Los Problemas del Premio del Milenio son siete conocidos problemas matemáticos complejos seleccionados por el Instituto de Matemáticas Clay en 2000. El Instituto Clay ha prometido un premio de un millón de dólares estadounidenses para la primera solución correcta a cada problema.
El Instituto de Matemáticas Clay designó oficialmente el título de Problema del Milenio para los siete problemas matemáticos sin resolver, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , la conjetura de Hodge , la existencia y suavidad de Navier-Stokes , el problema de P versus NP , la hipótesis de Riemann , la existencia y brecha de masa de Yang-Mills y la conjetura de Poincaré en la Reunión del Milenio celebrada el 24 de mayo de 2000. Por lo tanto, en el sitio web oficial del Instituto de Matemáticas Clay, estos siete problemas se denominan oficialmente Problemas del Milenio .
Hasta la fecha, el único problema del Premio del Milenio que se ha resuelto es la conjetura de Poincaré. El Instituto Clay otorgó el premio monetario al matemático ruso Grigori Perelman en 2010. Sin embargo, este rechazó el premio porque no se le ofreció también a Richard S. Hamilton , en cuyo trabajo se basó Perelman.
El Instituto Clay se inspiró en un conjunto de veintitrés problemas organizados por el matemático David Hilbert en 1900 que tuvieron una gran influencia en el progreso de las matemáticas en el siglo XX. [1] Los siete problemas seleccionados abarcan varios campos matemáticos, a saber, geometría algebraica , geometría aritmética , topología geométrica , física matemática , teoría de números , ecuaciones diferenciales parciales y ciencia informática teórica . A diferencia de los problemas de Hilbert, los problemas seleccionados por el Instituto Clay ya eran reconocidos entre los matemáticos profesionales, y muchos trabajaban activamente para resolverlos. [2]
Los siete problemas fueron anunciados oficialmente por John Tate y Michael Atiyah durante una ceremonia celebrada el 24 de mayo de 2000 (en el anfiteatro Marguerite de Navarre ) en el Collège de France en París . [3]
Grigori Perelman , que había comenzado a trabajar en la conjetura de Poincaré en los años 1990, publicó su demostración en 2002 y 2003. Su rechazo del premio monetario del Instituto Clay en 2010 tuvo una amplia cobertura en los medios. Los otros seis problemas del Premio del Milenio siguen sin resolverse, a pesar de un gran número de demostraciones insatisfactorias realizadas tanto por matemáticos aficionados como profesionales.
Andrew Wiles , como parte del consejo asesor científico del Instituto Clay, esperaba que la elección del premio de 1 millón de dólares popularizaría, entre el público general, tanto los problemas seleccionados como el "entusiasmo del esfuerzo matemático". [4] Otro miembro del consejo, el medallista Fields Alain Connes , esperaba que la publicidad en torno a los problemas sin resolver ayudaría a combatir la "idea errónea" entre el público de que las matemáticas serían "superadas por las computadoras". [5]
Algunos matemáticos han sido más críticos. Anatoly Vershik calificó su premio monetario como "un espectáculo" que representa las "peores manifestaciones de la cultura de masas actual", y pensó que hay formas más significativas de invertir en la apreciación pública de las matemáticas. [6] Consideró que los tratamientos superficiales de los medios de comunicación sobre Perelman y su trabajo, con una atención desproporcionada puesta en el valor del premio en sí, no eran sorprendentes. Por el contrario, Vershik elogió la financiación directa del Instituto Clay de conferencias de investigación y jóvenes investigadores. Los comentarios de Vershik fueron repetidos más tarde por el medallista Fields Shing-Tung Yau , quien además fue crítico de la idea de una fundación que tome medidas para "apropiarse" de cuestiones matemáticas fundamentales y "asociarles su nombre". [7]
En el campo de la topología geométrica , una esfera bidimensional se caracteriza por ser la única superficie bidimensional cerrada y simplemente conexa . En 1904, Henri Poincaré planteó la cuestión de si una afirmación análoga es válida para las formas tridimensionales. Esta afirmación se conoció como la conjetura de Poincaré, cuya formulación precisa dice:
Cualquier variedad topológica tridimensional que sea cerrada y simplemente conexa debe ser homeomorfa a la 3-esfera .
Aunque la conjetura suele formularse de esta forma, es equivalente (como se descubrió en la década de 1950) plantearla en el contexto de variedades suaves y difeomorfismos .
Una demostración de esta conjetura, junto con la conjetura de geometrización más poderosa , fue dada por Grigori Perelman en 2002 y 2003. La solución de Perelman completó el programa de Richard Hamilton para la solución de la conjetura de geometrización, que había desarrollado a lo largo de los veinte años anteriores. El trabajo de Hamilton y Perelman giraba en torno al flujo de Ricci de Hamilton , que es un sistema complicado de ecuaciones diferenciales parciales definidas en el campo de la geometría de Riemann .
Por sus contribuciones a la teoría del flujo de Ricci, Perelman recibió la Medalla Fields en 2006. Sin embargo, se negó a aceptar el premio. [8] Por su prueba de la conjetura de Poincaré, Perelman recibió el Premio del Milenio el 18 de marzo de 2010. [9] Sin embargo, rechazó el premio y el dinero asociado al premio, afirmando que la contribución de Hamilton no era menor que la suya. [10]
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se ocupa de ciertos tipos de ecuaciones: las que definen curvas elípticas sobre los números racionales . La conjetura es que existe una manera sencilla de determinar si dichas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales. Más específicamente, la versión del Premio del Milenio de la conjetura es que, si la curva elíptica E tiene rango r , entonces la función L L ( E , s ) asociada con ella se anula al orden r en s = 1 .
El décimo problema de Hilbert trataba de un tipo de ecuación más general, y en ese caso se demostró que no existe una forma algorítmica de decidir si una ecuación dada tiene alguna solución.
La declaración oficial del problema fue dada por Andrew Wiles . [11]
La conjetura de Hodge es que, para las variedades algebraicas proyectivas , los ciclos de Hodge son combinaciones lineales racionales de ciclos algebraicos .
A esto lo llamamos el grupo de clases de Hodge de grado 2 k en X .
El enunciado moderno de la conjetura de Hodge es:
La formulación oficial del problema fue dada por Pierre Deligne . [12]
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los fluidos y son uno de los pilares de la mecánica de fluidos . Sin embargo, la comprensión teórica de sus soluciones es incompleta, a pesar de su importancia en la ciencia y la ingeniería. Para el sistema tridimensional de ecuaciones, y dadas algunas condiciones iniciales , los matemáticos aún no han demostrado que siempre existan soluciones suaves . Esto se denomina problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes .
El problema, restringido al caso de un flujo incompresible , consiste en demostrar que existen soluciones suaves y globalmente definidas que cumplen ciertas condiciones, o que no siempre existen y las ecuaciones no funcionan. La formulación oficial del problema fue dada por Charles Fefferman . [13]
La pregunta es si, para todos los problemas para los cuales un algoritmo puede verificar una solución dada rápidamente (es decir, en tiempo polinomial ), un algoritmo también puede encontrar esa solución rápidamente. Dado que el primero describe la clase de problemas denominados NP, mientras que el segundo describe P, la pregunta es equivalente a preguntar si todos los problemas en NP también están en P. Esta se considera generalmente una de las preguntas abiertas más importantes en matemáticas y ciencias de la computación teórica, ya que tiene consecuencias de largo alcance para otros problemas en matemáticas , biología , [14] filosofía [15] y criptografía (ver consecuencias de la prueba del problema P versus NP ). Un ejemplo común de un problema NP que no se sabe que está en P es el problema de satisfacibilidad booleano .
La mayoría de los matemáticos y científicos informáticos esperan que P ≠ NP; sin embargo, esto aún no está demostrado. [16]
La declaración oficial del problema fue dada por Stephen Cook . [17]
La función zeta de Riemann ζ(s) es una función cuyos argumentos pueden ser cualquier número complejo distinto de 1, y cuyos valores también son complejos. Su continuación analítica tiene ceros en los enteros pares negativos; es decir, ζ(s) = 0 cuando s es uno de −2, −4, −6, .... Estos se denominan ceros triviales. Sin embargo, los enteros pares negativos no son los únicos valores para los que la función zeta es cero. Los demás se denominan ceros no triviales. La hipótesis de Riemann se ocupa de las ubicaciones de estos ceros no triviales y establece que:
La hipótesis de Riemann es que todos los ceros no triviales de la continuación analítica de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2 . Una prueba o refutación de esto tendría implicaciones de largo alcance en la teoría de números , especialmente para la distribución de números primos . Este fue el octavo problema de Hilbert , y todavía se considera un problema abierto importante un siglo después.
El problema es bien conocido desde que fue planteado originalmente por Bernhard Riemann en 1860. La exposición del problema en el Instituto Clay estuvo a cargo de Enrico Bombieri . [18]
En la teoría cuántica de campos , la brecha de masa es la diferencia de energía entre el vacío y el siguiente estado de energía más bajo . La energía del vacío es cero por definición y, suponiendo que todos los estados de energía pueden considerarse partículas en ondas planas, la brecha de masa es la masa de la partícula más ligera.
Para un campo real dado , podemos decir que la teoría tiene una brecha de masa si la función de dos puntos tiene la propiedad
siendo el valor de energía más bajo en el espectro del hamiltoniano y, por lo tanto, la brecha de masa. Esta cantidad, fácil de generalizar a otros campos, es lo que generalmente se mide en los cálculos de red.
La teoría cuántica de Yang-Mills es la base actual para la mayoría de las aplicaciones teóricas del pensamiento a la realidad y las realidades potenciales de la física de partículas elementales . [19] La teoría es una generalización de la teoría de Maxwell del electromagnetismo donde el campo cromo -electromagnético en sí mismo lleva carga. Como teoría de campo clásica tiene soluciones que viajan a la velocidad de la luz, de modo que su versión cuántica debería describir partículas sin masa ( gluones ). Sin embargo, el fenómeno postulado de confinamiento de color solo permite estados ligados de gluones, formando partículas masivas. Esta es la brecha de masa . Otro aspecto del confinamiento es la libertad asintótica que hace concebible que la teoría cuántica de Yang-Mills exista sin restricción a escalas de baja energía. El problema es establecer rigurosamente la existencia de la teoría cuántica de Yang-Mills y una brecha de masa.
La declaración oficial del problema fue dada por Arthur Jaffe y Edward Witten . [23]
El Instituto de Matemáticas Clay (CMI) anuncia hoy que el Dr. Grigoriy Perelman de San Petersburgo, Rusia, es el destinatario del Premio del Milenio por la resolución de la conjetura de Poincaré.
