Impulso

Propiedad de una masa en movimiento

En mecánica newtoniana , el momento ( pl.: momentos o momentos ; más específicamente, momento lineal o momento de traslación ) es el producto de la masa por la velocidad de un objeto. Es una cantidad vectorial , que posee una magnitud y una dirección. Si m es la masa de un objeto y v es su velocidad (también una cantidad vectorial), entonces el momento del objeto p (del latín pellere "empujar, impulsar") es: En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad de medida del momento es el kilogramo metro por segundo (kg⋅m/s), que es dimensionalmente equivalente al newton-segundo . ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} .}$

La segunda ley de Newton del movimiento establece que la tasa de cambio del momento de un cuerpo es igual a la fuerza neta que actúa sobre él. El momento depende del marco de referencia , pero en cualquier marco inercial es una cantidad conservada , lo que significa que si un sistema cerrado no se ve afectado por fuerzas externas, su momento total no cambia. El momento también se conserva en la relatividad especial (con una fórmula modificada) y, en una forma modificada, en la electrodinámica , la mecánica cuántica , la teoría cuántica de campos y la relatividad general . Es una expresión de una de las simetrías fundamentales del espacio y el tiempo: la simetría traslacional .

Las formulaciones avanzadas de la mecánica clásica, la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana , permiten elegir sistemas de coordenadas que incorporan simetrías y restricciones. En estos sistemas, la cantidad conservada es el momento generalizado y, en general, es diferente del momento cinético definido anteriormente. El concepto de momento generalizado se traslada a la mecánica cuántica, donde se convierte en un operador en una función de onda . Los operadores de momento y posición están relacionados por el principio de incertidumbre de Heisenberg .

En sistemas continuos como los campos electromagnéticos , la dinámica de fluidos y los cuerpos deformables , la densidad de momento se puede definir como momento por volumen (una cantidad específica del volumen ). Una versión continua de la conservación del momento conduce a ecuaciones como las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos o la ecuación de momento de Cauchy para sólidos o fluidos deformables.

Clásico

El momento es una cantidad vectorial : tiene magnitud y dirección. Como el momento tiene una dirección, se puede utilizar para predecir la dirección y la velocidad resultantes del movimiento de los objetos después de que colisionen. A continuación, se describen las propiedades básicas del momento en una dimensión. Las ecuaciones vectoriales son casi idénticas a las ecuaciones escalares (consulte dimensiones múltiples).

Partícula única

El momento de una partícula se representa convencionalmente con la letra p . Es el producto de dos cantidades, la masa de la partícula (representada por la letra m ) y su velocidad ( v ): ^[1] p = m v . {\displaystyle p=mv.}

La unidad de momento es el producto de las unidades de masa y velocidad. En unidades del SI , si la masa está en kilogramos y la velocidad en metros por segundo, entonces el momento está en kilogramos metros por segundo (kg⋅m/s). En unidades del sistema centígrado , si la masa está en gramos y la velocidad en centímetros por segundo, entonces el momento está en gramos centímetros por segundo (g⋅cm/s).

Al ser un vector, el momento tiene magnitud y dirección. Por ejemplo, un modelo de avión de 1 kg que viaja hacia el norte a 1 m/s en vuelo recto y nivelado tiene un momento de 1 kg⋅m/s hacia el norte medido con referencia al suelo.

Muchas partículas

El momento de un sistema de partículas es la suma vectorial de sus momentos. Si dos partículas tienen masas respectivas m ₁ y m ₂ y velocidades v ₁ y v ₂ , el momento total es Los momentos de más de dos partículas se pueden sumar de manera más general con lo siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.}$$

Un sistema de partículas tiene un centro de masa , un punto determinado por la suma ponderada de sus posiciones: $${\displaystyle r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i}m_{i}r_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.}$$

Si una o más de las partículas se mueven, el centro de masa del sistema generalmente también se moverá (a menos que el sistema esté en rotación pura alrededor de él). Si la masa total de las partículas es , y el centro de masa se mueve a una velocidad v _cm , el momento del sistema es: ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle p=mv_{\text{cm}}.}$$

Esta se conoce como la primera ley de Euler . ^{[2] [3]}

Relación con la fuerza

Si la fuerza neta F aplicada a una partícula es constante y se aplica durante un intervalo de tiempo Δ t , el momento de la partícula cambia en una cantidad Δ p = F Δ t . {\displaystyle \Delta p=F\Delta t\,.}

En forma diferencial, esta es la segunda ley de Newton : la tasa de cambio del momento de una partícula es igual a la fuerza instantánea F que actúa sobre ella, ^[1] $${\displaystyle F={\frac {{\text{d}}p}{{\text{d}}t}}.}$$

Si la fuerza neta experimentada por una partícula cambia en función del tiempo, F ( t ) , el cambio en el momento (o impulso J ) entre los tiempos t ₁ y t ₂ es $${\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,{\text{d}}t\,.}$$

El impulso se mide en unidades derivadas de newton segundo (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) o dina segundo (1 dina⋅s = 1 g⋅cm/s).

Bajo el supuesto de masa constante m , es equivalente a escribir

$${\displaystyle F={\frac {{\text{d}}(mv)}{{\text{d}}t}}=m{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=ma,}$$

Por lo tanto, la fuerza neta es igual a la masa de la partícula multiplicada por su aceleración . ^[1]

Ejemplo : Un aeroplano de 1 kg de masa acelera desde el reposo hasta una velocidad de 6 m/s en dirección norte en 2 s. La fuerza neta necesaria para producir esta aceleración es de 3  newtons en dirección norte. El cambio de momento es de 6 kg⋅m/s en dirección norte. La tasa de cambio de momento es de 3 (kg⋅m/s)/s en dirección norte, lo que equivale numéricamente a 3 newtons.

Conservación

En un sistema cerrado (uno que no intercambia ninguna materia con su entorno y no está sometido a la acción de fuerzas externas) el momento total permanece constante. Este hecho, conocido como ley de conservación del momento , está implícito en las leyes del movimiento de Newton . ^{[4] [5]} Supongamos, por ejemplo, que dos partículas interactúan. Como explica la tercera ley, las fuerzas entre ellas son iguales en magnitud pero opuestas en dirección. Si las partículas están numeradas 1 y 2, la segunda ley establece que F ₁ = ⁠página ₁​/el o⁠ y F ₂ = ⁠dp2​_​/el o⁠ . Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}p_{1}}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}p_{2}}{{\text{d}}t}},}$$con el signo negativo indicando que las fuerzas se oponen. Equivalentemente,

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.}$$

Si las velocidades de las partículas son v _A1 y v _B1 antes de la interacción, y después son v _A2 y v _B2 , entonces

{\displaystyle m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.}

Esta ley se cumple sin importar lo complicada que sea la fuerza entre partículas. De manera similar, si hay varias partículas, el momento intercambiado entre cada par de partículas se suma a cero, por lo que el cambio total en el momento es cero. La conservación del momento total de varias partículas que interactúan se puede expresar como ^[4] $${\displaystyle m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}+m_{C}v_{C}+...=constant.}$$

Esta ley de conservación se aplica a todas las interacciones, incluidas las colisiones (tanto elásticas como inelásticas ) y las separaciones causadas por fuerzas explosivas. ^[4] También se puede generalizar a situaciones en las que las leyes de Newton no se cumplen, por ejemplo en la teoría de la relatividad y en la electrodinámica . ^[6]

Dependencia del marco de referencia

El momento es una cantidad medible y la medición depende del marco de referencia . Por ejemplo: si un avión de 1000 kg de masa vuela por el aire a una velocidad de 50 m/s, se puede calcular que su momento es de 50 000 kg.m/s. Si el avión vuela con un viento en contra de 5 m/s, su velocidad relativa a la superficie de la Tierra es de solo 45 m/s y se puede calcular que su momento es de 45 000 kg.m/s. Ambos cálculos son igualmente correctos. En ambos marcos de referencia, se encontrará que cualquier cambio en el momento es coherente con las leyes pertinentes de la física.

Supongamos que x es una posición en un marco de referencia inercial. Desde el punto de vista de otro marco de referencia, que se mueve a una velocidad constante u con respecto al otro, la posición (representada por una coordenada prima) cambia con el tiempo como

$${\displaystyle x'=x-ut\,.}$$

Esto se llama transformación galileana .

Si una partícula se mueve a velocidaddx​/el o⁠ = v en el primer marco de referencia, en el segundo, se mueve a velocidad

$${\displaystyle v'={\frac {{\text{d}}x'}{{\text{d}}t}}=v-u\,.}$$

Como u no cambia, el segundo marco de referencia también es un marco inercial y las aceleraciones son las mismas:

$${\displaystyle a'={\frac {{\text{d}}v'}{{\text{d}}t}}=a\,.}$$

Por lo tanto, el momento se conserva en ambos sistemas de referencia. Además, mientras la fuerza tenga la misma forma, en ambos sistemas, la segunda ley de Newton no cambia. Fuerzas como la gravedad newtoniana, que dependen únicamente de la distancia escalar entre objetos, satisfacen este criterio. Esta independencia del sistema de referencia se denomina relatividad newtoniana o invariancia galileana . ^[7]

Un cambio de sistema de referencia puede, a menudo, simplificar los cálculos de movimiento. Por ejemplo, en una colisión de dos partículas, se puede elegir un sistema de referencia en el que una partícula comience en reposo. Otro sistema de referencia de uso común es el sistema del centro de masas , que se mueve con el centro de masas. En este sistema, el momento total es cero.

Aplicación a colisiones

Si dos partículas, cada una de ellas con un momento conocido, chocan y se fusionan, se puede utilizar la ley de conservación del momento para determinar el momento del cuerpo fusionado. Si el resultado de la colisión es que las dos partículas se separan, la ley no es suficiente para determinar el momento de cada partícula. Si se conoce el momento de una partícula después de la colisión, se puede utilizar la ley para determinar el momento de la otra partícula. Alternativamente, si se conoce la energía cinética combinada después de la colisión, se puede utilizar la ley para determinar el momento de cada partícula después de la colisión. ^[8] La energía cinética normalmente no se conserva. Si se conserva, la colisión se denomina colisión elástica ; si no, es una colisión inelástica .

Colisiones elásticas

Choque elástico de masas iguales

Choque elástico de masas desiguales

Una colisión elástica es aquella en la que no se transforma energía cinética en calor o alguna otra forma de energía. Pueden ocurrir colisiones perfectamente elásticas cuando los objetos no se tocan entre sí, como por ejemplo en la dispersión atómica o nuclear donde la repulsión eléctrica mantiene separados a los objetos. Una maniobra de tirachinas de un satélite alrededor de un planeta también puede considerarse una colisión perfectamente elástica. Una colisión entre dos bolas de billar es un buen ejemplo de una colisión casi totalmente elástica, debido a su alta rigidez , pero cuando los cuerpos entran en contacto siempre hay cierta disipación . ^[9]

Una colisión elástica frontal entre dos cuerpos se puede representar mediante velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa por los cuerpos. Si las velocidades son v _A1 y v _B1 antes de la colisión y v _A2 y v _B2 después, las ecuaciones que expresan la conservación del momento y la energía cinética son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}\,.\end{aligned}}}$$

Un cambio de sistema de referencia puede simplificar el análisis de una colisión. Por ejemplo, supongamos que hay dos cuerpos de igual masa m , uno estacionario y otro aproximándose al otro a una velocidad v (como en la figura). El centro de masa se mueve a una velocidad ⁠en/2⁠ y ambos cuerpos se mueven hacia él a gran velocidad ⁠en/2⁠ . Debido a la simetría, después de la colisión ambos deben alejarse del centro de masas a la misma velocidad. Sumando la velocidad del centro de masas a ambas, encontramos que el cuerpo que se estaba moviendo ahora está detenido y el otro se aleja a una velocidad v . Los cuerpos han intercambiado sus velocidades. Independientemente de las velocidades de los cuerpos, un cambio al sistema del centro de masas nos lleva a la misma conclusión. Por lo tanto, las velocidades finales están dadas por ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

En general, cuando se conocen las velocidades iniciales, las velocidades finales vienen dadas por ^[10]

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=\left({\frac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}+\left({\frac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}\\v_{B2}&=\left({\frac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}+\left({\frac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

Si un cuerpo tiene una masa mucho mayor que el otro, su velocidad se verá poco afectada por una colisión, mientras que el otro cuerpo experimentará un gran cambio.

Colisiones inelásticas

una colisión perfectamente inelástica entre masas iguales

En una colisión inelástica, parte de la energía cinética de los cuerpos que chocan se convierte en otras formas de energía (como calor o sonido ). Los ejemplos incluyen colisiones de tráfico , ^[11] en las que el efecto de la pérdida de energía cinética se puede ver en el daño a los vehículos; electrones que pierden parte de su energía a los átomos (como en el experimento de Franck-Hertz ); ^[12] y aceleradores de partículas en los que la energía cinética se convierte en masa en forma de nuevas partículas.

En una colisión perfectamente inelástica (como cuando un insecto choca contra un parabrisas), ambos cuerpos tienen el mismo movimiento después. Una colisión inelástica frontal entre dos cuerpos se puede representar mediante velocidades en una dimensión, a lo largo de una línea que pasa por los cuerpos. Si las velocidades son v _A1 y v _B1 antes de la colisión, entonces en una colisión perfectamente inelástica ambos cuerpos viajarán con velocidad v ₂ después de la colisión. La ecuación que expresa la conservación del momento es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,.\end{aligned}}}$$

Si un cuerpo está inmóvil desde el principio (por ejemplo ), la ecuación para la conservación del momento es ${\displaystyle u_{2}=0}$

$${\displaystyle m_{A}v_{A1}=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,,}$$

entonces

$${\displaystyle v_{2}={\frac {m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}\,.}$$

En una situación diferente, si el marco de referencia se mueve a una velocidad final tal que , los objetos quedarían en reposo mediante una colisión perfectamente inelástica y el 100% de la energía cinética se convertiría en otras formas de energía. En este caso, las velocidades iniciales de los cuerpos serían distintas de cero, o los cuerpos tendrían que carecer de masa. ${\displaystyle v_{2}=0}$

Una medida de la inelasticidad de la colisión es el coeficiente de restitución CR , definido como la relación entre la velocidad relativa de separación y la velocidad relativa de aproximación. _Al aplicar esta medida a una pelota que rebota en una superficie sólida, se puede medir fácilmente utilizando la siguiente fórmula: ^[13]

$${\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.}$$

Las ecuaciones de momento y energía también se aplican a los movimientos de objetos que comienzan juntos y luego se separan. Por ejemplo, una explosión es el resultado de una reacción en cadena que transforma la energía potencial almacenada en forma química, mecánica o nuclear en energía cinética, energía acústica y radiación electromagnética. Los cohetes también hacen uso de la conservación del momento: el propulsor es empujado hacia afuera, ganando impulso, y se imparte un momento igual y opuesto al cohete. ^[14]

Múltiples dimensiones

Choque elástico bidimensional. No hay movimiento perpendicular a la imagen, por lo que solo se necesitan dos componentes para representar las velocidades y los momentos. Los dos vectores azules representan las velocidades después del choque y se suman vectorialmente para obtener la velocidad inicial (roja).

El movimiento real tiene dirección y velocidad y debe representarse mediante un vector . En un sistema de coordenadas con ejes x , y , z , la velocidad tiene componentes v _x en la dirección x , v _y en la dirección y , v _z en la dirección z . El vector se representa mediante un símbolo en negrita: ^[15]

$${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).}$$

De manera similar, el momento es una cantidad vectorial y se representa mediante un símbolo en negrita:

$${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$$

Las ecuaciones de las secciones anteriores funcionan en forma vectorial si los escalares p y v se reemplazan por los vectores p y v . Cada ecuación vectorial representa tres ecuaciones escalares. Por ejemplo,

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$

representa tres ecuaciones: ^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones de energía cinética son excepciones a la regla de reemplazo anterior. Las ecuaciones siguen siendo unidimensionales, pero cada escalar representa la magnitud del vector , por ejemplo,

$${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.}$$

Cada ecuación vectorial representa tres ecuaciones escalares. A menudo, las coordenadas se pueden elegir de modo que solo se necesiten dos componentes, como en la figura. Cada componente se puede obtener por separado y los resultados se pueden combinar para producir un resultado vectorial. ^[15]

Se puede utilizar una construcción simple que involucra el marco del centro de masa para demostrar que si una esfera elástica estacionaria es golpeada por una esfera en movimiento, las dos se separarán en ángulos rectos después de la colisión (como en la figura). ^[16]

Objetos de masa variable

El concepto de momento juega un papel fundamental a la hora de explicar el comportamiento de objetos de masa variable, como un cohete que expulsa combustible o una estrella que acumula gas. Al analizar un objeto de este tipo, se trata la masa del objeto como una función que varía con el tiempo: m ( t ) . Por tanto, el momento del objeto en el instante t es p ( t ) = m ( t ) v ( t ) . Se podría intentar invocar la segunda ley del movimiento de Newton diciendo que la fuerza externa F sobre el objeto está relacionada con su momento p ( t ) mediante F = ⁠dp​/el o⁠ , pero esto es incorrecto, como lo es la expresión relacionada que se obtiene al aplicar la regla del producto a ⁠d ( m v )/el o⁠ : ^[17]

$${\displaystyle F=m(t){\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}+v(t){\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}}.{\text{(incorrect)}}}$$

Esta ecuación no describe correctamente el movimiento de objetos de masa variable. La ecuación correcta es

$${\displaystyle F=m(t){\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}-u{\frac {{\text{d}}m}{{\text{d}}t}},}$$

donde u es la velocidad de la masa expulsada/acretada como se ve en el marco de reposo del objeto . ^[17] Esto es distinto de v , que es la velocidad del objeto mismo como se ve en un marco inercial.

Esta ecuación se deriva del seguimiento tanto del momento del objeto como del momento de la masa expulsada/acrecentada ( d m ). Cuando se consideran juntos, el objeto y la masa ( d m ) constituyen un sistema cerrado en el que se conserva el momento total.

$${\displaystyle P(t+{\text{d}}t)=(m-{\text{d}}m)(v+{\text{d}}v)+{\text{d}}m(v-u)=mv+m{\text{d}}v-u{\text{d}}m=P(t)+m{\text{d}}v-u{\text{d}}m}$$

Generalizado

Las leyes de Newton pueden ser difíciles de aplicar a muchos tipos de movimiento porque el movimiento está limitado por restricciones . Por ejemplo, una cuenta en un ábaco está restringida a moverse a lo largo de su alambre y un péndulo está restringido a oscilar a una distancia fija del pivote. Muchas de estas restricciones se pueden incorporar cambiando las coordenadas cartesianas normales a un conjunto de coordenadas generalizadas que pueden ser menos en número. ^[18] Se han desarrollado métodos matemáticos refinados para resolver problemas de mecánica en coordenadas generalizadas. Introducen un momento generalizado , también conocido como momento canónico o momento conjugado , que extiende los conceptos tanto de momento lineal como de momento angular . Para distinguirlo del momento generalizado, el producto de masa y velocidad también se conoce como momento mecánico , momento cinético o momento cinemático . ^{[6] [19] [20]} Los dos métodos principales se describen a continuación.

Mecánica lagrangiana

En mecánica lagrangiana , un lagrangiano se define como la diferencia entre la energía cinética T y la energía potencial V :

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V\,.}$$

Si las coordenadas generalizadas se representan como un vector q = ( q ₁ , q ₂ , ... , q _N ) y la diferenciación temporal se representa mediante un punto sobre la variable, entonces las ecuaciones de movimiento (conocidas como ecuaciones de Lagrange o de Euler-Lagrange ) son un conjunto de N ecuaciones: ^[21]

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}=0\,.}$$

Si una coordenada q _i no es una coordenada cartesiana, el componente de momento generalizado asociado p _i no necesariamente tiene las dimensiones del momento lineal. Incluso si q _i es una coordenada cartesiana, p _i no será lo mismo que el momento mecánico si el potencial depende de la velocidad. ^[6] Algunas fuentes representan el momento cinemático con el símbolo Π . ^[22]

En este marco matemático, un momento generalizado se asocia con las coordenadas generalizadas. Sus componentes se definen como

$${\displaystyle p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,.}$$

Se dice que cada componente p _j es el momento conjugado para la coordenada q _j .

Ahora bien, si una determinada coordenada q _i no aparece en el lagrangiano (aunque su derivada temporal sí lo haga), entonces p _j es constante. Esta es la generalización de la conservación del momento. ^[6]

Incluso si las coordenadas generalizadas son simplemente las coordenadas espaciales ordinarias, los momentos conjugados no son necesariamente las coordenadas ordinarias del momento. Se puede encontrar un ejemplo en la sección sobre electromagnetismo.

Mecánica hamiltoniana

En la mecánica hamiltoniana , el lagrangiano (una función de coordenadas generalizadas y sus derivadas) se reemplaza por un hamiltoniano que es una función de coordenadas generalizadas y momento. El hamiltoniano se define como

$${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t\right)\,,}$$

donde el momento se obtiene derivando el lagrangiano como se indicó anteriormente. Las ecuaciones de movimiento hamiltonianas son ^[23]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\\-{\dot {p}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\\-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}&={\frac {{\text{d}}{\mathcal {H}}}{{\text{d}}t}}\,.\end{aligned}}}$$

Al igual que en la mecánica lagrangiana, si una coordenada generalizada no aparece en el hamiltoniano, su componente de momento conjugado se conserva. ^[24]

Simetría y conservación

La conservación del momento es una consecuencia matemática de la homogeneidad ( simetría de desplazamiento ) del espacio (la posición en el espacio es la cantidad conjugada canónica del momento). Es decir, la conservación del momento es una consecuencia del hecho de que las leyes de la física no dependen de la posición; este es un caso especial del teorema de Noether . ^[25] Para los sistemas que no tienen esta simetría, puede que no sea posible definir la conservación del momento. Los ejemplos en los que la conservación del momento no se aplica incluyen los espaciotiempos curvos en la relatividad general ^[26] o los cristales de tiempo en la física de la materia condensada . ^{[27] [28] [29] [30]}

Densidad de momento

En cuerpos y fluidos deformables

La conservación en un continuo

Movimiento de un cuerpo material

En campos como la dinámica de fluidos y la mecánica de sólidos , no es factible seguir el movimiento de átomos o moléculas individuales. En cambio, los materiales deben aproximarse mediante un continuo en el que, en cada punto, hay una partícula o parcela de fluido a la que se le asigna el promedio de las propiedades de los átomos en una pequeña región cercana. En particular, tiene una densidad ρ y una velocidad v que dependen del tiempo t y la posición r . El momento por unidad de volumen es ρ v . ^[31]

Consideremos una columna de agua en equilibrio hidrostático . Todas las fuerzas sobre el agua están en equilibrio y el agua está inmóvil. En cualquier gota de agua dada, dos fuerzas están equilibradas. La primera es la gravedad, que actúa directamente sobre cada átomo y molécula en su interior. La fuerza gravitacional por unidad de volumen es ρ g , donde g es la aceleración gravitacional . La segunda fuerza es la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre su superficie por el agua circundante. La fuerza desde abajo es mayor que la fuerza desde arriba por la cantidad necesaria para equilibrar la gravedad. La fuerza normal por unidad de área es la presión p . La fuerza promedio por unidad de volumen dentro de la gota es el gradiente de la presión, por lo que la ecuación de equilibrio de fuerzas es ^[32]

$${\displaystyle -\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.}$$

Si las fuerzas no están equilibradas, la gota se acelera. Esta aceleración no es simplemente la derivada parcial∂ en/∂​⁠ porque el fluido en un volumen dado cambia con el tiempo. En cambio, se necesita la derivada material : ^[33]

$${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.}$$

Aplicada a cualquier cantidad física, la derivada material incluye la tasa de cambio en un punto y los cambios debidos a la advección a medida que el fluido pasa por el punto. Por unidad de volumen, la tasa de cambio en el momento es igual a ρ ⁠Dv​/El o⁠ . Esto es igual a la fuerza neta sobre la gota.

Las fuerzas que pueden cambiar el momento de una gota incluyen el gradiente de presión y gravedad, como se indicó anteriormente. Además, las fuerzas superficiales pueden deformar la gota. En el caso más simple, una tensión de corte τ , ejercida por una fuerza paralela a la superficie de la gota, es proporcional a la tasa de deformación o tasa de deformación . Tal tensión de corte ocurre si el fluido tiene un gradiente de velocidad porque el fluido se mueve más rápido en un lado que en el otro. Si la velocidad en la dirección x varía con z , la fuerza tangencial en la dirección x por unidad de área normal a la dirección z es

$${\displaystyle \sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,}$$

donde μ es la viscosidad . Esto también es un flujo , o flujo por unidad de área, de x -momento a través de la superficie. ^[34]

Incluyendo el efecto de la viscosidad, las ecuaciones de equilibrio de momento para el flujo incompresible de un fluido newtoniano son

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\,}$$

Estas se conocen como ecuaciones de Navier-Stokes . ^[35]

Las ecuaciones de equilibrio de momento se pueden extender a materiales más generales, incluidos los sólidos. Para cada superficie con una normal en la dirección i y una fuerza en la dirección j , existe un componente de tensión σ _{i j} . Los nueve componentes forman el tensor de tensión de Cauchy σ , que incluye tanto la presión como el esfuerzo cortante. La conservación local del momento se expresa mediante la ecuación de momento de Cauchy :

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,}$$

donde f es la fuerza del cuerpo . ^[36]

La ecuación de Cauchy sobre el momento es ampliamente aplicable a las deformaciones de sólidos y líquidos. La relación entre las tensiones y la velocidad de deformación depende de las propiedades del material (véase Tipos de viscosidad ).

Ondas acústicas

Una perturbación en un medio da lugar a oscilaciones u ondas que se propagan alejándose de su fuente. En un fluido, los pequeños cambios en la presión p pueden describirse a menudo mediante la ecuación de onda acústica :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,}$$

donde c es la velocidad del sonido . En un sólido, se pueden obtener ecuaciones similares para la propagación de la presión ( ondas P ) y la cizalladura ( ondas S ). ^[37]

El flujo, o transporte por unidad de área, de un componente de momento ρ v _j por una velocidad v _i es igual a ρ v _j v _j . ^{[ dudoso – discutir ]} En la aproximación lineal que conduce a la ecuación acústica anterior, el promedio temporal de este flujo es cero. Sin embargo, los efectos no lineales pueden dar lugar a un promedio distinto de cero. ^[38] Es posible que se produzca un flujo de momento aunque la onda en sí no tenga un momento medio. ^[39]

En electromagnetismo

Partícula en un campo

En las ecuaciones de Maxwell , las fuerzas entre partículas están mediadas por campos eléctricos y magnéticos. La fuerza electromagnética ( fuerza de Lorentz ) sobre una partícula con carga q debida a una combinación de campo eléctrico E y campo magnético B es

F = q ( E + v × B ). {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}

(en unidades SI ). ^{[40] : 2} Tiene un potencial eléctrico φ ( r , t ) y un potencial vectorial magnético A ( r , t ) . ^[22] En el régimen no relativista, su momento generalizado es

$${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,}$$

Mientras que en la mecánica relativista esto se convierte en

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} .}$$

La cantidad V = q A se denomina a veces momento potencial . ^{[41] [42] [43]} Es el momento debido a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. El nombre es una analogía con la energía potencial U = q φ , que es la energía debida a la interacción de la partícula con los campos electromagnéticos. Estas cantidades forman un cuadrivector, por lo que la analogía es consistente; además, el concepto de momento potencial es importante para explicar el llamado momento oculto de los campos electromagnéticos. ^[44]

Conservación

En la mecánica newtoniana, la ley de conservación del momento se puede derivar de la ley de acción y reacción , que establece que cada fuerza tiene una fuerza recíproca igual y opuesta. En algunas circunstancias, las partículas cargadas en movimiento pueden ejercer fuerzas entre sí en direcciones no opuestas. ^[45] Sin embargo, el momento combinado de las partículas y el campo electromagnético se conserva.

Vacío

La fuerza de Lorentz imparte un momento a la partícula, por lo que, según la segunda ley de Newton, la partícula debe impartir un momento a los campos electromagnéticos. ^[46]

En el vacío, el momento por unidad de volumen es

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,,}$$

donde μ ₀ es la permeabilidad al vacío y c es la velocidad de la luz . La densidad de momento es proporcional al vector de Poynting S que da la tasa direccional de transferencia de energía por unidad de área: ^{[46] [47]}

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,.}$$

Si se debe conservar el momento en el volumen V sobre una región Q , los cambios en el momento de la materia a través de la fuerza de Lorentz deben equilibrarse con los cambios en el momento del campo electromagnético y la salida del momento. Si P _mech es el momento de todas las partículas en Q , y las partículas se tratan como un continuo, entonces la segunda ley de Newton da

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\mathbf {P} _{\text{mech}}}{{\text{d}}t}}=\iiint \limits _{Q}\left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right){\text{d}}V\,.}$$

El momento electromagnético es

$${\displaystyle \mathbf {P} _{\text{field}}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\iiint \limits _{Q}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,dV\,,}$$

y la ecuación para la conservación de cada componente i del momento es

$${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(\mathbf {P} _{\text{mech}}+\mathbf {P} _{\text{field}}\right)_{i}=\iint \limits _{\sigma }\left(\sum \limits _{j}T_{ij}n_{j}\right){\text{d}}\Sigma \,.}$$

El término de la derecha es una integral sobre el área de superficie Σ de la superficie σ que representa el flujo de momento que entra y sale del volumen, y n _j es un componente de la normal de superficie de S . La cantidad T _{i j} se denomina tensor de tensión de Maxwell , definido como ^[46]

$${\displaystyle T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,.}$$

Medios de comunicación

Los resultados anteriores corresponden a las ecuaciones microscópicas de Maxwell, aplicables a fuerzas electromagnéticas en el vacío (o en una escala muy pequeña en medios). Es más difícil definir la densidad de momento en medios porque la división en electromagnética y mecánica es arbitraria. La definición de densidad de momento electromagnético se modifica para

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,,}$$

donde el campo H H está relacionado con el campo B y la magnetización M por

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\,.}$$

El tensor de tensión electromagnética depende de las propiedades del medio. ^[46]

No clásico

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , el momento se define como un operador autoadjunto en la función de onda . El principio de incertidumbre de Heisenberg define límites sobre la precisión con la que se puede conocer a la vez el momento y la posición de un único sistema observable. En mecánica cuántica, la posición y el momento son variables conjugadas .

Para una sola partícula descrita en la base de posición, el operador de momento se puede escribir como

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,}$$

donde ∇ es el operador de gradiente , ħ es la constante de Planck reducida e i es la unidad imaginaria . Esta es una forma común del operador de momento, aunque el operador de momento en otras bases puede adoptar otras formas. Por ejemplo, en el espacio de momento, el operador de momento se representa mediante la ecuación de valor propio

$${\displaystyle \mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,}$$

donde el operador p que actúa sobre una función de onda ψ ( p ) produce esa función de onda multiplicada por el valor propio p , de manera análoga a la forma en que el operador de posición que actúa sobre una función de onda ψ ( x ) produce esa función de onda multiplicada por el valor propio x .

Tanto para objetos masivos como sin masa, el momento relativista está relacionado con la constante de fase β por ^[48]

$${\displaystyle p=\hbar \beta }$$

La radiación electromagnética (que incluye la luz visible , la luz ultravioleta y las ondas de radio ) es transportada por fotones . Aunque los fotones (el aspecto de la luz que constituye una partícula) no tienen masa, aún así tienen impulso. Esto conduce a aplicaciones como la vela solar . El cálculo del impulso de la luz dentro de medios dieléctricos es algo controvertido (véase la controversia Abraham-Minkowski ). ^{[49] [50]}

Relativista

Invariancia de Lorentz

La física newtoniana supone que el tiempo y el espacio absolutos existen fuera de cualquier observador; esto da lugar a la invariancia galileana . También da lugar a una predicción de que la velocidad de la luz puede variar de un sistema de referencia a otro. Esto es contrario a lo observado. En la teoría especial de la relatividad , Einstein mantiene el postulado de que las ecuaciones de movimiento no dependen del sistema de referencia, pero supone que la velocidad de la luz c es invariante. Como resultado, la posición y el tiempo en dos sistemas de referencia están relacionados por la transformación de Lorentz en lugar de la transformación galileana . ^[51]

Consideremos, por ejemplo, un sistema de referencia que se mueve con respecto a otro a una velocidad v en la dirección x . La transformación galileana proporciona las coordenadas del sistema en movimiento como

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\end{aligned}}}$$

mientras que la transformación de Lorentz da ^[52]

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}}$$

donde γ es el factor de Lorentz :

γ = 1 1 - v 2 / c 2 . {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}

La segunda ley de Newton, con masa fija, no es invariante bajo una transformación de Lorentz. Sin embargo, se puede hacer invariante haciendo que la masa inercial m de un objeto sea una función de la velocidad:

$${\displaystyle m=\gamma m_{0}\,;}$$

m ₀ es la masa invariante del objeto. ^[53]

El impulso modificado,

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,}$$

obedece la segunda ley de Newton:

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$

Dentro del dominio de la mecánica clásica, el momento relativista se aproxima mucho al momento newtoniano: a baja velocidad, γ m ₀ v es aproximadamente igual a m ₀ v , la expresión newtoniana para el momento.

Formulación de cuatro vectores

En la teoría de la relatividad especial, las cantidades físicas se expresan en términos de cuatro vectores que incluyen el tiempo como cuarta coordenada junto con las tres coordenadas espaciales. Estos vectores se representan generalmente con letras mayúsculas, por ejemplo R para la posición. La expresión para el cuatro-momento depende de cómo se expresen las coordenadas. El tiempo puede darse en sus unidades normales o multiplicarse por la velocidad de la luz de modo que todos los componentes del cuatro-vector tengan dimensiones de longitud. Si se utiliza la última escala, se obtiene un intervalo de tiempo propio , τ , definido por ^[54]

$${\displaystyle c^{2}{\text{d}}\tau ^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}-{\text{d}}z^{2}\,,}$$

es invariante bajo las transformaciones de Lorentz (en esta expresión y en lo que sigue se ha utilizado la signatura métrica (+ − − −) , diferentes autores utilizan diferentes convenciones). Matemáticamente, esta invariancia se puede asegurar de una de dos maneras: tratando los cuatro vectores como vectores euclidianos y multiplicando el tiempo por √ −1 ; o manteniendo el tiempo como una cantidad real e incrustando los vectores en un espacio de Minkowski . ^[55] En un espacio de Minkowski, el producto escalar de dos cuatro vectores U = ( U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ ) y V = ( V ₀ , V ₁ , V ₂ , V ₃ ) se define como

$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.}$$

En todos los sistemas de coordenadas, la cuatrivelocidad relativista ( contravariante ) se define por

$${\displaystyle \mathbf {U} \equiv {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}\tau }}=\gamma {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}t}}\,,}$$

y el cuatri-momento (contravariante) es

PAG = metro 0 U , {\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} \,,}

donde m ₀ es la masa invariante. Si R = ( c t , x , y , z ) (en el espacio de Minkowski), entonces

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p} )\,.}$$

Usando la equivalencia masa-energía de Einstein , E = m c ² , esto se puede reescribir como

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.}$$

Por lo tanto, la conservación del cuadrimpulso es invariante respecto de Lorentz e implica la conservación tanto de la masa como de la energía.

La magnitud del cuatrivector de momento es igual a m ₀ c :

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,}$$

y es invariante en todos los marcos de referencia.

La relación energía-momento relativista se mantiene incluso para partículas sin masa como los fotones; al establecer m ₀ = 0 se deduce que

$${\displaystyle E=pc\,.}$$

En un juego de billar relativista, si una partícula estacionaria es golpeada por una partícula en movimiento en una colisión elástica, las trayectorias formadas por las dos después formarán un ángulo agudo. Esto es diferente del caso no relativista, en el que viajan en ángulos rectos. ^[56]

El cuadrimpulso de una onda plana se puede relacionar con un cuadrimpulso de onda ^[57]

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$$

Para una partícula, la relación entre los componentes temporales, E = ħ ω , es la relación de Planck-Einstein , y la relación entre los componentes espaciales, p = ħ k , describe una onda de materia de De Broglie .

Historia del concepto

Impulso

Juan Filópono

En torno al año 530 d. C., Juan Filópono desarrolló un concepto de momento en De la física , un comentario a la Física de Aristóteles . Aristóteles afirmaba que todo lo que se mueve debe mantenerse en movimiento gracias a algo. Por ejemplo, una pelota lanzada debe mantenerse en movimiento gracias a los movimientos del aire. Filópono señaló lo absurdo de la afirmación de Aristóteles de que el movimiento de un objeto es promovido por el mismo aire que resiste su paso. Propuso, en cambio, que se impartía un impulso al objeto en el acto de lanzarlo. ^[58]

Ibn Sina

Ibn Sina
(980–1037)

En 1020, Ibn Sīnā (también conocido por su nombre latinizado Avicena) leyó a Filópono y publicó su propia teoría del movimiento en El libro de la curación . Estaba de acuerdo en que el impulso es impartido a un proyectil por el lanzador; pero a diferencia de Filópono, que creía que era una virtud temporal que decaería incluso en el vacío, él lo veía como algo persistente, que requería fuerzas externas como la resistencia del aire para disiparlo. ^{[59] [60] [61]}

Peter Olivi y Jean Buridan

En los siglos XIII y XIV, Peter Olivi y Jean Buridan leyeron y refinaron la obra de Philoponus, y posiblemente la de Ibn Sīnā. ^[61] Buridan, quien alrededor de 1350 fue nombrado rector de la Universidad de París, se refirió a la idea de que el ímpetu era proporcional al peso multiplicado por la velocidad. Además, la teoría de Buridan era diferente de la de su predecesor en que no consideraba que el ímpetu se autodisipara, afirmando que un cuerpo sería detenido por las fuerzas de la resistencia del aire y la gravedad que podrían oponerse a su ímpetu. ^{[62] [63]}

Cantidad de movimiento

René Descartes

En Principios de filosofía ( Principia Philosophiae ) de 1644, el filósofo francés René Descartes definió la "cantidad de movimiento" ( en latín : quantitas motus ) como el producto del tamaño por la velocidad, ^[64] y afirmó que la cantidad total de movimiento en el universo se conserva. ^{[64] [65]}

René Descartes
(1596-1650)

Si x tiene el doble del tamaño de y, y se mueve a la mitad de velocidad, entonces hay la misma cantidad de movimiento en cada uno.

[Dios] creó la materia, junto con su movimiento... simplemente dejando que las cosas sigan su curso, conserva la misma cantidad de movimiento... que puso al principio.

Esto no debe leerse como una declaración de la ley moderna de conservación del momento , ya que Descartes no tenía un concepto de masa como distinto del peso y el tamaño. (El concepto de masa, como distinto del peso, fue introducido por Newton en 1686.) ^[66] Más importante aún, creía que es la rapidez en lugar de la velocidad lo que se conserva. Entonces, para Descartes, si un objeto en movimiento rebotara en una superficie, cambiando su dirección pero no su velocidad, no habría ningún cambio en su cantidad de movimiento. ^{[67] [68] [69]} Galileo , en sus Dos nuevas ciencias (publicado en 1638), usó la palabra italiana impeto para describir de manera similar la cantidad de movimiento de Descartes.

Christian Huygens

Christian Huygens
(1629-1695)

En el siglo XVII, Christiaan Huygens concluyó bastante pronto que las leyes de Descartes para la colisión elástica de dos cuerpos debían ser erróneas, y formuló las leyes correctas. ^[70] Un paso importante fue su reconocimiento de la invariancia galileana de los problemas. ^[71] Sus ideas tardaron muchos años en circular. Se las transmitió en persona a William Brouncker y Christopher Wren en Londres, en 1661. ^[72] Lo que Spinoza le escribió a Henry Oldenburg sobre ellas, en 1666 durante la Segunda Guerra Anglo-Holandesa , fue reservado. ^[73] De hecho, Huygens las había elaborado en un manuscrito De motu corporum ex percussione en el período 1652-1656. La guerra terminó en 1667, y Huygens anunció sus resultados a la Royal Society en 1668. Los publicó en el Journal des sçavans en 1669. ^[74]

Impulso

Juan Wallis

En 1670, John Wallis , en Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus , enunció la ley de conservación del momento: "el estado inicial del cuerpo, ya sea de reposo o de movimiento, persistirá" y "si la fuerza es mayor que la resistencia, se producirá movimiento". ^[75] Wallis utilizó momento para la cantidad de movimiento y vis para la fuerza.

Gottfried Leibniz

En 1686, Gottfried Wilhelm Leibniz , en su Discurso sobre la metafísica , argumentó contra la teoría de Descartes de la conservación de la "cantidad de movimiento" utilizando el ejemplo de dejar caer bloques de distintos tamaños a distintas distancias. Señala que la fuerza se conserva, pero la cantidad de movimiento, entendida como el producto del tamaño y la velocidad de un objeto, no se conserva. ^[76]

Isaac Newton

Isaac Newton
(1642-1727)

En 1687, Isaac Newton , en Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , al igual que Wallis, mostró una búsqueda similar de palabras para usar para el momento matemático. Su Definición II define quantitas motus , "cantidad de movimiento", como "que surge de la velocidad y la cantidad de materia conjuntamente", lo que lo identifica como momento. ^[77] Por lo tanto, cuando en la Ley II se refiere a mutatio motus , "cambio de movimiento", al ser proporcional a la fuerza aplicada, generalmente se entiende que se refiere al momento y no al movimiento. ^[78]

Juan Jennings

En 1721, John Jennings publicó Miscellanea , donde se atestigua el momento en su sentido matemático actual, cinco años antes de la edición final de los Principia Mathematica de Newton . El momento M o "cantidad de movimiento" se definía para los estudiantes como "un rectángulo", el producto de Q y V , donde Q es "cantidad de material" y V es "velocidad" .s/a⁠ . ^[79]

En 1728, la Enciclopedia afirma:

El momento , ímpetu o cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es el factum [es decir, el producto] de su velocidad (o el espacio en el que se mueve en un tiempo dado, ver Movimiento ) multiplicado por su masa.

Véase también

• Portal de física

• Momento angular
• Impulso cristalino
• Cañón galileano
• Compactación por momento
• Transferencia de momento
• La cuna de Newton
• Espacio de posición y momento

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• Conservación del momento: un capítulo de un libro de texto en línea