Multiplicación

operación aritmética

Cuatro bolsas con tres canicas cada una dan doce canicas (4 × 3 = 12).

La multiplicación también se puede considerar como una escala . Aquí, 2 se multiplica por 3 usando escala, dando como resultado 6.

Animación para la multiplicación 2 × 3 = 6

4 × 5 = 20. El rectángulo grande está formado por 20 cuadrados, cada uno de 1 unidad por 1 unidad.

Área de una tela 4,5 mx 2,5 m = 11,25 m ² ; 41/2× 21/2= 111/4

La multiplicación (a menudo indicada por el símbolo de cruz × , por el operador de punto de la línea media ⋅ , por yuxtaposición o, en las computadoras , por un asterisco * ) es una de las cuatro operaciones matemáticas elementales de la aritmética , siendo las otras la suma . resta y división . El resultado de una operación de multiplicación se llama producto .

La multiplicación de números enteros puede considerarse como una suma repetida ; es decir, la multiplicación de dos números equivale a sumar tantas copias de uno de ellos, el multiplicando , como cantidad del otro, el multiplicando ; ambos números pueden denominarse factores .

${\displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}.}$

Por ejemplo, 4 multiplicado por 3, a menudo escrito y hablado como "3 por 4", se puede calcular sumando 3 copias de 4: ${\displaystyle 3\times 4}$

${\displaystyle 3\times 4=4+4+4=12.}$

Aquí, 3 (el multiplicador ) y 4 (el multiplicando ) son los factores , y 12 es el producto .

Una de las principales propiedades de la multiplicación es la propiedad conmutativa , que establece en este caso que sumar 3 copias de 4 da el mismo resultado que sumar 4 copias de 3:

${\displaystyle 4\times 3=3+3+3+3=12.}$

Por tanto, la designación de multiplicador y multiplicando no afecta el resultado de la multiplicación. ^[1]

Las generalizaciones sistemáticas de esta definición básica definen la multiplicación de números enteros (incluidos los números negativos), números racionales (fracciones) y números reales.

La multiplicación también se puede visualizar como contar objetos dispuestos en un rectángulo (para números enteros) o como encontrar el área de un rectángulo cuyos lados tienen algunas longitudes determinadas . El área de un rectángulo no depende de qué lado se mide primero, una consecuencia de la propiedad conmutativa.

El producto de dos medidas (o cantidades físicas ) es un nuevo tipo de medida, normalmente con una unidad derivada . Por ejemplo, al multiplicar las longitudes (en metros o pies) de los dos lados de un rectángulo se obtiene su área (en metros cuadrados o pies cuadrados). Un producto de este tipo es objeto de análisis dimensional .

La operación inversa de la multiplicación es la división . Por ejemplo, dado que 4 multiplicado por 3 es igual a 12, 12 dividido por 3 es igual a 4. De hecho, la multiplicación por 3, seguida de la división por 3, produce el número original. La división de un número distinto de 0 por sí mismo es igual a 1.

Varios conceptos matemáticos amplían la idea fundamental de la multiplicación. El producto de una secuencia, la multiplicación de vectores , los números complejos y las matrices son ejemplos donde esto se puede ver. Estas construcciones más avanzadas tienden a afectar las propiedades básicas a su manera, como volverse no conmutativas en matrices y algunas formas de multiplicación de vectores o cambiar el signo de números complejos.

Notación

En aritmética , la multiplicación a menudo se escribe usando el signo de multiplicación (ya sea × o ) entre los términos (es decir, en notación infija ). ^[2] Por ejemplo, ${\displaystyle \times }$

${\displaystyle 2\times 3=6,}$("dos por tres es igual a seis")

${\displaystyle 3\times 4=12,}$

${\displaystyle 2\times 3\times 5=6\times 5=30,}$

${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.}$

Existen otras notaciones matemáticas para la multiplicación:

• Para reducir la confusión entre el signo de multiplicación × y la variable común x , la multiplicación también se indica mediante signos de punto, ^[3] generalmente un punto en la posición media (raramente un punto ): . ${\displaystyle 5\cdot 2}$

La notación de punto medio u operador de punto , codificada en Unicode como U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR , ahora es estándar en los Estados Unidos y otros países donde el punto se utiliza como punto decimal . Cuando no se puede acceder al carácter del operador de punto,  se utiliza el punto intermedio (·). En otros países que utilizan una coma como marca decimal, se utiliza el punto o el punto medio para la multiplicación. ^{[ cita necesaria ]}

Históricamente, en el Reino Unido e Irlanda, el punto central se usaba a veces para el decimal para evitar que desapareciera en la línea reglada, y el punto/punto se usaba para la multiplicación. Sin embargo, dado que el Ministerio de Tecnología decidió utilizar el punto como punto decimal en 1968, ^[4] y desde entonces se ha adoptado ampliamente el estándar del Sistema Internacional de Unidades (SI), este uso ahora se encuentra sólo en las revistas más tradicionales como como La Lanceta . ^[5]

• En álgebra , la multiplicación que involucra variables a menudo se escribe como una yuxtaposición (por ejemplo, por veces o por cinco veces ), también llamada multiplicación implícita . ^[6] La notación también se puede utilizar para cantidades que están entre paréntesis (por ejemplo, o para cinco por dos). Este uso implícito de la multiplicación puede causar ambigüedad cuando las variables concatenadas coinciden con el nombre de otra variable, cuando el nombre de una variable delante de un paréntesis puede confundirse con el nombre de una función, o en la correcta determinación del orden de las operaciones . ^{[7] [8]} ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 5x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 5(2)}$ ${\displaystyle (5)2}$ ${\displaystyle (5)(2)}$
• En la multiplicación de vectores , existe una distinción entre los símbolos de cruz y punto. El símbolo de la cruz generalmente denota la toma del producto vectorial de dos vectores , lo que da como resultado un vector, mientras que el punto denota la toma del producto escalar de dos vectores, lo que da como resultado un escalar .

En programación informática , el asterisco (como en 5*2) sigue siendo la notación más común. Esto se debe al hecho de que, históricamente, la mayoría de las computadoras estaban limitadas a conjuntos de caracteres pequeños (como ASCII y EBCDIC ) que carecían de un signo de multiplicación (como ⋅o ×), mientras que el asterisco aparecía en todos los teclados. ^{[ cita necesaria ]} Este uso se originó en el lenguaje de programación FORTRAN . ^[9]

Los números que se van a multiplicar generalmente se denominan "factores" (como en la factorización ). El número a multiplicar es el "multiplicando", y el número por el que se multiplica es el "multiplicador". Por lo general, el multiplicador se coloca primero y el multiplicando se coloca en segundo lugar; ^[1] sin embargo, a veces el primer factor es el multiplicando y el segundo el multiplicando. ^[10] Además, como el resultado de la multiplicación no depende del orden de los factores, la distinción entre "multiplicando" y "multiplicador" es útil sólo en un nivel muy elemental y en algunos algoritmos de multiplicación , como la multiplicación larga . Por lo tanto, en algunas fuentes, el término "multiplicando" se considera sinónimo de "factor". ^[11] En álgebra, un número que es el multiplicador de una variable o expresión (por ejemplo, el 3 en ) se llama coeficiente . ${\displaystyle 3xy^{2}}$

El resultado de una multiplicación se llama producto . Cuando un factor es un número entero, el producto es múltiplo del otro o del producto de los demás. Por tanto, es múltiplo de , tal como es . Un producto de números enteros es múltiplo de cada factor; por ejemplo, 15 es el producto de 3 y 5 y es a la vez múltiplo de 3 y múltiplo de 5. ${\displaystyle 2\times \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 5133\times 486\times \pi }$

Definiciones

El producto de dos números o la multiplicación entre dos números se puede definir para casos especiales comunes: números naturales, enteros, números racionales, números reales, números complejos y cuaterniones.

Producto de dos números naturales

3 por 4 es 12.

El producto de dos números naturales se define como: ${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}.}$$

Producto de dos números enteros

Un número entero puede ser cero, positivo o negativo. El producto de cero por otro número entero siempre es cero. El producto de dos números enteros distintos de cero se determina por el producto de sus cantidades positivas , combinado con el signo derivado de la siguiente regla:

$${\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &+&-\\\hline +&+&-\\-&-&+\\\hline \end{array}}}$$

distributividadregla adicional

En palabras:

• Un número positivo multiplicado por un número positivo es positivo (producto de números naturales),
• Un número positivo multiplicado por un número negativo es negativo,
• Un número negativo multiplicado por un número positivo es negativo,
• Un número negativo multiplicado por un número negativo es positivo.

Producto de dos fracciones

Se pueden multiplicar dos fracciones multiplicando sus numeradores y denominadores:

$${\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}},}$$

que se define cuando . ${\displaystyle n,n'\neq 0}$

Producto de dos números reales

Existen varias formas equivalentes de definir formalmente los números reales; ver Construcción de los números reales . La definición de multiplicación es parte de todas estas definiciones.

Un aspecto fundamental de estas definiciones es que todo número real puede aproximarse con cualquier precisión mediante números racionales . Una forma estándar de expresar esto es que todo número real es el límite superior mínimo de un conjunto de números racionales. En particular, todo número real positivo es el límite superior mínimo de los truncamientos de su representación decimal infinita ; por ejemplo, es el límite superior mínimo de ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{3,\;3.1,\;3.14,\;3,141,\ldots \}.}$

Una propiedad fundamental de los números reales es que las aproximaciones racionales son compatibles con las operaciones aritméticas y, en particular, con la multiplicación. Esto significa que, si a y b son números reales positivos tales que y entonces , en particular, el producto de dos números reales positivos es el límite superior mínimo de los productos término por término de las secuencias de sus representaciones decimales. ${\displaystyle a=\sup _{x\in A}x}$ ${\displaystyle b=\sup _{y\in B}y,}$ ${\displaystyle a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.}$

Como cambiar los signos transforma los límites superiores mínimos en los límites inferiores mayores, la forma más sencilla de lidiar con una multiplicación que involucra uno o dos números negativos es usar la regla de los signos descrita anteriormente en § Producto de dos números enteros. A menudo se prefiere la construcción de los números reales mediante secuencias de Cauchy para evitar la consideración de las cuatro posibles configuraciones de signos.

Producto de dos números complejos

Dos números complejos se pueden multiplicar por la ley distributiva y el hecho de que , de la siguiente manera: ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}}$

Un número complejo en coordenadas polares.

El significado geométrico de la multiplicación compleja se puede entender reescribiendo números complejos en coordenadas polares :

${\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }}$

Además,

${\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },}$

del cual se obtiene

${\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.}$

El significado geométrico es que las magnitudes se multiplican y los argumentos se suman.

Producto de dos cuaterniones

El producto de dos cuaterniones lo puedes encontrar en el artículo sobre cuaterniones . Tenga en cuenta, en este caso, que y son, en general, diferentes. ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle b\cdot a}$

Cálculo

El mono educado: un juguete de hojalata fechado en 1918, utilizado como "calculadora" de multiplicación. Por ejemplo: coloque las patas del mono en 4 y 9 y obtenga el producto (36) en sus manos.

Muchos métodos comunes para multiplicar números usando lápiz y papel requieren una tabla de multiplicar de productos de números pequeños memorizados o consultados (generalmente dos números cualesquiera del 0 al 9). Sin embargo, un método, el algoritmo de multiplicación campesina , no lo hace. El siguiente ejemplo ilustra la "multiplicación larga" (el "algoritmo estándar", la "multiplicación de la escuela primaria"):

 23958233× 5830——————————————— 00000000 ( = 23.958.233 × 0) 71874699 ( = 23.958.233 × 30) 191665864 ( = 23.958.233 × 800)+ 119791165 ( = 23.958.233 × 5.000)——————————————— 139676498390 ( = 139.676.498.390 )

En algunos países como Alemania , la multiplicación anterior se representa de manera similar pero con el producto original mantenido en posición horizontal y el cálculo comienza con el primer dígito del multiplicador: ^[12]

23958233 · 5830——————————————— 119791165 191665864 71874699 00000000——————————————— 139676498390

Multiplicar números con más de un par de decimales a mano es tedioso y propenso a errores. Los logaritmos comunes se inventaron para simplificar tales cálculos, ya que sumar logaritmos equivale a multiplicar. La regla de cálculo permitió multiplicar rápidamente los números hasta aproximadamente tres lugares de precisión. A principios del siglo XX, las calculadoras mecánicas , como la Marchant , automatizaron la multiplicación de números de hasta 10 dígitos. Las computadoras y calculadoras electrónicas modernas han reducido en gran medida la necesidad de multiplicar a mano.

Algoritmos históricos

Los métodos de multiplicación estaban documentados en los escritos de las antiguas civilizaciones egipcia , griega, india ^{[ cita necesaria ]} y china .

El hueso de Ishango , fechado entre el 18.000 y el 20.000 a.C., puede insinuar un conocimiento de la multiplicación en la era del Paleolítico superior en África Central , pero esto es especulativo. ^{[13] [ se necesita verificación ]}

egipcios

El método egipcio de multiplicación de números enteros y fracciones, que está documentado en el Papiro Matemático de Rhind , era mediante sumas y duplicaciones sucesivas. Por ejemplo, para encontrar el producto de 13 y 21 había que duplicar 21 tres veces, obteniendo 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168 . Luego se podría encontrar el producto completo sumando los términos apropiados que se encuentran en la secuencia de duplicación: ^[14]

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

babilonios

Los babilonios utilizaban un sistema numérico posicional sexagesimal , análogo al sistema decimal actual . Por tanto, la multiplicación babilónica era muy similar a la multiplicación decimal moderna. Debido a la relativa dificultad de recordar 60 × 60 productos diferentes, los matemáticos babilónicos emplearon tablas de multiplicar . Estas tablas consistían en una lista de los primeros veinte múltiplos de un determinado número principal n : n , 2 n , ..., 20 n ; seguido de los múltiplos de 10 n : 30 n 40 n y 50 n . Luego, para calcular cualquier producto sexagesimal, digamos 53 n , solo es necesario sumar 50 n y 3 n calculados a partir de la tabla. ^{[ cita necesaria ]}

Chino

38 × 76 = 2888

En el texto matemático Zhoubi Suanjing , fechado antes del 300 a. C., y los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , los cálculos de multiplicación se escribían con palabras, aunque los primeros matemáticos chinos empleaban el cálculo de varillas que implicaba suma, resta, multiplicación y división de valor posicional. Los chinos ya utilizaban una tabla de multiplicar decimal al final del período de los Reinos Combatientes . ^[15]

Métodos modernos

Producto de 45 y 256. Tenga en cuenta que el orden de los números en 45 está invertido en la columna de la izquierda. El paso de acarreo de la multiplicación se puede realizar en la etapa final del cálculo (en negrita), devolviendo el producto final de 45 × 256 = 11520 . Esta es una variante de la multiplicación Lattice .

El método moderno de multiplicación basado en el sistema de numeración hindú-árabe fue descrito por primera vez por Brahmagupta . Brahmagupta dio reglas para la suma, resta, multiplicación y división. Henry Burchard Fine , entonces profesor de matemáticas en la Universidad de Princeton , escribió lo siguiente:

Los indios son los inventores no sólo del sistema decimal posicional en sí, sino de la mayoría de los procesos implicados en el cálculo elemental del sistema. La suma y la resta se realizaban de la misma manera que se realizan hoy en día; efectuaron la multiplicación de muchas maneras, la nuestra entre ellas, pero la división la hicieron de manera engorrosa. ^[dieciséis]

Estos algoritmos aritméticos decimales de valor posicional fueron introducidos en los países árabes por Al Khwarizmi a principios del siglo IX y popularizados en el mundo occidental por Fibonacci en el siglo XIII. ^[17]

Método de cuadrícula

La multiplicación por el método de la cuadrícula , o método de la caja, se utiliza en las escuelas primarias de Inglaterra y Gales y en algunas zonas ^{[¿ cuáles? ]} de los Estados Unidos para ayudar a enseñar a comprender cómo funciona la multiplicación de varios dígitos. Un ejemplo de multiplicar 34 por 13 sería disponer los números en una cuadrícula de la siguiente manera:

y luego agregue las entradas.

Algoritmos informáticos

El método clásico de multiplicar dos números de n dígitos requiere n multiplicaciones ^{de 2} dígitos. Se han diseñado algoritmos de multiplicación que reducen considerablemente el tiempo de cálculo al multiplicar números grandes. Los métodos basados ​​en la transformada discreta de Fourier reducen la complejidad computacional a O ( n log n log log n ) . En 2016, el factor log log n fue reemplazado por una función que aumenta mucho más lentamente, aunque aún no es constante. ^[18] En marzo de 2019, David Harvey y Joris van der Hoeven presentaron un artículo que presentaba un algoritmo de multiplicación de enteros con una complejidad de ^[19] Se conjetura que el algoritmo, también basado en la transformada rápida de Fourier, es asintóticamente óptimo. ^[20] El algoritmo no es útil en la práctica, ya que sólo se vuelve más rápido para multiplicar números extremadamente grandes (que tienen más de 2 ^{1729 12} bits). ^[21] ${\displaystyle O(n\log n).}$

Productos de medidas

Sólo se pueden sumar o restar cantidades del mismo tipo de manera significativa, pero cantidades de diferentes tipos se pueden multiplicar o dividir sin problemas. Por ejemplo, cuatro bolsas con tres canicas cada una se pueden considerar como: ^[1]

[4 bolsas] × [3 canicas por bolsa] = 12 canicas.

Cuando se multiplican dos medidas, el producto es de un tipo dependiendo de los tipos de medidas. La teoría general viene dada por el análisis dimensional . Este análisis se aplica habitualmente en física, pero también tiene aplicaciones en finanzas y otros campos aplicados.

Un ejemplo común en física es el hecho de que al multiplicar la velocidad por el tiempo se obtiene la distancia . Por ejemplo:

50 kilómetros por hora × 3 horas = 150 kilómetros.

En este caso, las unidades horarias se cancelan, dejando el producto sólo con unidades kilométricas.

Otros ejemplos de multiplicación que involucran unidades incluyen:

2,5 metros × 4,5 metros = 11,25 metros cuadrados

11 metros/segundos × 9 segundos = 99 metros

4,5 residentes por casa × 20 casas = 90 residentes

Producto de una secuencia

Notación pi mayúscula

El producto de una secuencia de factores se puede escribir con el símbolo del producto , que deriva de la letra mayúscula Π (pi) en el alfabeto griego (de manera muy similar a como el símbolo de suma se deriva de la letra griega Σ (sigma)). ^{[22] [23]} El significado de esta notación viene dado por ${\displaystyle \textstyle \prod }$ ${\displaystyle \textstyle \sum }$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\,(2+1)\,(3+1)\,(4+1),}$

lo que resulta en

${\displaystyle \prod _{i=1}^{4}(i+1)=120.}$

En tal notación, la variable i representa un número entero variable , llamado índice de multiplicación, que va desde el valor inferior 1 indicado en el subíndice hasta el valor superior 4 dado por el superíndice. El producto se obtiene multiplicando todos los factores obtenidos al sustituir el índice de multiplicación por un número entero entre los valores inferior y superior (los límites incluidos) en la expresión que sigue al operador del producto.

De manera más general, la notación se define como

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n},}$

donde m y n son números enteros o expresiones que se evalúan como números enteros. En el caso de m = n , el valor del producto es el mismo que el del factor único x _m ; si m > n , el producto es un producto vacío cuyo valor es 1, independientemente de la expresión de los factores.

Propiedades de la notación pi mayúscula

Por definición,

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}.}$

Si todos los factores son idénticos, un producto de n factores equivale a una exponenciación :

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot \ldots \cdot x=x^{n}.}$

La asociatividad y la conmutatividad de la multiplicación implican

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)}$y

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}}$

si a es un número entero no negativo, o si todos son números reales positivos , y ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x^{a_{i}}=x^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$

si todos son enteros no negativos o si x es un número real positivo. ${\displaystyle a_{i}}$

Productos infinitos

También se pueden considerar productos de infinitos términos; estos se llaman productos infinitos . Notacionalmente, esto consiste en reemplazar n arriba por el símbolo de infinito ∞. El producto de tal secuencia infinita se define como el límite del producto de los primeros n términos, a medida que n crece sin límite. Eso es,

${\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}$

De manera similar, se puede reemplazar m con infinito negativo y definir:

${\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),}$

siempre que existan ambos límites. ^{[ cita necesaria ]}

exponenciación

Cuando se repite la multiplicación, la operación resultante se conoce como exponenciación . Por ejemplo, el producto de tres factores de dos (2×2×2) es "dos elevado a la tercera potencia" y se denota por 2 ³ , un dos con un superíndice tres. En este ejemplo, el número dos es la base y el tres es el exponente . ^[24] En general, el exponente (o superíndice) indica cuántas veces aparece la base en la expresión, de modo que la expresión

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$

indica que se van a multiplicar n copias de la base a . Esta notación se puede utilizar siempre que se sepa que la multiplicación es asociativa en potencia .

Propiedades

Multiplicación de números del 0 al 10. Etiquetas de línea = multiplicando. Eje X = multiplicador. Eje Y = producto.
La extensión de este patrón a otros cuadrantes explica por qué un número negativo multiplicado por un número negativo da como resultado un número positivo.
Observe también cómo la multiplicación por cero causa una reducción en la dimensionalidad, al igual que la multiplicación por una matriz singular donde el determinante es 0. En este proceso, la información se pierde y no se puede recuperar.

Para los números reales y complejos , que incluyen, por ejemplo, los números naturales , los enteros y las fracciones , la multiplicación tiene ciertas propiedades:

Propiedad conmutativa

No importa el orden en que se multiplican dos números:

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}$^{[25] [26]}

Propiedad asociativa

Las expresiones que implican únicamente multiplicación o suma son invariantes con respecto al orden de las operaciones :

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$^{[25] [26]}

Propiedad distributiva

Se cumple con respecto a la multiplicación sobre la suma. Esta identidad es de suma importancia a la hora de simplificar expresiones algebraicas:

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$^{[25] [26]}

Elemento de identidad

La identidad multiplicativa es 1; cualquier cosa multiplicada por 1 es ella misma. Esta característica de 1 se conoce como propiedad de identidad :

${\displaystyle x\cdot 1=x}$^{[25] [26]}

Propiedad de 0

Cualquier número multiplicado por 0 es 0. Esto se conoce como propiedad cero de la multiplicación:

${\displaystyle x\cdot 0=0}$^[25]

Negación

−1 multiplicado por cualquier número es igual al inverso aditivo de ese número.

${\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}$dónde ${\displaystyle (-x)+x=0}$

–1 veces –1 es 1.

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}$

elemento inverso

Todo número x , excepto 0 , tiene un inverso multiplicativo , tal que . ^[27] ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$

Conservación del pedido

La multiplicación por un número positivo conserva el orden :

Para a > 0 , si b > c entonces ab > ac .

La multiplicación por un número negativo invierte el orden:

Para a < 0 , si b > c entonces ab < ac .

Los números complejos no tienen un ordenamiento que sea compatible tanto con la suma como con la multiplicación. ^[28]

Es posible que otros sistemas matemáticos que incluyen una operación de multiplicación no tengan todas estas propiedades. Por ejemplo, la multiplicación no es, en general, conmutativa para matrices y cuaterniones . ^[25]

Axiomas

En el libro Arithmetices principia, nova Methodo exposita , Giuseppe Peano propuso axiomas para la aritmética basándose en sus axiomas para los números naturales. La aritmética de Peano tiene dos axiomas para la multiplicación:

${\displaystyle x\times 0=0}$

${\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}$

Aquí S ( y ) representa el sucesor de y ; es decir, el número natural que sigue a y . Las diversas propiedades como la asociatividad pueden demostrarse a partir de estos y otros axiomas de la aritmética de Peano, incluida la inducción . Por ejemplo, S (0), denotada por 1, es una identidad multiplicativa porque

${\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.}$

Los axiomas de los números enteros suelen definirlos como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales. El modelo se basa en tratar ( x , y ) como equivalente a x − y cuando x e y se tratan como números enteros. Por tanto, tanto (0,1) como (1,2) son equivalentes a −1. El axioma de multiplicación para números enteros definidos de esta manera es

${\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).}$

La regla de que −1 × −1 = 1 puede deducirse entonces de

${\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).}$

La multiplicación se extiende de manera similar a los números racionales y luego a los números reales . ^{[ cita necesaria ]}

Multiplicación con teoría de conjuntos

El producto de números enteros no negativos se puede definir con la teoría de conjuntos utilizando números cardinales o los axiomas de Peano . Vea a continuación cómo extender esto para multiplicar números enteros arbitrarios y luego números racionales arbitrarios. El producto de números reales se define en términos de productos de números racionales; ver construcción de los números reales . ^[29]

Multiplicación en teoría de grupos

Hay muchos conjuntos que, bajo la operación de multiplicación, satisfacen los axiomas que definen la estructura del grupo . Estos axiomas son el cierre, la asociatividad y la inclusión de un elemento de identidad y sus inversos.

Un ejemplo sencillo es el conjunto de los números racionales distintos de cero . Aquí se tiene identidad 1, a diferencia de los grupos de suma donde la identidad suele ser 0. Tenga en cuenta que con los racionales, se debe excluir el cero porque, en la multiplicación, no tiene inverso: no hay ningún número racional que pueda multiplicarse. por cero para dar como resultado 1. En este ejemplo, se tiene un grupo abeliano , pero no siempre es así.

Para ver esto, considere el conjunto de matrices cuadradas invertibles de una dimensión dada sobre un campo dado . Aquí, es sencillo verificar el cierre, la asociatividad y la inclusión de la identidad (la matriz de identidad ) y las inversas. Sin embargo, la multiplicación de matrices no es conmutativa, lo que demuestra que este grupo no es abeliano.

Otro hecho que vale la pena señalar es que los números enteros que se multiplican no forman un grupo, incluso si se excluye el cero. Esto se ve fácilmente por la inexistencia de una inversa para todos los elementos distintos de 1 y −1.

La multiplicación en teoría de grupos normalmente se indica mediante un punto o mediante yuxtaposición (la omisión de un símbolo de operación entre elementos). Entonces, multiplicar el elemento a por el elemento b podría anotarse como a b o ab . Cuando se hace referencia a un grupo mediante la indicación del conjunto y operación, se utiliza el punto. Por ejemplo, nuestro primer ejemplo podría indicarse con . ^[30] ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)}$

Multiplicación de diferentes tipos de números.

Los números pueden contar (3 manzanas), ordenar (la tercera manzana) o medir (3,5 pies de alto); A medida que la historia de las matemáticas ha avanzado desde contar con los dedos hasta modelar la mecánica cuántica, la multiplicación se ha generalizado a tipos de números más complicados y abstractos, y a cosas que no son números (como las matrices ) o que no se parecen mucho a los números ( como los cuaterniones ).

Enteros

${\displaystyle N\times M}$es la suma de N copias de M cuando N y M son números enteros positivos. Esto da la cantidad de cosas en una matriz N de ancho y M de alto. La generalización a números negativos se puede hacer mediante

${\displaystyle N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)}$y

${\displaystyle (-N)\times (-M)=N\times M}$

Las mismas reglas de signos se aplican a los números racionales y reales.

Numeros racionales

La generalización a fracciones se realiza multiplicando los numeradores y denominadores, respectivamente: . Esto da el área de un rectángulo alto y ancho, y es la misma que la cantidad de elementos en una matriz cuando los números racionales son números enteros. ^[25] ${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}}$ ${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}}$ ${\displaystyle {\frac {A}{B}}}$ ${\displaystyle {\frac {C}{D}}}$

Numeros reales

Los números reales y sus productos se pueden definir en términos de secuencias de números racionales .

Números complejos

Considerando números complejos y como pares ordenados de números reales y , el producto es . Esto es lo mismo que para los reales cuando las partes imaginarias y son cero. ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$ ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$ ${\displaystyle z_{1}\times z_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})}$ ${\displaystyle a_{1}\times a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$

De manera equivalente, denotado como , ^[25] ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.}$

Alternativamente, en forma trigonométrica, si , entonces ^[25] ${\displaystyle z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}$ ${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$

Otras generalizaciones

Consulte Multiplicación en teoría de grupos, arriba, y grupo multiplicativo , que por ejemplo incluye la multiplicación de matrices. Un concepto muy general y abstracto de multiplicación es el de la operación binaria "denotada multiplicativamente" (segunda) en un anillo . Un ejemplo de un anillo que no es ninguno de los sistemas numéricos anteriores es un anillo polinomial (los polinomios se pueden sumar y multiplicar, pero los polinomios no son números en el sentido habitual).

División

A menudo, la división, , es lo mismo que la multiplicación por un inverso, . La multiplicación de algunos tipos de "números" puede tener su correspondiente división, sin inversas; en un dominio integral x puede no tener inversa " " pero puede estar definida. En un anillo de división hay inversas, pero pueden ser ambiguas en anillos no conmutativos ya que no tienen por qué ser iguales . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ ${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ ${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}\right)x}$

Ver también

• Análisis dimensional
• Algoritmo de multiplicación
  • Algoritmo de Karatsuba , para números grandes
  • Multiplicación de Toom-Cook , para números muy grandes
  • Algoritmo de Schönhage-Strassen , para números enormes
• Tabla de multiplicación
• Multiplicador binario , como se multiplican las computadoras
  • Algoritmo de multiplicación de Booth
  • Aritmética de punto flotante
  • Operación multiplicar-acumular
    • Fusionado multiplicar-sumar
  • Árbol de Wallace
• Inverso multiplicativo , recíproco
• Factorial
• Gobernantes Genaille-Lucas
• aritmética lunar
• los huesos de napier
• Multiplicación campesina
• Producto (matemáticas) , para generalizaciones.
• Regla de cálculo

Referencias

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Otras lecturas

• Boyer, Carl B. (revisado por Merzbach, Uta C. ) (1991). Historia de las Matemáticas . John Wiley e hijos, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

enlaces externos

• Operaciones de multiplicación y aritméticas en varios sistemas numéricos en cut-the-knot
• Técnicas chinas modernas de multiplicación en un ábaco