Los Problemas del Premio del Milenio son siete conocidos problemas matemáticos complejos seleccionados por el Instituto Clay de Matemáticas en 2000. El Instituto Clay ha prometido un premio de 1 millón de dólares a la primera solución correcta de cada problema.
El Clay Mathematics Institute designó oficialmente el título Problema del Milenio para los siete problemas matemáticos no resueltos, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , la conjetura de Hodge , la existencia y suavidad de Navier-Stokes , el problema P versus NP , la hipótesis de Riemann , la existencia de Yang-Mills y la brecha de masa. , y la conjetura de Poincaré en la Reunión del Milenio celebrada el 24 de mayo de 2000. Así, en el sitio web oficial del Clay Mathematics Institute, estos siete problemas se denominan oficialmente Problemas del Milenio .
Hasta la fecha, el único problema del Premio del Milenio que se ha resuelto es la conjetura de Poincaré. El Instituto Clay otorgó el premio monetario al matemático ruso Grigori Perelman en 2010. Sin embargo, rechazó el premio porque no se lo ofreció también a Richard S. Hamilton , sobre cuyo trabajo se basó Perelman.
El Instituto Clay se inspiró en un conjunto de veintitrés problemas organizados por el matemático David Hilbert en 1900 que tuvieron gran influencia en el impulso del progreso de las matemáticas en el siglo XX. [1] Los siete problemas seleccionados abarcan varios campos matemáticos, a saber, geometría algebraica , geometría aritmética , topología geométrica , física matemática , teoría de números , ecuaciones diferenciales parciales e informática teórica . A diferencia de los problemas de Hilbert, los problemas seleccionados por el Instituto Clay ya eran reconocidos entre los matemáticos profesionales, y muchos trabajaban activamente para resolverlos. [2]
Los siete problemas fueron anunciados oficialmente por John Tate y Michael Atiyah durante una ceremonia celebrada el 24 de mayo de 2000 (en el anfiteatro Marguerite de Navarre ) en el Collège de France de París . [3]
Grigori Perelman , que había comenzado a trabajar en la conjetura de Poincaré en los años 1990, publicó su prueba en 2002 y 2003. Su negativa al premio monetario del Instituto Clay en 2010 fue ampliamente cubierta en los medios de comunicación. Los otros seis Problemas del Premio del Milenio siguen sin resolver, a pesar de un gran número de demostraciones insatisfactorias por parte de matemáticos aficionados y profesionales.
Andrew Wiles , como miembro del consejo científico asesor del Instituto Clay, esperaba que la elección del premio de un millón de dólares popularizaría entre el público general tanto los problemas seleccionados como el "entusiasmo del esfuerzo matemático". [4] Otro miembro de la junta, el medallista Fields Alain Connes , esperaba que la publicidad en torno a los problemas sin resolver ayudaría a combatir la "idea equivocada" entre el público de que las matemáticas serían "superadas por las computadoras". [5]
Algunos matemáticos han sido más críticos. Anatoly Vershik caracterizó su premio monetario como "negocio del espectáculo" que representa las "peores manifestaciones de la cultura de masas actual" y pensó que hay formas más significativas de invertir en la apreciación pública de las matemáticas. [6] Consideró que no era sorprendente que los medios trataran superficialmente a Perelman y su trabajo, con una atención desproporcionada puesta en el valor del premio en sí. Por el contrario, Vershik elogió la financiación directa del Instituto Clay de conferencias de investigación y de jóvenes investigadores. Los comentarios de Vershik fueron repetidos más tarde por el medallista de Fields, Shing-Tung Yau , quien además criticó la idea de que una fundación tomara medidas para "apropiarse" de cuestiones matemáticas fundamentales y "adjuntarles su nombre". [7]
En el campo de la topología geométrica , una esfera bidimensional se caracteriza por ser la única superficie bidimensional cerrada y simplemente conexa . En 1904, Henri Poincaré planteó la cuestión de si una afirmación análoga es válida para las formas tridimensionales. Esto llegó a conocerse como la conjetura de Poincaré, cuya formulación precisa establece:
Cualquier variedad topológica tridimensional que esté cerrada y simplemente conectada debe ser homeomorfa a las 3 esferas .
Aunque la conjetura suele expresarse de esta forma, equivale (como se descubrió en la década de 1950) a plantearla en el contexto de variedades suaves y difeomorfismos .
Grigori Perelman proporcionó una prueba de esta conjetura, junto con la conjetura de geometrización más poderosa, en 2002 y 2003. La solución de Perelman completó el programa de Richard Hamilton para la solución de la conjetura de geometrización, que había desarrollado a lo largo del curso anterior. veinte años. El trabajo de Hamilton y Perelman giró en torno al flujo de Ricci de Hamilton , que es un complicado sistema de ecuaciones diferenciales parciales definido en el campo de la geometría de Riemann .
Por sus contribuciones a la teoría del flujo de Ricci, Perelman recibió la Medalla Fields en 2006. Sin embargo, se negó a aceptar el premio. [8] Por su prueba de la conjetura de Poincaré, Perelman recibió el Premio del Milenio el 18 de marzo de 2010. [9] Sin embargo, rechazó el premio y el premio en metálico asociado, afirmando que la contribución de Hamilton no era menor que la suya. [10]
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata de cierto tipo de ecuaciones: las que definen curvas elípticas sobre los números racionales . La conjetura es que existe una manera sencilla de saber si tales ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales. Más específicamente, la versión de la conjetura del Premio del Milenio es que, si la curva elíptica E tiene rango r , entonces la función L L ( E , s ) asociada con ella desaparece para ordenar r en s = 1 .
El décimo problema de Hilbert trataba de un tipo más general de ecuación, y en ese caso se demostró que no existe una forma algorítmica de decidir si una ecuación dada tiene alguna solución.
La declaración oficial del problema la dio Andrew Wiles . [11]
La conjetura de Hodge es que para variedades algebraicas proyectivas , los ciclos de Hodge son combinaciones lineales racionales de ciclos algebraicos .
A esto lo llamamos grupo de clases de Hodge de grado 2 k en X.
El enunciado moderno de la conjetura de Hodge es:
La declaración oficial del problema la dio Pierre Deligne . [12]
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los fluidos y son uno de los pilares de la mecánica de fluidos . Sin embargo, la comprensión teórica de sus soluciones es incompleta, a pesar de su importancia en la ciencia y la ingeniería. Para el sistema de ecuaciones tridimensional, y dadas algunas condiciones iniciales , los matemáticos aún no han demostrado que siempre existan soluciones suaves . Esto se denomina problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes .
El problema, restringido al caso de un fluido incompresible , es demostrar que existen soluciones suaves, definidas globalmente, que cumplen ciertas condiciones, o que no siempre existen y las ecuaciones fallan. La declaración oficial del problema la dio Charles Fefferman . [13]
La pregunta es si, para todos los problemas para los cuales un algoritmo puede verificar una solución dada rápidamente (es decir, en tiempo polinómico ), un algoritmo también puede encontrar esa solución rápidamente. Dado que el primero describe la clase de problemas denominados NP, mientras que el segundo describe P, la pregunta equivale a preguntar si todos los problemas en NP también están en P. Esta generalmente se considera una de las preguntas abiertas más importantes en matemáticas e informática teórica. ya que tiene consecuencias de gran alcance para otros problemas de matemáticas , biología , [14] filosofía [15] y criptografía (ver Consecuencias de la prueba de problemas P versus NP ). Un ejemplo común de un problema NP que no se sabe que esté en P es el problema de satisfacibilidad booleano .
La mayoría de los matemáticos e informáticos esperan que P ≠ NP; sin embargo, aún no se ha demostrado. [dieciséis]
La declaración oficial del problema la dio Stephen Cook . [17]
La función zeta de Riemann ζ(s) es una función cuyos argumentos pueden ser cualquier número complejo distinto de 1, y cuyos valores también son complejos. Su continuación analítica tiene ceros en los números pares negativos; es decir, ζ(s) = 0 cuando s es uno de −2, −4, −6, .... Estos se denominan ceros triviales. Sin embargo, los números enteros pares negativos no son los únicos valores para los cuales la función zeta es cero. Los otros se llaman ceros no triviales. La hipótesis de Riemann se ocupa de la ubicación de estos ceros no triviales y afirma que:
La hipótesis de Riemann es que todos los ceros no triviales de la continuación analítica de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2 . Una prueba o refutación de esto tendría implicaciones de largo alcance en la teoría de números , especialmente para la distribución de números primos . Este fue el octavo problema de Hilbert y todavía se considera un problema abierto importante un siglo después.
El problema es bien conocido desde que fue planteado originalmente por Bernhard Riemann en 1860. La exposición del problema en el Instituto Clay estuvo a cargo de Enrico Bombieri . [18]
En la teoría cuántica de campos , la brecha de masa es la diferencia de energía entre el vacío y el siguiente estado de energía más bajo . La energía del vacío es cero por definición, y suponiendo que todos los estados de energía puedan considerarse como partículas en ondas planas, la brecha de masa es la masa de la partícula más ligera.
Para un campo real dado , podemos decir que la teoría tiene una brecha de masa si la función de dos puntos tiene la propiedad
siendo el valor energético más bajo en el espectro del hamiltoniano y, por tanto, la brecha de masa. Esta cantidad, fácil de generalizar a otros campos, es la que generalmente se mide en los cálculos reticulares.
La teoría cuántica de Yang-Mills es la base actual para la mayoría de las aplicaciones teóricas del pensamiento a la realidad y las realidades potenciales de la física de partículas elementales . [19] La teoría es una generalización de la teoría del electromagnetismo de Maxwell , donde el campo cromoelectromagnético en sí mismo lleva carga. Como teoría de campo clásica tiene soluciones que viajan a la velocidad de la luz, por lo que su versión cuántica debería describir partículas sin masa ( gluones ). Sin embargo, el fenómeno postulado del confinamiento del color sólo permite estados unidos de gluones, formando partículas masivas. Ésta es la brecha de masas . Otro aspecto del confinamiento es la libertad asintótica , que hace concebible que la teoría cuántica de Yang-Mills exista sin restricciones a escalas de baja energía. El problema es establecer rigurosamente la existencia de la teoría cuántica de Yang-Mills y de una brecha de masa.
La declaración oficial del problema la dieron Arthur Jaffe y Edward Witten . [23]
El Clay Mathematics Institute (CMI) anuncia hoy que el Dr. Grigoriy Perelman de San Petersburgo, Rusia, ha recibido el Premio del Milenio por la resolución de la conjetura de Poincaré.
