Mapa apropiado

Mapa entre espacios topológicos con la propiedad de que la preimagen de cada compacto es compacto

En matemáticas , una función entre espacios topológicos se denomina propia si las imágenes inversas de subconjuntos compactos son compactas. ^[1] En geometría algebraica , el concepto análogo se denomina morfismo propio .

Definición

Existen varias definiciones en competencia de una " función propia ". Algunos autores llaman propia a una función entre dos espacios topológicos si la preimagen de cada conjunto compacto en es compacta en Otros autores llaman propia a una función si es continua y cerrada con fibras compactas ; es decir, si es una función cerrada continua y la preimagen de cada punto en es compacta . Las dos definiciones son equivalentes si es localmente compacta y Hausdorff . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Si es Hausdorff y es Hausdorff localmente compacto entonces propio es equivalente a universalmente cerrado . Una función es universalmente cerrada si para cualquier espacio topológico la función es cerrada. En el caso de que sea Hausdorff, esto es equivalente a requerir que para cualquier función el pullback sea cerrado, como se sigue del hecho de que es un subespacio cerrado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f\times \operatorname {id} _{Z}:X\times Z\to Y\times Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ ${\displaystyle X\times Z.}$

Una definición equivalente, posiblemente más intuitiva, cuando y son espacios métricos es la siguiente: decimos que una secuencia infinita de puntos en un espacio topológico escapa al infinito si, para cada conjunto compacto, solo hay un número finito de puntos en Entonces, una función continua es propia si y solo si para cada secuencia de puntos que escapa al infinito en la secuencia escapa al infinito en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \left\{p_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left\{f\left(p_{i}\right)\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$

Propiedades

• Toda función continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es a la vez propia y cerrada .
• Toda aplicación propia sobreyectiva es una aplicación cubriente compacta.
  • Una función se denomina cobertura compacta si para cada subconjunto compacto existe algún subconjunto compacto tal que ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle f(C)=K.}$
• Un espacio topológico es compacto si y sólo si la función de ese espacio en un único punto es propia.
• Si es un mapa continuo propio y es un espacio de Hausdorff generado de forma compacta (esto incluye espacios de Hausdorff que son contables en primer lugar o localmente compactos ), entonces es cerrado. ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Generalización

Es posible generalizar la noción de mapas propios de espacios topológicos a locales y topos , véase (Johnstone 2002).

Véase también

• Mapa casi abierto  – Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
• Mapas abiertos y cerrados  : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)
• Mapa perfecto  – Mapa sobreyectivo cerrado continuo, cada una de cuyas fibras son también conjuntos compactos
• Glosario de topología  – Glosario de matemáticasPages displaying short descriptions of redirect targets

Citas

1. Lee 2012, pág. 610, supra Prop. A.53.
2. Palais, Richard S. (1970). "Cuando los mapas propios están cerrados". Actas de la American Mathematical Society . 24 (4): 835–836. doi : 10.1090/s0002-9939-1970-0254818-x . MR  0254818.

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1998). Topología general. Capítulos 5–10 . Elementos de matemáticas. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-64563-4.Señor 1726872  .
• Johnstone, Peter (2002). Bocetos de un elefante: un compendio de teoría topos . Oxford: Oxford University Press . ISBN 0-19-851598-7., especialmente la sección C3.2 "Mapas propios"
• Brown, Ronald (2006). Topología y grupoides . Carolina del Norte: Booksurge . ISBN 1-4196-2722-8., esp. p. 90 "Mapas propios" y los Ejercicios de la Sección 3.6.
• Brown, Ronald (1973). "Mapa secuencialmente propios y compactificación secuencial". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda serie. 7 (3): 515–522. doi :10.1112/jlms/s2-7.3.515.
• Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades suaves . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 218 (segunda edición). Nueva York, Londres: Springer-Verlag . ISBN. 978-1-4419-9981-8.OCLC 808682771  .