Continuación analítica

Extensión del dominio de una función analítica (matemáticas)

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , la continuación analítica es una técnica para ampliar el dominio de definición de una función analítica dada . La continuación analítica a menudo logra definir valores adicionales de una función, por ejemplo, en una nueva región donde la representación de la serie infinita que inicialmente definió la función se vuelve divergente .

Sin embargo, la técnica de continuación por pasos puede encontrar dificultades. Estas pueden tener una naturaleza esencialmente topológica, dando lugar a inconsistencias (que definan más de un valor). Alternativamente, pueden estar relacionadas con la presencia de singularidades . El caso de varias variables complejas es bastante diferente, ya que las singularidades no tienen por qué ser puntos aislados, y su investigación fue una de las principales razones para el desarrollo de la cohomología de haces .

Discusión inicial

Continuación analítica del logaritmo natural (parte imaginaria)

Supóngase que f es una función analítica definida en un subconjunto abierto no vacío U del plano complejo . Si V es un subconjunto abierto más grande de , que contiene a U , y F es una función analítica definida en V tal que ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,}$

Entonces F se llama continuación analítica de f . En otras palabras, la restricción de F a U es la función f con la que comenzamos.

Las continuaciones analíticas son únicas en el siguiente sentido: si V es el dominio conexo de dos funciones analíticas F ₁ y F ₂ tales que U está contenido en V y para todo z en U

${\displaystyle F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),}$

entonces

${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

en todos los V . Esto se debe a que F ₁  −  F ₂ es una función analítica que se anula en el dominio abierto y conexo U de f y, por lo tanto, debe anularse en todo su dominio. Esto se deduce directamente del teorema de identidad para funciones holomorfas .

Aplicaciones

Una forma común de definir funciones en el análisis complejo consiste en especificar primero la función solo en un dominio pequeño y luego extenderla mediante continuación analítica.

En la práctica, esta continuación se realiza a menudo estableciendo primero alguna ecuación funcional en el dominio pequeño y luego utilizando esta ecuación para extender el dominio. Algunos ejemplos son la función zeta de Riemann y la función gamma .

El concepto de recubrimiento universal se desarrolló por primera vez para definir un dominio natural para la continuación analítica de una función analítica . La idea de encontrar la continuación analítica máxima de una función condujo a su vez al desarrollo de la idea de superficies de Riemann .

La continuación analítica se utiliza en las variedades de Riemann , en el contexto de las soluciones de las ecuaciones de Einstein . Por ejemplo, las coordenadas de Schwarzschild pueden continuarse analíticamente en coordenadas de Kruskal-Szekeres . ^[1]

Ejemplo resuelto

Continuación analítica desde U (centrada en 1) hasta V (centrada en a=(3+i)/2)

Comencemos con una función analítica particular . En este caso, está dada por una serie de potencias centrada en : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=1}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}.}$$

Por el teorema de Cauchy-Hadamard , su radio de convergencia es 1. Es decir, está definida y es analítica en el conjunto abierto que tiene frontera . En efecto, la serie diverge en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=\{|z-1|<1\}}$ ${\displaystyle \partial U=\{|z-1|=1\}}$ ${\displaystyle z=0\in \partial U}$

Imagina que no lo sabemos y concentrémonos en volver a centrar la serie de potencias en un punto diferente : ${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle a\in U}$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}.}$$

Calcularemos los y determinaremos si esta nueva serie de potencias converge en un conjunto abierto que no esté contenido en . Si es así, habremos continuado analíticamente hasta la región que es estrictamente mayor que . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle U}$

La distancia desde hasta es . Tome ; sea el disco de radio alrededor de ; y sea su límite. Entonces . Usando la fórmula de diferenciación de Cauchy para calcular los nuevos coeficientes, se tiene ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle \rho =1-|a-1|>0}$ ${\displaystyle 0<r<\rho }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D\cup \partial D\subset U}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{\partial D}{\frac {(\zeta -1)^{n}d\zeta }{(\zeta -a)^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a+re^{i\theta }-1)^{n}rie^{i\theta }d\theta }{(re^{i\theta })^{k+1}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {(a-1+re^{i\theta })^{n}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}(re^{i\theta })^{m}d\theta }{(re^{i\theta })^{k}}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(a-1)^{n-m}r^{m-k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(m-k)\theta }d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=\sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {n}{k}}(a-1)^{n-k}\\&=(-1)^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}(1-a)^{m}\\&=(-1)^{k}a^{-k-1}\end{aligned}}.}$$

La última suma resulta de la k- ésima derivación de la serie geométrica , que da la fórmula $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{k+1}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {m+k}{k}}x^{m}.}$$

Entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}\\&={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k}\\&={\frac {1}{a}}{\frac {1}{1-\left(1-{\frac {z}{a}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\\&={\frac {1}{(z+a)-a}}\end{aligned}}}$$

que tiene un radio de convergencia alrededor de . Si elegimos con , entonces no es un subconjunto de y en realidad es más grande en área que . El gráfico muestra el resultado para ${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\in U}$ ${\displaystyle |a|>1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(3+i).}$

Podemos continuar el proceso: seleccionar , centrar nuevamente la serie de potencias en , y determinar dónde converge la nueva serie de potencias. Si la región contiene puntos que no están en , entonces habremos continuado analíticamente aún más. Este proceso en particular se puede continuar analíticamente hasta el plano complejo perforado completo ${\displaystyle b\in U\cup V}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U\cup V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

En este caso particular, los valores obtenidos de son los mismos cuando los centros sucesivos tienen una parte imaginaria positiva o una parte imaginaria negativa. Esto no siempre es así; en particular, no es el caso del logaritmo complejo , la antiderivada de la función anterior. ${\displaystyle f(-1)}$

Definición formal de germen

La serie de potencias definida a continuación se generaliza mediante la idea de germen . La teoría general de la continuación analítica y sus generalizaciones se conoce como teoría de haces . Sea

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

sea ​​una serie de potencias que convergen en el disco D _r ( z ₀ ), r > 0, definida por

${\displaystyle D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<r\}}$.

Nótese que sin pérdida de generalidad, aquí y más adelante, siempre supondremos que se eligió un máximo de tal r , incluso si ese r es ∞. Nótese también que sería equivalente comenzar con una función analítica definida en algún pequeño conjunto abierto. Decimos que el vector

${\displaystyle g=(z_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )}$

es un germen de f . La base g ₀ de g es z ₀ , la raíz de g es (α ₀ , α ₁ , α ₂ , ...) y el vértice g ₁ de g es α ₀ . El vértice de g es el valor de f en z ₀ .

Cualquier vector g = ( z ₀ , α ₀ , α ₁ , ...) es un germen si representa una serie de potencias de una función analítica alrededor de z ₀ con algún radio de convergencia r > 0. Por lo tanto, podemos hablar con seguridad del conjunto de gérmenes . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

La topología del conjunto de gérmenes

Sean g y h gérmenes . Si donde r es el radio de convergencia de g y si las series de potencias definidas por g y h especifican funciones idénticas en la intersección de los dos dominios, entonces decimos que h es generada por (o compatible con) g , y escribimos g ≥ h . Esta condición de compatibilidad no es transitiva, simétrica ni antisimétrica. Si extendemos la relación por transitividad , obtenemos una relación simétrica, que es por lo tanto también una relación de equivalencia en gérmenes (pero no un ordenamiento). Esta extensión por transitividad es una definición de continuación analítica. La relación de equivalencia se denotará por . ${\displaystyle |h_{0}-g_{0}|<r}$ ${\displaystyle \cong }$

Podemos definir una topología en . Sea r > 0, y sea ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g_{0}-h_{0}|<r\}.}$

Los conjuntos U _r ( g ), para todo r > 0 y definen una base de conjuntos abiertos para la topología en . ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Un componente conectado de (es decir, una clase de equivalencia) se denomina haz . También observamos que la función definida por donde r es el radio de convergencia de g , es un gráfico . El conjunto de dichos gráficos forma un atlas para , por lo tanto es una superficie de Riemann . a veces se denomina función analítica universal . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \phi _{g}(h)=h_{0}:U_{r}(g)\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Ejemplos de continuación analítica

${\displaystyle L(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(z-1)^{k}}$

es una serie de potencias correspondiente al logaritmo natural cerca de z = 1. Esta serie de potencias se puede convertir en un germen

${\displaystyle g=\left(1,0,1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},\ldots \right)}$

Este germen tiene un radio de convergencia de 1, por lo que le corresponde un haz S , que es el haz de la función logaritmo.

El teorema de unicidad para funciones analíticas también se extiende a haces de funciones analíticas: si el haz de una función analítica contiene el germen cero (es decir, el haz es uniformemente cero en alguna vecindad) entonces todo el haz es cero. Armados con este resultado, podemos ver que si tomamos cualquier germen g del haz S de la función logarítmica, como se describió anteriormente, y lo convertimos en una serie de potencias f ( z ), entonces esta función tendrá la propiedad de que exp( f ( z )) = z . Si hubiéramos decidido usar una versión del teorema de la función inversa para funciones analíticas, podríamos construir una amplia variedad de inversas para la función exponencial, pero descubriríamos que todas están representadas por algún germen en S . En ese sentido, S es la "única verdadera inversa" de la función exponencial.

En la literatura más antigua, los haces de funciones analíticas se denominaban funciones multivaluadas . Véase el concepto general de haces .

Límite natural

Supóngase que una serie de potencias tiene un radio de convergencia r y define una función analítica f dentro de ese disco. Consideremos los puntos del círculo de convergencia. Un punto para el cual existe un entorno en el que f tiene una extensión analítica es regular , de lo contrario es singular . El círculo es un límite natural si todos sus puntos son singulares.

De manera más general, podemos aplicar la definición a cualquier dominio conexo abierto en el que f sea analítico, y clasificar los puntos del límite del dominio como regulares o singulares: el límite del dominio es entonces un límite natural si todos los puntos son singulares, en cuyo caso el dominio es un dominio de holomorfía .

Ejemplo I: Una función con un límite natural en cero (la función zeta prima)

Porque definimos la llamada función zeta prima , , como ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s):=\sum _{p\ {\text{ prime}}}p^{-s}.}$

Esta función es análoga a la forma sumatoria de la función zeta de Riemann cuando en la medida en que es la misma función sumatoria que , excepto con índices restringidos solo a los números primos en lugar de tomar la suma sobre todos los números naturales positivos . La función zeta prima tiene una continuación analítica para todos los complejos tales que , un hecho que se desprende de la expresión de por los logaritmos de la función zeta de Riemann como ${\displaystyle \Re (s)>1}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s)=\sum _{n\geq 1}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}.}$

Como tiene un polo simple, no removible en , se puede ver que tiene un polo simple en . Como el conjunto de puntos ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle s:=1}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle s:={\tfrac {1}{k}},\forall k\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \operatorname {Sing} _{P}:=\left\{k^{-1}:k\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}}$

tiene punto de acumulación 0 (el límite de la secuencia cuando ), podemos ver que cero forma un límite natural para . Esto implica que no tiene continuación analítica para s a la izquierda de (o en) cero, es decir, no hay continuación posible para cuando . Como observación, este hecho puede ser problemático si estamos realizando una integral de contorno compleja sobre un intervalo cuyas partes reales son simétricas respecto de cero, digamos para algún , donde el integrando es una función con denominador que depende de de manera esencial. ${\displaystyle k\mapsto \infty }$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$ ${\displaystyle 0\geq \Re (s)}$ ${\displaystyle I_{F}\subseteq \mathbb {C} \ {\text{such that}}\ \Re (s)\in (-C,C),\forall s\in I_{F}}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle P(s)}$

Ejemplo II: Una serie lagunar típica (límite natural como subconjuntos del círculo unitario)

Para los números enteros , definimos la serie lagunar de orden c mediante el desarrollo de series de potencias ${\displaystyle c\geq 2}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z):=\sum _{n\geq 1}z^{c^{n}},|z|<1.}$

Claramente, dado que existe una ecuación funcional para para cualquier z que satisface dada por . Tampoco es difícil ver que para cualquier entero , tenemos otra ecuación funcional para dada por ${\displaystyle c^{n+1}=c\cdot c^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=z^{c}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c})}$ ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{m-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{m}}),\forall |z|<1.}$

Para cualquier número natural positivo c , la función serie lagunar diverge en . Consideramos la cuestión de la continuación analítica de a otro complejo z tal que Como veremos, para cualquier , la función diverge en las raíces -ésimas de la unidad. Por lo tanto, dado que el conjunto formado por todas esas raíces es denso en el límite del círculo unitario, no hay continuación analítica de a un complejo z cuyo módulo exceda uno. ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|>1.}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle c^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$

La prueba de este hecho se generaliza a partir de un argumento estándar para el caso donde ^[2] Es decir, para números enteros , sea ${\displaystyle c:=2.}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{c,n}:=\left\{z\in \mathbb {D} \cup \partial {\mathbb {D} }:z^{c^{n}}=1\right\},}$

donde denota el disco unitario abierto en el plano complejo y , es decir, hay distintos números complejos z que se encuentran sobre o dentro del círculo unitario tales que . Ahora, la parte clave de la prueba es usar la ecuación funcional para cuando para demostrar que ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle |{\mathcal {R}}_{c,n}|=c^{n}}$ ${\displaystyle c^{n}}$ ${\displaystyle z^{c^{n}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \forall z\in {\mathcal {R}}_{c,n},\qquad {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{n}})=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(1)=+\infty .}$

Por lo tanto, para cualquier arco en el límite del círculo unitario, hay un número infinito de puntos z dentro de este arco tales que . Esta condición es equivalente a decir que el círculo forma un límite natural para la función para cualquier elección fija de Por lo tanto, no hay continuación analítica para estas funciones más allá del interior del círculo unitario. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)=\infty }$ ${\displaystyle C_{1}:=\{z:|z|=1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{c}(z)}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} \quad c>1.}$

Teorema de monodromía

El teorema de monodromía proporciona una condición suficiente para la existencia de una continuación analítica directa (es decir, una extensión de una función analítica a una función analítica en un conjunto más grande).

Supongamos que es un conjunto abierto y f una función analítica en D . Si G es un dominio simplemente conexo que contiene a D , tal que f tiene una continuación analítica a lo largo de cada camino en G , comenzando desde algún punto fijo a en D , entonces f tiene una continuación analítica directa a G . ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$

En el lenguaje anterior esto significa que si G es un dominio simplemente conexo y S es un haz cuyo conjunto de puntos base contiene a G , entonces existe una función analítica f en G cuyos gérmenes pertenecen a S.

Teorema de la brecha de Hadamard

Para una serie de potencias

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}}$

con

${\displaystyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1}$

El círculo de convergencia es un límite natural. Una serie de potencias de este tipo se denomina lacunar . Este teorema ha sido generalizado sustancialmente por Eugen Fabry (véase el teorema de la brecha de Fabry ) y George Pólya .

Teorema de Pólya

Dejar

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

sea ​​una serie de potencias, entonces existen ε _k ∈ {−1, 1} tales que

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}}$

tiene el disco de convergencia de f alrededor de z ₀ como límite natural.

La prueba de este teorema hace uso del teorema de la brecha de Hadamard.

Véase también

• Estrella Mittag-Leffler
• Cálculo funcional holomorfo
• Continuación del análisis numérico

Referencias

1. Kruskal, MD (1960-09-01). "Extensión máxima de la métrica de Schwarzschild". Physical Review . 119 (5): 1743–1745. Código Bibliográfico :1960PhRv..119.1743K. doi :10.1103/PhysRev.119.1743.
2. Vea el ejemplo dado en la página MathWorld para el límite natural.

• Lars Ahlfors (1979). Análisis complejo (3.ª ed.). McGraw-Hill. págs. 172, 284.
• Ludwig Bieberbach (1955). Fortaleza analítica . Springer-Verlag.
• P. Dienes (1957). La serie de Taylor: una introducción a la teoría de funciones de una variable compleja . Nueva York: Dover Publications, Inc.

Enlaces externos

• "Continuación analítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Continuación analítica en MathPages
• Weisstein, Eric W. "Continuación analítica". MathWorld .