invariancia galileana

Aproximación de baja velocidad para la relatividad especial

La invariancia galileana o relatividad galileana establece que las leyes del movimiento son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales . Galileo Galilei describió por primera vez este principio en 1632 en su Diálogo sobre los dos principales sistemas mundiales utilizando el ejemplo de un barco que viaja a velocidad constante, sin balancearse, en un mar en calma; cualquier observador debajo de la cubierta no podría decir si el barco estaba en movimiento o estacionario.

Formulación

En concreto, el término invariancia galileana hoy en día suele referirse a este principio aplicado a la mecánica newtoniana , es decir, las leyes del movimiento de Newton se cumplen en todos los sistemas relacionados entre sí mediante una transformación galileana . En otras palabras, todos los marcos relacionados entre sí mediante tal transformación son inerciales (es decir, la ecuación de movimiento de Newton es válida en estos marcos). En este contexto, a veces se la llama relatividad newtoniana .

Entre los axiomas de la teoría de Newton se encuentran:

1. Existe un espacio absoluto en el que las leyes de Newton son verdaderas. Un sistema inercial es un sistema de referencia en movimiento relativamente uniforme hacia el espacio absoluto.
2. Todos los sistemas inerciales comparten un tiempo universal .

La relatividad galileana se puede demostrar de la siguiente manera. Considere dos marcos inerciales S y S' . Un evento físico en S tendrá coordenadas de posición r = ( x , y , z ) y tiempo t en S , y r' = ( x' , y' , z' ) y tiempo t' en S' . Según el segundo axioma anterior, se puede sincronizar el reloj en los dos cuadros y suponer t = t' . Supongamos que S' está en movimiento relativamente uniforme con respecto a S con velocidad v . Considere un objeto puntual cuya posición está dada por las funciones r' ( t ) en S ' y r ( t ) en S. Vemos eso

${\displaystyle r'(t)=r(t)-vt.\,}$

La velocidad de la partícula viene dada por la derivada de la posición en el tiempo:

${\displaystyle u'(t)={\frac {d}{dt}}r'(t)={\frac {d}{dt}}r(t)-v=u(t)-v.}$

Otra diferenciación da la aceleración en los dos cuadros:

${\displaystyle a'(t)={\frac {d}{dt}}u'(t)={\frac {d}{dt}}u(t)-0=a(t).}$

Es este resultado simple pero crucial el que implica la relatividad galileana. Suponiendo que la masa es invariante en todos los sistemas inerciales, la ecuación anterior muestra que las leyes de la mecánica de Newton, si son válidas en un sistema, deben ser válidas para todos los sistemas. ^[1] Pero se supone que se cumple en el espacio absoluto, por lo tanto, la relatividad galileana se cumple.

La teoría de Newton versus la relatividad especial

Se puede hacer una comparación entre la relatividad newtoniana y la relatividad especial .

Algunos de los supuestos y propiedades de la teoría de Newton son:

1. La existencia de infinitos marcos inerciales. Cada marco es de tamaño infinito (el universo entero puede estar cubierto por muchos marcos linealmente equivalentes). Dos cuadros cualesquiera pueden estar en movimiento relativamente uniforme. (La naturaleza relativista de la mecánica derivada anteriormente muestra que la suposición del espacio absoluto no es necesaria).
2. Los marcos inerciales pueden moverse en todas las formas relativas posibles de movimiento uniforme.
3. Existe una noción universal o absoluta de tiempo transcurrido.
4. Dos marcos inerciales están relacionados por una transformación galileana .
5. En todos los sistemas inerciales, se cumplen las leyes de Newton y la gravedad.

En comparación, las declaraciones correspondientes de la relatividad especial son las siguientes:

1. La existencia, también, de infinitos marcos no inerciales, cada uno de los cuales hace referencia a (y está físicamente determinado por) un conjunto único de coordenadas espacio-temporales. Cada cuadro puede tener un tamaño infinito, pero su definición siempre está determinada localmente por las condiciones físicas contextuales. Dos marcos cualesquiera pueden estar en movimiento relativo no uniforme (siempre que se suponga que esta condición de movimiento relativo implica un efecto dinámico relativista –y más tarde, un efecto mecánico en la relatividad general– entre ambos marcos).
2. En lugar de permitir libremente todas las condiciones de movimiento relativo uniforme entre marcos de referencia, la velocidad relativa entre dos marcos inerciales queda limitada por la velocidad de la luz.
3. En lugar de tiempo transcurrido universal, cada sistema inercial posee su propia noción de tiempo transcurrido.
4. Las transformaciones galileanas son sustituidas por transformaciones de Lorentz .
5. En todos los sistemas inerciales, todas las leyes de la física son iguales.

Ambas teorías asumen la existencia de marcos inerciales. En la práctica, el tamaño de los marcos en los que siguen siendo válidos difiere mucho, dependiendo de las fuerzas de marea gravitacionales.

En el contexto apropiado, un sistema inercial newtoniano local , donde la teoría de Newton sigue siendo un buen modelo, se extiende aproximadamente a 10,7 ^años luz.

En la relatividad especial se consideran las cabinas de Einstein , cabinas que caen libremente en un campo gravitacional. Según el experimento mental de Einstein, un hombre en una cabina de este tipo no experimenta (en una buena aproximación) gravedad y, por lo tanto, la cabina es un marco inercial aproximado. Sin embargo, hay que partir de la base de que el tamaño de la cabina es lo suficientemente pequeño como para que el campo gravitacional en su interior sea aproximadamente paralelo. Esto puede reducir en gran medida los tamaños de dichos marcos aproximados, en comparación con los marcos newtonianos. Por ejemplo, un satélite artificial que orbita alrededor de la Tierra puede verse como una cabina. Sin embargo, instrumentos razonablemente sensibles podrían detectar la "microgravedad" en tal situación porque las "líneas de fuerza" del campo gravitacional de la Tierra convergen.

En general, la convergencia de los campos gravitacionales en el universo dicta la escala en la que se podrían considerar tales marcos inerciales (locales). Por ejemplo, una nave espacial que cayera en un agujero negro o una estrella de neutrones estaría (a cierta distancia) sometida a fuerzas de marea lo suficientemente fuertes como para aplastarla a lo ancho y destrozarla a lo largo. ^[2] Sin embargo, en comparación, tales fuerzas solo podrían resultar incómodas para los astronautas que se encuentran dentro (comprimiendo sus articulaciones, dificultando la extensión de sus extremidades en cualquier dirección perpendicular al campo de gravedad de la estrella). Si reducimos aún más la escala, las fuerzas a esa distancia podrían casi no tener ningún efecto en un ratón. Esto ilustra la idea de que todos los marcos en caída libre son localmente inerciales (libres de aceleración y gravedad) si la escala se elige correctamente. ^[2]

Electromagnetismo

Hay dos transformaciones galileanas consistentes que pueden usarse con campos electromagnéticos en ciertas situaciones.

Una transformación no es consistente si donde y son velocidades. Una transformación consistente producirá los mismos resultados al transformar a una nueva velocidad en uno o varios pasos. No es posible tener una transformación galileana consistente que transforme tanto el campo magnético como el eléctrico. ^{[3] : 256} Existen transformaciones galileanas consistentes y útiles que pueden aplicarse siempre que el campo magnético o el campo eléctrico sean dominantes. ${\displaystyle T\{*,v\}}$ ${\displaystyle T\{*,v_{1}+v_{2}\}\neq T\{*,v_{1}\}+T\{*,v_{2}\}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

Sistema de campo magnético

Los sistemas de campo magnético son aquellos sistemas en los que el campo eléctrico en el marco de referencia inicial es insignificante, pero el campo magnético es fuerte. Cuando el campo magnético es dominante y la velocidad relativa, , es baja, entonces la siguiente transformación puede resultar útil: ${\displaystyle v^{\mathbf {r} }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} \\\mathbf {B^{'}} &=\mathbf {B} \\\mathbf {M^{'}} &=\mathbf {M} \\\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} +v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {B} \\\end{aligned}}}$$

^{[3] : 261} ${\displaystyle \mathbf {J_{f}} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

Sistema de campo eléctrico

Los sistemas de campo eléctrico son aquellos sistemas en los que el campo magnético en el marco de referencia inicial es insignificante, pero el campo eléctrico es fuerte. Cuando el campo eléctrico es dominante y la velocidad relativa, , es baja, entonces la siguiente transformación puede resultar útil: ${\displaystyle v^{r}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} \\\mathbf {D^{'}} &=\mathbf {D} \\\mathbf {\rho _{f}^{'}} &=\mathbf {\rho _{f}} \\\mathbf {P^{'}} &=\mathbf {P} \\\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} -v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {D} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} -\rho _{\mathbf {f} }v^{\mathbf {r} }\\\end{aligned}}}$$

donde es la densidad de carga libre, es la densidad de polarización. El campo magnético y la densidad de corriente libre se transforman bajo esta transformación cuando se cambian los marcos de referencia, pero el campo eléctrico y las cantidades relacionadas no cambian ^{[3] : 265} ${\displaystyle \rho _{\mathbf {f} }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

Trabajo, energía cinética y momento.

Debido a que la distancia recorrida al aplicar una fuerza a un objeto depende del marco de referencia inercial, también depende el trabajo realizado. Debido a la ley de acciones recíprocas de Newton existe una fuerza de reacción; Funciona dependiendo del marco de referencia inercial de manera opuesta. El trabajo total realizado es independiente del sistema de referencia inercial.

En consecuencia, la energía cinética de un objeto, e incluso el cambio de esta energía debido a un cambio de velocidad, depende del sistema de referencia inercial. La energía cinética total de un sistema aislado también depende del sistema de referencia inercial: es la suma de la energía cinética total en un sistema de centro de momento y la energía cinética que tendría la masa total si estuviera concentrada en el centro. de masa . Debido a la conservación del impulso, este último no cambia con el tiempo, por lo que los cambios con el tiempo de la energía cinética total no dependen del sistema de referencia inercial.

Por el contrario, si bien el impulso de un objeto también depende del marco de referencia inercial, su cambio debido a un cambio de velocidad no.

Ver también

• Espacio y tiempo absolutos
• Más rapido que la luz
• Formulación del tensor covariante de Galilei (sin relación con Galileo)
• Movimiento superlumínico

notas y referencias

1. McComb, WD (1999). Dinámica y relatividad . Oxford [etc.]: Oxford University Press . págs. 22-24. ISBN 0-19-850112-9.
2. Exploración de los agujeros negros de Taylor y Wheeler: Introducción a la relatividad general, Capítulo 2, 2000, pág. 2:6.
3. Woodson, Herbert H.; Melcher, James R. (1968). Dinámica electromecánica (PDF) (1 ed.). Nueva York: Wiley. págs. 251–329. Archivado desde el original (PDF) el 20 de diciembre de 2022 . Consultado el 21 de agosto de 2022 .