Bifurcación en forma de horca

Bifurcación de un sistema que tiene un punto fijo a tres puntos fijos

En la teoría de bifurcaciones , un campo dentro de las matemáticas , una bifurcación en horquilla es un tipo particular de bifurcación local donde el sistema pasa de un punto fijo a tres puntos fijos. Las bifurcaciones en horquilla, al igual que las bifurcaciones de Hopf , son de dos tipos: supercríticas y subcríticas.

En los sistemas dinámicos continuos descritos por EDO (es decir, flujos), las bifurcaciones en horquilla ocurren genéricamente en sistemas con simetría .

Caso supercrítico

Caso supercrítico: las líneas continuas representan puntos estables, mientras que la línea punteada representa los inestables.

La forma normal de la bifurcación en horquilla supercrítica es

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.}$

Para , hay un equilibrio estable en . Para hay un equilibrio inestable en , y dos equilibrios estables en . ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}}$

Caso subcrítico

Caso subcrítico: la línea continua representa el punto estable, mientras que las líneas punteadas representan los inestables.

La forma normal para el caso subcrítico es

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.}$

En este caso, para el equilibrio en es estable, y hay dos equilibrios inestables en . Para el equilibrio en es inestable. ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-r}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x=0}$

Definición formal

Una EDO

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,r)\,}$

descrito por una función de un parámetro que satisface: ${\displaystyle f(x,r)}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle -f(x,r)=f(-x,r)\,\,}$  (f es una función impar ),

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0})&\neq 0,\\[5pt]{\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial r}}(0,r_{0})&\neq 0.\end{aligned}}}$

tiene una bifurcación en forma de horquilla en . La forma de la horquilla está dada por el signo de la tercera derivada: ${\displaystyle (x,r)=(0,r_{0})}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0}){\begin{cases}<0,&{\text{supercritical}}\\>0,&{\text{subcritical}}\end{cases}}\,\,}$

Tenga en cuenta que los valores subcríticos y supercríticos describen la estabilidad de las líneas externas del tridente (discontinuas o continuas, respectivamente) y no dependen de la dirección en la que se orienta el tridente. Por ejemplo, el negativo de la primera EDO anterior, , se orienta en la misma dirección que la primera imagen, pero invierte la estabilidad. ${\displaystyle {\dot {x}}=x^{3}-rx}$

Véase también

• Teoría de la bifurcación
• Diagrama de bifurcación

Referencias

• Steven Strogatz, Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería , Perseus Books, 2000.
• S. Wiggins, Introducción a los sistemas dinámicos no lineales aplicados y al caos , Springer-Verlag, 1990.