Equilibrio armónico

El balance armónico es un método utilizado para calcular la respuesta en estado estable de ecuaciones diferenciales no lineales , ^[1] y se aplica principalmente a circuitos eléctricos no lineales . ^{[2] [3] [4]} Es un método de dominio de frecuencia para calcular el estado estable, a diferencia de los diversos métodos de estado estable de dominio de tiempo . El nombre "balance armónico" es descriptivo del método, que comienza con la Ley de corriente de Kirchhoff escrita en el dominio de frecuencia y un número elegido de armónicos. Una señal sinusoidal aplicada a un componente no lineal en un sistema generará armónicos de la frecuencia fundamental. Efectivamente, el método asume que una combinación lineal de sinusoides puede representar la solución, luego equilibra las sinusoides de corriente y voltaje para satisfacer la ley de Kirchhoff. El método se usa comúnmente para simular circuitos que incluyen elementos no lineales , ^[5] y es más aplicable a sistemas con retroalimentación en los que ocurren ciclos límite .

Los circuitos de microondas fueron la aplicación original de los métodos de equilibrio armónico en la ingeniería eléctrica. Los circuitos de microondas eran muy adecuados porque, históricamente, los circuitos de microondas constan de muchos componentes lineales que se pueden representar directamente en el dominio de la frecuencia, más unos pocos componentes no lineales. Los tamaños de los sistemas eran típicamente pequeños. Para circuitos más generales, el método se consideró poco práctico para todos, excepto estos circuitos muy pequeños, hasta mediados de la década de 1990, cuando se aplicaron los métodos del subespacio de Krylov al problema. ^{[6] [7]} La ​​aplicación de métodos del subespacio de Krylov preacondicionados permitió resolver sistemas mucho más grandes, tanto en el tamaño del circuito como en el número de armónicos. Esto hizo práctico el uso actual de los métodos de equilibrio armónico para analizar circuitos integrados de radiofrecuencia (RFIC).

Ejemplo

^[8]

Consideremos la ecuación diferencial . Usamos la solución ansatz y, al sustituirla, obtenemos ${\displaystyle {\ddot {x}}+x^{3}=0}$ ${\displaystyle x=A\cos(\omega t)}$ $${\displaystyle -A\omega ^{2}\cos(\omega t)+A^{3}{\frac {1}{4}}(\cos(3\omega t)+3\cos(\omega t))=0.}$$

Luego, al hacer coincidir los términos, tenemos , lo que da como resultado un período aproximado . ${\displaystyle \cos(\omega t)}$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {3}{4}}}A}$ ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}\approx {\frac {7.2552}{A}}}$

Para una aproximación más exacta, utilizamos la solución ansatz . Sustituyendo estos términos y haciendo coincidir los términos , obtenemos después del álgebra de rutina: ${\displaystyle x=A_{1}\cos(\omega t)+A_{3}\cos(3\omega t)}$ ${\displaystyle \cos(\omega t)}$ ${\displaystyle \cos(3\omega t)}$ $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {3}{4}}}A_{1}{\sqrt {1+y+2y^{2}}},\quad y=A_{3}/A_{1},\quad 51y^{3}+27y^{2}+21y-1=0.}$$

La ecuación cúbica para tiene una sola raíz real . Con ello obtenemos un periodo aproximado. Así nos acercamos a la solución exacta . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\approx 0.0448}$ $${\displaystyle T={\frac {2\pi (1+y)}{{\sqrt {\frac {3}{4}}}A{\sqrt {1+y+2y^{2}}}}}\approx {\frac {7.402}{A}}}$$ ${\displaystyle T=7.4163\cdots /A}$

Algoritmo

El algoritmo de equilibrio armónico es una versión especial del método de Galerkin . Se utiliza para el cálculo de soluciones periódicas de sistemas de ecuaciones diferenciales-algebraicas autónomos y no autónomos . El tratamiento de los sistemas no autónomos es ligeramente más simple que el tratamiento de los autónomos. Un sistema DAE no autónomo tiene la representación

${\displaystyle 0=F(t,x,{\dot {x}})}$

con una función suficientemente suave donde es el número de ecuaciones y son marcadores de posición para el tiempo, el vector de incógnitas y el vector de derivadas del tiempo. ${\displaystyle F:\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t,x,{\dot {x}}}$

El sistema no es autónomo si la función no es constante para (algunos) valores fijos y . Sin embargo, requerimos que exista un período de excitación conocido tal que sea -periódico. ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto F(t,x,{\dot {x}})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto F(t,x,{\dot {x}})}$ ${\displaystyle T}$

Un conjunto candidato natural para las soluciones periódicas de las ecuaciones del sistema es el espacio de Sobolev de funciones débilmente diferenciables en el intervalo con condiciones de contorno periódicas . Suponemos que la suavidad y la estructura de aseguran que es integrable al cuadrado para todo . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle x(0)=x(T)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(t,x(t),{\dot {x}}(t))}$ ${\displaystyle x\in H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$

El sistema de funciones armónicas es una base de Schauder y forma una base de Hilbert del espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado. Por lo tanto, cada candidata a solución puede representarse mediante una serie de Fourier con coeficientes de Fourier y la ecuación del sistema se satisface en el sentido débil si para cada función base se cumple la ecuación variacional ${\displaystyle B:=\left\{\psi _{k}\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle \psi _{k}:=\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)}$ ${\displaystyle H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle H:=L^{2}([0,T],\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle x\in H_{\rm {per}}^{1}((0,T),\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {x}}_{k}\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{k}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\psi _{k}^{*}(t)\cdot x(t)dt}$ ${\displaystyle \psi \in B}$

${\displaystyle 0=\langle \psi ,F(t,x,{\dot {x}})\rangle _{H}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\psi ^{*}(t)\cdot F(t,x,{\dot {x}})dt}$

se cumple. Esta ecuación variacional representa una secuencia infinita de ecuaciones escalares ya que debe probarse para el número infinito de funciones base en . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$

El enfoque de Galerkin para el equilibrio armónico consiste en proyectar el conjunto candidato así como el espacio de prueba para la ecuación variacional al subespacio de dimensión finita abarcado por la base finita . ${\displaystyle B_{N}:=\{\psi _{k}\mid k\in \mathbb {Z} {\text{ with }}-N\leq k\leq N\}}$

Esto proporciona la solución de dimensión finita y el conjunto finito de ecuaciones. ${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {x}}_{k}\psi _{k}(t)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {x}}_{k}\exp \left(ik{\frac {2\pi t}{T}}\right)}$

${\displaystyle 0=\langle \psi _{k},F(t,x,{\dot {x}})\rangle \quad {\text{ with }}k=-N,\ldots ,N}$

que puede resolverse numéricamente.

En el contexto especial de la electrónica, el algoritmo comienza con la ley de corriente de Kirchhoff escrita en el dominio de la frecuencia . Para aumentar la eficiencia del procedimiento, el circuito se puede dividir en sus partes lineal y no lineal, ya que la parte lineal se describe y calcula fácilmente utilizando el análisis nodal directamente en el dominio de la frecuencia.

Primero se hace una estimación inicial de la solución y luego continúa un proceso iterativo:

1. Los voltajes se utilizan para calcular las corrientes de la parte lineal, en el dominio de la frecuencia. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I_{\text{linear}}}$
2. Los voltajes se utilizan luego para calcular las corrientes en la parte no lineal. Dado que los dispositivos no lineales se describen en el dominio del tiempo, los voltajes del dominio de la frecuencia se transforman al dominio del tiempo, generalmente utilizando transformadas rápidas de Fourier inversas. Los dispositivos no lineales se evalúan luego utilizando las formas de onda de voltaje del dominio del tiempo para producir sus corrientes del dominio del tiempo. Luego, las corrientes se transforman nuevamente al dominio de la frecuencia. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I_{\text{nonlinear}}}$ ${\displaystyle V}$
3. Según las leyes de circuitos de Kirchhoff , la suma de las corrientes debe ser cero. Se utiliza un proceso iterativo, generalmente la iteración de Newton , para actualizar los voltajes de la red de modo que se reduzca la corriente residual . Este paso requiere la formulación del jacobiano . ${\displaystyle \epsilon =I_{\text{linear}}+I_{\text{nonlinear}}=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\tfrac {d\epsilon }{dV}}}$

La convergencia se alcanza cuando es aceptablemente pequeña, punto en el cual se conocen todos los voltajes y corrientes de la solución de estado estable, generalmente representados como coeficientes de Fourier. ${\displaystyle \epsilon }$

Referencias

1. Deuflhard, Peter (2006). Métodos de Newton para problemas no lineales . Berlín: Springer-Verlag. Sección 7.3.3.: Método de colocación de Fourier.
2. Gilmore, RJ; Steer, MB (1991). "Análisis de circuitos no lineales utilizando el método de equilibrio armónico: una revisión del arte. Parte I. Conceptos introductorios". Int. J. Microw. Mill.-Wave Comput.-Aided Eng . 1 : 22–37. doi :10.1002/mmce.4570010104.
3. Curtice, WR, Ettenberg, M. (4–6 de junio de 1985). "Un modelo FET de GaAs no lineal para su uso en el diseño de circuitos de salida para amplificadores de potencia". MTT-S International Microwave Symposium Digest . Vol. 85. St. Louis, MO, EE. UU., págs. 405–408. doi :10.1109/MWSYM.1985.1131996. S2CID  111044329.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Nakhla, Michel S.; Vlach, Jiri (febrero de 1976). "Una técnica de equilibrio armónico por partes para la determinación de la respuesta periódica de sistemas no lineales". IEEE Transactions on Circuits and Systems . CAS-23 (2): 85–91. doi :10.1109/TCS.1976.1084181. ISSN  0098-4094.
5. Maas, Stephen A. (2003). Circuitos de microondas y RF no lineales . Artech House. ISBN 978-1-58053-484-0.
6. Feldmann, P.; Melville, B.; Long, D. (1996). "Análisis eficiente del dominio de frecuencia de circuitos analógicos no lineales de gran tamaño". Actas de la Conferencia de circuitos integrados personalizados . págs. 461–464. doi :10.1109/CICC.1996.510597. ISBN. 978-0-7803-3117-4.S2CID62356450  .​
7. Brachtendorf, HG; Welsch, G.; Laur, R. (1995). "Simulación rápida del estado estable de circuitos mediante la técnica de equilibrio armónico". Actas de ISCAS'95 - Simposio internacional sobre circuitos y sistemas . Vol. 2. págs. 1388–1391. doi :10.1109/ISCAS.1995.520406. ISBN 978-0-7803-2570-8. Número de identificación del sujeto  3718242.
8. Mickens, Ronald (1984). "Comentarios sobre el método de equilibrio armónico". Journal of Sound and Vibration . 94 (3): 456–460. Código Bibliográfico :1984JSV....94..456M. doi :10.1016/S0022-460X(84)80025-5.