Análisis dimensional

Análisis de las relaciones entre diferentes cantidades físicas.

En ingeniería y ciencia , el análisis dimensional es el análisis de las relaciones entre diferentes cantidades físicas identificando sus cantidades base (como longitud , masa , tiempo y corriente eléctrica ) y unidades de medida (como metros y gramos) y rastreando estas dimensiones. a medida que se realizan cálculos o comparaciones. El término análisis dimensional también se utiliza para referirse a la conversión de unidades de una unidad dimensional a otra, que puede utilizarse para evaluar fórmulas científicas.

Las cantidades físicas conmensurables son del mismo tipo y tienen la misma dimensión, y pueden compararse directamente entre sí, incluso si se expresan en diferentes unidades de medida; por ejemplo, metros y pies, gramos y libras, segundos y años. Las cantidades físicas inconmensurables son de diferentes tipos y tienen diferentes dimensiones, y no pueden compararse directamente entre sí, sin importar en qué unidades se expresen, por ejemplo, metros y gramos, segundos y gramos, metros y segundos. Por ejemplo, preguntar si un gramo es mayor que una hora no tiene sentido.

Cualquier ecuación o desigualdad físicamente significativa debe tener las mismas dimensiones en sus lados izquierdo y derecho, una propiedad conocida como homogeneidad dimensional . La verificación de la homogeneidad dimensional es una aplicación común del análisis dimensional, que sirve como verificación de plausibilidad de ecuaciones y cálculos derivados . También sirve como guía y restricción para derivar ecuaciones que puedan describir un sistema físico en ausencia de una derivación más rigurosa.

El concepto de dimensión física y de análisis dimensional fue introducido por Joseph Fourier en 1822. ^{[1] : 42}

Formulación

El teorema π de Buckingham describe cómo cada ecuación físicamente significativa que involucra n variables puede reescribirse de manera equivalente como una ecuación de n − m parámetros adimensionales, donde m es el rango de la matriz dimensional . Además, y lo más importante, proporciona un método para calcular estos parámetros adimensionales a partir de las variables dadas.

Una ecuación dimensional puede tener las dimensiones reducidas o eliminadas mediante la no dimensionalización , que comienza con el análisis dimensional e implica escalar cantidades por unidades características de un sistema o constantes físicas de la naturaleza. ^{[1] : 43} Esto puede dar una idea de las propiedades fundamentales del sistema, como se ilustra en los ejemplos siguientes.

La dimensión de una cantidad física se puede expresar como un producto de las dimensiones físicas básicas, como longitud, masa y tiempo, cada una elevada a una potencia entera (y ocasionalmente racional ) . La dimensión de una cantidad física es más fundamental que alguna escala o unidad utilizada para expresar la cantidad de esa cantidad física. Por ejemplo, la masa es una dimensión, mientras que el kilogramo es una cantidad de referencia particular elegida para expresar una cantidad de masa. La elección de la unidad es arbitraria y a menudo se basa en precedentes históricos. Las unidades naturales , al basarse únicamente en constantes universales, pueden considerarse "menos arbitrarias".

Hay muchas opciones posibles de dimensiones físicas base. El estándar SI selecciona las siguientes dimensiones y los símbolos de dimensión correspondientes :

tiempo (T), longitud (L), masa (M), corriente eléctrica (I), temperatura absoluta (Θ), cantidad de sustancia (N) e intensidad luminosa (J).

Por convención, los símbolos suelen escribirse en tipografía romana sans serif . ^[2] Matemáticamente, la dimensión de la cantidad Q viene dada por

${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}^{a}{\mathsf {L}}^{b}{\mathsf {M}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}}$

donde a , b , c , d , e , f , g son los exponentes dimensionales. Otras cantidades físicas podrían definirse como cantidades base, siempre que formen una base linealmente independiente ; por ejemplo, se podría reemplazar la dimensión (I) de la corriente eléctrica de la base SI con una dimensión (Q) de carga eléctrica , ya que Q=TI .

Una cantidad que tiene solo b ≠ 0 (con todos los demás exponentes cero) se conoce como cantidad geométrica . Una cantidad que tiene sólo a ≠ 0 y b ≠ 0 se conoce como cantidad cinemática . Una cantidad que tiene sólo a ≠ 0 , b ≠ 0 y c ≠ 0 se conoce como cantidad dinámica . ^[3] Se dice que una cantidad que tiene todos los exponentes nulos tiene dimensión uno . ^[2]

La unidad elegida para expresar una cantidad física y su dimensión son conceptos relacionados, pero no idénticos. Las unidades de una cantidad física están definidas por convención y relacionadas con algún estándar; por ejemplo, la longitud puede tener unidades de metros, pies, pulgadas, millas o micrómetros; pero cualquier longitud siempre tiene una dimensión de L, sin importar qué unidades de longitud se elijan para expresarla. Dos unidades diferentes de una misma cantidad física tienen factores de conversión que las relacionan. Por ejemplo, 1 pulgada = 2,54 cm ; en este caso 2,54 cm/pulg es el factor de conversión, que en sí mismo no tiene dimensiones. Por tanto, multiplicar por ese factor de conversión no cambia las dimensiones de una cantidad física.

También hay físicos que han puesto en duda la existencia misma de dimensiones fundamentales incompatibles de la cantidad física, ^[4] aunque esto no invalida la utilidad del análisis dimensional.

Casos simples

Como ejemplo, la dimensión de la cantidad física velocidad v es

${\displaystyle \operatorname {dim} v={\frac {\text{length}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}.}$

La dimensión de la cantidad física aceleración a es

${\displaystyle \operatorname {dim} a={\frac {\text{speed}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}.}$

La dimensión de la cantidad física fuerza F es

${\displaystyle \operatorname {dim} F={\text{mass}}\times {\text{acceleration}}={\mathsf {M}}\times {\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}.}$

La dimensión de la cantidad física presión P es

${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{force}}{\text{area}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {L}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}.}$

La dimensión de la cantidad física energía E es

${\displaystyle \operatorname {dim} E={\text{force}}\times {\text{displacement}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}\times {\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$

La dimensión de la cantidad física potencia P es

${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{energy}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$

La dimensión de la cantidad física carga eléctrica Q es

${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}{\mathsf {I}}.}$

La dimensión de la cantidad física de diferencia de potencial eléctrico V es

${\displaystyle \operatorname {dim} V={\frac {{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {I}}}={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}.}$

La dimensión de la cantidad física capacitancia C es

${\displaystyle \operatorname {dim} C={\frac {\text{electric charge}}{\text{electric potential difference}}}={\frac {{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}}{{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}}}={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}{\mathsf {I^{2}}}.}$

El método de Rayleigh.

En análisis dimensional, el método de Rayleigh es una herramienta conceptual utilizada en física , química e ingeniería . Expresa una relación funcional de algunas variables en forma de ecuación exponencial . Lleva el nombre de Lord Rayleigh .

El método implica los siguientes pasos:

1. Reúna todas las variables independientes que probablemente influyan en la variable dependiente .
2. Si R es una variable que depende de variables independientes R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _n , entonces la ecuación funcional se puede escribir como R = F ( R ₁ , R ₂ , R ₃ , ... , R _norte ) .
3. Escriba la ecuación anterior en la forma R = C R ₁ ^a R ₂ ^b R ₃ ^c ... R _n ^m , donde C es una constante adimensional y a , b , c , ..., m son exponentes arbitrarios.
4. Expresa cada una de las cantidades de la ecuación en algunas unidades base en las que se requiere la solución.
5. Utilizando la homogeneidad dimensional, obtenga un conjunto de ecuaciones simultáneas que involucren los exponentes a , b , c , ..., m .
6. Resuelve estas ecuaciones para obtener los valores de los exponentes a , b , c , ..., m .
7. Sustituye los valores de los exponentes en la ecuación principal y forma los parámetros adimensionales agrupando las variables con exponentes similares.

Como inconveniente, el método de Rayleigh no proporciona ninguna información sobre el número de grupos adimensionales que se obtendrán como resultado del análisis dimensional.

Números concretos y unidades básicas.

Muchos parámetros y medidas en las ciencias físicas y la ingeniería se expresan como un número concreto : una cantidad numérica y una unidad dimensional correspondiente. A menudo una cantidad se expresa en términos de varias otras cantidades; por ejemplo, la velocidad es una combinación de longitud y tiempo, por ejemplo, 60 kilómetros por hora o 1,4 kilómetros por segundo. Las relaciones compuestas con "por" se expresan con división , por ejemplo, 60 km/h. Otras relaciones pueden implicar multiplicación (a menudo mostrada con un punto centrado o yuxtaposición ), potencias (como m ² para metros cuadrados) o combinaciones de ellas.

Un conjunto de unidades básicas para un sistema de medida es un conjunto de unidades elegidas convencionalmente, ninguna de las cuales puede expresarse como una combinación de las demás y en términos del cual se pueden expresar todas las unidades restantes del sistema. ^[5] Por ejemplo, las unidades de longitud y tiempo normalmente se eligen como unidades base. Las unidades de volumen , sin embargo, se pueden factorizar en las unidades básicas de longitud (m ³ ), por lo que se consideran unidades derivadas o compuestas.

A veces los nombres de las unidades oscurecen el hecho de que son unidades derivadas. Por ejemplo, un newton (N) es una unidad de fuerza , que puede expresarse como el producto de la masa (con unidad kg) y la aceleración (con unidad m⋅s ⁻² ). El newton se define como 1 N = 1 kg⋅m⋅s ⁻² .

Porcentajes, derivadas e integrales

Los porcentajes son cantidades adimensionales, ya que son razones de dos cantidades con las mismas dimensiones. En otras palabras, el signo % se puede leer como "centésimas", ya que 1% = 1/100 .

Tomar una derivada con respecto a una cantidad divide la dimensión por la dimensión de la variable que se deriva con respecto a. De este modo:

• la posición ( x ) tiene la dimensión L (longitud);
• derivada de la posición con respecto al tiempo ( dx / dt , velocidad ) tiene dimensión T ⁻¹ L: longitud desde la posición, tiempo debido al gradiente;
• la segunda derivada ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , aceleración ) tiene dimensión T ⁻² L .

Asimismo, tomar una integral suma la dimensión de la variable con respecto a la cual se está integrando, pero en el numerador.

• la fuerza tiene la dimensión T ⁻² L M (masa multiplicada por la aceleración);
• la integral de fuerza con respecto a la distancia ( s ) que ha recorrido el objeto ( , trabajo ) tiene dimensión T ⁻² L ² M. ${\displaystyle \textstyle \int F\ ds}$

En economía, se distingue entre stocks y flujos : un stock tiene una unidad (digamos, widgets o dólares), mientras que un flujo es un derivado de un stock y tiene una unidad de la forma de esta unidad dividida por una de tiempo (digamos , dólares/año).

En algunos contextos, las cantidades dimensionales se expresan como cantidades o porcentajes adimensionales omitiendo algunas dimensiones. Por ejemplo, las relaciones deuda/PIB generalmente se expresan como porcentajes: deuda total pendiente (dimensión de la moneda) dividida por el PIB anual (dimensión de la moneda), pero se puede argumentar que, al comparar un stock con un flujo, el PIB anual debería tienen dimensiones de moneda/tiempo (dólares/año, por ejemplo) y, por lo tanto, la relación deuda-PIB debe tener la unidad año, lo que indica que la deuda-PIB es el número de años necesarios para que un PIB constante pague la deuda. si todo el PIB se gasta en deuda y la deuda se mantiene sin cambios.

Homogeneidad dimensional (conmensurabilidad)

La regla más básica del análisis dimensional es la de homogeneidad dimensional. ^[6]

Sólo se pueden comparar , equiparar , sumar o restar cantidades conmensurables (cantidades físicas que tienen la misma dimensión) .

Sin embargo, las dimensiones forman un grupo abeliano bajo multiplicación, entonces:

Se pueden tomar proporciones de cantidades inconmensurables (cantidades con diferentes dimensiones) y multiplicarlas o dividirlas .

Por ejemplo, no tiene sentido preguntar si 1 hora es más, igual o menos que 1 kilómetro, ya que estos tienen diferentes dimensiones, ni sumar 1 hora a 1 kilómetro. Sin embargo, tiene sentido preguntarse si 1 milla es más, igual o menos que 1 kilómetro, siendo la misma dimensión de cantidad física aunque las unidades sean diferentes. Por otro lado, si un objeto recorre 100 km en 2 horas, se pueden dividir y concluir que la velocidad promedio del objeto fue de 50 km/h.

La regla implica que en una expresión físicamente significativa sólo se pueden sumar, restar o comparar cantidades de la misma dimensión. Por ejemplo, si m _hombre , m _rata y L _hombre denotan, respectivamente, la masa de un hombre, la masa de una rata y la longitud de ese hombre, la expresión dimensionalmente homogénea m _hombre + m _rata es significativa, pero la expresión heterogénea m _hombre + L _hombre no tiene sentido. Sin embargo, m _man / L ² _man está bien. Por tanto, el análisis dimensional puede utilizarse como comprobación de la cordura de las ecuaciones físicas: los dos lados de cualquier ecuación deben ser conmensurables o tener las mismas dimensiones.

Incluso cuando dos cantidades físicas tienen dimensiones idénticas, puede no tener sentido compararlas o sumarlas. Por ejemplo, aunque el par y la energía comparten la dimensión T ⁻² L ² M , son cantidades físicas fundamentalmente diferentes.

Para comparar, sumar o restar cantidades con las mismas dimensiones pero expresadas en diferentes unidades, el procedimiento estándar es primero convertirlas todas a la misma unidad. Por ejemplo, para comparar 32 metros con 35 yardas, use 1 yarda = 0,9144 m para convertir 35 yardas a 32,004 m.

Un principio relacionado es que cualquier ley física que describa con precisión el mundo real debe ser independiente de las unidades utilizadas para medir las variables físicas. ^[7] Por ejemplo, las leyes del movimiento de Newton deben ser válidas ya sea que la distancia se mida en millas o kilómetros. Este principio da lugar a la forma que debe tomar un factor de conversión entre una unidad que mide la misma dimensión: multiplicación por una constante simple. También garantiza la equivalencia; por ejemplo, si dos edificios tienen la misma altura en pies, entonces deben tener la misma altura en metros.

Factor de conversión

En análisis dimensional, una relación que convierte una unidad de medida en otra sin cambiar la cantidad se llama factor de conversión . Por ejemplo, kPa y bar son unidades de presión y 100 kPa = 1 bar . Las reglas del álgebra permiten dividir ambos lados de una ecuación por la misma expresión, por lo que esto equivale a 100 kPa/1 bar = 1 . Dado que cualquier cantidad se puede multiplicar por 1 sin cambiarla, la expresión " 100 kPa / 1 bar " se puede utilizar para convertir de barras a kPa multiplicándola por la cantidad a convertir, incluida la unidad. Por ejemplo, 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa porque 5 × 100 / 1 = 500 , y bar/bar se cancela, por lo que 5 bar = 500 kPa .

Aplicaciones

El análisis dimensional se utiliza con mayor frecuencia en física y química (y en sus matemáticas), pero también encuentra algunas aplicaciones fuera de esos campos.

Matemáticas

Una aplicación sencilla del análisis dimensional a las matemáticas es calcular la forma del volumen de una n -bola (la bola sólida en n dimensiones), o el área de su superficie, la n -esfera : al ser una figura de n dimensiones, la el volumen escala como x ⁿ , mientras que el área de la superficie, al ser ( n − 1 ) -dimensional, escala como x ^{n −1} . Por tanto, el volumen de la n -bola en términos del radio es C ⁿ r ⁿ , para alguna constante C ⁿ . Determinar la constante requiere más matemáticas, pero la forma se puede deducir y verificar únicamente mediante análisis dimensional.

Finanzas, economía y contabilidad.

En finanzas, economía y contabilidad, el análisis dimensional se denomina más comúnmente en términos de la distinción entre existencias y flujos . De manera más general, el análisis dimensional se utiliza para interpretar diversos índices financieros , índices económicos y índices contables.

• Por ejemplo, la relación P/E tiene dimensiones de tiempo (unidad: año) y puede interpretarse como "años de ganancias para ganar el precio pagado".
• En economía, la relación deuda-PIB también tiene la unidad año (la deuda tiene una unidad monetaria, el PIB tiene una unidad monetaria/año).
• La velocidad del dinero tiene una unidad de 1/año (PIB/oferta monetaria tiene una unidad de moneda/año sobre moneda): con qué frecuencia circula una unidad de moneda por año.
• Las tasas de interés anuales compuestas continuamente y las tasas de interés simples a menudo se expresan como un porcentaje (cantidad adimensional), mientras que el tiempo se expresa como una cantidad adimensional que consta del número de años. Sin embargo, si el tiempo incluye el año como unidad de medida, la dimensión de la tasa es 1/año. Por supuesto, no hay nada especial (aparte de la convención habitual) en utilizar el año como unidad de tiempo: se puede utilizar cualquier otra unidad de tiempo. Además, si la tasa y el tiempo incluyen sus unidades de medida, el uso de unidades diferentes para cada uno no es problemático. Por el contrario, la tasa y el tiempo deben referirse a un período común si son adimensionales. (Obsérvese que las tasas de interés efectivas sólo pueden definirse como cantidades adimensionales).
• En el análisis financiero, la duración del bono se puede definir como ( dV / dr )/ V , donde V es el valor de un bono (o cartera), r es la tasa de interés continuamente compuesta y dV / dr es un derivado. Del punto anterior, la dimensión de r es 1/tiempo. Por tanto, la dimensión de la duración es el tiempo (normalmente expresada en años) porque dr está en el "denominador" de la derivada.

Mecánica de fluidos

En mecánica de fluidos , el análisis dimensional se realiza para obtener términos o grupos pi adimensionales . Según los principios del análisis dimensional, cualquier prototipo puede describirse mediante una serie de estos términos o grupos que describen el comportamiento del sistema. Utilizando términos o grupos pi adecuados, es posible desarrollar un conjunto similar de términos pi para un modelo que tenga las mismas relaciones dimensionales. ^[8] En otras palabras, los términos pi proporcionan un atajo para desarrollar un modelo que represente un determinado prototipo. Los grupos adimensionales comunes en mecánica de fluidos incluyen:

• Número de Reynolds ( Re ), generalmente importante en todo tipo de problemas de fluidos:
  $${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}.}$$
• Número de Froude ( Fr ), modelado de flujo con superficie libre:
  $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.}$$
• Número de Euler ( Eu ), utilizado en problemas en los que la presión es de interés:
  $${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.}$$
• Número de Mach ( Ma ), importante en flujos de alta velocidad donde la velocidad se acerca o excede la velocidad local del sonido:
  $${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},}$$
  donde c es la velocidad local del sonido.

Historia

Los historiadores han cuestionado los orígenes del análisis dimensional. ^{[9] [10]} La primera aplicación escrita del análisis dimensional se le atribuye a François Daviet , un estudiante de Lagrange , en un artículo de 1799 en la Academia de Ciencias de Turín . ^[10]

Esto llevó a la conclusión de que las leyes significativas deben ser ecuaciones homogéneas en sus diversas unidades de medida, un resultado que finalmente se formalizó más tarde en el teorema π de Buckingham .Simeon Poisson también trató el mismo problema de la ley del paralelogramo de Daviet, en su tratado de 1811 y 1833 (vol I, p. 39). ^[11] En la segunda edición de 1833, Poisson introduce explícitamente el término dimensión en lugar del término homogeneidad de Daviet .

En 1822, el importante científico napoleónico Joseph Fourier hizo las primeras contribuciones importantes acreditadas ^[12] basadas en la idea de que leyes físicas como F = ma debían ser independientes de las unidades empleadas para medir las variables físicas.

James Clerk Maxwell jugó un papel importante en el establecimiento del uso moderno del análisis dimensional al distinguir la masa, la longitud y el tiempo como unidades fundamentales, mientras se refiere a otras unidades como derivadas. ^[13] Aunque Maxwell definió la longitud, el tiempo y la masa como "las tres unidades fundamentales", también señaló que la masa gravitacional se puede derivar de la longitud y el tiempo asumiendo una forma de la ley de gravitación universal de Newton en la que la constante gravitacional G es tomado como unidad, definiendo así M = T ⁻² L ³ . ^[14] Al asumir una forma de ley de Coulomb en la que la constante de Coulomb k _e se toma como unidad, Maxwell determinó que las dimensiones de una unidad de carga electrostática eran Q = T ⁻¹ L ^3/2 M ^1/2 , ^{[ 15]} que, después de sustituir la masa por su ecuación M = T ⁻² L ³ , da como resultado una carga que tiene las mismas dimensiones que la masa, a saber. Q = T ⁻² L ³ .

El análisis dimensional también se utiliza para derivar relaciones entre las cantidades físicas involucradas en un fenómeno particular que se desea comprender y caracterizar. Fue utilizado por primera vez de esta manera en 1872 por Lord Rayleigh , quien intentaba comprender por qué el cielo es azul. ^[16] Rayleigh publicó por primera vez la técnica en su libro de 1877 La teoría del sonido . ^[17]

El significado original de la palabra dimensión , en la Teoría de la Chaleur de Fourier , era el valor numérico de los exponentes de las unidades base. Por ejemplo, se consideró que la aceleración tenía dimensión 1 con respecto a la unidad de longitud y dimensión −2 con respecto a la unidad de tiempo. ^[18] Esto fue ligeramente cambiado por Maxwell, quien dijo que las dimensiones de la aceleración son T ⁻² L, en lugar de solo los exponentes. ^[19]

Ejemplos

Un ejemplo sencillo: período de un oscilador armónico

¿Cuál es el período de oscilación T de una masa m unida a un resorte lineal ideal con constante elástica k suspendido en gravedad de fuerza g ? Ese período es la solución para T de alguna ecuación adimensional en las variables T , m , k y g . Las cuatro cantidades tienen las siguientes dimensiones: T [T]; metro [M]; k [M/T2 ^] ; yg [L/ ^T2 ] . A partir de estos sólo podemos formar un producto adimensional de potencias de nuestras variables elegidas, G ₁ = T ² k / m [T ² · M/T ² / M = 1] , y poniendo G ₁ = C para alguna constante adimensional C da la ecuación adimensional buscada. El producto adimensional de potencias de variables a veces se denomina grupo adimensional de variables; aquí el término "grupo" significa "colección" en lugar de grupo matemático . A menudo también se les llama números adimensionales .

La variable g no ocurre en el grupo. Es fácil ver que es imposible formar un producto adimensional de potencias que combine g con k , m y T , porque g es la única cantidad que involucra la dimensión L. Esto implica que en este problema g es irrelevante. El análisis dimensional a veces puede producir afirmaciones contundentes sobre la irrelevancia de algunas cantidades en un problema o la necesidad de parámetros adicionales. Si hemos elegido suficientes variables para describir adecuadamente el problema, entonces a partir de este argumento podemos concluir que el período de la masa en el resorte es independiente de g : es el mismo en la Tierra o en la Luna. La ecuación que demuestra la existencia de un producto de potencias para nuestro problema se puede escribir de una manera totalmente equivalente: , para alguna constante adimensional κ (igual a la de la ecuación adimensional original). ${\displaystyle T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {C}}}$

Cuando nos enfrentamos a un caso en el que el análisis dimensional rechaza una variable ( g , aquí) que uno espera intuitivamente que pertenezca a una descripción física de la situación, otra posibilidad es que la variable rechazada sea de hecho relevante, pero que alguna otra variable relevante haya sido omitido, que podría combinarse con la variable rechazada para formar una cantidad adimensional. Sin embargo, ese no es el caso aquí.

Cuando el análisis dimensional produce sólo un grupo adimensional, como en este caso, no hay funciones desconocidas y se dice que la solución es "completa", aunque todavía puede involucrar constantes adimensionales desconocidas, como κ .

Un ejemplo más complejo: la energía de una cuerda vibrante.

Considere el caso de una cuerda vibrante de longitud ℓ (L) que vibra con una amplitud A (L). El alambre tiene una densidad lineal ρ (M/L) y está bajo tensión s (LM/T ² ), y queremos saber la energía E (L ² M/T ² ) en el alambre. Sean π ₁ y π ₂ dos productos adimensionales de potencias de las variables elegidas, dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}}$

La densidad lineal del alambre no está involucrada. Los dos grupos encontrados se pueden combinar en una forma equivalente como una ecuación.

${\displaystyle F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,}$

donde F es alguna función desconocida, o, de manera equivalente, como

${\displaystyle E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),}$

donde f es alguna otra función desconocida. Aquí la función desconocida implica que nuestra solución ahora está incompleta, pero el análisis dimensional nos ha dado algo que tal vez no haya sido obvio: la energía es proporcional a la primera potencia de la tensión. Salvo un análisis analítico adicional, podríamos proceder a realizar experimentos para descubrir la forma de la función desconocida  f . Pero nuestros experimentos son más simples que en ausencia de análisis dimensional. No realizaríamos ninguno para verificar que la energía es proporcional a la tensión. O quizás podríamos suponer que la energía es proporcional a  ℓ y así inferir que E = ℓs . Se hace evidente el poder del análisis dimensional como ayuda para experimentar y formular hipótesis.

El poder del análisis dimensional realmente se vuelve evidente cuando se aplica a situaciones, a diferencia de las mencionadas anteriormente, que son más complicadas, el conjunto de variables involucradas no es evidente y las ecuaciones subyacentes son irremediablemente complejas. Consideremos, por ejemplo, un pequeño guijarro que se encuentra en el lecho de un río. Si el río fluye lo suficientemente rápido, en realidad levantará el guijarro y hará que fluya junto con el agua. ¿A qué velocidad crítica ocurrirá esto? Clasificar las variables adivinadas no es tan fácil como antes. Pero el análisis dimensional puede ser una ayuda poderosa para comprender problemas como este y suele ser la primera herramienta que se aplica a problemas complejos donde las ecuaciones y restricciones subyacentes no se comprenden bien. En tales casos, la respuesta puede depender de un número adimensional como el número de Reynolds , que puede interpretarse mediante análisis dimensional.

Un tercer ejemplo: demanda versus capacidad de un disco giratorio

Análisis dimensional y experimentos numéricos para un disco giratorio.

Considere el caso de un disco giratorio delgado, sólido, de lados paralelos, de espesor axial t (L) y radio R (L). El disco tiene una densidad ρ (M/L ³ ), gira a una velocidad angular ω (T ⁻¹ ) y esto conduce a una tensión S (T ⁻² L ⁻¹ M) en el material. Existe una solución elástica lineal teórica, dada por Lame, para este problema cuando el disco es delgado en relación con su radio, las caras del disco son libres de moverse axialmente y se puede suponer que las relaciones constitutivas de tensiones planas son válidas. A medida que el disco se vuelve más grueso en relación con el radio, la solución de tensión plana se rompe. Si el disco está restringido axialmente sobre sus caras libres, entonces se producirá un estado de deformación plana. Sin embargo, si este no es el caso, entonces el estado de tensión sólo podrá determinarse considerando la elasticidad tridimensional y no se conoce ninguna solución teórica para este caso. Por lo tanto, un ingeniero podría estar interesado en establecer una relación entre las cinco variables. El análisis dimensional para este caso conduce a los siguientes ( 5 − 3 = 2 ) grupos no dimensionales:

demanda/capacidad = ρR ² ω ² / S

espesor/radio o relación de aspecto = t / R

Mediante el uso de experimentos numéricos utilizando, por ejemplo, el método de los elementos finitos , se puede obtener la naturaleza de la relación entre los dos grupos adimensionales como se muestra en la figura. Como este problema solo involucra dos grupos adimensionales, la imagen completa se proporciona en un solo gráfico y esto puede usarse como un gráfico de diseño/evaluación para discos giratorios. ^[20]

Propiedades

Propiedades matemáticas

Las dimensiones que pueden formarse a partir de una colección determinada de dimensiones físicas básicas, como T, L y M, forman un grupo abeliano : la identidad se escribe como 1; ^{[ cita necesaria ]} L ⁰ = 1 , y la inversa de L es 1/L o L ⁻¹ . L elevado a cualquier potencia entera p es un miembro del grupo, que tiene un inverso de L ^{− p} o 1/L ^p . La operación del grupo es la multiplicación, teniendo las reglas habituales para el manejo de exponentes ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ). Físicamente, 1/L puede interpretarse como longitud recíproca y 1/T como tiempo recíproco (ver segundo recíproco ).

Un grupo abeliano es equivalente a un módulo sobre números enteros, con el símbolo dimensional T ⁱ L ^j M ^k correspondiente a la tupla ( i , j , k ) . Cuando cantidades físicas medidas (ya sean de dimensiones iguales o de dimensiones diferentes) se multiplican o dividen entre sí, sus unidades dimensionales también se multiplican o dividen; esto corresponde a la suma o resta en el módulo. Cuando cantidades mensurables se elevan a una potencia entera, se hace lo mismo con los símbolos dimensionales adjuntos a esas cantidades; esto corresponde a la multiplicación escalar en el módulo.

Una base para tal módulo de símbolos dimensionales se llama conjunto de cantidades base , y todos los demás vectores se llaman unidades derivadas. Como en cualquier módulo, se pueden elegir diferentes bases , lo que produce diferentes sistemas de unidades (por ejemplo, elegir si la unidad de carga se deriva de la unidad de corriente o viceversa).

La identidad de grupo, la dimensión de cantidades adimensionales, corresponde al origen en este módulo, (0, 0, 0) .

En ciertos casos, se pueden definir dimensiones fraccionarias, específicamente definiendo formalmente potencias fraccionarias de espacios vectoriales unidimensionales, como V ^{L 1/2} . ^[21] Sin embargo, no es posible tomar potencias fraccionarias arbitrarias de unidades, debido a obstrucciones de la teoría de la representación . ^[22]

Se puede trabajar con espacios vectoriales con dimensiones dadas sin necesidad de utilizar unidades (correspondientes a los sistemas de coordenadas de los espacios vectoriales). Por ejemplo, dadas las dimensiones M y L , uno tiene los espacios vectoriales V ^M y V ^L , y puede definir V ^ML  := V ^M ⊗ V ^L como el producto tensorial . De manera similar, se puede interpretar que el espacio dual tiene dimensiones "negativas". ^[23] Esto corresponde al hecho de que bajo el emparejamiento natural entre un espacio vectorial y su dual, las dimensiones se cancelan, dejando un escalar adimensional .

El conjunto de unidades de las cantidades físicas involucradas en un problema corresponden a un conjunto de vectores (o una matriz). La nulidad describe cierto número (por ejemplo, m ) de formas en las que estos vectores pueden combinarse para producir un vector cero. Estos corresponden a producir (a partir de las mediciones) una cantidad de cantidades adimensionales, {π ₁ , ..., π _m } . (De hecho, estas formas abarcan completamente el subespacio nulo de otro espacio diferente, de potencias de las medidas). Todas las formas posibles de multiplicar (y exponenciar ) juntas las cantidades medidas para producir algo con la misma unidad que alguna cantidad derivada X se pueden expresar. en la forma general

${\displaystyle X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.}$

En consecuencia, cada posible ecuación proporcional para la física del sistema se puede reescribir en la forma

${\displaystyle f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.}$

Conocer esta restricción puede ser una herramienta poderosa para obtener nuevos conocimientos del sistema.

Mecánica

La dimensión de las cantidades físicas de interés en mecánica se puede expresar en términos de dimensiones base T, L y M, que forman un espacio vectorial tridimensional. Esta no es la única elección válida de dimensiones base, pero es la más utilizada. Por ejemplo, se podrían elegir fuerza, longitud y masa como dimensiones base (como lo han hecho algunos), con las dimensiones asociadas F, L, M; esto corresponde a una base diferente, y se puede convertir entre estas representaciones mediante un cambio de base . La elección del conjunto básico de dimensiones es, por tanto, una convención, con el beneficio de una mayor utilidad y familiaridad. La elección de las dimensiones de la base no es del todo arbitraria, porque deben formar una base : deben abarcar el espacio y ser linealmente independientes .

Por ejemplo, F, L, M forman un conjunto de dimensiones fundamentales porque forman una base equivalente a T, L, M: las primeras se pueden expresar como [F = LM/T 2 ^] , L, M, mientras que las Este último se puede expresar como [T = (LM/F) ^1/2 ], L, M.

Por otro lado, la longitud, la velocidad y el tiempo (T, L, V) no forman un conjunto de dimensiones base para la mecánica, por dos razones:

• No hay manera de obtener masa –o cualquier cosa derivada de ella, como la fuerza– sin introducir otra dimensión base (por lo tanto, no abarcan el espacio ).
• La velocidad, al ser expresable en términos de longitud y tiempo ( V = L/T ), es redundante (el conjunto no es linealmente independiente ).

Otros campos de la física y la química.

Dependiendo del campo de la física, puede resultar ventajoso elegir uno u otro conjunto ampliado de símbolos dimensionales. En electromagnetismo, por ejemplo, puede resultar útil utilizar dimensiones de T, L, M y Q, donde Q representa la dimensión de la carga eléctrica . En termodinámica , el conjunto básico de dimensiones a menudo se amplía para incluir una dimensión de temperatura, Θ. En química, la cantidad de sustancia (el número de moléculas dividido por la constante de Avogadro , ≈6,02 × 10 ²³  mol ⁻¹ ) también se define como una dimensión base, N. En la interacción del plasma relativista con fuertes pulsos láser, se construye un parámetro de similitud relativista adimensional , relacionado con las propiedades de simetría de la ecuación de Vlasov sin colisiones , a partir de la densidades de plasma, electrones y críticas, además del potencial vectorial electromagnético. La elección de las dimensiones o incluso del número de dimensiones que se utilizarán en diferentes campos de la física es hasta cierto punto arbitraria, pero la coherencia en el uso y la facilidad de comunicación son características comunes y necesarias.

Polinomios y funciones trascendentales.

El teorema de Bridgman restringe el tipo de función que se puede utilizar para definir una cantidad física desde cantidades generales (compuestas dimensionalmente) a sólo productos de potencias de las cantidades, a menos que algunas de las cantidades independientes se combinen algebraicamente para producir grupos adimensionales, cuyas funciones se agrupan juntos en el factor multiplicador numérico adimensional. ^{[24] [25]} Esto excluye polinomios de más de un término o funciones trascendentales que no tienen esa forma.

Los argumentos escalares de funciones trascendentales como las funciones exponenciales , trigonométricas y logarítmicas , o de polinomios no homogéneos , deben ser cantidades adimensionales . (Nota: este requisito es algo relajado en el análisis orientativo de Siano que se describe a continuación, en el que el cuadrado de ciertas cantidades dimensionadas no tiene dimensiones).

Si bien la mayoría de las identidades matemáticas sobre números adimensionales se traducen de manera sencilla a cantidades dimensionales, se debe tener cuidado con los logaritmos de razones: la identidad log( a / b ) = log  a − log  b , donde el logaritmo se toma en cualquier base, se cumple para números adimensionales a y b , pero no es válido si a y b son dimensionales, porque en este caso el lado izquierdo está bien definido pero el lado derecho no. ^[26]

De manera similar, si bien se pueden evaluar monomios ( x ⁿ ) de cantidades dimensionales, no se pueden evaluar polinomios de grado mixto con coeficientes adimensionales en cantidades dimensionales: para x ² , la expresión (3 m) ² = 9 m ² tiene sentido (como un área ), mientras que para x ² + x , la expresión (3 m) ² + 3 m = 9 m ² + 3 m no tiene sentido.

Sin embargo, los polinomios de grado mixto pueden tener sentido si los coeficientes se eligen adecuadamente como cantidades físicas que no sean adimensionales. Por ejemplo,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s} )\cdot t.}$

Ésta es la altura a la que se eleva un objeto en el tiempo  t si la aceleración de la gravedad es de 9,8 metros por segundo y la velocidad inicial de ascenso es de 500 metros por segundo . No es necesario que t esté en segundos . Por ejemplo, supongamos t  = 0,01 minutos. Entonces el primer término sería

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot (\mathrm {0.01~min} )^{2}\\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s} )^{2}\cdot \mathrm {m} \\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}}}$

Combinando unidades y valores numéricos

El valor de una cantidad física dimensional Z se escribe como el producto de una unidad [ Z ] dentro de la dimensión y un valor numérico adimensional o factor numérico, n . ^[27]

${\displaystyle Z=n\times [Z]=n[Z]}$

Cuando se suman, restan o comparan cantidades de dimensiones similares, es conveniente expresarlas en la misma unidad para que los valores numéricos de estas cantidades puedan sumarse o restarse directamente. Pero, en concepto, no hay problema en sumar cantidades de la misma dimensión expresadas en diferentes unidades. Por ejemplo, 1 metro sumado a 1 pie es una longitud, pero no se puede derivar esa longitud simplemente sumando 1 y 1. Se necesita un factor de conversión , que es una relación de cantidades de dimensiones similares y es igual a la unidad adimensional:

${\displaystyle \mathrm {1\,ft} =\mathrm {0.3048\,m} }$es idéntico a ${\displaystyle 1={\frac {\mathrm {0.3048\,m} }{\mathrm {1\,ft} }}.}$

El factor 0,3048 m/pie es idéntico al 1 adimensional, por lo que multiplicar por este factor de conversión no cambia nada. Luego, al sumar dos cantidades de dimensiones similares, pero expresadas en unidades diferentes, se utiliza el factor de conversión apropiado, que es esencialmente el 1 adimensional, para convertir las cantidades a la misma unidad para que sus valores numéricos se puedan sumar o restar.

Sólo de esta manera tiene sentido hablar de sumar cantidades de dimensiones iguales de unidades diferentes.

Ecuaciones cuantitativas

Una ecuación cuantitativa , también llamada a veces ecuación completa , es una ecuación que sigue siendo válida independientemente de la unidad de medida utilizada al expresar las cantidades físicas . ^[28]

Por el contrario, en una ecuación de valores numéricos , solo aparecen los valores numéricos de las cantidades, sin unidades. Por tanto, sólo es válido cuando cada valor numérico está referenciado a una unidad específica.

Por ejemplo, una ecuación cuantitativa para el desplazamiento d como velocidad s multiplicada por la diferencia de tiempo t sería:

re = s t

para s = 5 m/s, donde t y d pueden expresarse en cualquier unidad, convertida si es necesario. Por el contrario, una ecuación de valor numérico correspondiente sería:

D = 5T

donde T es el valor numérico de t expresado en segundos y D es el valor numérico de d expresado en metros.

Generalmente, se desaconseja el uso de ecuaciones de valores numéricos. ^[28]

Conceptos adimensionales

Constantes

Las constantes adimensionales que surgen en los resultados obtenidos, como la C en el problema de la Ley de Poiseuille y la κ en los problemas de resorte discutidos anteriormente, provienen de un análisis más detallado de la física subyacente y a menudo surgen de la integración de alguna ecuación diferencial. El análisis dimensional en sí tiene poco que decir acerca de estas constantes, pero es útil saber que muy a menudo tienen una magnitud de orden unitario. Esta observación puede permitir a veces hacer cálculos " al revés " sobre el fenómeno de interés y, por lo tanto, poder diseñar experimentos de manera más eficiente para medirlo, o juzgar si es importante, etc.

Formalismos

Paradójicamente, el análisis dimensional puede ser una herramienta útil incluso si todos los parámetros de la teoría subyacente son adimensionales; por ejemplo, los modelos reticulares como el modelo de Ising pueden usarse para estudiar transiciones de fase y fenómenos críticos. Estos modelos pueden formularse de forma puramente adimensional. A medida que nos acercamos cada vez más al punto crítico, la distancia a la que se correlacionan las variables en el modelo reticular (la llamada longitud de correlación, χ ) se vuelve cada vez mayor. Ahora bien, la longitud de correlación es la escala de longitud relevante relacionada con fenómenos críticos, por lo que se puede, por ejemplo, suponer sobre "fundamentos dimensionales" que la parte no analítica de la energía libre por sitio de red debería ser ~ 1/ χ ^d , donde d es la dimensión de la red.

Algunos físicos, por ejemplo, Michael J. Duff , ^{[4] [29]} han argumentado que las leyes de la física son inherentemente adimensionales. El hecho de que hayamos asignado dimensiones incompatibles a la Longitud, el Tiempo y la Masa es, según este punto de vista, sólo una cuestión de convención, derivada del hecho de que antes del advenimiento de la física moderna, no había manera de relacionar la masa, duración y tiempo entre sí. Las tres constantes dimensionales independientes: c , ħ y G , en las ecuaciones fundamentales de la física deben verse entonces como meros factores de conversión para convertir Masa, Tiempo y Longitud entre sí.

Al igual que en el caso de las propiedades críticas de los modelos reticulares, se pueden recuperar los resultados del análisis dimensional en el límite de escala apropiado; por ejemplo, el análisis dimensional en mecánica se puede derivar reinsertando las constantes ħ , c y G (pero ahora podemos considerarlas adimensionales) y exigiendo que exista una relación no singular entre cantidades en el límite c → ∞ , ħ → 0 y GRAMO → 0 . En problemas que involucran un campo gravitacional, el último límite debe tomarse de modo que el campo permanezca finito.

Equivalencias dimensionales

A continuación se muestran tablas de expresiones comunes en física, relacionadas con las dimensiones de energía, momento y fuerza. ^{[30] [31] [32]}

Unidades SI

Lenguajes de programación

La corrección dimensional como parte de la verificación de tipos se ha estudiado desde 1977. ^[33] Las implementaciones para Ada ^[34] y C++ ^[35] se describieron en 1985 y 1988. La tesis de Kennedy de 1996 describe una implementación en Standard ML , ^[36] y posteriormente en F# . ^[37] Hay implementaciones para Haskell , ^[38] OCaml , ^[39] y Rust , ^[40] Python, ^[41] y un verificador de código para Fortran . ^{[42] [43]}
La tesis de Griffioen de 2019 amplió el sistema de tipos Hindley-Milner de Kennedy para respaldar las matrices de Hart. ^{[44] [45]} McBride y Nordvall-Forsberg muestran cómo utilizar tipos dependientes para ampliar los sistemas de tipos para unidades de medida. ^[46]

Mathematica 13.2 tiene una función para transformaciones con cantidades denominada NondimensionalizationTransform que aplica una transformación de no dimensionalización a una ecuación. ^[47] Mathematica también tiene una función para encontrar las dimensiones de una unidad como 1 J llamada UnitDimensions. ^[48] ​​Mathematica también tiene una función que encontrará combinaciones dimensionalmente equivalentes de un subconjunto de cantidades físicas denominadas DimensionalCombations. ^[49] Mathematica también puede factorizar cierta dimensión con UnitDimensions especificando un argumento para la función UnityDimensions. ^[50] Por ejemplo, puede utilizar UnityDimensions para factorizar ángulos. ^[50] Además de UnitDimensions, Mathematica puede encontrar las dimensiones de una CantidadVariable con la función CantidadVariableDimensions. ^[51]

Geometría: posición versus desplazamiento

Cantidades afines

Algunas discusiones sobre análisis dimensional describen implícitamente todas las cantidades como vectores matemáticos. (En matemáticas, los escalares se consideran un caso especial de vectores; ^{[ cita necesaria ]} los vectores se pueden sumar o restar de otros vectores y, entre otras cosas, multiplicar o dividir por escalares. Si se usa un vector para definir una posición, esto supone un punto de referencia implícito: un origen . Si bien esto es útil y a menudo perfectamente adecuado, ya que permite detectar muchos errores importantes, puede no modelar ciertos aspectos de la física. Un enfoque más riguroso requiere distinguir entre posición y desplazamiento (o momento en tiempo versus duración, o temperatura absoluta versus cambio de temperatura).

Considere puntos sobre una recta, cada uno con una posición con respecto a un origen determinado, y distancias entre ellos. Todas las posiciones y desplazamientos tienen unidades de longitud, pero su significado no es intercambiable:

• agregar dos desplazamientos debería producir un nuevo desplazamiento (caminar diez pasos y luego veinte pasos te permitirá avanzar treinta pasos),
• agregar un desplazamiento a una posición debería generar una nueva posición (caminar una cuadra calle abajo desde una intersección te lleva a la siguiente intersección),
• restar dos posiciones debería producir un desplazamiento,
• pero no se pueden sumar dos posiciones.

Esto ilustra la sutil distinción entre cantidades afines (las modeladas por un espacio afín , como la posición) y cantidades vectoriales (las modeladas por un espacio vectorial , como el desplazamiento).

• Se pueden sumar cantidades vectoriales entre sí, dando como resultado una nueva cantidad vectorial, y se puede agregar una cantidad vectorial a una cantidad afín adecuada (un espacio vectorial actúa sobre un espacio afín), dando como resultado una nueva cantidad afín.
• Las cantidades afines no se pueden sumar, pero se pueden restar, dando cantidades relativas que son vectores, y estas diferencias relativas pueden luego sumarse entre sí o a una cantidad afín.

Entonces, las posiciones tienen una dimensión de longitud afín , mientras que los desplazamientos tienen una dimensión de longitud vectorial . Para asignar un número a una unidad afín no solo se debe elegir una unidad de medida, sino también un punto de referencia , mientras que para asignar un número a una unidad vectorial solo se requiere una unidad de medida.

Así, algunas cantidades físicas se modelan mejor mediante cantidades vectoriales, mientras que otras tienden a requerir una representación afín, y la distinción se refleja en su análisis dimensional.

Esta distinción es particularmente importante en el caso de la temperatura, para la cual el valor numérico del cero absoluto no es el origen 0 en algunas escalas. Para el cero absoluto,

−273,15 °C ≘ 0 K = 0 °R ≘ −459,67 °F,

donde el símbolo ≘ significa corresponde a , ya que si bien estos valores en las respectivas escalas de temperatura corresponden, representan cantidades distintas de la misma manera que las distancias desde distintos puntos de partida hasta un mismo punto final son cantidades distintas, y en general no pueden equipararse.

Para diferencias de temperatura,

1 K = 1 °C ≠ 1 °F = 1 °R.

(Aquí °R se refiere a la escala de Rankine , no a la escala de Réaumur ). La conversión de unidades para diferencias de temperatura es simplemente cuestión de multiplicar por, por ejemplo, 1 °F / 1 K (aunque la relación no es un valor constante). Pero como algunas de estas escalas tienen orígenes que no corresponden al cero absoluto, la conversión de una escala de temperatura a otra requiere tenerlo en cuenta. Como resultado, un análisis dimensional simple puede llevar a errores si es ambiguo si 1 K significa la temperatura absoluta igual a −272,15 °C o la diferencia de temperatura igual a 1 °C.

Orientación y marco de referencia.

Similar a la cuestión del punto de referencia es la cuestión de la orientación: un desplazamiento en 2 o 3 dimensiones no es sólo una longitud, sino que es una longitud junto con una dirección . (Esta cuestión no surge en una dimensión, o más bien equivale a la distinción entre positivo y negativo). Por lo tanto, para comparar o combinar cantidades bidimensionales en un espacio multidimensional, también se necesita una orientación: es necesario compararlas. a un marco de referencia .

Esto conduce a las extensiones que se analizan a continuación, a saber, las dimensiones dirigidas de Huntley y el análisis orientativo de Siano.

Extensiones de Huntley.

Huntley ha señalado que un análisis dimensional puede volverse más poderoso al descubrir nuevas dimensiones independientes en las cantidades consideradas, aumentando así el rango de la matriz dimensional. ^[52] ${\displaystyle m}$

Introdujo dos enfoques:

• Las magnitudes de las componentes de un vector deben considerarse dimensionalmente independientes. Por ejemplo, en lugar de una dimensión de longitud indiferenciada L, podemos hacer que L _x represente la dimensión en la dirección x, y así sucesivamente. Este requisito surge en última instancia del requisito de que cada componente de una ecuación físicamente significativa (escalar, vectorial o tensor) debe ser dimensionalmente consistente.
• La masa como medida de la cantidad de materia debe considerarse dimensionalmente independiente de la masa como medida de inercia.

Dimensiones dirigidas

Como ejemplo de la utilidad del primer enfoque, supongamos que deseamos calcular la distancia que recorre una bala de cañón cuando se dispara con un componente de velocidad vertical y un componente de velocidad horizontal , suponiendo que se dispara sobre una superficie plana. Suponiendo que no se utilizan longitudes dirigidas, las cantidades de interés son entonces R , la distancia recorrida, con dimensión L, , , ambas dimensionadas como T ⁻¹ L, y g la aceleración de la gravedad hacia abajo, con dimensión T ⁻² L. ${\displaystyle v_{\text{y}}}$ ${\displaystyle v_{\text{x}}}$ ${\displaystyle v_{\text{x}}}$ ${\displaystyle v_{\text{y}}}$

Con estas cuatro cantidades podemos concluir que la ecuación para el rango R se puede escribir:

${\displaystyle R\propto v_{\text{x}}^{a}\,v_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.}$

O dimensionalmente

${\displaystyle {\mathsf {L}}=\left({\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}\right)^{a+b}\left({\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}\right)^{c}}$

de lo cual podemos deducir que y , lo que deja un exponente indeterminado. Esto es de esperarse ya que tenemos dos dimensiones fundamentales T y L, y cuatro parámetros, con una ecuación. ${\displaystyle a+b+c=1}$ ${\displaystyle a+b+2c=0}$

Sin embargo, si utilizamos dimensiones de longitud dirigidas, entonces se dimensionará como T ⁻¹ L _x , como T ⁻¹ L _y , R como L _x y g como T ⁻² L _y . La ecuación dimensional se convierte en: ${\displaystyle v_{\mathrm {x} }}$ ${\displaystyle v_{\mathrm {y} }}$

${\displaystyle {\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}\right)^{a}\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{b}\left({{\mathsf {T}}^{-2}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{c}}$

y podemos resolver completamente como a = 1 , b = 1 y c = −1 . Es evidente el aumento del poder deductivo obtenido mediante el uso de dimensiones de longitud dirigidas.

Sin embargo, el concepto de Huntley de dimensiones de longitud dirigida tiene algunas limitaciones importantes:

• No trata bien las ecuaciones vectoriales que involucran el producto vectorial ,
• ni maneja bien el uso de ángulos como variables físicas.

También suele ser bastante difícil asignar los símbolos L, Lx _, Ly _, Lz _a las variables físicas involucradas en el problema de interés. Invoca un procedimiento que implica la "simetría" del problema físico. Esto suele ser muy difícil de aplicar de manera confiable: no está claro en qué partes del problema se invoca la noción de "simetría". ¿Es la simetría del cuerpo físico sobre la que actúan las fuerzas, o sobre los puntos, líneas o áreas en las que se aplican las fuerzas? ¿Qué pasa si hay más de un cuerpo involucrado con diferentes simetrías?

Considere la burbuja esférica unida a un tubo cilíndrico, donde se quiere que el caudal de aire sea una función de la diferencia de presión en las dos partes. ¿Cuáles son las dimensiones ampliadas de Huntley de la viscosidad del aire contenido en las piezas conectadas? ¿Cuáles son las dimensiones extendidas de la presión de las dos partes? ¿Son iguales o diferentes? Estas dificultades son responsables de la aplicación limitada de las dimensiones de longitud dirigidas de Huntley a problemas reales.

cantidad de materia

En el segundo enfoque de Huntley, sostiene que a veces es útil (por ejemplo, en mecánica de fluidos y termodinámica) distinguir entre masa como medida de inercia ( masa inercial ) y masa como medida de la cantidad de materia. Huntley define la cantidad de materia como una cantidad sólo proporcional a la masa inercial, sin implicar propiedades inerciales. No se añaden más restricciones a su definición.

Por ejemplo, considere la derivación de la ley de Poiseuille . Deseamos encontrar la tasa de flujo másico de un fluido viscoso a través de una tubería circular. Sin hacer distinciones entre masa inercial y sustancial, podemos elegir como variables relevantes:

Hay tres variables fundamentales, por lo que las cinco ecuaciones anteriores producirán dos variables adimensionales independientes:

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\dot {m}}{\eta r}}}$

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}}$

Si distinguimos entre masa inercial con dimensión y cantidad de materia con dimensión , entonces el caudal másico y la densidad utilizarán la cantidad de materia como parámetro de masa, mientras que el gradiente de presión y el coeficiente de viscosidad utilizarán la masa inercial. Ahora tenemos cuatro parámetros fundamentales y una constante adimensional, de modo que se puede escribir la ecuación dimensional: ${\displaystyle M_{\text{i}}}$ ${\displaystyle M_{\text{m}}}$

${\displaystyle C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}}$

donde ahora solo C es una constante indeterminada (que se considera igual mediante métodos fuera del análisis dimensional). Esta ecuación puede resolverse para obtener el caudal másico y obtener la ley de Poiseuille . ${\displaystyle \pi /8}$

El reconocimiento de Huntley de la cantidad de materia como una dimensión cuantitativa independiente es evidentemente exitoso en los problemas en los que es aplicable, pero su definición de cantidad de materia está abierta a interpretación, ya que carece de especificidad más allá de los dos requisitos que postuló para ella. Para una sustancia dada, la cantidad de sustancia en la dimensión SI , con unidad mol , satisface los dos requisitos de Huntley como medida de cantidad de materia y podría usarse como cantidad de materia en cualquier problema de análisis dimensional donde sea aplicable el concepto de Huntley.

Extensión de Siano: análisis orientativo

Por convención, los ángulos se consideran cantidades adimensionales. Como ejemplo, consideremos nuevamente el problema del proyectil en el que se lanza una masa puntual desde el origen ( x , y ) = (0, 0) a una velocidad v y un ángulo θ sobre el eje x , con la fuerza de gravedad dirigida a lo largo el eje y negativo . Se desea encontrar el rango R , en cuyo punto la masa regresa al eje x . El análisis convencional arrojará la variable adimensional π = R g / v ² , pero no ofrece información sobre la relación entre R y θ .

Siano ha sugerido que las dimensiones dirigidas de Huntley se reemplacen mediante el uso de símbolos de orientación 1 _x  1 _y  1 _z para denotar las direcciones de los vectores, y un símbolo sin orientación 1 ₀ . ^{[53] Por lo tanto, L} _x de Huntley se convierte en L1 _x , donde L especifica la dimensión de longitud y 1 _x especifica la orientación. Siano muestra además que los símbolos de orientación tienen un álgebra propia. Junto con el requisito de que 1 _i ⁻¹ = 1 _i , resulta la siguiente tabla de multiplicar para los símbolos de orientación:

Los símbolos de orientación forman un grupo (el grupo de cuatro de Klein o "Viergruppe"). En este sistema, los escalares siempre tienen la misma orientación que el elemento identidad, independientemente de la "simetría del problema". Las cantidades físicas que son vectores tienen la orientación esperada: una fuerza o una velocidad en la dirección z tiene la orientación de 1 _z . Para los ángulos, considere un ángulo θ que se encuentra en el plano z. Forma un triángulo rectángulo en el plano z siendo θ uno de los ángulos agudos. El lado del triángulo rectángulo adyacente al ángulo tiene una orientación 1 _x y el lado opuesto tiene una orientación 1 _y . Dado que (usando ~ para indicar equivalencia orientativa) tan( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y /1 _x concluimos que un ángulo en el plano xy debe tener una orientación 1 _y /1 _x = 1 _z , que es no es irrazonable. Un razonamiento análogo obliga a concluir que sin( θ ) tiene orientación 1 _z mientras que cos( θ ) tiene orientación 1 ₀ . Estos son diferentes, por lo que se concluye (correctamente), por ejemplo, que no hay soluciones de ecuaciones físicas que sean de la forma a cos( θ ) + b sen( θ ) , donde a y b son escalares reales. Una expresión como no es dimensionalmente inconsistente ya que es un caso especial de la fórmula de la suma de ángulos y debe escribirse correctamente: ${\displaystyle \sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )}$

${\displaystyle \sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),}$

cual para y produce . Siano distingue entre ángulos geométricos, que tienen una orientación en el espacio tridimensional, y ángulos de fase asociados con oscilaciones basadas en el tiempo, que no tienen orientación espacial, es decir, la orientación de un ángulo de fase es . ${\displaystyle a=\theta }$ ${\displaystyle b=\pi /2}$ ${\displaystyle \sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})}$ ${\displaystyle 1_{0}}$

La asignación de símbolos de orientación a cantidades físicas y el requisito de que las ecuaciones físicas sean orientacionalmente homogéneas en realidad se pueden utilizar de una manera similar al análisis dimensional para derivar más información sobre soluciones aceptables de problemas físicos. En este enfoque, se resuelve la ecuación dimensional tanto como sea posible. Si la potencia más baja de una variable física es fraccionaria, ambos lados de la solución se elevan a una potencia tal que todas las potencias sean integrales, poniéndola en forma normal . Luego se resuelve la ecuación de orientación para dar una condición más restrictiva sobre las potencias desconocidas de los símbolos de orientación. La solución es entonces más completa que la que proporciona el análisis dimensional por sí solo. A menudo, la información añadida es que una de las potencias de una determinada variable es par o impar.

Como ejemplo, para el problema del proyectil, utilizando símbolos de orientación, θ , al estar en el plano xy tendrá dimensión 1 _z y el alcance del proyectil R será de la forma:

${\displaystyle R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,}$

La homogeneidad dimensional ahora producirá correctamente a = −1 y b = 2 , y la homogeneidad orientativa lo requiere . En otras palabras, c debe ser un número entero impar. De hecho, la función requerida de theta será sin( θ )cos( θ ) , que es una serie que consta de potencias impares de θ . ${\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$

Se ve que la serie de Taylor de sin( θ ) y cos( θ ) son orientacionalmente homogéneas usando la tabla de multiplicar anterior, mientras que expresiones como cos( θ ) + sin( θ ) y exp( θ ) no lo son, y lo son (correctamente). ) considerado no físico.

El análisis orientativo de Siano es compatible con la concepción convencional de que las cantidades angulares no tienen dimensiones y, dentro del análisis orientativo, el radian todavía puede considerarse una unidad adimensional. El análisis orientativo de una ecuación cuantitativa se lleva a cabo por separado del análisis dimensional ordinario, lo que produce información que complementa el análisis dimensional.

Ver también

• Teorema de Buckingham π
• Números adimensionales en mecánica de fluidos.
• Estimación de Fermi : utilizada para enseñar análisis dimensional
• Ecuación de valor numérico
• El método de análisis dimensional de Rayleigh.
• Similitud : una aplicación del análisis dimensional
• Sistema de medida

Áreas relacionadas de las matemáticas

• Covarianza y contravarianza de vectores.
• Álgebra exterior
• álgebra geométrica
• calculo de cantidades

Notas

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23. Tao 2012 "Del mismo modo, se puede definir V ^{T −1} como el espacio dual de V ^T ..."
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enlaces externos

• Lista de dimensiones para variedad de cantidades físicas.
• Calculadora web Unicalc Live que realiza conversión de unidades mediante análisis dimensional
• Una implementación en C++ de análisis dimensional en tiempo de compilación en las bibliotecas de código abierto de Boost
• Teorema pi de Buckingham
• Calculadora del sistema cuantitativo para conversión de unidades basada en un enfoque dimensional Archivado el 24 de diciembre de 2017 en Wayback Machine.
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