Línea de rumbo

Arc crossing all meridians of longitude at the same angle

Imagen de una loxodrómica, o línea loxodrómica, que se desplaza en espiral hacia el Polo Norte

En navegación , una línea de rumbo , loxodrómica (/rʌm/ ) o loxodrómica es un arco que cruza todos los meridianos de longitud en el mismo ángulo , es decir, una trayectoria con acimut constante ( rumbo medido en relación con el norte verdadero ). La navegación en un rumbo fijo (es decir, dirigir el buque para seguir una dirección cardinal constante) daría como resultado una trayectoria de línea de rumbo .

Introducción

El efecto de seguir el curso de una línea de rumbo en la superficie de un globo fue discutido por primera vez por el matemático portugués Pedro Nunes en 1537, en su Tratado en defensa de la carta marina , con un desarrollo matemático posterior por parte de Thomas Harriot en la década de 1590.

Una línea loxodrómica puede contrastarse con un círculo máximo , que es el camino de distancia más corta entre dos puntos en la superficie de una esfera. En un círculo máximo, el rumbo hacia el punto de destino no permanece constante. Si uno fuera a conducir un automóvil a lo largo de un círculo máximo, mantendría el volante fijo, pero para seguir una línea loxodrómica tendría que girar el volante, girándolo más bruscamente a medida que se acerca a los polos. En otras palabras, un círculo máximo es localmente "recto" con una curvatura geodésica cero , mientras que una línea loxodrómica tiene una curvatura geodésica distinta de cero.

Los meridianos de longitud y los paralelos de latitud constituyen casos particulares de la loxodrómica, cuyos ángulos de intersección son respectivamente 0° y 90°. En un paso de norte a sur, el recorrido de la loxodrómica coincide con un círculo máximo, al igual que en un paso de este a oeste a lo largo del ecuador .

En un mapa de proyección Mercator , cualquier loxodrómica es una línea recta; en un mapa de este tipo se puede trazar una loxodrómica entre dos puntos cualesquiera de la Tierra sin salirse del borde del mapa. Pero, en teoría, una loxodrómica puede extenderse más allá del borde derecho del mapa, donde continúa en el borde izquierdo con la misma pendiente (suponiendo que el mapa cubra exactamente 360 ​​grados de longitud).

Las líneas loxodrómicas que cortan meridianos en ángulos oblicuos son curvas loxodrómicas que se dirigen en espiral hacia los polos. ^[1] En una proyección de Mercator, el Polo Norte y el Polo Sur se encuentran en el infinito y, por lo tanto, nunca se muestran. Sin embargo, la loxodrómica completa en un mapa infinitamente alto consistiría en infinitos segmentos de línea entre los dos bordes. En un mapa de proyección estereográfica , una loxodrómica es una espiral equiangular cuyo centro es el polo norte o el polo sur.

Todas las loxodromias se mueven en espiral de un polo al otro. Cerca de los polos, están cerca de ser espirales logarítmicas (que son exactamente lo que son en una proyección estereográfica , ver más abajo), por lo que giran alrededor de cada polo un número infinito de veces pero llegan al polo en una distancia finita. La longitud de polo a polo de una loxodromia (suponiendo una esfera perfecta ) es la longitud del meridiano dividida por el coseno del rumbo que se aleja del norte verdadero. Las loxodromias no están definidas en los polos.

• Tres vistas de una loxodrómica de polo a polo

Etimología y descripción histórica

La palabra loxodromia proviene del griego antiguo λοξός loxós : «oblicuo» + δρόμος drómos : «correr» (de δραμεῖν drameîn : «correr»). La palabra rhumb puede provenir del español o portugués rumbo/rumo («curso» o «dirección») y del griego ῥόμβος rhómbos , ^[2] de rhémbein .

La edición de 1878 de The Globe Encyclopaedia of Universal Information describe una línea loxodrómica como: ^[3]

La línea loxodrómica es una curva que corta a cada miembro de un sistema de líneas de curvatura de una superficie dada en el mismo ángulo. Un barco que navega hacia el mismo punto de la brújula describe una línea que corta todos los meridianos en el mismo ángulo. En la proyección de Mercator (qv) las líneas loxodrómicas son evidentemente rectas. ^[3]

Podría surgir un malentendido porque el término "rumbo" no tenía un significado preciso cuando empezó a usarse. Se aplicaba igualmente bien a las líneas de la rosa de los vientos como a las loxodrómicas porque el término sólo se aplicaba "localmente" y sólo significaba lo que hacía un marinero para navegar con rumbo constante , con toda la imprecisión que eso implica. Por lo tanto, "rumbo" era aplicable a las líneas rectas de los portulanos cuando se utilizaban, así como siempre a las líneas rectas de las cartas Mercator. Para distancias cortas, los "rumbos" de los portulanos no difieren significativamente de los de Mercator, pero en la actualidad "rumbo" es sinónimo del matemáticamente preciso "loxodrómico" porque se ha convertido en sinónimo retrospectivamente. Como afirma Leo Bagrow: ^[4]

La palabra "línea loxodrómica" se aplica erróneamente a las cartas náuticas de este período, ya que una loxodrómica proporciona un rumbo preciso solo cuando la carta se dibuja en una proyección adecuada. La investigación cartométrica ha revelado que no se utilizaba ninguna proyección en las primeras cartas, por lo que conservamos el nombre de "portolana".

Descripción matemática

Para una esfera de radio 1, el ángulo azimutal λ , el ángulo polar − ⁠π/2⁠ ≤ φ ≤ ⁠π/2⁠ (definido aquí para corresponder a la latitud), y los vectores unitarios cartesianos i , j y k se pueden usar para escribir el vector de radio r como

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.}$

Los vectores unitarios ortogonales en las direcciones azimutal y polar de la esfera se pueden escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}}$

que tienen los productos escalares

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.}$

λ̂ para φ constantetraza un paralelo de latitud, mientras que φ̂ para λ constante traza un meridiano de longitud, y juntos generan un plano tangente a la esfera.

El vector unitario

${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

tiene un ángulo constante β con el vector unitario φ̂ para cualquier λ y φ , ya que su producto escalar es

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.}$

Una loxodromia se define como una curva en la esfera que tiene un ángulo constante β con todos los meridianos de longitud y, por lo tanto, debe ser paralela al vector unitario β̂ . Como resultado, una longitud diferencial ds a lo largo de la loxodromia producirá un desplazamiento diferencial

${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {r} &={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\,ds\\[8px]{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}\,d\lambda +{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\,d\varphi &={\bigl (}(\sin {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\bigr )}ds\\[8px](\cos {\varphi })\,d\lambda \,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+d\varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}&=(\sin {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\\[8px]ds&={\frac {\cos {\varphi }}{\sin {\beta }}}\,d\lambda ={\frac {d\varphi }{\cos {\beta }}}\\[8px]{\frac {d\lambda }{d\varphi }}&=\tan {\beta }\cdot \sec {\varphi }\\[8px]\lambda (\varphi \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\tan \beta \cdot {\big (}\operatorname {gd} ^{-1}\varphi -\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}+\lambda _{0}\\[8px]\varphi (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\operatorname {gd} {\big (}(\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}\end{aligned}}}$

donde y son la función Gudermanniana y su inversa, y es el seno hiperbólico inverso . ${\displaystyle \operatorname {gd} }$ ${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} \psi =\arctan(\sinh \psi ),}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi ),}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$

Con esta relación entre λ y φ , el vector de radio se convierte en una función paramétrica de una variable, trazando la loxodrómica en la esfera:

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})={\big (}\cos {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {i} +{\big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {j} +{\big (}\tanh \psi {\big )}\mathbf {k} \,,}$

dónde

${\displaystyle \psi \equiv (\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi }$

es la latitud isométrica . ^[5]

En la línea de rumbo, a medida que la latitud tiende a los polos, φ → ± ⁠π/2⁠ , sin φ → ±1 , la latitud isométrica arsinh(tan φ ) → ± ∞ , y la longitud λ aumenta sin límite, girando alrededor de la esfera muy rápido en una espiral hacia el polo, mientras tiende a una longitud de arco total finita Δ s dada por

${\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\pm \pi /2-\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

Conexión con la proyección de Mercator

Línea loxodrómica (azul) comparada con un arco de círculo máximo (rojo) entre Lisboa (Portugal) y La Habana (Cuba). Arriba: proyección ortográfica. Abajo: proyección de Mercator.

Sea λ la longitud de un punto de la esfera y φ su latitud. Entonces, si definimos las coordenadas del mapa de la proyección de Mercator como

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\,,\\y&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi )\,,\end{aligned}}}$

una loxodrómica con rumbo constante β desde el norte verdadero será una línea recta, ya que (usando la expresión de la sección anterior)

${\displaystyle y=mx}$

con una pendiente

${\displaystyle m=\cot \beta \,.}$

La búsqueda de las loxodrómicas entre dos puntos dados se puede realizar gráficamente en un mapa de Mercator o resolviendo un sistema no lineal de dos ecuaciones con las dos incógnitas m = cot β y λ ₀ . Hay infinitas soluciones; la más corta es la que cubre la diferencia de longitud real, es decir, no da vueltas adicionales y no gira "en sentido contrario".

La distancia entre dos puntos Δ s , medida a lo largo de una loxodrómica, es simplemente el valor absoluto de la secante del rumbo (acimut) multiplicada por la distancia norte-sur (excepto en los círculos de latitud para los que la distancia se vuelve infinita):

${\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\varphi -\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

donde R es uno de los radios medios de la Tierra .

Solicitud

Su uso en la navegación está directamente relacionado con el estilo o proyección de ciertos mapas náuticos. Una línea de rumbo aparece como una línea recta en un mapa de proyección Mercator . ^[1]

El nombre deriva del francés antiguo o del español respectivamente: "rumb" o "rumbo", una línea en el mapa que intersecta todos los meridianos en el mismo ángulo. ^[1] En una superficie plana, esta sería la distancia más corta entre dos puntos. Sobre la superficie de la Tierra, en latitudes bajas o en distancias cortas, se puede utilizar para trazar el curso de un vehículo, una aeronave o un barco. ^[1] En distancias más largas o en latitudes más altas, la ruta del círculo máximo es significativamente más corta que la línea de rumbo entre los mismos dos puntos. Sin embargo, el inconveniente de tener que cambiar continuamente de rumbo mientras se viaja por una ruta de círculo máximo hace que la navegación por línea de rumbo sea atractiva en ciertos casos. ^[1]

El punto se puede ilustrar con un paso este-oeste sobre 90 grados de longitud a lo largo del ecuador , para el cual las distancias del círculo máximo y la línea loxodrómica son las mismas, a 10.000 kilómetros (5.400 millas náuticas). A 20 grados norte, la distancia del círculo máximo es de 9.254 km (4.997 millas náuticas), mientras que la distancia de la línea loxodrómica es de 9.397 km (5.074 millas náuticas), aproximadamente un 1,5% más. Pero a 60 grados norte, la distancia del círculo máximo es de 4.602 km (2.485 millas náuticas), mientras que la línea loxodrómica es de 5.000 km (2.700 millas náuticas), una diferencia del 8,5%. Un caso más extremo es la ruta aérea entre la ciudad de Nueva York y Hong Kong , para la cual la ruta de la línea loxodrómica es de 18.000 km (9.700 millas náuticas). La ruta del gran círculo sobre el Polo Norte es de 13.000 km (7.000 millas náuticas), o 5+1 ⁄ 2 horas menos de tiempo de vuelo a una velocidad de crucero típica .

Algunos mapas antiguos en la proyección Mercator tienen cuadrículas compuestas por líneas de latitud y longitud , pero también muestran líneas loxodrómicas que están orientadas directamente hacia el norte, en un ángulo recto con respecto al norte, o en algún ángulo con respecto al norte que es una fracción racional simple de un ángulo recto. Estas líneas loxodrómicas se dibujarían de manera que convergieran en ciertos puntos del mapa: las líneas que van en todas las direcciones convergerían en cada uno de estos puntos. Véase rosa de los vientos . Dichos mapas necesariamente habrían estado en la proyección Mercator, por lo tanto, no todos los mapas antiguos habrían sido capaces de mostrar marcas de líneas loxodrómicas.

Las líneas radiales de una rosa de los vientos también se denominan loxodrómicas . La expresión «navegar en loxodrómica» se utilizó entre los siglos XVI y XIX para indicar un rumbo determinado de la brújula. ^[1]

Los primeros navegantes, antes de la invención del cronómetro marino , utilizaban rumbos loxodrómicos en sus largas travesías oceánicas, porque la latitud del barco podía establecerse con precisión observando el sol o las estrellas, pero no había una forma precisa de determinar la longitud. El barco navegaba hacia el norte o el sur hasta alcanzar la latitud del destino y, a continuación, navegaba hacia el este o el oeste siguiendo la loxodrómica (en realidad, un paralelo , que es un caso especial de loxodrómica), manteniendo una latitud constante y registrando estimaciones regulares de la distancia recorrida hasta que se avistaba tierra. ^[6]

Generalizaciones

Sobre la esfera de Riemann

La superficie de la Tierra puede ser entendida matemáticamente como una esfera de Riemann , es decir, como una proyección de la esfera al plano complejo . En este caso, las loxodrómicas pueden ser entendidas como ciertas clases de transformaciones de Möbius .

Esferoide

La formulación anterior se puede extender fácilmente a un esferoide . ^{[7] [8] [9] [10] [11] [12]} El curso de la línea de rumbo se encuentra simplemente utilizando la latitud isométrica elipsoidal . En las fórmulas anteriores en esta página, sustituya la latitud conforme en el elipsoide por la latitud en la esfera. De manera similar, las distancias se encuentran multiplicando la longitud del arco meridiano elipsoidal por la secante del acimut.

Véase también

• Gran circulo
• Geodésicas sobre un elipsoide
• Gran elipse
• Isoazimutal
• Red de líneas de rumbo
• La espiral de Seiffert
• Círculo pequeño

Referencias

1. Oxford University Press Rhumb Line. The Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press, 2006. Recuperado de Encyclopedia.com el 18 de julio de 2009.
2. Rumbo en TheFreeDictionary
3. Ross, JM (editor) (1878). The Globe Encyclopaedia of Universal Information , vol. IV, Edimburgo-Escocia, Thomas C. Jack, Grange Publishing Works, recuperado de Google Books el 18 de marzo de 2009;
4. Leo Bagrow (2010). Historia de la cartografía. Transaction Publishers. pág. 65. ISBN 978-1-4128-2518-4.
5. James Alexander, Loxodromes: A Rhumb Way to Go, "Mathematics Magazine", vol. 77, n.º 5, diciembre de 2004. [1]
6. Una breve historia del poder marítimo británico, David Howarth, pub. Constable & Robinson, Londres, 2003, capítulo 8.
7. Smart, WM (1946). "Sobre un problema de navegación". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 106 (2): 124–127. Bibcode :1946MNRAS.106..124S. doi : 10.1093/mnras/106.2.124 .
8. Williams, JED (1950). "Distancias loxodrómicas en el esferoide terrestre". Journal of Navigation . 3 (2): 133–140. doi :10.1017/S0373463300045549. S2CID  128651304.
9. Carlton-Wippern, KC (1992). "Sobre la navegación loxodrómica". Revista de Navegación . 45 (2): 292–297. doi :10.1017/S0373463300010791. S2CID  140735736.
10. Bennett, GG (1996). "Cálculos prácticos de la línea de rumbo en el esferoide". Journal of Navigation . 49 (1): 112–119. Bibcode :1996JNav...49..112B. doi :10.1017/S0373463300013151. S2CID  128764133.
11. Botnev, VA; Ustinov, SM (2014). Методы решения прямой и обратной геодезических задач с высокой точностью [Métodos para la resolución de problemas geodésicos directos e inversos con alta precisión] (PDF) . Revista de la Universidad Politécnica Estatal de San Petersburgo (en ruso). 3 (198): 49–58.
12. Karney, CFF (2024). "El área de los polígonos loxodrómicos". Studia Geophysica et Geodaetica . 68 . doi : 10.1007/s11200-024-0709-z .

Nota: este artículo incorpora texto de la edición de 1878 de The Globe Encyclopaedia of Universal Information , una obra de dominio público.

Lectura adicional

• Monmonier, Mark (2004). Líneas de rumbo y guerras de mapas. Una historia social de la proyección de Mercator . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 9780226534329.

Enlaces externos

• Encabezados constantes y líneas de rumbo en MathPages.
• RhumbSolve(1), una utilidad para cálculos de líneas de rumbo elipsoidales (un componente de GeographicLib).
• Una versión en línea de RhumbSolve.
• Algoritmos de navegación Archivado el 16 de octubre de 2018 en Wayback Machine . Documento: The Sailings.
• Trabajos con cartas - Algoritmos de navegación Trabajos con cartas software libre: Línea loxodrómica, Círculo Máximo, Navegación compuesta, Partes meridionales. Líneas de posición Pilotaje - corrientes y corrección costera.
• Loxodromo de Mathworld.