Escala (mapa)

Relación entre la distancia en un mapa y la distancia correspondiente en el terreno

Una escala gráfica o de barras. Un mapa también suele dar su escala numéricamente ("1:50.000", por ejemplo, significa que un cm en el mapa representa 50.000 cm de espacio real, que son 500 metros).

Una escala de barras con la escala nominal expresada como "1:600 ​​000", es decir, 1 cm en el mapa corresponde a 600 000  cm = 6  km en el suelo. ^[a]

La escala de un mapa es la relación entre una distancia en el mapa y la distancia correspondiente en el terreno. Este concepto simple se complica por la curvatura de la superficie de la Tierra , que obliga a que la escala varíe en un mapa. Debido a esta variación, el concepto de escala adquiere significado de dos maneras distintas.

La primera forma es la relación entre el tamaño del globo generador y el tamaño de la Tierra. El globo generador es un modelo conceptual al que se reduce la Tierra y desde el cual se proyecta el mapa . La relación entre el tamaño de la Tierra y el tamaño del globo generador se llama escala nominal (también llamada escala principal o fracción representativa ). Muchos mapas indican la escala nominal y pueden incluso mostrar una escala de barras (a veces llamada simplemente "escala") para representarla.

El segundo concepto distinto de escala se aplica a la variación de escala en un mapa. Es la relación entre la escala del punto mapeado y la escala nominal. En este caso 'escala' significa el factor de escala (también llamado escala puntual o escala particular ).

Si la región del mapa es lo suficientemente pequeña como para ignorar la curvatura de la Tierra, como en un plano urbano, entonces se puede utilizar un único valor como escala sin causar errores de medición. En mapas que cubren áreas más grandes, o toda la Tierra, la escala del mapa puede ser menos útil o incluso inútil para medir distancias. La proyección del mapa se vuelve fundamental para comprender cómo varía la escala a lo largo del mapa. ^{[1] [2]} Cuando la escala varía notablemente, se puede contabilizar como factor de escala. La indicatriz de Tissot se utiliza a menudo para ilustrar la variación de la escala de puntos en un mapa.

Historia

Los fundamentos del escalado cuantitativo de mapas se remontan a la antigua China con evidencia textual de que la idea de escalado de mapas se entendió en el siglo II a.C. Los antiguos topógrafos y cartógrafos chinos utilizaban amplios recursos técnicos para producir mapas, como varillas para contar , escuadras de carpintero , plomadas , brújulas para dibujar círculos y tubos de observación para medir la inclinación. Los antiguos astrónomos chinos insinuaron marcos de referencia que postulaban un sistema de coordenadas naciente para identificar ubicaciones que dividieron el cielo en varios sectores o logias lunares. ^[3]

El cartógrafo y geógrafo chino Pei Xiu del período de los Tres Reinos creó un conjunto de mapas de grandes áreas dibujados a escala. Produjo un conjunto de principios que enfatizaban la importancia de una escala consistente, mediciones direccionales y ajustes en las mediciones terrestres en el terreno que se estaba cartografiando. ^[3]

Terminología

Representación de escala

Las escalas de mapas se pueden expresar en palabras (una escala léxica), como una proporción o como una fracción. Ejemplos son:

'un centímetro a cien metros' o 1:10.000 o 1/10.000

'una pulgada a una milla' o 1:63,360 o 1/63,360

'un centímetro a mil kilómetros' o 1:100.000.000 o 1/100.000.000. (La proporción normalmente se abreviaría a 1:100M)

Escala de barras versus escala léxica

Además de lo anterior, muchos mapas llevan una o más escalas de barras (gráficas) . Por ejemplo, algunos mapas británicos modernos tienen tres escalas de barras, una para kilómetros, una para millas y una para millas náuticas.

Una escala léxica en un idioma conocido por el usuario puede ser más fácil de visualizar que una proporción: si la escala es de una pulgada a dos millas y el usuario del mapa puede ver dos pueblos que están separados por aproximadamente dos pulgadas en el mapa, entonces es fácil para determinar que las aldeas están a unas cuatro millas de distancia en el terreno.

Una escala léxica puede causar problemas si se expresa en un idioma que el usuario no comprende o en unidades obsoletas o mal definidas. Por ejemplo, muchas personas mayores en países donde las unidades imperiales solían enseñarse en las escuelas entenderán una escala de una pulgada a un estadio (1:7920). Pero una escala de una libra a una legua puede ser aproximadamente 1:144.000, dependiendo de la elección del cartógrafo entre las muchas definiciones posibles para una legua, y sólo una minoría de los usuarios modernos estará familiarizado con las unidades utilizadas.

Gran escala, mediana escala, pequeña escala

Contraste con la escala espacial .

Un mapa a pequeña escala cubre grandes regiones, como mapas del mundo , continentes o naciones grandes. Es decir, muestran grandes extensiones de terreno en un espacio reducido. Se denominan de pequeña escala porque la fracción representativa es relativamente pequeña.

Los mapas a gran escala muestran áreas más pequeñas con más detalle, como podrían ser los mapas de condado o los planos urbanos. Estos mapas se denominan de gran escala porque la fracción representativa es relativamente grande. Por ejemplo, un plano urbano, que es un mapa a gran escala, podría estar en una escala de 1:10.000, mientras que el mapa mundial, que es un mapa a pequeña escala, podría estar en una escala de 1:100.000.000.

La siguiente tabla describe rangos típicos para estas escalas, pero no debe considerarse autorizada porque no existe un estándar:

Los términos a veces se utilizan en el sentido absoluto de la tabla, pero otras veces en un sentido relativo. Por ejemplo, un lector de mapas cuyo trabajo se refiere únicamente a mapas de gran escala (como se tabuló anteriormente) podría referirse a un mapa en 1:500.000 como de pequeña escala.

En el idioma inglés, la palabra "gran escala" se utiliza a menudo para significar "extenso". Sin embargo, como se explicó anteriormente, los cartógrafos utilizan el término "gran escala" para referirse a mapas menos extensos, aquellos que muestran un área más pequeña. Los mapas que muestran un área extensa son mapas de "pequeña escala". Esto puede ser motivo de confusión.

Variación de escala

El mapeo de áreas grandes causa distorsiones notables porque aplana significativamente la superficie curva de la tierra. La forma en que se distribuye la distorsión depende de la proyección del mapa . La escala varía en todo el mapa y la escala del mapa indicada es solo una aproximación. Esto se analiza en detalle a continuación.

Mapas a gran escala con curvatura descuidada.

La región en la que la Tierra puede considerarse plana depende de la precisión de las mediciones topográficas . Si se mide sólo al metro más cercano, la curvatura de la Tierra es indetectable en una distancia meridiana de unos 100 kilómetros (62 millas) y en una línea este-oeste de unos 80 km (a una latitud de 45 grados). Si se mide con una precisión de 1 milímetro (0,039 pulgadas), la curvatura es indetectable en una distancia de meridiano de aproximadamente 10 km y en una línea este-oeste de aproximadamente 8 km. ^[4] Por lo tanto, un plano de la ciudad de Nueva York con una precisión de un metro o un plano del sitio de construcción con una precisión de un milímetro satisfarían las condiciones anteriores para despreciar la curvatura. Pueden tratarse mediante topografía plana y mapearse mediante dibujos a escala en los que dos puntos cualesquiera a la misma distancia en el dibujo estén a la misma distancia en el suelo. Las distancias terrestres reales se calculan midiendo la distancia en el mapa y luego multiplicándola por la inversa de la fracción de escala o, de manera equivalente, simplemente usando divisores para transferir la separación entre los puntos en el mapa a una escala de barras en el mapa.

Escala de puntos (o escala particular)

Como lo demuestra el Teorema Egregium de Gauss , una esfera (o elipsoide) no puede proyectarse sobre un plano sin distorsión. Esto se ilustra comúnmente por la imposibilidad de alisar una cáscara de naranja sobre una superficie plana sin rasgarla ni deformarla. La única representación verdadera de una esfera a escala constante es otra esfera como un globo terráqueo .

Dado el tamaño práctico limitado de los globos, debemos utilizar mapas para realizar mapas detallados. Los mapas requieren proyecciones. Una proyección implica distorsión: una separación constante en el mapa no corresponde a una separación constante en el terreno. Si bien un mapa puede mostrar una escala de barra gráfica, la escala debe usarse con el entendimiento de que será precisa solo en algunas líneas del mapa. (Esto se analiza con más detalle en los ejemplos de las siguientes secciones).

Sea P un punto en latitud y longitud en la esfera (o elipsoide ). Sea Q un punto vecino y sea el ángulo entre el elemento PQ y el meridiano de P: este ángulo es el ángulo de acimut del elemento PQ. Sean P' y Q' puntos correspondientes en la proyección. El ángulo entre la dirección P'Q' y la proyección del meridiano es el rumbo . En general . Comentario: esta distinción precisa entre azimut (en la superficie de la Tierra) y rumbo (en el mapa) no se observa universalmente, y muchos escritores utilizan los términos casi indistintamente. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

Definición: la escala de puntos en P es la relación de las dos distancias P'Q' y PQ en el límite en el que Q se aproxima a P. Escribimos esto como

${\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}},}$

donde la notación indica que la escala de puntos es función de la posición de P y también de la dirección del elemento PQ.

Definición: si P y Q se encuentran en el mismo meridiano , la escala de meridianos se denota por . ${\displaystyle (\alpha =0)}$ ${\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}$

Definición: si P y Q se encuentran en el mismo paralelo , la escala paralela se denota por . ${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$ ${\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}$

Definición: si la escala de puntos depende sólo de la posición, no de la dirección, decimos que es isotrópica y convencionalmente denotamos su valor en cualquier dirección mediante el factor de escala paralela . ${\displaystyle k(\lambda ,\varphi )}$

Definición: Se dice que una proyección cartográfica es conforme si el ángulo entre un par de líneas que se cruzan en un punto P es el mismo que el ángulo entre las líneas proyectadas en el punto proyectado P', para todos los pares de líneas que se cruzan en el punto P. Un mapa conforme tiene un factor de escala isotrópico. Por el contrario, los factores de escala isotrópica en todo el mapa implican una proyección conforme.

La isotropía de escala implica que los elementos pequeños se estiran por igual en todas las direcciones, es decir, se conserva la forma de un elemento pequeño. Ésta es la propiedad del ortomorfismo (del griego "forma correcta"). La calificación "pequeño" significa que con una determinada precisión de medición no se puede detectar ningún cambio en el factor de escala del elemento. Dado que las proyecciones conformes tienen un factor de escala isotrópico, también se les ha llamado proyecciones ortomórficas . Por ejemplo, la proyección de Mercator es conforme ya que está construida para preservar los ángulos y su factor de escala es isotrópico, una función de la latitud únicamente: Mercator conserva la forma en regiones pequeñas.

Definición: en una proyección conforme con una escala isotrópica, los puntos que tienen el mismo valor de escala pueden unirse para formar líneas isoescala . Estos no están trazados en mapas para usuarios finales, pero aparecen en muchos de los textos estándar. (Ver Snyder ^[1] páginas 203—206.)

La fracción representativa (RF) o escala principal

Hay dos convenciones que se utilizan para establecer las ecuaciones de cualquier proyección dada. Por ejemplo, la proyección cilíndrica equirectangular se puede escribir como

cartógrafos:        ${\displaystyle x=a\lambda }$       ${\displaystyle y=a\varphi }$

matemáticos:       ${\displaystyle x=\lambda }$       ${\displaystyle y=\varphi }$

Aquí adoptaremos la primera de estas convenciones (siguiendo el uso en las encuestas de Snyder). Claramente, las ecuaciones de proyección anteriores definen posiciones en un enorme cilindro enrollado alrededor de la Tierra y luego desenrollado. Decimos que estas coordenadas definen el mapa de proyección que debe distinguirse lógicamente de los mapas impresos (o vistos) reales. Si la definición de escala de puntos en la sección anterior es en términos del mapa de proyección, entonces podemos esperar que los factores de escala estén cerca de la unidad. Para proyecciones cilíndricas tangentes normales, la escala a lo largo del ecuador es k=1 y, en general, la escala cambia a medida que nos alejamos del ecuador. El análisis de escala en el mapa de proyección es una investigación del cambio de k lejos de su verdadero valor de unidad.

Los mapas impresos reales se producen a partir del mapa de proyección mediante una escala constante indicada por una proporción como 1:100M (para mapas del mundo entero) o 1:10000 (para planos urbanos). Para evitar confusión en el uso de la palabra "escala", esta fracción de escala constante se denomina fracción representativa (RF) del mapa impreso y debe identificarse con la proporción impresa en el mapa. Las coordenadas reales del mapa impreso para la proyección cilíndrica equirectangular son

mapa impreso:        ${\displaystyle x=(RF)a\lambda }$       ${\displaystyle y=(RF)a\varphi }$

Esta convención permite una distinción clara entre la escala de proyección intrínseca y la escala de reducción.

A partir de este punto ignoramos la RF y trabajamos con el mapa de proyección.

Visualización de la escala de puntos: la indicatriz de Tissot

La proyección tripel de Winkel con la indicatriz de deformación de Tissot.

Considere un pequeño círculo en la superficie de la Tierra centrado en un punto P en latitud y longitud . Dado que la escala de puntos varía con la posición y la dirección, la proyección del círculo sobre la proyección se distorsionará. Tissot demostró que, mientras la distorsión no sea demasiado grande, el círculo se convertirá en una elipse en la proyección. En general, la dimensión, forma y orientación de la elipse cambiarán a lo largo de la proyección. La superposición de estas elipses de distorsión en la proyección del mapa transmite la forma en que la escala de puntos cambia en el mapa. La elipse de distorsión se conoce como indicatriz de Tissot . El ejemplo que se muestra aquí es la proyección Tripel de Winkel , la proyección estándar para mapas mundiales realizada por la National Geographic Society . La distorsión mínima se produce en el meridiano central en latitudes de 30 grados (norte y sur). (Otros ejemplos ^{[5] [6]} ). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$

Escala de puntos para proyecciones cilíndricas normales de la esfera.

La clave para una comprensión cuantitativa de la escala es considerar un elemento infinitesimal en la esfera. La figura muestra un punto P en latitud y longitud en la esfera. El punto Q está en latitud y longitud . Las rectas PK y MQ son arcos de meridianos de longitud donde es el radio de la esfera y está en radianes. Las líneas PM y KQ son arcos de círculos paralelos de longitud en radianes. Para derivar una propiedad puntual de la proyección en P, basta con tomar un elemento infinitesimal PMQK de la superficie: en el límite de Q que se aproxima a P, tal elemento tiende a ser un rectángulo plano infinitamente pequeño. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \varphi +\delta \varphi }$ ${\displaystyle \lambda +\delta \lambda }$ ${\displaystyle a\,\delta \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Elementos infinitesimales en la esfera y una proyección cilíndrica normal.

Las proyecciones cilíndricas normales de la esfera tienen y son iguales a una función de latitud únicamente. Por lo tanto, el elemento infinitesimal PMQK en la esfera se proyecta a un elemento infinitesimal P'M'Q'K' que es un rectángulo exacto con base y altura  . Comparando los elementos en esfera y proyección podemos deducir inmediatamente expresiones para los factores de escala en paralelos y meridianos. (El tratamiento de la escala en una dirección general se puede encontrar a continuación). ${\displaystyle x=a\lambda }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$ ${\displaystyle \delta y}$

factor de escala paralela   ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

factor de escala meridiano  ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}$

Tenga en cuenta que el factor de escala paralela es independiente de la definición de, por lo que es el mismo para todas las proyecciones cilíndricas normales. Es útil señalar que ${\displaystyle k=\sec \varphi }$ ${\displaystyle y(\varphi )}$

en la latitud 30 grados la escala paralela es ${\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}$

en la latitud 45 grados la escala paralela es ${\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}$

en la latitud 60 grados la escala paralela es ${\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}$

en la latitud 80 grados la escala paralela es ${\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}$

en la latitud 85 grados la escala paralela es ${\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}$

Los siguientes ejemplos ilustran tres proyecciones cilíndricas normales y en cada caso la variación de escala con la posición y dirección se ilustra mediante el uso de la indicatriz de Tissot .

Tres ejemplos de proyección cilíndrica normal.

La proyección equirectangular

La proyección equidistante con la indicatriz de deformación de Tissot.

La proyección equirectangular , ^{[1] [2] [4]} también conocida como Plate Carrée (en francés, "cuadrado plano") o (de manera algo engañosa) la proyección equidistante, se define por

${\displaystyle x=a\lambda ,}$   ${\displaystyle y=a\varphi ,}$

donde es el radio de la esfera, es la longitud desde el meridiano central de la proyección (aquí tomado como el meridiano de Greenwich en ) y es la latitud. Tenga en cuenta que y están en radianes (se obtienen multiplicando la medida en grados por un factor de /180). La longitud está en el rango y la latitud está en el rango . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

Dado que la sección anterior da ${\displaystyle y'(\varphi )=1}$

escala paralela,  ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

escala meridiana ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}$

Para el cálculo de la escala de puntos en una dirección arbitraria, consulte el anexo.

La figura ilustra la indicatriz de Tissot para esta proyección. En el ecuador h=k=1 y los elementos circulares no están distorsionados en la proyección. En latitudes más altas, los círculos se distorsionan en una elipse dada al estirarse únicamente en la dirección paralela: no hay distorsión en la dirección del meridiano. La relación entre el eje mayor y el eje menor es . Claramente el área de la elipse aumenta en el mismo factor. ${\displaystyle \sec \varphi }$

Es instructivo considerar el uso de escalas de barras que podrían aparecer en una versión impresa de esta proyección. La escala es verdadera (k=1) en el ecuador, de modo que al multiplicar su longitud en un mapa impreso por la inversa de la RF (o escala principal) se obtiene la circunferencia real de la Tierra. La escala de barras en el mapa también se dibuja en la escala real, de modo que transferir una separación entre dos puntos en el ecuador a la escala de barras dará la distancia correcta entre esos puntos. Lo mismo ocurre con los meridianos. En un paralelo distinto al ecuador la escala es así cuando transferimos una separación de un paralelo a la escala de barras debemos dividir la distancia de la escala de barras por este factor para obtener la distancia entre los puntos cuando se mide a lo largo del paralelo (que no es la distancia verdadera a lo largo de un círculo máximo ). En una línea con un rumbo de, digamos, 45 grados ( ), la escala varía continuamente con la latitud y transferir una separación a lo largo de la línea a la escala de barras no proporciona una distancia relacionada con la distancia real de ninguna manera simple. (Pero ver apéndice). Incluso si se pudiera calcular una distancia a lo largo de esta línea de ángulo plano constante, su relevancia es cuestionable ya que dicha línea en la proyección corresponde a una curva complicada en la esfera. Por estas razones, las escalas de barras en mapas de pequeña escala deben utilizarse con extrema precaución. ${\displaystyle \sec \varphi }$ ${\displaystyle \beta =45^{\circ }}$

Proyección de Mercator

La proyección de Mercator con la indicatriz de deformación de Tissot . (La distorsión aumenta sin límite en latitudes más altas)

La proyección de Mercator asigna la esfera a un rectángulo (de extensión infinita en la dirección -) mediante las ecuaciones ^{[1] [2] [4]} ${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=a\lambda \,}$

${\displaystyle y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]}$

donde a, y son como en el ejemplo anterior. Dado que los factores de escala son: ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle \varphi \,}$ ${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$

escala paralela      ${\displaystyle k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi .}$

escala meridiana    ${\displaystyle h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\sec \varphi .}$

En el apéndice matemático se muestra que la escala de puntos en una dirección arbitraria también es igual a, por lo que la escala es isotrópica (igual en todas las direcciones), y su magnitud aumenta con la latitud como . En el diagrama de Tissot cada elemento circular infinitesimal conserva su forma pero se agranda cada vez más a medida que aumenta la latitud. ${\displaystyle \sec \varphi }$ ${\displaystyle \sec \varphi }$

Proyección de áreas iguales de Lambert

Proyección cilíndrica normal de áreas iguales de Lambert con indicatriz de deformación de Tissot

La proyección de áreas iguales de Lambert asigna la esfera a un rectángulo finito mediante las ecuaciones ^{[1] [2] [4]}

${\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }$

donde a, y son como en el ejemplo anterior. Dado que los factores de escala son ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }$

escala paralela       ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

escala meridiana    ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }$

A continuación se proporciona el cálculo de la escala de puntos en una dirección arbitraria.

Las escalas vertical y horizontal ahora se compensan entre sí (hk=1) y en el diagrama de Tissot cada elemento circular infinitesimal se distorsiona en una elipse de la misma área que los círculos no distorsionados en el ecuador.

Gráficas de factores de escala.

El gráfico muestra la variación de los factores de escala para los tres ejemplos anteriores. El gráfico superior muestra la función de escala isotrópica de Mercator: la escala en el paralelo es la misma que la escala en el meridiano. Los otros gráficos muestran el factor de escala de meridianos para la proyección equirectangular (h=1) y para la proyección de áreas iguales de Lambert. Estas dos últimas proyecciones tienen una escala paralela idéntica a la del gráfico de Mercator. Para Lambert se observa que la escala paralela (como Mercator A) aumenta con la latitud y la escala del meridiano (C) disminuye con la latitud de tal manera que hk=1, garantizando la conservación del área.

Variación de escala en la proyección de Mercator.

La escala de puntos de Mercator es la unidad en el ecuador porque es tal que el cilindro auxiliar utilizado en su construcción es tangencial a la Tierra en el ecuador. Por esta razón, la proyección habitual debería denominarse proyección tangente . La escala varía con la latitud como . Dado que tiende al infinito a medida que nos acercamos a los polos, el mapa de Mercator se distorsiona enormemente en latitudes altas y por esta razón la proyección es totalmente inapropiada para mapas mundiales (a menos que estemos hablando de navegación y líneas de rumbo ). Sin embargo, a una latitud de aproximadamente 25 grados, el valor de es aproximadamente 1,1, por lo que Mercator tiene una precisión del 10% en una franja de 50 grados de ancho centrada en el ecuador. Las franjas más estrechas son mejores: una franja de 16 grados de ancho (centrada en el ecuador) tiene una precisión del 1% o 1 parte en 100. ${\displaystyle k=\sec \varphi }$ ${\displaystyle \sec \varphi }$ ${\displaystyle \sec \varphi }$

Un criterio estándar para buenos mapas a gran escala es que la precisión debe estar dentro de 4 partes en 10.000, o 0,04%, correspondiente a . Dado que alcanza este valor en grados (ver figura a continuación, línea roja). Por lo tanto, la proyección tangente de Mercator es muy precisa dentro de una franja de 3,24 grados de ancho centrada en el ecuador. Esto corresponde a una distancia norte-sur de unos 360 km (220 millas). Dentro de esta tira, Mercator es muy bueno, muy preciso y conserva la forma porque es conforme (conserva el ángulo). Estas observaciones impulsaron el desarrollo de las proyecciones transversales de Mercator en las que un meridiano se trata "como un ecuador" de la proyección para que podamos obtener un mapa preciso dentro de una distancia estrecha de ese meridiano. Estos mapas son buenos para países alineados casi de norte a sur (como Gran Bretaña ) y se utiliza un conjunto de 60 mapas de este tipo para el Universal Transverse Mercator (UTM) . Tenga en cuenta que en ambas proyecciones (que se basan en varios elipsoides) las ecuaciones de transformación para xey y la expresión del factor de escala son funciones complicadas tanto de latitud como de longitud. ${\displaystyle k=1.0004}$ ${\displaystyle \sec \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =1.62}$

Variación de escala cerca del ecuador para las proyecciones de Mercator tangente (roja) y secante (verde).

Proyecciones secantes o modificadas

Comparación de proyecciones cartográficas cilíndricas, cónicas y azimutales tangentes y secantes con paralelos estándar mostrados en rojo

La idea básica de una proyección secante es que la esfera se proyecta a un cilindro que cruza la esfera en dos paralelos, digamos norte y sur. Claramente, la escala ahora es verdadera en estas latitudes, mientras que la proyección contrae los paralelos debajo de estas latitudes y su factor de escala (paralelo) debe ser menor que uno. El resultado es que la desviación de la escala con respecto a la unidad se reduce en un rango más amplio de latitudes. ${\displaystyle \varphi _{1}}$

Como ejemplo, una posible proyección secante de Mercator se define por

${\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}$

Los multiplicadores numéricos no alteran la forma de la proyección pero sí que modifican los factores de escala:

escala de mercator secante,    ${\displaystyle \quad k\;=0.9996\sec \varphi .}$

De este modo

• la escala en el ecuador es 0,9996,
• la escala es k  = 1 en una latitud dada por dónde para que grados, ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}$ ${\displaystyle \varphi _{1}=1.62}$
• k=1,0004 en una latitud dada por para qué grados. Por lo tanto, la proyección tiene una precisión del 0,04%, en una franja más ancha de 4,58 grados (en comparación con los 3,24 grados de la forma tangente). ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}$ ${\displaystyle \varphi _{2}=2.29}$ ${\displaystyle 1<k<1.0004}$

Esto se ilustra con la curva inferior (verde) en la figura de la sección anterior.

Estas zonas estrechas de alta precisión se utilizan en la proyección UTM y OSGB británica, las cuales son secantes, transversales de Mercator en el elipsoide con la escala en el meridiano central constante en . Las líneas de isoescala son líneas ligeramente curvadas aproximadamente a 180 km al este y al oeste del meridiano central. El valor máximo del factor de escala es 1,001 para UTM y 1,0007 para OSGB. ${\displaystyle k_{0}=0.9996}$ ${\displaystyle k=1}$

Las líneas de escala unitaria en latitud (norte y sur), donde la superficie de proyección cilíndrica intersecta la esfera, son los paralelos estándar de la proyección secante. ${\displaystyle \varphi _{1}}$

Si bien una banda estrecha es importante para un mapeo de alta precisión a gran escala, para los mapas mundiales se utilizan paralelos estándar espaciados mucho más anchos para controlar la variación de escala. Ejemplos son ${\displaystyle |k-1|<0.0004}$

• Behrmann con paralelos estándar a 30N, 30S.
• Área igual de Gall con paralelos estándar en 45N, 45S.

Variación de escala para las proyecciones de áreas iguales de Lambert (verde) y Gall (rojo).

Los gráficos de escala para este último se muestran a continuación en comparación con los factores de escala de áreas iguales de Lambert. En este último, el ecuador es un paralelo estándar único y la escala del paralelo aumenta desde k=1 para compensar la disminución en la escala del meridiano. Para Gall, la escala paralela se reduce en el ecuador (a k=0,707) mientras que la escala del meridiano aumenta (a k=1,414). Esto da lugar a una gran distorsión de la forma en la proyección de Gall-Peters. (En el mundo, África es tan larga como ancha). Tenga en cuenta que las escalas de meridianos y paralelos son la unidad en los paralelos estándar.

Anexo matemático

Elementos infinitesimales en la esfera y una proyección cilíndrica normal.

Para proyecciones cilíndricas normales, la geometría de los elementos infinitesimales da

${\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}$

${\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}$

La relación entre los ángulos y es. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}$

Para la proyección de Mercator : se conservan los ángulos. (No es de extrañar ya que ésta es la relación utilizada para derivar Mercator). Para las proyecciones equidistante y de Lambert tenemos y respectivamente, la relación entre y depende de la latitud  . Denota la escala de puntos en P cuando el elemento infinitesimal PQ forma un ángulo con el meridiano por Está dada por la relación de distancias: ${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ${\displaystyle y'(\varphi )=a}$ ${\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \mu _{\alpha }.}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}$

Estableciendo y sustituyendo y de las ecuaciones (a) y (b) respectivamente se obtiene ${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$ ${\displaystyle \delta \varphi }$ ${\displaystyle \delta y}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }(\varphi )=\sec \varphi \left[{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\right].}$

Para las proyecciones distintas a Mercator, primero debemos calcular a partir de la ecuación (c) y usarla, antes de poder encontrar . Por ejemplo, la proyección equirectangular tiene que ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mu _{\alpha }}$ ${\displaystyle y'=a}$

${\displaystyle \tan \beta =\sec \varphi \tan \alpha .\,}$

Si consideramos una línea de pendiente constante en la proyección, tanto el valor correspondiente de como el factor de escala a lo largo de la línea son funciones complicadas de . No existe una forma sencilla de transferir una separación finita general a una escala de barras y obtener resultados significativos. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi }$

Símbolo de proporción

Si bien los dos puntos se usan a menudo para expresar proporciones, Unicode puede expresar un símbolo específico de proporciones, ligeramente elevado: U+ 2236 ∶ RATIO ( ∶ ).

Ver también

• Distancia geográfica
• Escala (herramienta analítica)
• Escala (relación)
• Escalado (geometría)
• Escala espacial
• Sobre la exactitud en la ciencia

Notas

1. El texto "1 cm = 6 km" es un abuso de notación para el signo igual ; estrictamente, 1  cm = 0,00001  km, según la definición de los prefijos métricos .

Referencias

1. Snyder, John P. (1987). Proyecciones cartográficas: manual de trabajo. Documento profesional 1395 del Servicio Geológico de EE. UU . Imprenta del Gobierno de los Estados Unidos, Washington, DCEste documento se puede descargar desde las páginas del USGS. Proporciona detalles completos de la mayoría de las proyecciones, junto con secciones introductorias, pero no deriva ninguna de las proyecciones de los primeros principios. La derivación de todas las fórmulas para las proyecciones de Mercator se puede encontrar en Las Proyecciones de Mercator .
2. Aplanamiento de la Tierra: dos mil años de proyecciones cartográficas , John P. Snyder, 1993, págs. 5-8, ISBN 0-226-76747-7 . Este es un estudio de prácticamente todas las proyecciones conocidas desde la antigüedad hasta 1993. 
3. Selin, Helaine (2008). Enciclopedia de historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en culturas no occidentales . Springer (publicado el 17 de marzo de 2008). pag. 567.ISBN _ 978-1402049606.
4. Osborne, Peter (2013), Las proyecciones de Mercator , doi :10.5281/zenodo.35392. (Suplementos: Fichas Maxima y Código y figuras Latex) {{citation}}: Enlace externo en |postscript=( ayuda )CS1 maint: postscript (link)
5. Ejemplos de indicatriz de Tissot. Algunas ilustraciones del Tissot Indicatrix aplicadas a una variedad de proyecciones distintas a las cilíndricas normales.
6. Más ejemplos de indicatriz de Tissot en Wikimedia Commons.