Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Propiedad característica de las funciones holomorfas

Representación visual de un vector X en un dominio que se multiplica por un número complejo z y luego se mapea por f , en comparación con un vector que se mapea por f y luego se multiplica por z . Si ambos resultados dan como resultado que el punto termine en el mismo lugar para todos los X y z , entonces f satisface la condición de Cauchy-Riemann.

En el campo del análisis complejo en matemáticas , las ecuaciones de Cauchy-Riemann , llamadas así en honor a Augustin Cauchy y Bernhard Riemann , consisten en un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales que forman una condición necesaria y suficiente para que una función compleja de una variable compleja sea compleja diferenciable .

Estas ecuaciones son

y

donde u ( x , y ) y v ( x , y ) son funciones bivariadas diferenciables reales .

Por lo general, u y v son respectivamente las partes real e imaginaria de una función compleja f ( x + iy ) = f ( x , y ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) de una única variable compleja z = x + iy donde x e y son variables reales; u y v son funciones reales diferenciables de las variables reales. Entonces f es compleja diferenciable en un punto complejo si y solo si las derivadas parciales de u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en ese punto.

Una función holomorfa es una función compleja que es diferenciable en cada punto de algún subconjunto abierto del plano complejo C. Se ha demostrado que las funciones holomorfas son analíticas y que las funciones complejas analíticas son complejas-diferenciables. En particular, las funciones holomorfas son infinitamente complejas-diferenciables.

Esta equivalencia entre diferenciabilidad y analiticidad es el punto de partida de todo análisis complejo .

Historia

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann aparecieron por primera vez en la obra de Jean le Rond d'Alembert . ^[1] Más tarde, Leonhard Euler conectó este sistema con las funciones analíticas . ^[2] Cauchy ^[3] utilizó luego estas ecuaciones para construir su teoría de funciones. La disertación de Riemann sobre la teoría de funciones apareció en 1851. ^[4]

Ejemplo sencillo

Supóngase que . La función compleja es diferenciable en cualquier punto z en el plano complejo. La parte real y la parte imaginaria son y sus derivadas parciales son ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ $${\displaystyle f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}$$ ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\v(x,y)&=2xy\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle u_{x}=2x;\quad u_{y}=-2y;\quad v_{x}=2y;\quad v_{y}=2x}$$

Vemos que efectivamente se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y . ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$ ${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$

Interpretación y reformulación

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son una forma de considerar la condición para que una función sea diferenciable en el sentido del análisis complejo : en otras palabras, encapsulan la noción de función de una variable compleja por medio del cálculo diferencial convencional . En la teoría hay otras formas importantes de considerar esta noción y, a menudo, es necesario traducir la condición a otro lenguaje.

Aplicaciones conformes

En primer lugar, las ecuaciones de Cauchy-Riemann pueden escribirse en forma compleja

En esta forma, las ecuaciones corresponden estructuralmente a la condición de que la matriz jacobiana sea de la forma donde y . Una matriz de esta forma es la representación matricial de un número complejo . Geométricamente, una matriz de este tipo es siempre la composición de una rotación con una escala , y en particular conserva los ángulos . La jacobiana de una función f ( z ) toma segmentos de línea infinitesimales en la intersección de dos curvas en z y los rota a los segmentos correspondientes en f ( z ) . En consecuencia, una función que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, con una derivada distinta de cero, conserva el ángulo entre curvas en el plano. Es decir, las ecuaciones de Cauchy-Riemann son las condiciones para que una función sea conforme . $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}$ ${\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}$

Además, como la composición de una transformación conforme con otra transformación conforme también es conforme, la composición de una solución de las ecuaciones de Cauchy-Riemann con una función conforme debe resolver las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por lo tanto, las ecuaciones de Cauchy-Riemann son conformemente invariantes.

Diferenciabilidad compleja

Sea donde y son funciones de valor real , una función de valor complejo de una variable compleja donde y son variables reales. por lo que la función también puede considerarse como una función de variables reales y . Entonces, la derivada compleja de en un punto está definida por siempre que exista este límite (es decir, el límite existe a lo largo de cada camino que se aproxima a , y no depende del camino elegido). $${\displaystyle f(z)=u(z)+i\cdot v(z)}$$ ${\textstyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\textstyle z=x+iy}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle f(z)=f(x+iy)=f(x,y)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$ $${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}}$$ ${\textstyle z_{0}}$

Un resultado fundamental del análisis complejo es que es compleja diferenciable en (es decir, tiene una derivada compleja), si y solo si las funciones reales bivariadas y son diferenciables en y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en este punto. ^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle u(x+iy)}$ ${\displaystyle v(x+iy)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$

De hecho, si la derivada compleja existe en , entonces se puede calcular tomando el límite en a lo largo del eje real y del eje imaginario, y los dos límites deben ser iguales. A lo largo del eje real, el límite es y a lo largo del eje imaginario, el límite es ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle z_{0}}$ $${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}$$ $${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\left.{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}.}$$

Por lo tanto, la igualdad de las derivadas implica cuál es la forma compleja de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en . $${\displaystyle i\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}$$ ${\textstyle z_{0}}$

(Nótese que si es complejo diferenciable en , también es real diferenciable y el jacobiano de en es el escalar complejo , considerado como una función real-lineal de , ya que el límite cuando .) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f'(z_{0})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |f(z)-f(z_{0})-f'(z_{0})(z-z_{0})|/|z-z_{0}|\to 0}$ ${\displaystyle z\to z_{0}}$

Por el contrario, si f es diferenciable en (en el sentido real) y satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann allí, entonces es complejamente diferenciable en este punto. Supongamos que f como función de dos variables reales x e y es diferenciable en z ₀ (realmente diferenciable). Esto es equivalente a la existencia de la siguiente aproximación lineal donde , , z = x + iy , y como Δ z → 0 . ${\textstyle z_{0}}$ $${\displaystyle \Delta f(z_{0})=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\,\Delta x+f_{y}\,\Delta y+\eta (\Delta z)}$$ ${\textstyle f_{x}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}$ ${\textstyle f_{y}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}$ ${\textstyle \eta (\Delta z)/|\Delta z|\to 0}$

Dado que y , lo anterior se puede reescribir como ${\textstyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\,\Delta x}$ ${\textstyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2i\,\Delta y}$

$${\displaystyle \Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}\,\Delta z+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\,\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\,}$$ $${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\cdot {\frac {\Delta {\bar {z}}}{\Delta z}}+{\frac {\eta (\Delta z)}{\Delta z}},\;\;\;\;(\Delta z\neq 0).}$$

Ahora bien, si es real, , mientras que si es imaginaria, entonces . Por lo tanto, el segundo término es independiente de la trayectoria del límite cuando (y solo cuando) se anula de manera idéntica: , que es precisamente la ecuación de Cauchy-Riemann en forma compleja. Esta prueba también muestra que, en ese caso, ${\textstyle \Delta z}$ ${\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=1}$ ${\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=-1}$ ${\textstyle \Delta z\to 0}$ ${\textstyle f_{x}+if_{y}=0}$ $${\displaystyle \left.{\frac {df}{dz}}\right|_{z_{0}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}.}$$

Obsérvese que la hipótesis de diferenciabilidad real en el punto es esencial y no se puede prescindir de ella. Por ejemplo, ^[8] la función , considerada como una función compleja con parte imaginaria idénticamente cero, tiene ambas derivadas parciales en , y además satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en ese punto, pero no es diferenciable en el sentido de funciones reales (de varias variables), y por tanto la primera condición, la de diferenciabilidad real, no se cumple. Por lo tanto, esta función no es complejamente diferenciable. ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f(x,y)={\sqrt {|xy|}}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(0,0)}$

Algunas fuentes ^{[9] [10]} establecen como condición suficiente para la diferenciabilidad compleja en un punto que, además de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, las derivadas parciales de y sean continuas en el punto porque esta condición de continuidad asegura la existencia de la aproximación lineal antes mencionada. Nótese que no es una condición necesaria para la diferenciabilidad compleja. Por ejemplo, la función es compleja diferenciable en 0, pero sus partes real e imaginaria tienen allí derivadas parciales discontinuas. Dado que la diferenciabilidad compleja suele considerarse en un conjunto abierto, donde de hecho implica la continuidad de todas las derivadas parciales (véase más adelante), esta distinción a menudo se elude en la literatura. ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}e^{i/|z|}}$

Independencia del complejo conjugado

La prueba anterior sugiere otra interpretación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. El conjugado complejo de , denotado , se define por para variables reales y . Definir las dos derivadas de Wirtinger como las ecuaciones de Cauchy-Riemann se puede escribir como una sola ecuación y la derivada compleja de en ese caso es En esta forma, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden interpretar como la afirmación de que una función compleja de una variable compleja es independiente de la variable . Como tal, podemos ver las funciones analíticas como funciones verdaderas de una variable compleja ( ) en lugar de funciones complejas de dos variables reales ( y ). ${\displaystyle z}$ ${\textstyle {\bar {z}}}$ $${\displaystyle {\overline {x+iy}}:=x-iy}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\;\;\;{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {\partial f}{\partial z}}.}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle {\bar {z}}}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$

Interpretación física

Diagrama de contorno de un par u y v que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Las líneas de corriente ( v  = constante, rojo) son perpendiculares a las equipotenciales ( u  = constante, azul). El punto (0,0) es un punto estacionario del flujo potencial, con seis líneas de corriente que se encuentran y seis equipotenciales que también se encuentran y bisecan los ángulos formados por las líneas de corriente.

Una interpretación física estándar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que se remonta al trabajo de Riemann sobre la teoría de funciones ^[11] es que u representa un potencial de velocidad de un flujo de fluido estacionario incompresible en el plano, y v es su función de corriente . Supongamos que el par de funciones u y v (dos veces continuamente diferenciables ) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Tomaremos u como un potencial de velocidad, lo que significa que imaginamos un flujo de fluido en el plano tal que el vector de velocidad del fluido en cada punto del plano es igual al gradiente de u , definido por $${\displaystyle \nabla u={\frac {\partial u}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial u}{\partial y}}\mathbf {j} .}$$

Al derivar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para las funciones u y v , con la simetría de las derivadas segundas , se demuestra que u resuelve la ecuación de Laplace : Es decir, u es una función armónica . Esto significa que la divergencia del gradiente es cero, por lo que el fluido es incompresible. $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$$

La función v también satisface la ecuación de Laplace, mediante un análisis similar. Además, las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que el producto escalar ( ), es decir, la dirección de la pendiente máxima de u y la de v son ortogonales entre sí. Esto implica que el gradiente de u debe apuntar a lo largo de las curvas; por lo tanto, estas son las líneas de corriente del flujo. Las curvas son las curvas equipotenciales del flujo. ${\textstyle \nabla u\cdot \nabla v=0}$ ${\textstyle \nabla u\cdot \nabla v={\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}=0}$ ${\textstyle v={\text{const}}}$ ${\textstyle u={\text{const}}}$

Por lo tanto, se puede visualizar una función holomorfa al trazar las dos familias de curvas de nivel y . Cerca de los puntos donde el gradiente de u (o, equivalentemente, v ) no es cero, estas familias forman una familia ortogonal de curvas. En los puntos donde , los puntos estacionarios del flujo, se intersecan las curvas equipotenciales de . Las líneas de corriente también se intersecan en el mismo punto, bisecando los ángulos formados por las curvas equipotenciales. ${\textstyle u={\text{const}}}$ ${\textstyle v={\text{const}}}$ ${\textstyle \nabla u=0}$ ${\textstyle u={\text{const}}}$

Campo vectorial armónico

Otra interpretación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann se puede encontrar en Pólya & Szegő . ^[12] Supóngase que u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un subconjunto abierto de R ² , y considera el campo vectorial considerado como un vector (real) de dos componentes. Entonces la segunda ecuación de Cauchy-Riemann ( 1b ) afirma que es irrotacional (su rotacional es 0): $${\displaystyle {\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle {\bar {f}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.}$$

La primera ecuación de Cauchy-Riemann ( 1a ) afirma que el campo vectorial es solenoidal (o libre de divergencia ): $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.}$$

Debido respectivamente al teorema de Green y al teorema de divergencia , un campo de este tipo es necesariamente conservativo , y está libre de fuentes o sumideros, teniendo un flujo neto igual a cero a través de cualquier dominio abierto sin agujeros. (Estas dos observaciones se combinan como partes reales e imaginarias en el teorema integral de Cauchy ). En dinámica de fluidos , un campo vectorial de este tipo es un flujo potencial . ^[13] En magnetostática , dichos campos vectoriales modelan campos magnéticos estáticos en una región del plano que no contiene corriente. En electrostática , modelan campos eléctricos estáticos en una región del plano que no contiene carga eléctrica.

Esta interpretación puede reformularse de manera equivalente en el lenguaje de las formas diferenciales . El par u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann si y solo si la forma uno es cerrada y cocerrada (una forma diferencial armónica ). ${\displaystyle v\,dx+u\,dy}$

Preservación de la estructura compleja

Otra formulación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann implica la estructura compleja en el plano, dada por Esta es una estructura compleja en el sentido de que el cuadrado de J es el negativo de la matriz identidad 2×2: . Como se indicó anteriormente, si u ( x , y ) y v ( x , y ) son dos funciones en el plano, $${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle J^{2}=-I}$

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}}.}$$

La matriz jacobiana de f es la matriz de derivadas parciales $${\displaystyle Df(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}&{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\\[5pt]{\dfrac {\partial v}{\partial x}}&{\dfrac {\partial v}{\partial y}}\end{bmatrix}}}$$

Entonces el par de funciones u , v satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann si y sólo si la matriz 2×2 Df conmuta con J . ^[14]

Esta interpretación es útil en geometría simpléctica , donde es el punto de partida para el estudio de curvas pseudoholomorfas .

Otras representaciones

Ocasionalmente surgen otras representaciones de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en otros sistemas de coordenadas . Si ( 1a ) y ( 1b ) se cumplen para un par diferenciable de funciones u y v , entonces también se cumplen $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}={\frac {\partial v}{\partial s}},\quad {\frac {\partial v}{\partial n}}=-{\frac {\partial u}{\partial s}}}$$

para cualquier sistema de coordenadas ( n ( x , y ), s ( x , y )) tal que el par sea ortonormal y esté orientado positivamente . Como consecuencia, en particular, en el sistema de coordenadas dado por la representación polar , las ecuaciones toman entonces la forma ${\textstyle (\nabla n,\nabla s)}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ $${\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}$$

Combinando estos en una ecuación para f obtenemos $${\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.}$$

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann no homogéneas consisten en dos ecuaciones para un par de funciones desconocidas u ( x , y ) y v ( x , y ) de dos variables reales $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}&=\alpha (x,y)\\[4pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&=\beta (x,y)\end{aligned}}}$$

para algunas funciones dadas α( x , y ) y β( x , y ) definidas en un subconjunto abierto de R ² . Estas ecuaciones se suelen combinar en una única ecuación donde f = u + i v y 𝜑 = ( α + i β )/2. $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}})}$$

Si 𝜑 es C k , entonces la ecuación no homogénea es explícitamente solucionable en cualquier dominio acotado D , siempre que 𝜑 sea continua en el cierre de D . De hecho, por la fórmula integral de Cauchy , para todo ζ ∈ D . $${\displaystyle f\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}\varphi \left(z,{\bar {z}}\right)\,{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}}$$

Generalizaciones

El teorema de Goursat y sus generalizaciones

Supóngase que f = u + i v es una función compleja que es diferenciable como una función f  : R ² → R ² . Entonces el teorema de Goursat afirma que f es analítica en un dominio complejo abierto Ω si y solo si satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en el dominio. ^[15] En particular, no es necesario suponer la diferenciabilidad continua de f . ^[16]

Las hipótesis del teorema de Goursat pueden debilitarse significativamente. Si f = u + i v es continua en un conjunto abierto Ω y las derivadas parciales de f con respecto a x e y existen en Ω, y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo Ω, entonces f es holomorfa (y, por lo tanto, analítica). Este resultado es el teorema de Looman-Menchoff .

La hipótesis de que f obedece a las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo el dominio Ω es esencial. Es posible construir una función continua que satisfaga las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un punto, pero que no sea analítica en ese punto (por ejemplo, f ( z ) = z ⁵ /|z| ⁴ ) . De manera similar, se necesita algún supuesto adicional además de las ecuaciones de Cauchy-Riemann (como la continuidad), como ilustra el siguiente ejemplo ^[17]

$${\displaystyle f(z)={\begin{cases}\exp \left(-z^{-4}\right)&{\text{if }}z\not =0\\0&{\text{if }}z=0\end{cases}}}$$

que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todas partes, pero no es continua en z  = 0.

Sin embargo, si una función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un conjunto abierto en sentido débil , entonces la función es analítica. Más precisamente: ^[18]

Si f ( z ) es localmente integrable en un dominio abierto Ω ⊂  C , y satisface débilmente las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f concuerda casi en todas partes con una función analítica en Ω.

Este es de hecho un caso especial de un resultado más general sobre la regularidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales hipoelípticas .

Varias variables

Existen ecuaciones de Cauchy-Riemann, apropiadamente generalizadas, en la teoría de varias variables complejas . Forman un sistema significativo sobredeterminado de ecuaciones diferenciales parciales. Esto se hace utilizando una generalización sencilla de la derivada de Wirtinger , donde se requiere que la derivada de Wirtinger (parcial) de la función en cuestión con respecto a cada variable compleja se anule.

Formas diferenciales complejas

Como se formula a menudo, el operador d-bar aniquila las funciones holomorfas. Esto generaliza de manera más directa la formulación donde $${\displaystyle {\bar {\partial }}}$$ $${\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}=0,}$$ $${\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x}+i{\partial f \over \partial y}\right).}$$

Transformación de Bäcklund

Consideradas como funciones armónicas conjugadas , las ecuaciones de Cauchy-Riemann son un ejemplo simple de una transformada de Bäcklund . Las transformadas de Bäcklund más complicadas, generalmente no lineales, como la ecuación de seno-Gordon , son de gran interés en la teoría de solitones y sistemas integrables .

Definición en álgebra de Clifford

En el álgebra de Clifford , el número complejo se representa como donde , ( , por lo que ). El operador de Dirac en esta álgebra de Clifford se define como . La función se considera analítica si y solo si , que se puede calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle C\ell (2)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle z\equiv x+Jy}$ ${\displaystyle J\equiv \sigma _{1}\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=1,\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{1}=0}$ ${\displaystyle J^{2}=-1}$ ${\displaystyle \nabla \equiv \sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y}}$ ${\displaystyle f=u+Jv}$ ${\displaystyle \nabla f=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla f=(\sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y})(u+\sigma _{1}\sigma _{2}v)\\[4pt]&=\sigma _{1}\partial _{x}u+\underbrace {\sigma _{1}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=\sigma _{2}}\partial _{x}v+\sigma _{2}\partial _{y}u+\underbrace {\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=-\sigma _{1}}\partial _{y}v=0\end{aligned}}}$$

Agrupación por y : ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$

$${\displaystyle \nabla f=\sigma _{1}(\partial _{x}u-\partial _{y}v)+\sigma _{2}(\partial _{x}v+\partial _{y}u)=0\Leftrightarrow {\begin{cases}\partial _{x}u-\partial _{y}v=0\\[4pt]\partial _{x}v+\partial _{y}u=0\end{cases}}}$$

Por lo tanto, en notación tradicional:

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\\[12pt]{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\end{cases}}}$$

Aplicaciones conformes en dimensiones superiores

Sea Ω un conjunto abierto en el espacio euclidiano R ⁿ . La ecuación para que una aplicación que preserva la orientación sea una aplicación conforme (es decir, que preserva los ángulos) es que ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df))^{2/n}I}$$

donde Df es la matriz jacobiana, con transpuesta , e I denota la matriz identidad. ^[19] Para n = 2 , este sistema es equivalente a las ecuaciones estándar de Cauchy-Riemann de variables complejas, y las soluciones son funciones holomorfas. En dimensión n > 2 , esto todavía se llama a veces el sistema de Cauchy-Riemann, y el teorema de Liouville implica, bajo supuestos de suavidad adecuados, que cualquier aplicación de este tipo es una transformación de Möbius . ${\displaystyle Df^{\mathsf {T}}}$

Pseudogrupos de mentiras

Se podría intentar generalizar las ecuaciones de Cauchy-Riemann preguntando de manera más general cuándo las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales son cerradas en cuanto a composición. La teoría de los pseudogrupos de Lie aborda este tipo de preguntas.

Véase también

• Lista de temas de análisis complejos
• Teorema de Morera
• Derivados de Wirtinger

Referencias

1. d'Alembert, Jean (1752). Ensayo de una nueva teoría de la resistencia de los fluidos. París: David l'aîné.Reimpresión 2018 de Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839 . 
2. Euler, Leonhard (1797). "Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis". Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 10 : 3–19.
3. Cauchy, Agustín L. (1814). Mémoire sur les integrales définies . Obras completas Ser. 1. vol. 1. París (publicado en 1882). págs. 319–506.
4. Riemann, Bernhard (1851). "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen uner veränderlichen komplexen Grösse". En H. Weber (ed.). Matemáticas gesammelte de Riemann. Werke (en alemán). Dover (publicado en 1953). págs. 3–48.
5. Rudin 1966.
6. Marsden y Hoffman 1973.
7. Markushevich, AI (1977). Teoría de funciones de una variable compleja 1 . Chelsea., pág. 110-112 (Traducido del ruso)
8. Titchmarsh, E (1939). La teoría de funciones . Oxford University Press., 2.14
9. Arfken, George B.; Weber, Hans J.; Harris, Frank E. (2013). "11.2 CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN". Métodos matemáticos para físicos: una guía completa (7.ª ed.). Academic Press. págs. 471–472. ISBN 978-0-12-384654-9.
10. Hassani, Sadri (2013). "10.2 Funciones analíticas". Física matemática: una introducción moderna a sus fundamentos (2.ª ed.). Springer. pp. 300–301. ISBN 978-3-319-01195-0.
11. Véase Klein, Felix (1893). Sobre la teoría de Riemann de las funciones algebraicas y sus integrales . Traducido por Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan y Bowes.
12. Polya, George ; Szegő, Gábor (1978). Problemas y teoremas en análisis I. Saltador. ISBN 3-540-63640-4.
13. Chanson, H. (2007). "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange" [Potencial de velocidad en flujos de fluidos reales: la contribución de Joseph-Louis Lagrange]. Diario la Houille Blanche . 93 (5): 127-131. doi : 10.1051/lhb:2007072 . ISSN  0018-6368. S2CID  110258050.
14. Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1969). Fundamentos de geometría diferencial, volumen 2 . Wiley. Proposición IX.2.2.
15. Rudin 1966, Teorema 11.2.
16. Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Fundamentos del análisis moderno . Prensa académica. §9.10, ej. 1.
17. Looman 1923, pág. 107.
18. Gray y Morris 1978, Teorema 9.
19. Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Teoría de funciones geométricas y análisis no lineal . Oxford. pág. 32.

Fuentes

• Gray, JD; Morris, SA (abril de 1978). "¿Cuándo es analítica una función que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann?". The American Mathematical Monthly . 85 (4): 246–256. doi :10.2307/2321164. JSTOR  2321164.
• Looman, H. (1923). "Über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen". Göttinger Nachrichten (en alemán): 97-108.
• Marsden, A; Hoffman, M (1973). Análisis complejo básico . WH Freeman.
• Rudin, Walter (1966). Análisis real y complejo (3.ª ed.). McGraw Hill (publicado en 1987). ISBN 0-07-054234-1.

Lectura adicional

• Ahlfors, Lars (1953). Análisis complejo (3.ª ed.). McGraw Hill (publicado en 1979). ISBN 0-07-000657-1.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Condiciones de Cauchy-Riemann", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Stewart, Ian ; Tall, David (1983). Análisis complejo (1.ª ed.). CUP (publicado en 1984). ISBN 0-521-28763-4.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ecuaciones de Cauchy-Riemann". MathWorld .
• Módulo de ecuaciones de Cauchy-Riemann de John H. Mathews