de 4 corrientes para las ecuaciones de Maxwell:

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{5}}{ds}}=\rho U^{\mu }{\frac {q}{kmc}}.}$

Así como la métrica de cinco dimensiones comprende la métrica de cuatro dimensiones enmarcada por el vector electromagnético potencial, el tensor de tensión-energía de cinco dimensiones comprende el tensor de tensión-energía de cuatro dimensiones enmarcado por el vector 4-corriente.

Interpretación cuántica de Klein

La hipótesis original de Kaluza se basaba puramente en los descubrimientos clásicos y ampliados de la relatividad general. En la época de la contribución de Klein, los descubrimientos de Heisenberg, Schrödinger y de Broglie estaban recibiendo mucha atención. El artículo de Klein en Nature ^[5] sugería que la quinta dimensión es cerrada y periódica, y que la identificación de la carga eléctrica con el movimiento en la quinta dimensión puede interpretarse como ondas estacionarias de longitud de onda , de forma muy similar a los electrones alrededor de un núcleo en el modelo de Bohr del átomo. La cuantificación de la carga eléctrica podría entonces entenderse perfectamente en términos de múltiplos enteros del momento de la quinta dimensión. Combinando el resultado anterior de Kaluza para en términos de carga eléctrica y una relación de De Broglie para el momento , Klein obtuvo ^[5] una expresión para el modo 0 de tales ondas: ${\displaystyle \lambda ^{5}}$ ${\displaystyle U^{5}}$ ${\displaystyle p^{5}=h/\lambda ^{5}}$

${\displaystyle mU^{5}={\frac {cq}{G^{1/2}}}={\frac {h}{\lambda ^{5}}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5}\sim {\frac {hG^{1/2}}{cq}},}$

donde es la constante de Planck . Klein encontró que  cm, y por lo tanto una explicación para la condición del cilindro en este pequeño valor. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lambda ^{5}\sim 10^{-30}}$

El artículo de Klein en la revista Zeitschrift für Physik del mismo año ^[4] ofreció un tratamiento más detallado que invocaba explícitamente las técnicas de Schrödinger y de Broglie. Recapituló gran parte de la teoría clásica de Kaluza descrita anteriormente y luego se adentró en la interpretación cuántica de Klein. Klein resolvió una ecuación de onda similar a la de Schrödinger utilizando una expansión en términos de ondas de quinta dimensión que resuenan en la quinta dimensión cerrada y compacta.

Interpretación de la teoría cuántica de campos

Interpretación de la teoría de grupos

El espacio M × C se compacta sobre el conjunto compacto C y, después de la descomposición de Kaluza-Klein, se tiene una teoría de campo efectiva sobre M.

En 1926, Oskar Klein propuso que la cuarta dimensión espacial está enrollada en un círculo de un radio muy pequeño , de modo que una partícula que se mueve una distancia corta a lo largo de ese eje regresaría al punto de partida. La distancia que una partícula puede recorrer antes de llegar a su posición inicial se denomina el tamaño de la dimensión. Esta dimensión adicional es un conjunto compacto , y la construcción de esta dimensión compacta se conoce como compactificación .

En la geometría moderna, la quinta dimensión adicional puede entenderse como el grupo circular U(1) , ya que el electromagnetismo puede formularse esencialmente como una teoría de calibración en un haz de fibras , el haz circular , con un grupo de calibración U(1). En la teoría de Kaluza-Klein, este grupo sugiere que la simetría de calibración es la simetría de dimensiones compactas circulares. Una vez que se entiende esta interpretación geométrica, es relativamente sencillo reemplazar U (1) por un grupo de Lie general . Tales generalizaciones a menudo se denominan teorías de Yang-Mills . Si se hace una distinción, entonces es que las teorías de Yang-Mills ocurren en un espacio-tiempo plano, mientras que Kaluza-Klein trata el caso más general del espacio-tiempo curvo. El espacio base de la teoría de Kaluza-Klein no necesita ser un espacio-tiempo de cuatro dimensiones; puede ser cualquier variedad ( pseudo- ) riemanniana , o incluso una variedad supersimétrica u orbifold o incluso un espacio no conmutativo .

La construcción puede resumirse, a grandes rasgos, de la siguiente manera. ^[30] Se comienza considerando un fibrado principal P con un grupo de calibración G sobre una variedad M. Dada una conexión en el fibrado, y una métrica en la variedad base, y una métrica invariante de calibración en la tangente de cada fibra, se puede construir una métrica de fibrado definida en todo el fibrado. Calculando la curvatura escalar de esta métrica de fibrado, se encuentra que es constante en cada fibra: este es el "milagro de Kaluza". No se tuvo que imponer explícitamente una condición de cilindro, o compactificar: por suposición, el grupo de calibración ya es compacto. A continuación, se toma esta curvatura escalar como la densidad lagrangiana y, a partir de esto, se construye la acción de Einstein-Hilbert para el fibrado, como un todo. Las ecuaciones de movimiento, las ecuaciones de Euler-Lagrange , se pueden obtener entonces considerando dónde la acción es estacionaria con respecto a las variaciones de la métrica en la variedad base o de la conexión de calibración. Las variaciones con respecto a la métrica base dan las ecuaciones de campo de Einstein en la variedad base, con el tensor de energía-momento dado por la curvatura ( intensidad de campo ) de la conexión de norma. Por otro lado, la acción es estacionaria frente a variaciones de la conexión de norma precisamente cuando la conexión de norma resuelve las ecuaciones de Yang-Mills . Así, al aplicar una única idea: el principio de mínima acción , a una única cantidad: la curvatura escalar en el fibrado (como un todo), se obtienen simultáneamente todas las ecuaciones de campo necesarias, tanto para el espacio-tiempo como para el campo de norma.

Como aproximación a la unificación de las fuerzas, es sencillo aplicar la teoría de Kaluza-Klein en un intento de unificar la gravedad con las fuerzas fuerte y electrodébil utilizando el grupo de simetría del Modelo Estándar , SU(3) × SU(2) × U(1) . Sin embargo, un intento de convertir esta interesante construcción geométrica en un modelo genuino de la realidad fracasa en una serie de cuestiones, incluido el hecho de que los fermiones deben introducirse de forma artificial (en modelos no supersimétricos). No obstante, KK sigue siendo una piedra de toque importante en la física teórica y a menudo se integra en teorías más sofisticadas. Se estudia por derecho propio como un objeto de interés geométrico en la teoría K.

Incluso en ausencia de un marco teórico de física completamente satisfactorio, la idea de explorar dimensiones extra, compactificadas, es de considerable interés en las comunidades de física experimental y astrofísica . Se puede hacer una variedad de predicciones, con consecuencias experimentales reales (en el caso de grandes dimensiones extra y modelos deformados ). Por ejemplo, en el más simple de los principios, uno podría esperar tener ondas estacionarias en la(s) dimensión(es) extra compactificada(s). Si una dimensión extra espacial es de radio R , la masa invariante de tales ondas estacionarias sería M _n = nh / Rc con n un entero , h siendo la constante de Planck y c la velocidad de la luz . Este conjunto de posibles valores de masa a menudo se llama la torre de Kaluza-Klein . De manera similar, en la teoría cuántica de campos térmicos, una compactificación de la dimensión de tiempo euclidiana conduce a las frecuencias de Matsubara y, por lo tanto, a un espectro de energía térmica discretizado.

Sin embargo, el enfoque de Klein para una teoría cuántica es defectuoso ^{[ cita requerida ]} y, por ejemplo, conduce a una masa de electrón calculada en el orden de magnitud de la masa de Planck . ^[31]

Entre los ejemplos de actividades experimentales se incluye el trabajo de la colaboración CDF , que ha vuelto a analizar los datos del colisionador de partículas en busca de la firma de los efectos asociados con grandes dimensiones adicionales/ modelos deformados . ^{[ cita requerida ]}

Brandenberger y Vafa han especulado que en el universo primitivo, la inflación cósmica provocó que tres de las dimensiones del espacio se expandieran hasta alcanzar un tamaño cosmológico, mientras que las dimensiones restantes del espacio permanecieron microscópicas. ^{[ cita requerida ]}

Teoría del espacio-tiempo-materia

Una variante particular de la teoría de Kaluza-Klein es la teoría del espacio-tiempo-materia o teoría de la materia inducida , promulgada principalmente por Paul Wesson y otros miembros del Consorcio Espacio-Tiempo-Materia. ^[32] En esta versión de la teoría, se observa que las soluciones a la ecuación

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

pueden reexpresarse de modo que en cuatro dimensiones, estas soluciones satisfagan las ecuaciones de Einstein.

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,}$

con la forma precisa de T _μν que se desprende de la condición plana de Ricci en el espacio de cinco dimensiones. En otras palabras, se abandona la condición cilíndrica del desarrollo anterior y la tensión-energía ahora proviene de las derivadas de la métrica de 5 dimensiones con respecto a la quinta coordenada. Debido a que normalmente se entiende que el tensor de energía-momento se debe a las concentraciones de materia en el espacio de cuatro dimensiones, el resultado anterior se interpreta como que dice que la materia de cuatro dimensiones se induce a partir de la geometría en el espacio de cinco dimensiones.

En particular, se puede demostrar que las soluciones de solitones de contienen la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker tanto en las formas dominadas por la radiación (universo temprano) como dominadas por la materia (universo posterior). Se puede demostrar que las ecuaciones generales son lo suficientemente consistentes con las pruebas clásicas de la relatividad general como para ser aceptables en principios físicos, al tiempo que dejan una libertad considerable para proporcionar también modelos cosmológicos interesantes . ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

Interpretación geométrica

La teoría de Kaluza-Klein tiene una presentación particularmente elegante en términos geométricos. En cierto sentido, se parece a la gravedad ordinaria en el espacio libre , excepto que está expresada en cinco dimensiones en lugar de cuatro.

Ecuaciones de Einstein

Las ecuaciones que gobiernan la gravedad ordinaria en el espacio libre pueden obtenerse a partir de una acción , aplicando el principio variacional a una determinada acción . Sea M una variedad ( pseudo- ) riemanniana , que puede tomarse como el espacio-tiempo de la relatividad general . Si g es la métrica de esta variedad, se define la acción S ( g ) como

${\displaystyle S(g)=\int _{M}R(g)\operatorname {vol} (g),}$

donde R ( g ) es la curvatura escalar y vol( g ) es el elemento de volumen . Aplicando el principio variacional a la acción

${\displaystyle {\frac {\delta S(g)}{\delta g}}=0,}$

Se obtienen precisamente las ecuaciones de Einstein para el espacio libre:

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0,}$

donde R _ij es el tensor de Ricci .

Ecuaciones de Maxwell

Por el contrario, las ecuaciones de Maxwell que describen el electromagnetismo pueden entenderse como las ecuaciones de Hodge de un fibrado U(1) principal o fibrado circular con fibra U(1) . Es decir, el campo electromagnético es una 2-forma armónica en el espacio de 2-formas diferenciables en la variedad . En ausencia de cargas y corrientes, las ecuaciones de Maxwell de campo libre son ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}(M)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {d} F=0\quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} {\star }F=0.}$

¿Dónde está el operador estrella de Hodge ? ${\displaystyle \star }$

Geometría de Kaluza-Klein

Para construir la teoría de Kaluza-Klein, se elige una métrica invariante en el círculo que es la fibra del fibrado U(1) del electromagnetismo. En este análisis, una métrica invariante es simplemente una que es invariante bajo rotaciones del círculo. Supongamos que esta métrica le da al círculo una longitud total . Luego se consideran métricas en el fibrado que son consistentes tanto con la métrica de la fibra como con la métrica en la variedad subyacente . Las condiciones de consistencia son: ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$

• La proyección del subespacio vertical debe coincidir con la métrica de la fibra sobre un punto de la variedad . ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Vert} _{p}P\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle M}$
• La proyección de al subespacio horizontal del espacio tangente en el punto debe ser isomorfa a la métrica en en . ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hor} _{p}P\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi (P)}$

La acción de Kaluza-Klein para dicha métrica está dada por

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\int _{P}R({\widehat {g}})\operatorname {vol} ({\widehat {g}}).}$

La curvatura escalar, escrita en componentes, luego se expande a

${\displaystyle R({\widehat {g}})=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}|F|^{2}\right),}$

¿Dónde está el retroceso de la proyección del haz de fibras ? La conexión en el haz de fibras está relacionada con la intensidad del campo electromagnético como ${\displaystyle \pi ^{*}}$ ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

El hecho de que siempre exista una conexión de este tipo, incluso para haces de fibras de topología arbitrariamente compleja, es un resultado de la homología y, específicamente, de la teoría K. Aplicando el teorema de Fubini e integrando sobre la fibra, se obtiene

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}|F|^{2}\right)\operatorname {vol} (g).}$

Variando la acción respecto del componente , se recuperan las ecuaciones de Maxwell. Aplicando el principio variacional a la métrica base , se obtienen las ecuaciones de Einstein ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}}$

con el tensor de tensión-energía dado por

${\displaystyle T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}|F|^{2},}$

A veces llamado tensor de tensión de Maxwell .

La teoría original se identifica con la métrica de la fibra y permite variar de fibra a fibra. En este caso, el acoplamiento entre la gravedad y el campo electromagnético no es constante, sino que tiene su propio campo dinámico, el radión . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle g_{55}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Generalizaciones

En lo anterior, el tamaño del bucle actúa como una constante de acoplamiento entre el campo gravitacional y el campo electromagnético. Si la variedad base es de cuatro dimensiones, la variedad de Kaluza-Klein P es de cinco dimensiones. La quinta dimensión es un espacio compacto y se llama dimensión compacta . La técnica de introducir dimensiones compactas para obtener una variedad de dimensiones superiores se conoce como compactificación . La compactificación no produce acciones de grupo sobre fermiones quirales excepto en casos muy específicos: la dimensión del espacio total debe ser 2 módulo 8, y el índice G del operador de Dirac del espacio compacto debe ser distinto de cero. ^[33] ${\displaystyle \Lambda }$

El desarrollo anterior se generaliza de una manera más o menos directa a los fibrados principales G generales para algún grupo de Lie arbitrario G que ocupe el lugar de U(1) . En tal caso, la teoría se conoce a menudo como teoría de Yang-Mills y, a veces, se considera sinónima. Si la variedad subyacente es supersimétrica , la teoría resultante es una teoría de Yang-Mills supersimétrica.

Pruebas empíricas

No se han reportado oficialmente señales experimentales u observacionales de dimensiones extra. Se han propuesto muchas técnicas de búsqueda teórica para detectar resonancias de Kaluza-Klein utilizando los acoplamientos de masa de dichas resonancias con el quark top . Un análisis de los resultados del LHC en diciembre de 2010 limita severamente las teorías con grandes dimensiones extra . ^[34]

La observación de un bosón similar al de Higgs en el LHC establece una nueva prueba empírica que puede aplicarse a la búsqueda de resonancias de Kaluza-Klein y partículas supersimétricas. Los diagramas de bucles de Feynman que existen en las interacciones del Higgs permiten que cualquier partícula con carga eléctrica y masa se desplace en un bucle de este tipo. Las partículas del Modelo Estándar, aparte del quark top y el bosón W, no hacen grandes contribuciones a la sección eficaz observada en la desintegración H → γγ , pero si hay nuevas partículas más allá del Modelo Estándar, podrían potencialmente cambiar la relación entre la sección eficaz H → γγ predicha por el Modelo Estándar y la sección eficaz observada experimentalmente. Por lo tanto, una medición de cualquier cambio drástico en la sección eficaz H → γγ predicha por el Modelo Estándar es crucial para investigar la física más allá de él.

Un artículo de julio de 2018 ^[35] da cierta esperanza a esta teoría; en el artículo, cuestionan que la gravedad se esté filtrando a dimensiones superiores como en la teoría de branas . Sin embargo, el artículo demuestra que el electromagnetismo y la gravedad comparten el mismo número de dimensiones, y este hecho respalda la teoría de Kaluza-Klein; si el número de dimensiones es realmente 3 + 1 o, de hecho, 4 + 1 es tema de mayor debate.

Véase también

• Teorías clásicas de la gravitación
• Espacio-tiempo complejo
• Modelo DGP
• Gravedad cuántica
• Compactificación (física)
• Modelo de Randall-Sundrum
• Matej Pavšič
• Teoría de cuerdas
• Supergravedad
• Teoría de supercuerdas
• Campos gravitacionales no relativistas
• Teleparalelismo

Notas

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Referencias

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Lectura adicional

• La colaboración CDF, búsqueda de dimensiones adicionales utilizando energía faltante en CDF , (2004) (Una presentación simplificada de la búsqueda de dimensiones adicionales realizada en el detector de colisionadores en las instalaciones de física de partículas Fermilab (CDF).)
• John M. Pierre, ¡SUPERCUERDAS! Dimensiones extra , (2003).
• Chris Pope, Conferencias sobre la teoría de Kaluza-Klein .
• Edward Witten (2014). "Una nota sobre Einstein, Bergmann y la quinta dimensión", arXiv :1401.8048