Bifurcación de Hopf

Punto crítico donde surge una solución periódica

Valores propios complejos de una función arbitraria (puntos). En el caso de la bifurcación de Hopf, dos valores propios complejos conjugados cruzan el eje imaginario.

En la teoría matemática de bifurcaciones , una bifurcación de Hopf es un punto crítico en el que, a medida que cambia un parámetro, la estabilidad de un sistema cambia y surge una solución periódica . ^[1] Más exactamente, es una bifurcación local en la que un punto fijo de un sistema dinámico pierde estabilidad, a medida que un par de valores propios conjugados complejos (de la linealización alrededor del punto fijo) cruza el eje imaginario del plano complejo cuando un parámetro cruza un valor umbral. Bajo suposiciones razonablemente genéricas sobre el sistema dinámico, el punto fijo se convierte en un ciclo límite de pequeña amplitud a medida que cambia el parámetro.

Una bifurcación de Hopf también se conoce como bifurcación de Poincaré-Andronov-Hopf , llamada así en honor a Henri Poincaré , Aleksandr Andronov y Eberhard Hopf .

Descripción general

Bifurcaciones de Hopf supercríticas y subcríticas

Dinámica de la bifurcación de Hopf cerca de . Posibles trayectorias en rojo, estructuras estables en azul oscuro y estructuras inestables en azul claro discontinuo. Bifurcación de Hopf supercrítica: 1a) punto fijo estable 1b) punto fijo inestable, ciclo límite estable 1c) dinámica del espacio de fases. Bifurcación de Hopf subcrítica: 2a) punto fijo estable, ciclo límite inestable 2b) punto fijo inestable 2c) dinámica del espacio de fases. determina la dinámica angular y, por lo tanto, la dirección de enrollamiento de las trayectorias. ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \omega }$

El ciclo límite es orbitalmente estable si una cantidad específica llamada primer coeficiente de Lyapunov es negativa y la bifurcación es supercrítica. De lo contrario, es inestable y la bifurcación es subcrítica.

La forma normal de una bifurcación de Hopf es la siguiente ecuación diferencial dependiente del tiempo:

${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+b|z|^{2}),}$donde z ,  b son ambos complejos y λ es un parámetro real.

Escribe: El número α se llama primer coeficiente de Lyapunov . ${\displaystyle b=\alpha +i\beta .\,}$

• Si α es negativo entonces existe un ciclo límite estable para λ  > 0:

${\displaystyle z(t)=re^{i\omega t}\,}$

dónde

${\displaystyle r={\sqrt {-\lambda /\alpha }}{\text{ and }}\omega =1+\beta r^{2}.\,}$

La bifurcación se denomina entonces supercrítica.

• Si α es positivo, entonces hay un ciclo límite inestable para λ  < 0. La bifurcación se llama subcrítica.

Intuición

Forma normal de la bifurcación de Hopf supercrítica en coordenadas cartesianas. ^[2]

La forma normal de la bifurcación de Hopf supercrítica se puede expresar intuitivamente en coordenadas polares,

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(\mu -r^{2})r,~~{\frac {d\theta }{dt}}=\omega }$

donde es la amplitud instantánea de la oscilación y es su posición angular instantánea. ^[3] La velocidad angular es fija. Cuando , la ecuación diferencial para tiene un punto fijo inestable en y un punto fijo estable en . El sistema describe así un ciclo límite circular estable con radio y velocidad angular . Cuando entonces es el único punto fijo y es estable. En ese caso, el sistema describe una espiral que converge al origen. ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle (\omega )}$ ${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle r={\sqrt {\mu }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\mu }}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mu <0}$ ${\displaystyle r=0}$

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas polares se pueden transformar en coordenadas cartesianas escribiendo y . ^[3] Al diferenciar y con respecto al tiempo se obtienen las ecuaciones diferenciales, ${\displaystyle x=r\cos(\theta )}$ ${\displaystyle y=r\sin(\theta )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&={\frac {dr}{dt}}\cos(\theta )-{\frac {d\theta }{dt}}r\sin(\theta )\\&=(\mu -r^{2})r\cos(\theta )-\omega r\sin(\theta )\\&=(\mu -x^{2}-y^{2})x-\omega y\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&={\frac {dr}{dt}}\sin(\theta )+{\frac {d\theta }{dt}}r\cos(\theta )\\&=(\mu -r^{2})r\sin(\theta )+\omega r\cos(\theta )\\&=(\mu -x^{2}-y^{2})y+\omega x.\end{aligned}}}$

Caso subcrítico

La forma normal del Hopf subcrítico se obtiene negando el signo de , ${\displaystyle dr/dt}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-(\mu -r^{2})r,~~{\frac {d\theta }{dt}}=\omega }$

lo que invierte la estabilidad de los puntos fijos en . Porque el ciclo límite ahora es inestable y el origen es estable. ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle \mu >0}$

Ejemplo

La bifurcación de Hopf en el sistema de Selkov (ver artículo). A medida que cambian los parámetros, aparece un ciclo límite (en azul) a partir de un equilibrio estable.

Las bifurcaciones de Hopf ocurren en el modelo de Lotka-Volterra de interacción depredador-presa (conocido como paradoja de enriquecimiento ), el modelo de Hodgkin-Huxley para el potencial de membrana nerviosa, ^[4] el modelo de Selkov de glucólisis , ^[5] la reacción de Belousov-Zhabotinsky , el atractor de Lorenz , el Brusselator y en el electromagnetismo clásico . ^[6] También se ha demostrado que las bifurcaciones de Hopf ocurren en ondas de fisión. ^[7]

El modelo de Selkov es

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-x+ay+x^{2}y,~~{\frac {dy}{dt}}=b-ay-x^{2}y.}$

La figura muestra un retrato de fase que ilustra la bifurcación de Hopf en el modelo de Selkov. ^[8]

En los sistemas de vehículos ferroviarios, el análisis de bifurcación de Hopf es de especial importancia. Convencionalmente, el movimiento estable de un vehículo ferroviario a bajas velocidades se convierte en inestable a altas velocidades. Uno de los objetivos del análisis no lineal de estos sistemas es realizar una investigación analítica de la bifurcación, la estabilidad lateral no lineal y el comportamiento de oscilación de los vehículos ferroviarios en una vía tangente, que utiliza el método de Bogoliubov. ^[9]

Método de expansión en serie

^[10]

Consideremos un sistema definido por , donde es uniforme y es un parámetro. Después de una transformación lineal de parámetros, podemos suponer que a medida que aumenta de menos de cero a más de cero, el origen pasa de ser un sumidero en espiral a una fuente en espiral. ${\displaystyle {\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Ahora, para , realizamos una expansión perturbativa usando dos tiempos : donde es "tiempo lento" (por lo tanto "dos tiempos"), y son funciones de . Mediante un argumento con balance armónico (ver ^[10] para detalles), podemos usar . Luego, reemplazando en , y expandiendo hasta el orden, obtendríamos tres ecuaciones diferenciales ordinarias en . ${\displaystyle \mu >0}$ $${\displaystyle x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\epsilon ^{3}x_{3}(t,T)+\cdots }$$ ${\displaystyle T=\nu t}$ ${\displaystyle \epsilon ,\nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \epsilon =\mu ^{1/2},\nu =\mu }$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle {\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0}$ ${\displaystyle \epsilon ^{3}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$

La primera ecuación tendría la forma , que da como solución , donde son "términos que varían lentamente" de . Si la introducimos en la segunda ecuación, podemos resolver . ${\displaystyle \partial _{tt}x_{1}+\omega _{0}^{2}x_{1}=0}$ ${\displaystyle x_{1}(t,T)=A(T)\cos(\omega _{0}t+\phi (T))}$ ${\displaystyle A(T),\phi (T)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}(t,T)}$

Luego, si introducimos la tercera ecuación, obtendríamos una ecuación de la forma , con el lado derecho como una suma de términos trigonométricos. De estos términos, debemos establecer el "término de resonancia" (es decir, ) en cero. Esta es la misma idea que el método de Poincaré-Lindstedt . Esto proporciona dos ecuaciones diferenciales ordinarias para , lo que permite obtener el valor de equilibrio de , así como su estabilidad. ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle \partial _{tt}x_{3}+\omega _{0}^{2}x_{3}=...}$ ${\displaystyle \cos(\omega _{0}t),\sin(\omega _{0}t)}$ ${\displaystyle A,\phi }$ ${\displaystyle A}$

Ejemplo

Considere el sistema definido por y . El sistema tiene un punto de equilibrio en el origen. Cuando aumenta de negativo a positivo, el origen pasa de ser un punto espiral estable a ser un punto espiral inestable. ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$

Primero, eliminamos de las ecuaciones: Ahora, realizamos la expansión perturbativa como se describió anteriormente: con . Expandiendo hasta el orden , obtenemos: La primera ecuación tiene solución . Aquí están respectivamente la "amplitud de variación lenta" y la "fase de variación lenta" de la oscilación simple. ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}\implies {\ddot {x}}=\mu {\dot {x}}+(-x+\mu y+2x^{2})-2x{\dot {x}}\implies {\ddot {x}}-2\mu {\dot {x}}+(1+\mu ^{2})x+2x{\dot {x}}-(2+\mu )x^{2}=0}$$ $${\displaystyle x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\cdots }$$ ${\displaystyle \epsilon =\mu ^{1/2},T=\mu t}$ ${\displaystyle \epsilon ^{3}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{tt}x_{1}+x_{1}=0\\\partial _{tt}x_{2}+x_{2}=2x_{1}^{2}-2x_{1}\partial _{t}x_{1}\\\partial _{tt}x_{3}+x_{3}=4x_{1}x_{2}+2\partial _{t}(x_{1}-x_{1}x_{2}-\partial _{T}x_{1})\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x_{1}(t,T)=A(T)\cos(t+\phi (T))}$ ${\displaystyle A(T),\phi (T)}$

La segunda ecuación tiene solución , donde también son amplitud y fase de variación lenta. Ahora, como , podemos fusionar los dos términos como . ${\displaystyle x_{1}(t,T)=B\cos(t+\theta )+A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}$ ${\displaystyle B,\theta }$ ${\displaystyle x=\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+\cdots =\epsilon (A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta ))+\cdots }$ ${\displaystyle A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta )}$ ${\displaystyle C\cos(t+\xi )}$

Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos suponer . Por lo tanto, introduciendo la tercera ecuación, obtenemos Eliminando los términos de resonancia, obtenemos La primera ecuación muestra que es un equilibrio estable. Por lo tanto, encontramos que la bifurcación de Hopf crea un ciclo límite de atracción (en lugar de repulsión). ${\displaystyle B=0}$ $${\displaystyle x_{2}(t,T)=A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}$$ $${\displaystyle \partial _{t}^{2}x_{3}+x_{3}+(2A-A^{3}-2A')\sin(t+\phi )-(2A\phi '+11A^{3}/3)\cos(t+\phi )+{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}$$ $${\displaystyle A'=A-A^{3}/2,\quad \phi '=-{\frac {11}{6}}A^{2}}$$ ${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$

Al introducir , tenemos . Podemos volver a elegir el origen del tiempo para hacer . Ahora, resuelva para obteniendo . Al introducir de nuevo las expresiones para , tenemos . Al introducirlas de nuevo en , obtenemos también la expansión en serie de , hasta el orden . ${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \phi =-{\frac {11}{3}}T+\phi _{0}}$ ${\displaystyle \phi _{0}=0}$ $${\displaystyle \partial _{t}^{2}x_{3}+x_{3}+{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}$$ $${\displaystyle x_{3}={\frac {\sqrt {2}}{12}}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}$$ ${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ $${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}\cos(t+\phi ),\quad x_{2}=2-{\frac {2}{3}}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}$$ ${\displaystyle y=x^{2}+{\dot {x}}-\mu x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mu ^{3/2}}$

Dejando por limpieza de notación, tenemos ${\displaystyle \theta :=t+\phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=&\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\cos \theta +&\mu \left(2-{\frac {2}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {2}{3}}\cos(2\theta )\right)+&\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}(5\sin(3\theta )-\cos(3\theta ))+&O(\mu ^{2})\\y&=&-\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\sin \theta +&\mu \left(1+{\frac {4}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {1}{3}}\cos(2\theta )\right)+&\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}(36\sin \theta +28\cos \theta -5\sin(3\theta )+7\cos(3\theta ))+&O(\mu ^{2})\end{aligned}}}$

Esto nos proporciona una ecuación paramétrica para el ciclo límite, que se representa gráficamente en la ilustración de la derecha.

• Ejemplos de bifurcaciones
• 
  Se produce una bifurcación de Hopf en el sistema y , cuando , alrededor del origen. Se produce una bifurcación homoclínica alrededor de . ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =0.06605695}$
• 
  Una vista detallada de la bifurcación homoclínica.
• 
  A medida que aumenta desde cero, surge un ciclo límite estable a partir del origen a través de la bifurcación de Hopf. Aquí graficamos el ciclo límite de forma paramétrica, hasta el orden . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{3/2}}$

Definición de bifurcación de Hopf

La aparición o desaparición de una órbita periódica a través de un cambio local en las propiedades de estabilidad de un punto fijo se conoce como bifurcación de Hopf. El siguiente teorema funciona para puntos fijos con un par de valores propios puramente imaginarios conjugados distintos de cero . Indica las condiciones en las que se produce este fenómeno de bifurcación.

Teorema (ver sección 11.2 de ^[11] ). Sea el jacobiano de un sistema dinámico paramétrico continuo evaluado en un punto estable . Supóngase que todos los valores propios de tienen parte real negativa excepto un par puramente imaginario conjugado distinto de cero . Una bifurcación de Hopf surge cuando estos dos valores propios cruzan el eje imaginario debido a una variación de los parámetros del sistema. ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle Z_{e}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle \pm i\beta }$

Criterio de Routh-Hurwitz

El criterio de Routh-Hurwitz (sección I.13 de ^[12] ) da las condiciones necesarias para que se produzca una bifurcación de Hopf. ^[13]

Serie Tormenta

Sean series de Sturm asociadas a un polinomio característico . Pueden escribirse en la forma: ${\displaystyle p_{0},~p_{1},~\dots ~,~p_{k}}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }$

Los coeficientes para corresponden a lo que se denomina determinantes de Hurwitz . ^[13] Su definición está relacionada con la matriz de Hurwitz asociada . ${\displaystyle c_{i,0}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,~\dots ~,~k\}}$

Proposiciones

Proposición 1. Si todos los determinantes de Hurwitz son positivos, excepto quizás , entonces el jacobiano asociado no tiene valores propios imaginarios puros. ${\displaystyle c_{i,0}}$ ${\displaystyle c_{k,0}}$

Proposición 2. Si todos los determinantes de Hurwitz (para todos en son positivos, y entonces todos los valores propios del jacobiano asociado tienen partes reales negativas excepto un par conjugado puramente imaginario. ${\displaystyle c_{i,0}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{0,~\dots ~,~k-2\}}$ ${\displaystyle c_{k-1,0}=0}$ ${\displaystyle c_{k-2,1}<0}$

Las condiciones que buscamos para que se produzca una bifurcación de Hopf (ver teorema anterior) para un sistema dinámico continuo paramétrico están dadas por esta última proposición.

Ejemplo

Consideremos el oscilador clásico de Van der Pol escrito con ecuaciones diferenciales ordinarias:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx}{dt}}=\mu (1-y^{2})x-y,\\{\dfrac {dy}{dt}}=x.\end{array}}\right.}$

La matriz jacobiana asociada a este sistema es la siguiente:

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}-\mu (-1+y^{2})&-2\mu yx-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

El polinomio característico (en ) de la linealización en (0,0) es igual a: ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle P(\lambda )=\lambda ^{2}-\mu \lambda +1.}$

Los coeficientes son: La serie de Sturm asociada es: ${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=-\mu ,a_{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}p_{0}(\lambda )=a_{0}\lambda ^{2}-a_{2}\\p_{1}(\lambda )=a_{1}\lambda \end{array}}}$

Los polinomios de Sturm se pueden escribir como (aquí ): ${\displaystyle i=0,1}$

${\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }$

La proposición 2 anterior dice que se debe tener:

${\displaystyle c_{0,0}=1>0,c_{1,0}=-\mu =0,c_{0,1}=-1<0.}$

Como 1 > 0 y −1 < 0 son obvios, se puede concluir que puede ocurrir una bifurcación de Hopf para el oscilador de Van der Pol si . ${\displaystyle \mu =0}$

Véase también

• Sistemas de reacción-difusión

Referencias

1. "Bifurcaciones de Hopf" (PDF) . MIT.
2. Heitmann, S., Breakspear, M (2017-2022) Caja de herramientas de dinámica cerebral. bdtoolbox.org doi.org/10.5281/zenodo.5625923
3. Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6.
4. Guckenheimer, J.; Labouriau, JS (1993), "Bifurcación de las ecuaciones de Hodgkin y Huxley: un nuevo giro", Boletín de biología matemática , 55 (5): 937–952, doi :10.1007/BF02460693, S2CID  189888352.
5. "Demostración del modelo Selkov de Wolfram". [demonstrations.wolfram.com ] . Consultado el 30 de septiembre de 2012 .
6. López, Álvaro G (2020-12-01). "Análisis de estabilidad del movimiento uniforme de cuerpos electrodinámicos". Physica Scripta . 96 (1): 015506. doi :10.1088/1402-4896/abcad2. ISSN  1402-4896. S2CID  228919333.
7. Osborne, Andrew G.; Deinert, Mark R. (octubre de 2021). "Estabilidad, inestabilidad y bifurcación de Hopf en ondas de fisión". Cell Reports Physical Science . 2 (10): 100588. Bibcode :2021CRPS....200588O. doi : 10.1016/j.xcrp.2021.100588 . S2CID  240589650.
8. Para una derivación detallada, véase Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. pág. 205. ISBN. 978-0-7382-0453-6.
9. Serajian, Reza (2011). "Efectos de la inercia del bogie y de la carrocería en la oscilación no lineal del juego de ruedas reconocida por la teoría de la bifurcación de Hopf" (PDF) . Revista internacional de ingeniería automotriz . 3 (4): 186–196.
10. 18.385J / 2.036J Dinámica no lineal y caos Otoño de 2014: Bifurcaciones de Hopf. MIT OpenCourseWare
11. Hale, J.; Koçak, H. (1991). Dinámica y bifurcaciones . Textos de Matemáticas Aplicadas. Vol. 3. Berlín: Springer-Verlag. ISBN. 978-3-540-97141-2.
12. Hairer, E.; Norsett, SP; Wanner, G. (1993). Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: problemas no rígidos (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0.
13. Kahoui, ME; Weber, A. (2000). "Decidir bifurcaciones de Hopf mediante eliminación de cuantificadores en una arquitectura de componentes de software". Journal of Symbolic Computation . 30 (2): 161–179. doi : 10.1006/jsco.1999.0353 .

Lectura adicional

• Guckenheimer, J .; Myers, M.; Sturmfels, B. (1997). "Cálculo de bifurcaciones de Hopf I". Revista SIAM de Análisis Numérico . 34 (1): 1–21. CiteSeerX  10.1.1.52.1609 . doi :10.1137/S0036142993253461.
• Hale, J. ; Koçak, H. (1991). Dinámica y bifurcaciones . Textos de Matemáticas Aplicadas. Vol. 3. Berlín: Springer-Verlag. ISBN. 978-3-540-97141-2.
• Hassard, Brian D.; Kazarinoff, Nicholas D .; Wan, Yieh-Hei (1981). Teoría y aplicaciones de la bifurcación de Hopf. Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-23158-2.
• Kuznetsov, Yuri A. (2004). Elementos de la teoría de la bifurcación aplicada (tercera edición). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-21906-6.
• Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6.

Enlaces externos

• La bifurcación de Hopf
• Página de la bifurcación de Andronov-Hopf en Scholarpedia