Teoría de la bifurcación

Estudio de cambios repentinos de comportamiento cualitativo provocados por pequeños cambios de parámetros

Retrato de fase que muestra la bifurcación del nodo en silla de montar

La teoría de la bifurcación es el estudio matemático de los cambios en la estructura cualitativa o topológica de una familia dada de curvas , como las curvas integrales de una familia de campos vectoriales y las soluciones de una familia de ecuaciones diferenciales . Más comúnmente aplicada al estudio matemático de sistemas dinámicos , una bifurcación ocurre cuando un pequeño cambio suave realizado en los valores de los parámetros (los parámetros de bifurcación) de un sistema causa un cambio "cualitativo" o topológico repentino en su comportamiento. ^[1] Las bifurcaciones ocurren tanto en sistemas continuos (descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias , de retardo o parciales ) como en sistemas discretos (descritos por aplicaciones).

El nombre "bifurcación" fue introducido por primera vez por Henri Poincaré en 1885 en el primer artículo en matemáticas que mostraba tal comportamiento. ^[2]

Tipos de bifurcación

Es útil dividir las bifurcaciones en dos clases principales:

• Bifurcaciones locales, que pueden analizarse completamente a través de cambios en las propiedades de estabilidad local de los equilibrios , órbitas periódicas u otros conjuntos invariantes a medida que los parámetros cruzan umbrales críticos; y
• Bifurcaciones globales, que suelen producirse cuando conjuntos invariantes más grandes del sistema "chocan" entre sí o con los equilibrios del sistema. No pueden detectarse únicamente mediante un análisis de estabilidad de los equilibrios (puntos fijos).

Bifurcaciones locales

Bifurcaciones que reducen a la mitad el período (L) y que conducen al orden, seguidas de bifurcaciones que duplican el período (R) y que conducen al caos.

Una bifurcación local ocurre cuando un cambio de parámetro hace que cambie la estabilidad de un equilibrio (o punto fijo). En sistemas continuos, esto corresponde a la parte real de un valor propio de un equilibrio que pasa por cero. En sistemas discretos (descritos por funciones), esto corresponde a un punto fijo que tiene un multiplicador de Floquet con módulo igual a uno. En ambos casos, el equilibrio no es hiperbólico en el punto de bifurcación. Los cambios topológicos en el retrato de fase del sistema se pueden limitar a vecindarios arbitrariamente pequeños de los puntos fijos que se bifurcan moviendo el parámetro de bifurcación cerca del punto de bifurcación (de ahí que sean "locales").

Más técnicamente, considere el sistema dinámico continuo descrito por la ecuación diferencial ordinaria (EDO). Una bifurcación local ocurre en si la matriz jacobiana tiene un valor propio con parte real cero. Si el valor propio es igual a cero, la bifurcación es una bifurcación de estado estable, pero si el valor propio no es cero sino puramente imaginario, esta es una bifurcación de Hopf . $${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}.}$$ ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$ ${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$

Para sistemas dinámicos discretos, considere el sistema Entonces ocurre una bifurcación local en si la matriz tiene un valor propio con módulo igual a uno. Si el valor propio es igual a uno, la bifurcación es una bifurcación de nodo de silla (a menudo llamada bifurcación de pliegue en los mapas), transcrítica o en horquilla. Si el valor propio es igual a −1, es una bifurcación de duplicación de período (o inversión), y de lo contrario, es una bifurcación de Hopf. $${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n},\lambda )\,.}$$ ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$ ${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$

Algunos ejemplos de bifurcaciones locales incluyen:

• Bifurcación en forma de silla de montar (pliegue)
• Bifurcación transcrítica
• Bifurcación en forma de horca
• Bifurcación de período duplicado (inversión)
• Bifurcación de Hopf
• Bifurcación de Neimark-Sacker (Hopf secundaria)

Bifurcaciones globales

Un retrato de fase antes, en y después de una bifurcación homoclínica en 2D. La órbita periódica crece hasta que choca con el punto de silla. En el punto de bifurcación, el período de la órbita periódica ha crecido hasta el infinito y se ha convertido en una órbita homoclínica . Después de la bifurcación ya no hay una órbita periódica. Panel izquierdo : Para valores de parámetros pequeños, hay un punto de silla en el origen y un ciclo límite en el primer cuadrante. Panel central : A medida que aumenta el parámetro de bifurcación, el ciclo límite crece hasta que intersecta exactamente el punto de silla, lo que produce una órbita de duración infinita. Panel derecho : Cuando el parámetro de bifurcación aumenta aún más, el ciclo límite desaparece por completo.

Las bifurcaciones globales se producen cuando conjuntos invariantes "más grandes", como las órbitas periódicas, chocan con los equilibrios. Esto provoca cambios en la topología de las trayectorias en el espacio de fases que no pueden limitarse a un pequeño entorno, como es el caso de las bifurcaciones locales. De hecho, los cambios en la topología se extienden a una distancia arbitrariamente grande (de ahí su denominación "global").

Algunos ejemplos de bifurcaciones globales incluyen:

• Bifurcación homoclínica en la que un ciclo límite colisiona con un punto de silla . ^[3] Las bifurcaciones homoclínicas pueden ocurrir de forma supercrítica o subcrítica. La variante anterior es la bifurcación homoclínica "pequeña" o "tipo I". En 2D también existe la bifurcación homoclínica "grande" o "tipo II" en la que la órbita homoclínica "atrapa" los otros extremos de las variedades inestables y estables de la silla. En tres o más dimensiones, pueden ocurrir bifurcaciones de codimensión superior, produciendo dinámicas complicadas, posiblemente caóticas .
• Bifurcación heteroclínica en la que un ciclo límite colisiona con dos o más puntos de silla; implican un ciclo heteroclínico . ^[4] Las bifurcaciones heteroclínicas son de dos tipos: bifurcaciones de resonancia y bifurcaciones transversales. Ambos tipos de bifurcación darán como resultado el cambio de estabilidad del ciclo heteroclínico. En una bifurcación de resonancia, la estabilidad del ciclo cambia cuando se satisface una condición algebraica sobre los valores propios de los equilibrios en el ciclo. Esto suele ir acompañado del nacimiento o la muerte de una órbita periódica . Una bifurcación transversal de un ciclo heteroclínico se produce cuando la parte real de un valor propio transversal de uno de los equilibrios en el ciclo pasa por cero. Esto también provocará un cambio en la estabilidad del ciclo heteroclínico.
• Bifurcación de período infinito en la que un nodo estable y un punto de silla ocurren simultáneamente en un ciclo límite. ^[5] A medida que el límite de un parámetro se acerca a un cierto valor crítico, la velocidad de la oscilación disminuye y el período se acerca al infinito. La bifurcación de período infinito ocurre en este valor crítico. Más allá del valor crítico, los dos puntos fijos emergen continuamente uno del otro en el ciclo límite para interrumpir la oscilación y formar dos puntos de silla .
• Catástrofe de cielo azul en la que un ciclo límite choca con un ciclo no hiperbólico.

Las bifurcaciones globales también pueden involucrar conjuntos más complicados, como atractores caóticos (por ejemplo, crisis ).

• Ejemplos de bifurcaciones
• 
  Se produce una bifurcación de Hopf en el sistema y , cuando , alrededor del origen. Se produce una bifurcación homoclínica alrededor de . ${\displaystyle {\dot {x}}=\mu x+y-x^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=-x+\mu y+2x^{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =0.06605695}$
• 
  Una vista detallada de la bifurcación homoclínica.
• 
  A medida que aumenta desde cero, surge un ciclo límite estable a partir del origen a través de la bifurcación de Hopf. Aquí graficamos el ciclo límite de forma paramétrica, hasta el orden . El cálculo exacto se explica en la página de la bifurcación de Hopf . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{3/2}}$

Codimensión de una bifurcación

La codimensión de una bifurcación es el número de parámetros que se deben variar para que se produzca la bifurcación. Esto corresponde a la codimensión del conjunto de parámetros para el que se produce la bifurcación dentro del espacio completo de parámetros. Las bifurcaciones de nodo de silla de montar y las bifurcaciones de Hopf son las únicas bifurcaciones locales genéricas que son realmente de codimensión uno (las demás tienen todas codimensiones más altas). Sin embargo, las bifurcaciones transcríticas y de horquilla también suelen considerarse de codimensión uno, porque las formas normales se pueden escribir con un solo parámetro.

Un ejemplo de una bifurcación de codimensión dos bien estudiada es la bifurcación de Bogdanov-Takens .

Aplicaciones en física semiclásica y cuántica

La teoría de la bifurcación se ha aplicado para conectar los sistemas cuánticos con la dinámica de sus análogos clásicos en sistemas atómicos, ^{[6] [7] [8]} sistemas moleculares, ^[9] y diodos tuneladores resonantes . ^[10] La teoría de la bifurcación también se ha aplicado al estudio de la dinámica del láser ^[11] y una serie de ejemplos teóricos a los que es difícil acceder experimentalmente, como la parte superior pateada ^[12] y los pozos cuánticos acoplados. ^[13] La razón dominante para el vínculo entre los sistemas cuánticos y las bifurcaciones en las ecuaciones clásicas de movimiento es que en las bifurcaciones, la firma de las órbitas clásicas se vuelve grande, como señala Martin Gutzwiller en su clásico ^[14] trabajo sobre el caos cuántico . ^[15] Se han estudiado muchos tipos de bifurcaciones con respecto a los vínculos entre la dinámica clásica y cuántica, incluidas las bifurcaciones de nodos de silla, las bifurcaciones de Hopf, las bifurcaciones umbilicales, las bifurcaciones de duplicación de período, las bifurcaciones de reconexión, las bifurcaciones tangentes y las bifurcaciones de cúspide.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Diagrama de bifurcación
• Memoria de bifurcación
• Teoría de catástrofes
• Constantes de Feigenbaum
• Inversión geomagnética
• Retrato de fase
• Teorema de la raqueta de tenis

Notas

1. Blanchard, P.; Devaney, RL ; Hall, GR (2006). Ecuaciones diferenciales . Londres: Thompson. pp. 96–111. ISBN. 978-0-495-01265-8.
2. Henri Poincaré. " El equilibrio de una masa fluida animada con un movimiento de rotación ". Acta Mathematica , vol.7, págs. 259-380, septiembre de 1885.
3. Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison-Wesley . pág. 262. ISBN. 0-201-54344-3.
4. Luo, Dingjun (1997). Teoría de la bifurcación y métodos de sistemas dinámicos . World Scientific. pág. 26. ISBN 981-02-2094-4.
5. James P. Keener, "Bifurcación de período infinito y ramas de bifurcación global", SIAM Journal on Applied Mathematics , vol. 41, n.º 1 (agosto de 1981), págs. 127-144.
6. Gao, J.; Delos, JB (1997). "Manifestaciones cuánticas de bifurcaciones de órbitas cerradas en los espectros de fotoabsorción de átomos en campos eléctricos". Phys. Rev. A . 56 (1): 356–364. Bibcode :1997PhRvA..56..356G. doi :10.1103/PhysRevA.56.356. S2CID  120255640.
7. Peters, AD; Jaffé, C.; Delos, JB (1994). "Manifestaciones cuánticas de bifurcaciones de órbitas clásicas: un modelo exactamente solucionable". Phys. Rev. Lett . 73 (21): 2825–2828. Bibcode :1994PhRvL..73.2825P. doi :10.1103/PhysRevLett.73.2825. PMID  10057205. S2CID  1641622.
8. Courtney, Michael; Jiao, Hong; Spellmeyer, Neal; Kleppner, Daniel; Gao, J.; Delos, JB; et al. (1995). "Bifurcaciones de órbitas cerradas en espectros continuos de Stark". Phys. Rev. Lett . 74 (9): 1538–1541. Bibcode :1995PhRvL..74.1538C. doi :10.1103/PhysRevLett.74.1538. PMID  10059054. S2CID  21573702.
9. Founargiotakis, M.; Farantos, SC; Skokos, Ch.; Contopoulos, G. (1997). "Diagramas de bifurcación de órbitas periódicas para sistemas moleculares no ligados: FH2". Chemical Physics Letters . 277 (5–6): 456–464. Bibcode :1997CPL...277..456F. doi :10.1016/S0009-2614(97)00931-7.
10. Monteiro, TS y Saraga, DS (2001). "Pozos cuánticos en campos inclinados: amplitudes semiclásicas y tiempos de coherencia de fase". Fundamentos de la física . 31 (2): 355–370. Bibcode :2001FoPh...31..355M. doi :10.1023/A:1017546721313. S2CID  120968155.
11. Wieczorek, S.; Krauskopf, B.; Simpson, TB y Lenstra, D. (2005). "La complejidad dinámica de los láseres semiconductores inyectados ópticamente". Physics Reports . 416 (1–2): 1–128. Bibcode :2005PhR...416....1W. doi :10.1016/j.physrep.2005.06.003.
12. Stamatiou, G. y Ghikas, DPK (2007). "Dependencia del entrelazamiento cuántico en bifurcaciones y cicatrices en sistemas no autónomos. El caso de la patada cuántica". Physics Letters A . 368 (3–4): 206–214. arXiv : quant-ph/0702172 . Bibcode :2007PhLA..368..206S. doi :10.1016/j.physleta.2007.04.003. S2CID  15562617.
13. Galan, J.; Freire, E. (1999). "Caos en un modelo de campo medio de pozos cuánticos acoplados; bifurcaciones de órbitas periódicas en un sistema hamiltoniano simétrico". Informes de física matemática . 44 (1–2): 87–94. Bibcode :1999RpMP...44...87G. doi :10.1016/S0034-4877(99)80148-7.
14. Kleppner, D.; Delos, JB (2001). "Más allá de la mecánica cuántica: perspectivas a partir del trabajo de Martin Gutzwiller". Fundamentos de la física . 31 (4): 593–612. Bibcode :2001FoPh...31..593K. doi :10.1023/A:1017512925106. S2CID  116944147.
15. Gutzwiller, Martin C. (1990). Caos en la mecánica clásica y cuántica . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.

Referencias

• Afrajmovich, VS; Arnold, VI ; et al. (1994). Teoría de la bifurcación y teoría de catástrofes . Springer. ISBN 978-3-540-65379-0.
• Guardia, M.; Martínez-Seara, M.; Teixeira, MA (2011). Bifurcaciones genéricas de baja codimensión de sistemas planos de Filippov. “Revista de ecuaciones diferenciales”, Febrer 2011, vol. 250, núm. 4, págs. 1967-2023. DOI:10.1016/j.jde.2010.11.016
• Wiggins, Stephen (1988). Bifurcaciones globales y caos: métodos analíticos. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-96775-2.

Enlaces externos

• Dinámica no lineal
• Bifurcaciones y flujos bidimensionales por Elmer G. Wiens
• Introducción a la teoría de la bifurcación por John David Crawford