Funciones de suelo y techo

Enteros más cercanos a un número

Funciones de suelo y techo

En matemáticas , la función piso (o función de mayor entero ) es la función que toma como entrada un número real x y da como salida el mayor entero menor o igual a x , denotado ⌊ x ⌋ o piso ( x ) . De manera similar, la función techo asigna x al entero más pequeño mayor o igual a x , denotado ⌈ x ⌉ o ceil( x ) . ^[1]

Por ejemplo, para piso: ⌊2.4⌋ = 2 , ⌊−2.4⌋ = −3 , y para techo: ⌈2.4⌉ = 3 y ⌈−2.4⌉ = −2 .

Históricamente, el piso de x se ha llamado, y todavía se llama, parte integral o parte entera de x , a menudo denotado [ x ] (así como una variedad de otras notaciones). ^[2] Sin embargo, el mismo término, parte entera , también se utiliza para el truncamiento hacia cero, que difiere de la función suelo para números negativos.

Para n un número entero, ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = [ n ] = n .

Aunque piso( x+1 ) y techo( x ) producen gráficas que parecen exactamente iguales, no son iguales cuando el valor de x es un entero exacto. Por ejemplo, cuando x =2,0001; ⌊2.0001+1⌋ = ⌈2.0001⌉ = 3 . Sin embargo, si x =2, entonces ⌊2+1⌋ = 3 , mientras que ⌈2⌉ = 2 .

Notación

La parte integral o parte entera de un número ( partie entière en el original) fue definida por primera vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre en su prueba de la fórmula de Legendre .

Carl Friedrich Gauss introdujo la notación entre corchetes [ x ] en su tercera prueba de reciprocidad cuadrática (1808). ^[3] Este siguió siendo el estándar ^[4] en matemáticas hasta que Kenneth E. Iverson introdujo, en su libro de 1962 A Programming Language , los nombres "suelo" y "techo" y las notaciones correspondientes ⌊ x ⌋ y ⌈ x ⌉ . ^{[5] [6]} (Iverson usó corchetes para un propósito diferente, la notación entre corchetes de Iverson ). Ambas notaciones ahora se usan en matemáticas, aunque en este artículo se seguirá la notación de Iverson.

En algunas fuentes, se utilizan corchetes en negrita o dobles ⟦ x ⟧ para el piso y corchetes invertidos ⟧ x ⟦ o ] x [ ​​para el techo. ^{[7] [8]}

La parte fraccionaria es la función diente de sierra , denotada por { x } para x real y definida por la fórmula

{ x } = x − ⌊ x ⌋ ^[9]

Para todo x ,

0 ≤ { x } < 1 .

Estos caracteres se proporcionan en Unicode:

• U+2308 ⌈ TECHO IZQUIERDO ( ⌈, ⌈ )
• U+2309 ⌉ TECHO DERECHO ( ⌉, ⌉ )
• U+230A ⌊ PISO IZQUIERDO ( ⌊, ⌊ )
• U+230B ⌋ PISO DERECHO ( ⌋, ⌋ )

En el sistema de composición tipográfica LaTeX , estos símbolos se pueden especificar con los comandos y en modo matemático y ampliar su tamaño usando y según sea necesario.\lceil, \rceil, \lfloor, \rfloor\left\lceil, \right\rceil, \left\lfloor,\right\rfloor

Algunos autores definen [ x ] como la función de redondeo hacia cero ^{[ cita necesaria ]} , por lo que [2.4] = 2 y [−2.4] = −2 , y la llaman la "parte entera".

Definición y propiedades

Dados los números reales x e y , los números enteros m y n y el conjunto de números enteros , piso y techo pueden definirse mediante las ecuaciones ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},}$

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}$

Dado que hay exactamente un número entero en un intervalo semiabierto de longitud uno, para cualquier número real x , hay enteros únicos m y n que satisfacen la ecuación

${\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.}$

donde  y  también puede tomarse como la definición de piso y techo. ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =m}$ ${\displaystyle \lceil x\rceil =n}$

Equivalencias

Estas fórmulas se pueden utilizar para simplificar expresiones que involucran pisos y techos. ^[10]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &=m\ \ &&{\mbox{ if and only if }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ if and only if }}&\ \ n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor &=m&&{\mbox{ if and only if }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ if and only if }}&x&\leq n<x+1.\end{alignedat}}}$

En el lenguaje de la teoría del orden , la función suelo es un mapeo residual , es decir, parte de una conexión de Galois : es el adjunto superior de la función que incrusta los números enteros en los reales.

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

Estas fórmulas muestran cómo agregar un número entero n a los argumentos afecta las funciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Lo anterior nunca es cierto si n no es un número entero; sin embargo, para cada x e y , se cumplen las siguientes desigualdades:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\[3mu]\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}$

monotonicidad

Tanto las funciones de suelo como las de techo son funciones monótonas y no decrecientes :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{aligned}}}$

Relaciones entre las funciones

De las definiciones se desprende claramente que

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$   con igualdad si y sólo si x es un número entero, es decir

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

De hecho, para números enteros n , tanto las funciones piso como techo son la identidad :

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

Negar el argumento cambia piso y techo y cambia el signo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}$

y:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Negar el argumento complementa la parte fraccionaria:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Las funciones suelo, techo y parte fraccionaria son idempotentes :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \{}\{x\}{\big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

El resultado de las funciones anidadas de piso o techo es la función más interna:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

debido a la propiedad de identidad para números enteros.

Cocientes

Si m y n son números enteros y n ≠ 0,

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

Si n es un número entero positivo ^[11]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

Si m es positivo ^[12]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Para m = 2 esto implica

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rceil .}$

De manera más general, ^[13] para m positiva (ver identidad de Hermite )

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Lo siguiente se puede utilizar para convertir pisos en techos y viceversa ( m positivo) ^[14]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}$

Para todos los m y n enteros estrictamente positivos: ^[15]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

que, para m y n positivos y coprimos , se reduce a

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\tfrac {1}{2}}(m-1)(n-1),}$

y de manera similar para las funciones techo y parte fraccionaria (aún para m y n positivos y coprimos ),

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {\frac {km}{n}}\right\rceil ={\tfrac {1}{2}}(m+1)(n-1),}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\{{\frac {km}{n}}\right\}={\tfrac {1}{2}}(n-1).}$

Dado que el lado derecho del caso general es simétrico en m y n , esto implica que

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

De manera más general, si m y n son positivos,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\[5mu]=&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

A esto a veces se le llama ley de reciprocidad. ^[dieciséis]

La división por números enteros positivos da lugar a una propiedad interesante y a veces útil. Asumiendo , ${\displaystyle m,n>0}$

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \iff n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \iff n\leq {\frac {\lfloor x\rfloor }{m}}.}$

Similarmente,

${\displaystyle m\geq \left\lceil {\frac {x}{n}}\right\rceil \iff n\geq \left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil \iff n\geq {\frac {\lceil x\rceil }{m}}.}$

En efecto,

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \implies m\leq {\frac {x}{n}}\implies n\leq {\frac {x}{m}}\implies n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \implies \ldots \implies m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ,}$

teniendo en cuenta que la segunda equivalencia que involucra la función techo se puede demostrar de manera similar. ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ={\frac {\lfloor x\rfloor }{n}}.}$

Divisiones anidadas

Para números enteros positivos n y números reales arbitrarios m , x : ^[17]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .}$

Continuidad y expansiones en serie.

Ninguna de las funciones analizadas en este artículo es continua , pero todas son lineales por partes : las funciones , y tienen discontinuidades en los números enteros. ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ ${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$  es semicontinua superior y     y   son semicontinuas inferiores. ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ ${\displaystyle \{x\}}$

Dado que ninguna de las funciones analizadas en este artículo es continua, ninguna de ellas tiene una expansión en serie de potencias . Dado que el piso y el techo no son periódicos, no tienen expansiones en series de Fourier uniformemente convergentes. La función de parte fraccionaria tiene expansión en serie de Fourier ^[18]

${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

para x no es un número entero.

En los puntos de discontinuidad, una serie de Fourier converge a un valor que es el promedio de sus límites a la izquierda y a la derecha, a diferencia de las funciones piso, techo y parte fraccionaria: para y fijo y x múltiplo de y, la serie de Fourier dada converge a y /2, en lugar de a x  mod  y  = 0. En los puntos de continuidad la serie converge al valor verdadero.

Usando la fórmula piso(x) = x − {x} se obtiene

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$

para x no es un número entero.

Aplicaciones

operador mod

Para un número entero x y un entero positivo y , la operación de módulo , denotada por x mod y , da el valor del resto cuando x se divide por y . Esta definición se puede extender a x e y reales , y ≠ 0, mediante la fórmula

${\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

Luego se deduce de la definición de función del suelo que esta operación ampliada satisface muchas propiedades naturales. En particular, x mod y siempre está entre 0 e y , es decir,

si y es positivo,

${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y,}$

y si y es negativo,

${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}$

Reciprocidad cuadrática

La tercera prueba de reciprocidad cuadrática de Gauss , modificada por Eisenstein, tiene dos pasos básicos. ^{[19] [20]}

Sean p y q números primos impares positivos distintos, y sean ${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}(p-1),}$ ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(q-1).}$

Primero, se utiliza el lema de Gauss para mostrar que los símbolos de Legendre están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {p}{q}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

El segundo paso es utilizar un argumento geométrico para demostrar que

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

La combinación de estas fórmulas da reciprocidad cuadrática en la forma

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Hay fórmulas que usan piso para expresar el carácter cuadrático de números pequeños mod primos impares p : ^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {3}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

redondeo

Para un número real arbitrario , el redondeo al entero más cercano con desempate hacia el infinito positivo viene dado por ; el redondeo hacia el infinito negativo se da como . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil }$ ${\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor }$

Si el desempate está lejos de 0, entonces la función de redondeo es (ver función de signo ), y el redondeo hacia par se puede expresar con la expresión más engorrosa , que es la expresión anterior para redondear hacia el infinito positivo menos un indicador de integralidad para . ${\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +{\bigl \lceil }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rceil }-{\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rfloor }-1}$ ${\displaystyle {\text{rpi}}(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2x-1)}$

Redondear un número real al valor entero más cercano forma un tipo de cuantificador muy básico : uno uniforme . Un cuantificador uniforme típico ( en la mitad de la banda de rodadura ) con un tamaño de paso de cuantificación igual a algún valor se puede expresar como ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$,

Número de dígitos

El número de dígitos en base b de un entero positivo k es

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

Número de cadenas sin caracteres repetidos

El número de posibles cadenas de longitud arbitraria que no utilizan ningún carácter dos veces viene dado por ^{[22] [ se necesita mejor fuente ]}

${\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor }$

dónde:

• n > 0 es el número de letras del alfabeto (por ejemplo, 26 en inglés )
• el factorial descendente denota el número de cadenas de longitud k que no utilizan ningún carácter dos veces. ${\displaystyle (n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$
• norte ! denota el factorial de n
• e = 2.718... es el número de Euler

Para n = 26, esto resulta en 1096259850353149530222034277.

Factores de factoriales

Sea n un número entero positivo y p un número primo positivo. El exponente de la potencia más alta de p que divide a n ! viene dado por una versión de la fórmula de Legendre ^[23]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

¿ Dónde está la forma de escribir n en base p ? Esta es una suma finita, ya que los pisos son cero cuando p ^k > n . ${\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$

secuencia beatty

La secuencia de Beatty muestra cómo cada número irracional positivo da lugar a una partición de los números naturales en dos secuencias mediante la función suelo. ^[24]

Constante de Euler (γ)

Existen fórmulas para la constante de Euler γ = 0,57721 56649... que involucran el piso y el techo, por ejemplo ^[25]

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

y

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots }$

Función zeta de Riemann (ζ)

La función de parte fraccionaria también aparece en representaciones integrales de la función zeta de Riemann . Es sencillo demostrar (usando integración por partes) ^[26] que si es cualquier función con derivada continua en el intervalo cerrado [ a , b ], ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}$

Suponiendo que la parte real de s sea mayor que 1 y dejando que a y b sean números enteros, y dejando que b se acerque al infinito, se obtiene ${\displaystyle \varphi (n)=n^{-s}}$

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

Esta fórmula es válida para todos los s con parte real mayor que −1 (excepto s = 1, donde hay un polo) y combinada con la expansión de Fourier para { x } se puede usar para extender la función zeta a todo el plano complejo. y demostrar su ecuación funcional. ^[27]

Para s = σ + it en la franja crítica 0 < σ < 1,

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

En 1947, van der Pol utilizó esta representación para construir una computadora analógica para encontrar raíces de la función zeta. ^[28]

Fórmulas para números primos.

La función suelo aparece en varias fórmulas que caracterizan a los números primos. Por ejemplo, dado que es igual a 1 si m divide a n , y a 0 en caso contrario, se deduce que un entero positivo n es primo si y sólo si ^[29] ${\textstyle {\bigl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\bigr \rfloor }-{\bigl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\bigr \rfloor }}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left({\biggl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\biggr \rfloor }-{\biggl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\biggr \rfloor }\right)=2.}$

También se pueden dar fórmulas para producir los números primos. Por ejemplo, sea p _n el n -ésimo primo, y para cualquier número entero r  > 1, defina el número real α por la suma

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

Entonces ^[30]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

Un resultado similar es que existe un número θ = 1.3064... ( constante de Mills ) con la propiedad de que

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

son todos primos. ^[31]

También existe un número ω = 1,9287800... con la propiedad de que

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

son todos primos. ^[31]

Sea π ( x ) el número de primos menores o iguales que x . Es una deducción sencilla del teorema de Wilson que ^[32]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }{\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor {\Biggr \rfloor }.}$

Además, si n ≥ 2, ^[33]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }1\,{\bigg /}\ {\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }{\Biggr \rfloor }.}$

Ninguna de las fórmulas de esta sección tiene ningún uso práctico. ^{[34] [35]}

Problemas resueltos

Ramanujan presentó estos problemas al Journal of the Indian Mathematical Society . ^[36]

Si n es un entero positivo, demuestre que

1. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$
2. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$
3. ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

Se han demostrado algunas generalizaciones a las identidades de funciones del piso anterior. ^[37]

problema sin resolver

El estudio del problema de Waring ha llevado a un problema sin resolver:

¿Hay algún número entero positivo k ≥ 6 tal que ^[38]

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\ ?}$

Mahler ha demostrado que sólo puede haber un número finito de tales k ; no se conoce ninguno. ^[39]

Implementaciones informáticas

Función int de conversión de punto flotante en C

En la mayoría de los lenguajes de programación, el método más simple para convertir un número de coma flotante en un número entero no es el piso o el techo, sino el truncamiento. La razón de esto es histórica, ya que las primeras máquinas usaban complemento a uno y el truncamiento era más sencillo de implementar (el piso es más simple en complemento a dos ). FORTRAN se definió para requerir este comportamiento y, por lo tanto, casi todos los procesadores implementan la conversión de esta manera. Algunos consideran que se trata de una decisión de diseño histórica desafortunada que ha provocado errores en el manejo de compensaciones negativas y gráficos en el lado negativo del origen. ^{[ cita necesaria ]}

Un desplazamiento a la derecha bit a bit de un entero con signo by es lo mismo que . La división por una potencia de 2 a menudo se escribe como un desplazamiento hacia la derecha, no para optimización como podría suponerse, sino porque se requiere el mínimo de resultados negativos. Asumir que tales cambios son "optimización prematura" y reemplazarlos con división puede dañar el software. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\lfloor x/2^{n}\right\rfloor }$

Muchos lenguajes de programación (incluidos C , C++ , ^{[40] [41]} C# , ^{[42] [43]} Java , ^{[44] [45]} PHP , ^{[46] [47]} R , ^[48] y Python ^[49] ) Proporcionan funciones estándar para suelo y techo, normalmente llamadas floory ceilo menos comúnmente ceiling. ^[50] El lenguaje que APL utiliza ⌊xpara palabra. El lenguaje de programación J , una continuación de APL que está diseñado para utilizar símbolos de teclado estándar, se utiliza <.para suelo y >.techo. ^[51] Usos de ALGOLentier para suelos.

En Microsoft Excel, la función INTredondea hacia abajo en lugar de hacia cero, ^[52] mientras que FLOORredondea hacia cero, lo contrario de lo que hacen "int" y "floor" en otros idiomas. Desde 2010 FLOORse ha cambiado a error si el número es negativo. ^[53] El formato de archivo OpenDocument , tal como lo utilizan OpenOffice.org , Libreoffice y otros, INT^[54] y FLOORambos funcionan y FLOORtienen un tercer argumento para reproducir el comportamiento anterior de Excel. ^[55]

Ver también

• Soporte (matemáticas)
• Función de valores enteros
• Función de paso
• Operación en módulo

Citas

1. Graham, Knuth y Patashnik, cap. 3.1
2. 1) Luke Heaton, Una breve historia del pensamiento matemático , 2015, ISBN  1472117158 (np)
   2) Albert A. Blank et al. , Cálculo: Cálculo diferencial , 1968, p. 259
   3) John W. Warris, Horst Stocker, Manual de matemáticas y ciencia computacional , 1998, ISBN 0387947469 , p. 151 
3. Lemmermeyer, págs.10, 23.
4. por ejemplo, Cassels, Hardy & Wright y Ribenboim utilizan la notación de Gauss. Graham, Knuth & Patashnik y Crandall & Pomerance utilizan Iverson's.
5. Iverson, pág. 12.
6. Higham, pag. 25.
7. Mathwords: función de suelo.
8. Mathwords: función de techo
9. Graham, Knuth y Patashnik, pág. 70.
10. Graham, Knuth y Patashink, cap. 3
11. Graham, Knuth y Patashnik, pág. 73
12. Graham, Knuth y Patashnik, pág. 85
13. Graham, Knuth y Patashnik, pág. 85 y ej. 3.15
14. Graham, Knuth y Patashnik, ej. 3.12
15. Graham, Knuth y Patashnik, pág. 94.
16. Graham, Knuth y Patashnik, pág. 94
17. Graham, Knuth y Patashnik, pág. 71, aplique el teorema 3.10 con x/m como entrada y la división por n como función
18. Marisma de Titch, pag. 15, ecuación. 2.1.7
19. Lemmermeyer, § 1.4, ej. 1,32–1,33
20. Hardy y Wright, §§ 6.11–6.13
21. Lemmermeyer, pag. 25
22. OEIS A000522 (Número total de arreglos de un conjunto con n elementos: a(n) = Sum_{k=0..n} n!/k!.) (Ver Fórmulas).
23. Hardy y Wright, Th. 416
24. Graham, Knuth y Patashnik, págs. 77–78
25. Estas fórmulas son del artículo de Wikipedia Constante de Euler , que tiene muchas más.
26. Marisma de Titch, pag. 13
27. Titchmarsh, páginas 14-15
28. Crandall y Pomerance, pag. 391
29. Crandall y Pomerance, ej. 1.3, pág. 46. ​​El límite superior infinito de la suma se puede reemplazar con n . Una condición equivalente es n  > 1 es primo si y sólo si . ${\textstyle \sum _{m=1}^{\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }{\bigl (}{\bigl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\bigr \rfloor }-{\bigl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\bigr \rfloor }{\bigr )}=1}$
30. Hardy y Wright, § 22.3
31. Ribenboim, pág. 186
32. Ribenboim, pag. 181
33. Crandall y Pomerance, ej. 1.4, pág. 46
34. Ribenboim, pag. 180 dice que "A pesar del nulo valor práctico de las fórmulas... [ellas] pueden tener cierta relevancia para los lógicos que desean comprender claramente cómo se pueden deducir varias partes de la aritmética a partir de diferentes axiomatizaciones..."
35. Hardy y Wright, págs. 344—345 "Cualquiera de estas fórmulas (o cualquiera similar) alcanzaría un estado diferente si el valor exacto del número α... pudiera expresarse independientemente de los números primos. No parece probable de esto, pero no se puede descartar como completamente imposible."
36. Ramanujan, pregunta 723, artículos p. 332
37. Somu, Sai Teja; Kukla, Andrzej (2022). "Sobre algunas generalizaciones de las identidades de funciones de piso de Ramanujan" (PDF) . Enteros . 22 . arXiv : 2109.03680 .
38. Hardy y Wright, pag. 337
39. Mahler, Kurt (1957). "Sobre las partes fraccionarias de las potencias de un número racional II". Matemática . 4 (2): 122-124. doi :10.1112/S0025579300001170.
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52. "Función INT" . Consultado el 29 de octubre de 2021 .
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Referencias

• JWS Cassels (1957), Introducción a la aproximación diofántica , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 45, Prensa de la Universidad de Cambridge
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Números primos: una perspectiva computacional, Nueva York: Springer , ISBN 0-387-94777-9
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Matemáticas concretas , Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
• Hardy, GH; Wright, EM (1980), Introducción a la teoría de números (quinta edición) , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
• Nicholas J. Higham, Manual de escritura para las ciencias matemáticas , SIAM. ISBN 0-89871-420-6 , pág. 25 
• ISO / IEC . ISO/IEC 9899::1999(E): Lenguajes de programación — C (2.ª ed.), 1999; Sección 6.3.1.4, pág. 43.
• Iverson, Kenneth E. (1962), Un lenguaje de programación , Wiley
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Berlín: Springer , ISBN 3-540-66957-4
• Ramanujan, Srinivasa (2000), Artículos recopilados , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
• Ribenboim, Paulo (1996), El nuevo libro de registros de números primos , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
• Michael Sullivan. Precálculo , 8.ª edición, p. 86
• Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), La teoría de la función Zeta de Riemann (2ª ed.), Oxford: Oxford UP, ISBN 0-19-853369-1

enlaces externos

• "Función del suelo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Štefan Porubský, "Funciones de redondeo de enteros", Portal de información interactivo sobre matemáticas algorítmicas , Instituto de Ciencias de la Computación de la Academia Checa de Ciencias, Praga, República Checa, consultado el 24 de octubre de 2008
• Weisstein, Eric W. "Función del suelo". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Función de techo". MundoMatemático .