En geometría diferencial , un ciclo de Hodge o una clase de Hodge es un tipo particular de clase de homología definida en una variedad algebraica compleja V , o más generalmente en una variedad de Kähler . Una clase de homología x en un grupo de homología
donde V es una variedad algebraica compleja no singular o variedad de Kähler es un ciclo de Hodge , siempre que satisfaga dos condiciones. En primer lugar, k es un entero par y en la descomposición en suma directa de H que se muestra que existe en la teoría de Hodge , x es puramente de tipo . En segundo lugar, x es una clase racional, en el sentido de que se encuentra en la imagen del homomorfismo de grupo abeliano
definido en topología algebraica (como un caso especial del teorema del coeficiente universal ). Por lo tanto, el término convencional ciclo de Hodge es ligeramente inexacto, ya que x se considera como una clase ( límites de módulo ); pero este es un uso normal.
La importancia de los ciclos de Hodge radica principalmente en la conjetura de Hodge , en el sentido de que los ciclos de Hodge siempre deben ser ciclos algebraicos , siendo V una variedad algebraica completa . Este es un problema no resuelto, uno de los Problemas del Premio del Milenio . Se sabe que ser un ciclo de Hodge es una condición necesaria para ser un ciclo algebraico racional, y se conocen numerosos casos particulares de la conjetura.
