En cartografía , una proyección cartográfica es cualquiera de un amplio conjunto de transformaciones empleadas para representar la superficie bidimensional curva de un globo en un plano . [1] [2] [3] En una proyección cartográfica, las coordenadas , a menudo expresadas como latitud y longitud , de ubicaciones desde la superficie del globo se transforman en coordenadas en un plano. [4] [5] La proyección es un paso necesario en la creación de un mapa bidimensional y es uno de los elementos esenciales de la cartografía.
Todas las proyecciones de una esfera sobre un plano necesariamente distorsionan la superficie de alguna manera y en cierta medida. [6] Dependiendo del propósito del mapa, algunas distorsiones son aceptables y otras no; por lo tanto, existen diferentes proyecciones cartográficas para preservar algunas propiedades del cuerpo esférico a expensas de otras propiedades. El estudio de las proyecciones cartográficas se centra principalmente en la caracterización de sus distorsiones. No hay límite para el número de posibles proyecciones cartográficas. [7] : 1 De manera más general, las proyecciones se consideran en varios campos de las matemáticas puras, incluida la geometría diferencial , la geometría proyectiva y las variedades . Sin embargo, el término "proyección cartográfica" se refiere específicamente a una proyección cartográfica .
A pesar del significado literal del nombre, proyección no se limita a proyecciones en perspectiva , como las que resultan de proyectar una sombra en una pantalla o la imagen rectilínea producida por una cámara estenopeica sobre una placa de película plana. Más bien, cualquier función matemática que transforme las coordenadas de la superficie curva de forma clara y suave al plano es una proyección. Pocas proyecciones en uso práctico son perspectiva. [ cita necesaria ]
La mayor parte de este artículo supone que la superficie a mapear es la de una esfera. La Tierra y otros grandes cuerpos celestes generalmente se modelan mejor como esferoides achatados , mientras que los objetos pequeños como los asteroides suelen tener formas irregulares. Las superficies de los cuerpos planetarios se pueden mapear incluso si son demasiado irregulares para modelarlas bien con una esfera o elipsoide. [8] Por lo tanto, de manera más general, una proyección cartográfica es cualquier método de aplanar una superficie curva continua en un plano. [ cita necesaria ]
La proyección cartográfica más conocida es la proyección de Mercator . [7] : 45 Esta proyección cartográfica tiene la propiedad de ser conforme . Sin embargo, ha sido criticado a lo largo del siglo XX por ampliar regiones más alejadas del ecuador. [7] : 156-157 Por el contrario, las proyecciones de áreas iguales , como la proyección sinusoidal y la proyección de Gall-Peters , muestran los tamaños correctos de los países entre sí, pero distorsionan los ángulos. La National Geographic Society y la mayoría de los atlas favorecen las proyecciones cartográficas que comprometen entre el área y la distorsión angular, como la proyección Robinson y la proyección Winkel Tripel . [7] [9]
Se pueden medir muchas propiedades en la superficie de la Tierra independientemente de su geografía:
Se pueden construir proyecciones cartográficas para preservar algunas de estas propiedades a expensas de otras. Debido a que la superficie curva de la Tierra no es isométrica con respecto a un plano, la preservación de las formas requiere inevitablemente una escala variable y, en consecuencia, una presentación no proporcional de las áreas. De manera similar, una proyección que preserva el área no puede ser conforme , lo que da como resultado formas y rumbos distorsionados en la mayoría de los lugares del mapa. Cada proyección preserva, compromete o aproxima las propiedades métricas básicas de diferentes maneras. El propósito del mapa determina qué proyección debe formar la base del mapa. Debido a que los mapas tienen muchos propósitos diferentes, se ha creado una diversidad de proyecciones para satisfacer esos propósitos.
Otra consideración en la configuración de una proyección es su compatibilidad con los conjuntos de datos que se utilizarán en el mapa. Los conjuntos de datos son información geográfica; su recopilación depende del dato (modelo) elegido de la Tierra. Diferentes datums asignan coordenadas ligeramente diferentes a la misma ubicación, por lo que en mapas a gran escala , como los de los sistemas cartográficos nacionales, es importante hacer coincidir el datum con la proyección. Las ligeras diferencias en la asignación de coordenadas entre diferentes datos no son una preocupación para los mapas mundiales o los de grandes regiones, donde tales diferencias se reducen a la imperceptibilidad.
El Teorema Egregium de Carl Friedrich Gauss demostró que la superficie de una esfera no se puede representar en un plano sin distorsión. Lo mismo se aplica a otras superficies de referencia utilizadas como modelos para la Tierra, como los esferoides achatados , los elipsoides y los geoides . Dado que cualquier proyección cartográfica es una representación de una de esas superficies en un plano, todas las proyecciones cartográficas se distorsionan. [5]
La forma clásica de mostrar la distorsión inherente a una proyección es utilizar la indicatriz de Tissot . Para un punto dado, utilizando el factor de escala h a lo largo del meridiano, el factor de escala k a lo largo del paralelo y el ángulo θ ′ entre ellos, Nicolas Tissot describió cómo construir una elipse que ilustra la cantidad y orientación de los componentes de distorsión. [7] : 147–149 [10] : 24 Al espaciar las elipses regularmente a lo largo de los meridianos y paralelos, la red de indicatrices muestra cómo varía la distorsión a lo largo del mapa.
Se han descrito muchas otras formas de mostrar la distorsión en las proyecciones. [11] [12] Al igual que la indicatriz de Tissot, la indicatriz de Goldberg-Gott se basa en infinitesimales y representa distorsiones de flexión y asimetría (flexión y desequilibrio). [13]
En lugar del círculo infinitesimal original (ampliado) como en la indicatriz de Tissot, algunos métodos visuales proyectan formas finitas que abarcan una parte del mapa. Por ejemplo, un círculo pequeño de radio fijo (p. ej., radio angular de 15 grados ). [14] A veces se utilizan triángulos esféricos . [ cita necesaria ] En la primera mitad del siglo XX, proyectar una cabeza humana en diferentes proyecciones era común para mostrar cómo la distorsión varía entre una proyección en comparación con otra. [15] En medios dinámicos, las formas de costas y límites familiares se pueden arrastrar a través de un mapa interactivo para mostrar cómo la proyección distorsiona los tamaños y las formas según la posición en el mapa. [dieciséis]
Otra forma de visualizar la distorsión local es a través de escala de grises o gradaciones de color cuyo tono representa la magnitud de la deformación angular o inflación del área. A veces ambos se muestran simultáneamente combinando dos colores para crear un mapa bivariado . [17]
Medir la distorsión globalmente en todas las áreas en lugar de en un solo punto implica necesariamente elegir prioridades para llegar a un compromiso. Algunos esquemas utilizan la distorsión de la distancia como indicador de la combinación de deformación angular e inflación área; tales métodos eligen arbitrariamente qué caminos medir y cómo ponderarlos para producir un resultado único. Se han descrito muchos. [13] [18] [19] [20] [21]
La creación de una proyección cartográfica implica dos pasos:
Algunas de las proyecciones cartográficas más simples son proyecciones literales, que se obtienen colocando una fuente de luz en algún punto definido con respecto al globo y proyectando sus características sobre una superficie específica. Aunque la mayoría de las proyecciones no están definidas de esta manera, visualizar el modelo de fuente de luz-globo puede ser útil para comprender el concepto básico de una proyección cartográfica.
Una superficie que se puede desplegar o desenrollar en un plano o lámina sin estirarse, rasgarse o encogerse se denomina superficie desarrollable . El cilindro , el cono y el plano son superficies desarrollables. La esfera y el elipsoide no tienen superficies desarrollables, por lo que cualquier proyección de ellos sobre un plano tendrá que distorsionar la imagen. (A modo de comparación, no se puede aplanar una cáscara de naranja sin rasgarla y deformarla).
Una forma de describir una proyección es primero proyectar desde la superficie de la Tierra a una superficie desarrollable, como un cilindro o un cono, y luego desenrollar la superficie hasta formar un plano. Si bien el primer paso distorsiona inevitablemente algunas propiedades del globo, la superficie desarrollable puede desplegarse sin mayor distorsión.
Una vez que se elige entre proyectar sobre un cilindro, un cono o un plano, se debe especificar el aspecto de la forma. El aspecto describe cómo se coloca la superficie desarrollable en relación con el globo: puede ser normal (de modo que el eje de simetría de la superficie coincide con el eje de la Tierra), transversal (en ángulo recto con el eje de la Tierra) u oblicuo (cualquier ángulo intermedio ). ).
La superficie desarrollable también puede ser tangente o secante a la esfera o elipsoide. Tangente significa que la superficie toca el globo pero no lo atraviesa; Secante significa que la superficie corta el globo. Alejar la superficie desarrollable del contacto con el globo nunca preserva ni optimiza las propiedades métricas, por lo que esa posibilidad no se analiza más aquí.
Las rectas tangentes y secantes ( líneas estándar ) se representan sin distorsiones. Si estas líneas son un paralelo de latitud, como en las proyecciones cónicas, se llama paralelo estándar . El meridiano central es el meridiano hacia el que se gira el globo antes de proyectarse. El meridiano central (normalmente escrito λ 0 ) y un paralelo de origen (normalmente escrito φ 0 ) se utilizan a menudo para definir el origen de la proyección cartográfica. [22] [23]
Un globo terráqueo es la única forma de representar la Tierra con una escala constante en todo el mapa en todas las direcciones. Un mapa no puede lograr esa propiedad para ningún área, por pequeña que sea. Sin embargo, puede lograr una escala constante en líneas específicas.
Algunas posibles propiedades son:
La construcción de la proyección también se ve afectada por cómo se aproxima la forma de la Tierra o del cuerpo planetario. En la siguiente sección sobre categorías de proyección, la Tierra se toma como una esfera para simplificar la discusión. Sin embargo, la forma real de la Tierra se acerca más a la de un elipsoide achatado . Ya sean esféricos o elipsoidales, los principios analizados se mantienen sin pérdida de generalidad.
Seleccionar un modelo para la forma de la Tierra implica elegir entre las ventajas y desventajas de una esfera frente a un elipsoide. Los modelos esféricos son útiles para mapas de pequeña escala, como atlas mundiales y globos terráqueos, ya que el error a esa escala no suele ser lo suficientemente perceptible o importante como para justificar el uso del elipsoide más complicado. El modelo elipsoidal se utiliza comúnmente para construir mapas topográficos y para otros mapas de escala grande y mediana que necesitan representar con precisión la superficie terrestre. A menudo se emplean latitudes auxiliares para proyectar el elipsoide.
Un tercer modelo es el geoide , una representación más compleja y precisa de la forma de la Tierra que coincide con lo que sería el nivel medio del mar si no hubiera vientos, mareas o tierra. En comparación con el elipsoide que mejor se ajusta, un modelo geoide cambiaría la caracterización de propiedades importantes como la distancia, la conformidad y la equivalencia. Por lo tanto, en proyecciones geoideas que preservan tales propiedades, la retícula mapeada se desviaría de la retícula de un elipsoide mapeado. Sin embargo, normalmente el geoide no se utiliza como modelo de la Tierra para proyecciones porque la forma de la Tierra es muy regular, con una ondulación del geoide de menos de 100 m del modelo elipsoidal de los 6,3 millones de m de radio de la Tierra . Sin embargo, en el caso de cuerpos planetarios irregulares, como los asteroides , a veces se utilizan modelos análogos al geoide para proyectar mapas. [24] [25] [26] [27] [28]
A veces se utilizan otros sólidos regulares como generalizaciones para el equivalente geoide de cuerpos más pequeños. Por ejemplo, Io se modela mejor mediante un elipsoide triaxial o un esferoide alargado con pequeñas excentricidades. La forma de Haumea es un elipsoide de Jacobi , con su eje mayor dos veces más largo que su menor y con su eje medio una vez y media más largo que su menor. Consulte la proyección cartográfica del elipsoide triaxial para obtener más información.
Una forma de clasificar las proyecciones cartográficas se basa en el tipo de superficie sobre la que se proyecta el globo. En este esquema, el proceso de proyección se describe como colocar una superficie de proyección hipotética del tamaño del área de estudio deseada en contacto con parte de la Tierra, transferir características de la superficie de la Tierra a la superficie de proyección, luego desenredar y escalar la superficie de proyección en una mapa plano. Las superficies de proyección más comunes son cilíndricas (p. ej., Mercator ), cónicas (p. ej., Albers ) y planas (p. ej., estereográficas ). Sin embargo, muchas proyecciones matemáticas no encajan claramente en ninguno de estos tres métodos de proyección. De ahí que se hayan descrito en la literatura otras categorías de pares, como pseudocónicas, pseudocilíndricas, pseudoazimutales, retroazimutales y policónicas .
Otra forma de clasificar las proyecciones es según las propiedades del modelo que conservan. Algunas de las categorías más comunes son:
Debido a que la esfera no es una superficie desarrollable , es imposible construir una proyección cartográfica que sea a la vez de áreas iguales y conforme.
Las tres superficies desarrollables (plano, cilindro, cono) proporcionan modelos útiles para comprender, describir y desarrollar proyecciones cartográficas. Sin embargo, estos modelos están limitados en dos formas fundamentales. Por un lado, la mayoría de las proyecciones mundiales que se utilizan no entran en ninguna de esas categorías. Por otro lado, incluso la mayoría de las proyecciones que caen en esas categorías no son alcanzables naturalmente a través de una proyección física. Como señala LP Lee,
En las definiciones anteriores no se ha hecho ninguna referencia a cilindros, conos o planos. Las proyecciones se denominan cilíndricas o cónicas porque pueden considerarse desarrolladas sobre un cilindro o un cono, según sea el caso, pero también es bueno prescindir de representar cilindros y conos, ya que han dado lugar a muchos malentendidos. Esto es especialmente cierto en el caso de las proyecciones cónicas con dos paralelos estándar: pueden considerarse desarrolladas sobre conos, pero son conos que no guardan una relación simple con la esfera. En realidad, cilindros y conos nos proporcionan términos descriptivos convenientes, pero poco más. [29]
La objeción de Lee se refiere a la forma en que los términos cilíndrico , cónico y plano (azimutal) han sido abstraídos en el campo de las proyecciones cartográficas. Si los mapas se proyectaran como la luz que brilla a través de un globo sobre una superficie desarrollable, entonces el espaciamiento de los paralelos seguiría un conjunto de posibilidades muy limitado. Tal proyección cilíndrica (por ejemplo) es aquella que:
(Si gira el globo antes de proyectar, los paralelos y meridianos no necesariamente seguirán siendo líneas rectas. Las rotaciones normalmente se ignoran a efectos de clasificación).
Donde la fuente de luz emana a lo largo de la línea descrita en esta última restricción es lo que produce las diferencias entre las diversas proyecciones cilíndricas "naturales". Pero el término cilíndrico tal como se utiliza en el campo de las proyecciones cartográficas relaja por completo esta última restricción. En cambio, los paralelos se pueden colocar según cualquier algoritmo que el diseñador haya decidido que se adapta a las necesidades del mapa. La famosa proyección de Mercator es aquella en la que la colocación de paralelos no surge por proyección; en lugar de ello, los paralelos se colocan como deben estar para satisfacer la propiedad de que un curso de rumbo constante siempre se traza como una línea recta.
Una proyección cilíndrica normal es cualquier proyección en la que los meridianos se asignan a líneas verticales equiespaciadas y los círculos de latitud (paralelos) se asignan a líneas horizontales.
La correspondencia de los meridianos con las líneas verticales se puede visualizar imaginando un cilindro cuyo eje coincide con el eje de rotación de la Tierra. Este cilindro se enrolla alrededor de la Tierra, se proyecta y luego se desenrolla.
Por la geometría de su construcción, las proyecciones cilíndricas se extienden de este a oeste. La cantidad de estiramiento es la misma en cualquier latitud elegida en todas las proyecciones cilíndricas y viene dada por la secante de la latitud como múltiplo de la escala del ecuador. Las distintas proyecciones cilíndricas se distinguen entre sí únicamente por su extensión de norte a sur (donde la latitud viene dada por φ):
En el primer caso (Mercator), la escala este-oeste siempre es igual a la escala norte-sur. En el segundo caso (cilíndrico central), la escala norte-sur excede la escala este-oeste en todos los lugares alejados del ecuador. Cada caso restante tiene un par de líneas secantes , un par de latitudes idénticas de signo opuesto (o el ecuador) en las que la escala este-oeste coincide con la escala norte-sur.
Las proyecciones cilíndricas normales mapean toda la Tierra como un rectángulo finito, excepto en los dos primeros casos, donde el rectángulo se extiende infinitamente alto manteniendo un ancho constante.
Una proyección cilíndrica transversal es una proyección cilíndrica que en el caso tangente utiliza un círculo máximo a lo largo de un meridiano como línea de contacto para el cilindro.
Ver: Mercator transversal .
Una proyección cilíndrica oblicua se alinea con un círculo máximo, pero no con el ecuador ni con un meridiano.
Las proyecciones pseudocilíndricas representan el meridiano central como un segmento de línea recta. Otros meridianos son más largos que el meridiano central y se inclinan hacia afuera, alejándose del meridiano central. Las proyecciones pseudocilíndricas representan paralelos como líneas rectas. A lo largo de los paralelos, cada punto de la superficie se mapea a una distancia del meridiano central que es proporcional a su diferencia de longitud con respecto al meridiano central. Por tanto, los meridianos están igualmente espaciados a lo largo de un paralelo determinado. En un mapa pseudocilíndrico, cualquier punto más alejado del ecuador que otro punto tiene una latitud más alta que el otro punto, preservando las relaciones norte-sur. Este rasgo es útil para ilustrar fenómenos que dependen de la latitud, como el clima. Ejemplos de proyecciones pseudocilíndricas incluyen:
La proyección HEALPix combina una proyección cilíndrica de áreas iguales en regiones ecuatoriales con la proyección Collignon en áreas polares.
El término "proyección cónica" se utiliza para referirse a cualquier proyección en la que los meridianos se asignan a líneas equiespaciadas que irradian desde el vértice y los círculos de latitud (paralelos) se asignan a arcos circulares centrados en el vértice. [31]
Al hacer un mapa cónico, el creador del mapa elige arbitrariamente dos paralelos estándar. Esos paralelos estándar pueden visualizarse como líneas secantes donde el cono intersecta al globo o, si el cartógrafo elige el mismo paralelo dos veces, como la línea tangente donde el cono es tangente al globo. El mapa cónico resultante tiene baja distorsión en escala, forma y área cerca de esos paralelos estándar. Se alargan las distancias a lo largo de los paralelos al norte de ambos paralelos estándar o al sur de ambos paralelos estándar; las distancias a lo largo de paralelos entre los paralelos estándar están comprimidas. Cuando se utiliza un único paralelo estándar, las distancias a lo largo de todos los demás paralelos se amplían.
Las proyecciones cónicas que se utilizan habitualmente son:
Las proyecciones azimutales tienen la propiedad de conservar las direcciones desde un punto central y, por lo tanto, los círculos máximos que pasan por el punto central se representan mediante líneas rectas en el mapa. Estas proyecciones también tienen simetría radial en las escalas y, por tanto, en las distorsiones: las distancias del mapa desde el punto central se calculan mediante una función r ( d ) de la distancia verdadera d , independiente del ángulo; correspondientemente, los círculos con el punto central como centro se asignan a círculos que tienen como centro el punto central en el mapa.
El mapeo de líneas radiales se puede visualizar imaginando un plano tangente a la Tierra, con el punto central como punto tangente .
La escala radial es r′ ( d ) y la escala transversal r ( d )/( R sin d/R) donde R es el radio de la Tierra.
Algunas proyecciones azimutales son verdaderas proyecciones en perspectiva ; es decir, se pueden construir mecánicamente, proyectando la superficie de la Tierra extendiendo líneas desde un punto de perspectiva (a lo largo de una línea infinita que pasa por el punto tangente y la antípoda del punto tangente ) sobre el plano:
Otras proyecciones azimutales no son verdaderas proyecciones en perspectiva :
Las proyecciones de mapas poliédricos utilizan un poliedro para subdividir el globo en caras y luego proyectan cada cara al globo. La proyección cartográfica poliédrica más conocida es el mapa Dymaxion de Buckminster Fuller .
Las proyecciones cartográficas conformes u ortomórficas conservan los ángulos localmente, lo que implica que asignan círculos infinitesimales de tamaño constante en cualquier lugar de la Tierra a círculos infinitesimales de diferentes tamaños en el mapa. Por el contrario, las asignaciones que no son conformes distorsionan la mayoría de estos pequeños círculos en elipses de distorsión . Una consecuencia importante de la conformidad es que los ángulos relativos en cada punto del mapa son correctos y la escala local (aunque varía a lo largo del mapa) en todas las direcciones alrededor de cualquier punto es constante. Estas son algunas proyecciones conformes:
Los mapas de áreas iguales preservan la medida del área, generalmente distorsionando las formas para hacerlo. Los mapas de áreas iguales también se denominan equivalentes o autálicos . Estas son algunas proyecciones que preservan el área:
Si la longitud del segmento de línea que conecta dos puntos proyectados en el plano es proporcional a la distancia geodésica (superficie más corta) entre los dos puntos no proyectados en el globo, entonces decimos que la distancia se ha preservado entre esos dos puntos. Una proyección equidistante preserva las distancias desde uno o dos puntos especiales a todos los demás puntos. El punto o puntos especiales pueden estirarse hasta formar una línea o un segmento de curva cuando se proyectan. En ese caso, se debe utilizar el punto de la línea o segmento de curva más cercano al punto que se está midiendo para medir la distancia.
Los grandes círculos se muestran como líneas rectas:
La dirección a una ubicación fija B (el rumbo en la ubicación inicial A de la ruta más corta) corresponde a la dirección en el mapa de A a B:
Las proyecciones de compromiso abandonan la idea de preservar perfectamente las propiedades métricas y buscan en cambio lograr un equilibrio entre las distorsiones o simplemente hacer que las cosas parezcan correctas. La mayoría de estos tipos de proyecciones distorsionan la forma en las regiones polares más que en el ecuador. Estas son algunas proyecciones de compromiso:
Las matemáticas de la proyección no permiten que ninguna proyección cartográfica en particular sea la mejor para todo. [39] Siempre habrá algo distorsionado. Por lo tanto, existen muchas proyecciones para los múltiples usos de los mapas y su amplia gama de escalas.
Los sistemas cartográficos nacionales modernos suelen emplear un Mercator transversal o una variante cercana para mapas de gran escala con el fin de preservar la conformidad y la baja variación de escala en áreas pequeñas. Para mapas de menor escala , como los que abarcan continentes o el mundo entero, se utilizan comúnmente muchas proyecciones según su idoneidad para el propósito, como Winkel Tripel , Robinson y Mollweide . [40] Los mapas de referencia del mundo a menudo aparecen en proyecciones de compromiso. Debido a las distorsiones inherentes a cualquier mapa del mundo, la elección de la proyección se convierte en gran medida en una cuestión estética.
Los mapas temáticos normalmente requieren una proyección de áreas iguales para que los fenómenos por unidad de área se muestren en la proporción correcta. [41] Sin embargo, representar correctamente las proporciones de áreas necesariamente distorsiona las formas más que muchos mapas que no son de áreas iguales.
La proyección de Mercator , desarrollada con fines de navegación, se ha utilizado a menudo en mapas mundiales donde otras proyecciones habrían sido más apropiadas. [42] [43] [44] [45] Este problema ha sido reconocido desde hace mucho tiempo incluso fuera de los círculos profesionales. Por ejemplo, un editorial del New York Times de 1943 afirma:
Ha llegado el momento de descartar [el Mercator] por algo que represente los continentes y las direcciones de manera menos engañosa... Aunque su uso... ha disminuido... sigue siendo muy popular como mapa mural aparentemente en parte porque, como mapa rectangular, llena un espacio de pared rectangular con más mapas, y claramente porque su familiaridad genera más popularidad. [7] : 166
Una controversia en la década de 1980 sobre el mapa de Peters motivó a la Asociación Cartográfica Estadounidense (ahora Sociedad de Cartografía e Información Geográfica ) a producir una serie de folletos (incluido Which Map Is Best [46] ) diseñados para educar al público sobre las proyecciones cartográficas y la distorsión en mapas. En 1989 y 1990, después de algún debate interno, siete organizaciones geográficas norteamericanas adoptaron una resolución recomendando no utilizar ninguna proyección rectangular (incluidas Mercator y Gall-Peters) para mapas de referencia del mundo. [47] [48]
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