Serie Tormenta

En matemáticas, la serie de Sturm ^[1] asociada a un par de polinomios recibe su nombre en honor a Jacques Charles François Sturm .

Definición

Sean y dos polinomios univariados. Supóngase que no tienen una raíz común y que el grado de es mayor que el grado de . La serie de Sturm se construye mediante: ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$

${\displaystyle p_{i}:=p_{i+1}q_{i+1}-p_{i+2}{\text{ for }}i\geq 0.}$

Este es casi el mismo algoritmo que el de Euclides pero el resto tiene signo negativo. ${\displaystyle p_{i+2}}$

Serie de Sturm asociada a un polinomio característico

Veamos ahora la serie de Sturm asociada a un polinomio característico en la variable : ${\displaystyle p_{0},p_{1},\dots ,p_{k}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{k}+a_{1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{k-1}\lambda +a_{k}}$

donde para en son funciones racionales en con el conjunto de coordenadas . La serie comienza con dos polinomios obtenidos al dividir por donde representa la unidad imaginaria igual a y separa las partes real e imaginaria: ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} (Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle P(\imath \mu )}$ ${\displaystyle \imath ^{k}}$ ${\displaystyle \imath }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{0}(\mu )&:=\Re \left({\frac {P(\imath \mu )}{\imath ^{k}}}\right)=a_{0}\mu ^{k}-a_{2}\mu ^{k-2}+a_{4}\mu ^{k-4}\pm \cdots \\p_{1}(\mu )&:=-\Im \left({\frac {P(\imath \mu )}{\imath ^{k}}}\right)=a_{1}\mu ^{k-1}-a_{3}\mu ^{k-3}+a_{5}\mu ^{k-5}\pm \cdots \end{aligned}}}$

Los términos restantes se definen con la relación anterior. Debido a la estructura especial de estos polinomios, se pueden escribir en la forma:

${\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }$

En estas notaciones, el cociente es igual a lo que proporciona la condición . Además, el polinomio reemplazado en la relación anterior proporciona las siguientes fórmulas recursivas para el cálculo de los coeficientes . ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle (c_{i-1,0}/c_{i,0})\mu }$ ${\displaystyle c_{i,0}\neq 0}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle c_{i,j}}$

${\displaystyle c_{i+1,j}=c_{i,j+1}{\frac {c_{i-1,0}}{c_{i,0}}}-c_{i-1,j+1}={\frac {1}{c_{i,0}}}\det {\begin{pmatrix}c_{i-1,0}&c_{i-1,j+1}\\c_{i,0}&c_{i,j+1}\end{pmatrix}}.}$

Si para algún , el cociente es un polinomio de grado superior y la secuencia se detiene en . ${\displaystyle c_{i,0}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{h}}$ ${\displaystyle h<k}$

Referencias

1. (en francés) CF Sturm. Resolución de ecuaciones algébricas. Boletín de Férussac. 11:419–425. 1829.