Paquete principal

Haz de fibras cuyas fibras son torsores de grupo

En matemáticas , un fibrado principal ^{[1] [2] [3] [4]} es un objeto matemático que formaliza algunas de las características esenciales del producto cartesiano de un espacio con un grupo . De la misma manera que con el producto cartesiano, un fibrado principal está equipado con ${\displaystyle X\times G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

1. Una acción de en , análoga a para un espacio de producto . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x,g)h=(x,gh)}$
2. Una proyección sobre . Para un espacio de producto, esta es simplemente la proyección sobre el primer factor, . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,g)\mapsto x}$

A menos que sea el espacio producto , un fibrado principal carece de una elección preferida de sección transversal identidad; no tiene un análogo preferido de . Del mismo modo, generalmente no hay una proyección sobre que generalice la proyección sobre el segundo factor, que existe para el producto cartesiano. También pueden tener una topología complicada que les impide realizarse como un espacio producto incluso si se toman varias decisiones arbitrarias para intentar definir dicha estructura definiéndola en partes más pequeñas del espacio. ${\displaystyle X\times G}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,e)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X\times G\to G}$

Un ejemplo común de un fibrado principal es el fibrado de un fibrado vectorial , que consta de todas las bases ordenadas del espacio vectorial asociadas a cada punto. El grupo en este caso es el grupo lineal general , que actúa sobre la derecha de la forma habitual : por cambios de base . Puesto que no hay una forma natural de elegir una base ordenada de un espacio vectorial, un fibrado de marco carece de una elección canónica de la sección transversal identidad. ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G,}$

Los haces principales tienen importantes aplicaciones en topología , geometría diferencial y teoría de calibración matemática . También han encontrado aplicación en física , donde forman parte del marco fundacional de las teorías de calibración físicas .

Definición formal

Un fibrado principal , donde denota cualquier grupo topológico , es un fibrado de fibras junto con una acción derecha continua tal que preserva las fibras de (es decir, si entonces para todos ) y actúa libre y transitivamente (lo que significa que cada fibra es un G-torsor ) sobre ellas de tal manera que para cada y , la función que envía a es un homeomorfismo. En particular, cada fibra del fibrado es homeomorfa al propio grupo. Con frecuencia, se requiere que el espacio base sea de Hausdorff y posiblemente paracompacto . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle P\times G\to P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle y\in P_{x}}$ ${\displaystyle yg\in P_{x}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in P_{x}}$ ${\displaystyle G\to P_{x}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle yg}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Puesto que la acción de grupo conserva las fibras de y actúa transitivamente, se deduce que las órbitas de la acción -son precisamente estas fibras y el espacio de órbitas es homeomorfo al espacio base . Puesto que la acción es libre y transitiva, las fibras tienen la estructura de G-torsores. Un -torsor es un espacio que es homeomorfo a pero carece de una estructura de grupo puesto que no hay una elección preferida de un elemento identidad . ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P/G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Una definición equivalente de un fibrado principal es la de un fibrado con fibra donde el grupo estructural actúa sobre la fibra mediante multiplicación por la izquierda. Dado que la multiplicación por la derecha sobre la fibra conmuta con la acción del grupo estructural, existe una noción invariante de multiplicación por la derecha sobre . Las fibras de se convierten entonces en -torsores derechos para esta acción. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$

Las definiciones anteriores son para espacios topológicos arbitrarios. También se pueden definir fibrados principales en la categoría de variedades suaves . Aquí se requiere que haya una función suave entre variedades suaves, se requiere que haya un grupo de Lie y la acción correspondiente en debe ser suave. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

Ejemplos

Paquete trivial y secciones

Sobre una bola abierta , o bien , con coordenadas inducidas , cualquier fibrado principal es isomorfo a un fibrado trivial ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi :U\times G\to U}$

y una sección suave está dada equivalentemente por una función (suave) ya que ${\displaystyle s\in \Gamma (\pi )}$ ${\displaystyle {\hat {s}}:U\to G}$

${\displaystyle s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G}$

para alguna función suave. Por ejemplo, si , el grupo de Lie de matrices unitarias , entonces se puede construir una sección considerando cuatro funciones de valor real ${\displaystyle G=U(2)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R} }$

y aplicarlos a la parametrización

$${\displaystyle {\hat {s}}(x)=e^{i\phi (x)}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.}$$Este mismo procedimiento es válido tomando una parametrización de una colección de matrices que definen un grupo de Lie y considerando el conjunto de funciones de un parche del espacio base e insertándolas en la parametrización. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Otros ejemplos

Fibrado principal Z /2 Z no trivial sobre el círculo. No hay una manera bien definida de identificar qué punto corresponde a +1 o -1 en cada fibra. Este fibrado no es trivial ya que no hay una sección globalmente definida de la proyección π .

• El ejemplo prototípico de un fibrado principal liso es el fibrado de marcos de una variedad lisa , a menudo denotada como . Aquí la fibra sobre un punto es el conjunto de todos los marcos (es decir, bases ordenadas) para el espacio tangente . El grupo lineal general actúa libre y transitivamente sobre estos marcos. Estas fibras se pueden pegar entre sí de manera natural para obtener un fibrado principal sobre . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle GL(M)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$
• Las variaciones del ejemplo anterior incluyen el fibrado ortonormal de una variedad de Riemann . Aquí se requiere que los fibrados sean ortonormales con respecto a la métrica . El grupo de estructura es el grupo ortogonal . El ejemplo también funciona para fibrados distintos del fibrado tangente; si es cualquier fibrado vectorial de rango sobre , entonces el fibrado de fibrados de es un fibrado principal , a veces denotado como . ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(E)}$
• Un espacio de recubrimiento normal (regular) es un haz principal donde el grupo de estructura ${\displaystyle p:C\to X}$

${\displaystyle G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}$

actúa sobre las fibras de mediante la acción monodromía . En particular, la cubierta universal de es un fibrado principal sobre con grupo de estructura (ya que la cubierta universal está simplemente conexa y, por lo tanto, es trivial). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(C)}$

• Sea un grupo de Lie y sea un subgrupo cerrado (no necesariamente normal ). Entonces es un fibrado principal sobre el espacio de clases laterales (izquierda) . Aquí la acción de on es simplemente la multiplicación por la derecha. Las fibras son las clases laterales izquierdas de (en este caso hay una fibra distinguida, la que contiene la identidad, que es naturalmente isomorfa a ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$
• Consideremos la proyección dada por . Este fibrado principal es el fibrado asociado de la banda de Möbius . Además del fibrado trivial, este es el único fibrado principal sobre . ${\displaystyle \pi :S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Los espacios proyectivos proporcionan algunos ejemplos más interesantes de fibrados principales. Recordemos que la esfera - es un espacio de recubrimiento doble del espacio proyectivo real . La acción natural de sobre le da la estructura de fibrado principal sobre . Asimismo, es un fibrado principal sobre el espacio proyectivo complejo y es un fibrado principal sobre el espacio proyectivo cuaterniónico . Tenemos entonces una serie de fibrados principales para cada positivo : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{2n+1}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{4n+3}}$ ${\displaystyle Sp(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

Aquí se denota la esfera unitaria en (dotada de métrica euclidiana). Para todos estos ejemplos los casos dan los llamados fibrados de Hopf . ${\displaystyle S(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n=1}$

Propiedades básicas

Trivializaciones y secciones transversales

Una de las preguntas más importantes con respecto a cualquier fibrado es si es trivial o no , es decir, isomorfo a un fibrado de productos. Para los fibrados principales existe una caracterización conveniente de la trivialidad:

Proposición . Un fibrado principal es trivial si y sólo si admite una sección global .

En general, no ocurre lo mismo con otros fibrados. Por ejemplo, los fibrados vectoriales siempre tienen una sección cero, sean triviales o no, y los fibrados esféricos pueden admitir muchas secciones globales sin ser triviales.

El mismo hecho se aplica a las trivializaciones locales de fibrados principales. Sea π  : P → X un fibrado principal G. Un conjunto abierto U en X admite una trivialización local si y sólo si existe una sección local en U . Dada una trivialización local

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

Se puede definir una sección local asociada.

${\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,}$

donde e es la identidad en G . Por el contrario, dada una sección s se define una trivialización Φ por

${\displaystyle \Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.}$

La simple transitividad de la acción G sobre las fibras de P garantiza que esta función sea una biyección , es también un homeomorfismo . Las trivializaciones locales definidas por secciones locales son G - equivariantes en el siguiente sentido. Si escribimos

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

En la forma

${\displaystyle \Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),}$

luego el mapa

${\displaystyle \varphi :P\to G}$

satisface

${\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.}$

Por lo tanto, las trivializaciones equivariantes preservan la estructura G -torsor de las fibras. En términos de la sección local asociada s, la función φ está dada por

${\displaystyle \varphi (s(x)\cdot g)=g.}$

La versión local del teorema de la sección transversal establece entonces que las trivializaciones locales equivariantes de un fibrado principal están en correspondencia biunívoca con las secciones locales.

Dada una trivialización local equivariante ({ U _i }, { Φ _i }) de P , tenemos secciones locales s _i en cada U _i . En las superposiciones, estas deben estar relacionadas por la acción del grupo de estructura G . De hecho, la relación la proporcionan las funciones de transición

${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.}$

Al unir las trivializaciones locales utilizando estas funciones de transición, se puede reconstruir el fibrado principal original. Este es un ejemplo del teorema de construcción del fibrado de fibras . Para cualquier x ∈ U _i ∩ U _j tenemos

${\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).}$

Caracterización de haces principales lisos

Si es un fibrado principal liso entonces actúa libre y apropiadamente sobre de modo que el espacio de órbitas es difeomorfo al espacio base . Resulta que estas propiedades caracterizan completamente a los fibrados principales lisos. Es decir, si es una variedad lisa, un grupo de Lie y una acción recta lisa, libre y apropiada entonces ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P/G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu :P\times G\to P}$

• ${\displaystyle P/G}$es un colector suave,
• La proyección natural es una inmersión suave y ${\displaystyle \pi :P\to P/G}$
• ${\displaystyle P}$es un fibrado principal liso sobre . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P/G}$

Uso de la noción

Reducción del grupo de estructura

Dado un subgrupo H de G se puede considerar el fibrado cuyas fibras son homeomorfas al espacio de clases laterales . Si el nuevo fibrado admite una sección global, entonces se dice que la sección es una reducción del grupo de estructura de a . La razón de este nombre es que la imagen inversa (fibra por fibra) de los valores de esta sección forma un subfibrado de que es un fibrado principal. Si es la identidad, entonces una sección de sí misma es una reducción del grupo de estructura a la identidad. En general, no existen reducciones del grupo de estructura. ${\displaystyle P/H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$

Muchas cuestiones topológicas sobre la estructura de una variedad o la estructura de los fibrados que la componen y que están asociados a un fibrado principal pueden reformularse como cuestiones sobre la admisibilidad de la reducción del grupo de estructura (de a ). Por ejemplo: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

El fibrado de la cinta de Möbius es un fibrado principal no trivial sobre el círculo. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

• Una variedad real -dimensional admite una estructura casi compleja si el fibrado de la variedad, cuyas fibras son , puede reducirse al grupo . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$
• Una variedad real -dimensional admite un campo -plano si el fibrado puede reducirse al grupo de estructura . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Una variedad es orientable si y sólo si su fibrado puede reducirse al grupo ortogonal especial , . ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Una variedad tiene estructura de espín si y sólo si su haz de marcos puede reducirse aún más desde al grupo de espín , que se asigna a como una doble cubierta. ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$

También hay que tener en cuenta que una variedad -dimensional admite campos vectoriales que son linealmente independientes en cada punto si y solo si su fibrado admite una sección global. En este caso, la variedad se denomina paralelizable . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Paquetes de vectores y marcos asociados

Si es un fibrado principal y es una representación lineal de , entonces se puede construir un fibrado vectorial con fibra , como el cociente del producto × por la acción diagonal de . Este es un caso especial de la construcción de fibrado asociado , y se llama fibrado vectorial asociado a . Si la representación de en es fiel , de modo que es un subgrupo del grupo lineal general GL( ), entonces es un fibrado y proporciona una reducción del grupo de estructura del fibrado de marco de a . Este es el sentido en el que los fibrados principales proporcionan una formulación abstracta de la teoría de fibrados de marco. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=P\times _{G}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle G}$

Clasificación de los haces principales

Cualquier grupo topológico G admite un espacio clasificador BG : el cociente por la acción de G de algún espacio débilmente contráctil , p. ej. , un espacio topológico con grupos de homotopía que se desvanecen . El espacio clasificador tiene la propiedad de que cualquier fibrado principal G sobre una variedad paracompacta B es isomorfo a un pullback del fibrado principal EG → BG . ^[5] De hecho, es más cierto, ya que el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados principales G sobre la base B se identifica con el conjunto de clases de homotopía de morfismos B → BG .

Véase también

• Paquete asociado
• Paquete de vectores
• Estructura G
• Reducción del grupo de estructura
• Teoría de calibre
• Conexión (haz principal)
• Fibración G

Referencias

1. Steenrod, Norman (1951). Topología de los haces de fibras . Princeton: Princeton University Press . ISBN. 0-691-00548-6.página 35
2. Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (Tercera edición). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.página 42
3. Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: la generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.página 37
4. Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría del espín . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5.página 370
5. Stasheff, James D. (1971), " H -espacios y espacios de clasificación: fundamentos y desarrollos recientes", Topología algebraica (Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 247-272, Teorema 2

Fuentes

• Bleecker, David (1981). Teoría de calibre y principios variacionales . Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-486-44546-1.
• Jost, Jürgen (2005). Geometría riemanniana y análisis geométrico (4.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 3-540-25907-4.
• Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (Tercera edición). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
• Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: la generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Steenrod, Norman (1951). Topología de los haces de fibras . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.