Bifurcación transcrítica

En la teoría de la bifurcación , un campo dentro de las matemáticas , una bifurcación transcrítica es un tipo particular de bifurcación local , lo que significa que se caracteriza por un equilibrio que tiene un valor propio cuya parte real pasa por cero.

La forma normal de una bifurcación transcrítica, donde r varía de −5 a 5.

Una bifurcación transcrítica es aquella en la que existe un punto fijo para todos los valores de un parámetro y nunca se destruye. Sin embargo, dicho punto fijo intercambia su estabilidad con otro punto fijo a medida que varía el parámetro. ^[1] En otras palabras, tanto antes como después de la bifurcación, hay un punto fijo inestable y uno estable. Sin embargo, su estabilidad se intercambia cuando chocan. Por lo tanto, el punto fijo inestable se vuelve estable y viceversa.

La forma normal de una bifurcación transcrítica es

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx-x^{2}.}$

Esta ecuación es similar a la ecuación logística , pero en este caso permitimos que y sean positivos o negativos (mientras que en la ecuación logística y deben ser no negativos). Los dos puntos fijos están en y . Cuando el parámetro es negativo, el punto fijo en es estable y el punto fijo es inestable. Pero para , el punto en es inestable y el punto en es estable. Por lo tanto, la bifurcación ocurre en . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=r}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=r}$ ${\displaystyle r=0}$

Un ejemplo típico (en la vida real) podría ser el problema consumidor-productor, donde el consumo es proporcional a la (cantidad de) recurso.

Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx(1-x)-px,}$

dónde

• ${\displaystyle rx(1-x)}$es la ecuación logística del crecimiento de los recursos; y
• ${\displaystyle px}$es el consumo, proporcional al recurso . ${\displaystyle x}$

Referencias

1. Strogatz, Steven (2001). Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería . Boulder: Westview Press. ISBN 0-7382-0453-6.