Aproximación de Boussinesq (ondas de agua)

Aproximación válida para ondas débilmente no lineales y bastante largas.

Simulación de olas periódicas sobre un banco submarino con un modelo de tipo Boussinesq. Las olas se propagan sobre un banco submarino de forma elíptica en una playa plana. Este ejemplo combina varios efectos de olas y aguas poco profundas , incluyendo refracción , difracción , formación de bancos y no linealidad débil .

En dinámica de fluidos , la aproximación de Boussinesq para ondas de agua es una aproximación válida para ondas débilmente no lineales y bastante largas. La aproximación recibe su nombre de Joseph Boussinesq , quien las derivó por primera vez en respuesta a la observación de John Scott Russell de la onda de traslación (también conocida como onda solitaria o solitón ). El artículo de 1872 de Boussinesq introduce las ecuaciones ahora conocidas como ecuaciones de Boussinesq . ^[1]

La aproximación de Boussinesq para las olas de agua tiene en cuenta la estructura vertical de la velocidad de flujo horizontal y vertical . Esto da como resultado ecuaciones diferenciales parciales no lineales , llamadas ecuaciones de tipo Boussinesq , que incorporan dispersión de frecuencia (a diferencia de las ecuaciones de aguas poco profundas , que no son dispersivas en frecuencia). En ingeniería costera , las ecuaciones de tipo Boussinesq se utilizan con frecuencia en modelos informáticos para la simulación de olas de agua en mares y puertos poco profundos .

Si bien la aproximación de Boussinesq es aplicable a ondas bastante largas (es decir, cuando la longitud de onda es grande en comparación con la profundidad del agua), la expansión de Stokes es más apropiada para ondas cortas (cuando la longitud de onda es del mismo orden que la profundidad del agua, o más corta).

Aproximación de Boussinesq

Ondas periódicas en la aproximación de Boussinesq, mostradas en una sección transversal vertical en la dirección de propagación de la onda . Nótese que los valles son planos y las crestas son agudas , debido a la no linealidad de la onda. Este caso (dibujado a escala ) muestra una onda con una longitud de onda igual a 39,1  m , la altura de la onda es de 1,8 m ( es decir , la diferencia entre la elevación de la cresta y del valle) y la profundidad media del agua es de 5 m, mientras que la aceleración gravitacional es de 9,81 m/ ^s2 .

La idea esencial de la aproximación de Boussinesq es la eliminación de la coordenada vertical de las ecuaciones de flujo, manteniendo al mismo tiempo algunas de las influencias de la estructura vertical del flujo bajo las olas del agua . Esto es útil porque las olas se propagan en el plano horizontal y tienen un comportamiento diferente (no ondulatorio) en la dirección vertical. A menudo, como en el caso de Boussinesq, el interés se centra principalmente en la propagación de las olas.

Esta eliminación de la coordenada vertical fue realizada por primera vez por Joseph Boussinesq en 1871, para construir una solución aproximada para la onda solitaria (u onda de traslación ). Posteriormente, en 1872, Boussinesq derivó las ecuaciones conocidas hoy en día como ecuaciones de Boussinesq.

Los pasos de la aproximación de Boussinesq son:

• Una expansión de Taylor se realiza a partir de la velocidad del flujo horizontal y vertical (o potencial de velocidad ) alrededor de una cierta elevación ,
• Esta expansión de Taylor se trunca a un número finito de términos,
• Se utilizan la conservación de la masa (véase la ecuación de continuidad ) para un flujo incompresible y la condición de rizo cero para un flujo irrotacional , para reemplazar las derivadas parciales verticales de cantidades en la expansión de Taylor con derivadas parciales horizontales .

A continuación, se aplica la aproximación de Boussinesq a las restantes ecuaciones de flujo, con el fin de eliminar la dependencia de la coordenada vertical. Como resultado, las ecuaciones diferenciales parciales resultantes están en función de las coordenadas horizontales (y del tiempo ).

Como ejemplo, considere el flujo potencial sobre un lecho horizontal en el plano, con la coordenada horizontal y vertical . El lecho está ubicado en , donde es la profundidad media del agua. Se realiza una expansión de Taylor del potencial de velocidad alrededor del nivel del lecho : ^[2] ${\displaystyle (x,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=-h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \varphi (x,z,t)}$ ${\displaystyle z=-h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\varphi _{b}\,+\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right]_{z=-h}\,\\&+\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,\left[{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial z^{3}}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,\left[{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial z^{4}}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots ,\end{aligned}}}$

donde es el potencial de velocidad en el lecho. Invocando la ecuación de Laplace para , como válida para flujo incompresible , se obtiene: ${\displaystyle \varphi _{b}(x,t)}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\}\,\\&+\,\left\{\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,-\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots \,\right\}\\=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\},\end{aligned}}}$

ya que la velocidad vertical es cero en el lecho horizontal – impermeable – . Esta serie puede truncarse posteriormente a un número finito de términos. ${\displaystyle \partial \varphi /\partial z}$ ${\displaystyle z=-h}$

Ecuaciones originales de Boussinesq

Derivación

Para las ondas de agua en un fluido incompresible y flujo irrotacional en el plano, las condiciones de contorno en la elevación de la superficie libre son: ^[3] ${\displaystyle (x,z)}$ ${\displaystyle z=\eta (x,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,u\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,-\,w\,=\,0\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&+\,{\frac {1}{2}}\,\left(u^{2}+w^{2}\right)\,+\,g\,\eta \,=\,0,\end{aligned}}}$

dónde:

• ${\displaystyle u}$es el componente de velocidad del flujo horizontal : , ${\displaystyle u=\partial \varphi /\partial x}$
• ${\displaystyle w}$es el componente de velocidad del flujo vertical : , ${\displaystyle w=\partial \varphi /\partial z}$
• ${\displaystyle g}$es la aceleración de la gravedad .

Ahora se aplica la aproximación de Boussinesq para el potencial de velocidad , como se indicó anteriormente, en estas condiciones de contorno . Además, en las ecuaciones resultantes solo se conservan los términos lineales y cuadráticos con respecto a y (con la velocidad horizontal en el lecho ). Se supone que los términos cúbicos y de orden superior son despreciables. Luego, se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales parciales : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle u_{b}}$ ${\displaystyle u_{b}=\partial \varphi _{b}/\partial x}$ ${\displaystyle z=-h}$

conjunto A – Boussinesq (1872), ecuación (25)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left[\left(h+\eta \right)\,u_{b}\right]\,=\,{\frac {1}{6}}\,h^{3}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial x^{3}}},\\{\frac {\partial u_{b}}{\partial t}}\,&+\,u_{b}\,{\frac {\partial u_{b}}{\partial x}}\,+\,g\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,=\,{\frac {1}{2}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial t\,\partial x^{2}}}.\end{aligned}}}$

Este conjunto de ecuaciones se ha derivado para un lecho horizontal plano, es decir, la profundidad media es una constante independiente de la posición . Cuando los lados derechos de las ecuaciones anteriores se establecen en cero, se reducen a las ecuaciones de aguas someras . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$

Con algunas aproximaciones adicionales, pero con el mismo orden de precisión, el conjunto A anterior se puede reducir a una única ecuación diferencial parcial para la elevación de la superficie libre : ${\displaystyle \eta }$

conjunto B - Boussinesq (1872), ecuación (26)

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left({\frac {3}{2}}\,{\frac {\eta ^{2}}{h}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\right)\,=\,0.}$

A partir de los términos entre paréntesis, la importancia de la no linealidad de la ecuación se puede expresar en términos del número de Ursell . En cantidades adimensionales , utilizando la profundidad del agua y la aceleración gravitacional para la no dimensionalización, esta ecuación se lee, después de la normalización : ^[4] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \tau ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}\left(\,3\,\psi ^{2}\,+\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,\right)\,=\,0,}$

con:

Velocidad de fase lineal al cuadrado en función del número de onda relativo . A = Boussinesq (1872), ecuación (25), B = Boussinesq (1872), ecuación (26), C = teoría de onda lineal completa, véase dispersión (ondas en el agua) ${\displaystyle c^{2}/(gh)}$ ${\displaystyle kh}$

Dispersión de frecuencia lineal

Las ondas de agua de diferentes longitudes de onda viajan con diferentes velocidades de fase , un fenómeno conocido como dispersión de frecuencia . Para el caso de amplitudes de onda infinitesimales , la terminología es dispersión de frecuencia lineal . Las características de dispersión de frecuencia de una ecuación de tipo Boussinesq se pueden utilizar para determinar el rango de longitudes de onda, para el cual es una aproximación válida .

Las características de dispersión de frecuencia lineal para el conjunto A de ecuaciones anterior son: ^[5]

${\displaystyle c^{2}\,=\;gh\,{\frac {1\,+\,{\frac {1}{6}}\,k^{2}h^{2}}{1\,+\,{\frac {1}{2}}\,k^{2}h^{2}}},}$

con:

• ${\displaystyle c}$la velocidad de fase ,
• ${\displaystyle k}$el número de onda ( , con la longitud de onda ). ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

El error relativo en la velocidad de fase para el conjunto A , en comparación con la teoría lineal para las ondas en el agua , es inferior al 4 % para un número de onda relativo . Por lo tanto, en aplicaciones de ingeniería , el conjunto A es válido para longitudes de onda mayores que 4 veces la profundidad del agua . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle kh<\pi /2}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle h}$

Las características de dispersión de frecuencia lineal de la ecuación B son: ^[5]

${\displaystyle c^{2}\,=\,gh\,\left(1\,-\,{\frac {1}{3}}\,k^{2}h^{2}\right).}$

El error relativo en la velocidad de fase para la ecuación B es menor al 4% para , equivalente a longitudes de onda mayores a 7 veces la profundidad del agua , llamadas ondas bastante largas . ^[6] ${\displaystyle kh<2\pi /7}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle h}$

Para las ondas cortas, la ecuación B pierde su sentido físico, porque ya no existen soluciones con valores reales de la velocidad de fase . El conjunto original de dos ecuaciones diferenciales parciales (Boussinesq, 1872, ecuación 25, véase el conjunto A anterior) no presenta esta deficiencia. ${\displaystyle k^{2}h^{2}>3}$

Las ecuaciones de aguas poco profundas tienen un error relativo en la velocidad de fase inferior al 4% para longitudes de ola superiores a 13 veces la profundidad del agua . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle h}$

Ecuaciones y extensiones de tipo Boussinesq

Existe una abrumadora cantidad de modelos matemáticos a los que se hace referencia como ecuaciones de Boussinesq. Esto puede fácilmente llevar a confusión, ya que a menudo se hace referencia a ellas vagamente como ecuaciones de Boussinesq, mientras que en realidad se considera una variante de las mismas. Por lo tanto, es más apropiado llamarlas ecuaciones de tipo Boussinesq . Estrictamente hablando, las ecuaciones de Boussinesq son el conjunto B mencionado anteriormente , ya que se utiliza en el análisis en el resto de su artículo de 1872.

Algunas direcciones en las que se han extendido las ecuaciones de Boussinesq son:

• batimetría variable ,
• dispersión de frecuencia mejorada ,
• comportamiento no lineal mejorado ,
• Realizar una expansión de Taylor alrededor de diferentes elevaciones verticales .
• dividiendo el dominio del fluido en capas y aplicando la aproximación de Boussinesq en cada capa por separado,
• inclusión de rompientes de olas ,
• inclusión de tensión superficial ,
• extensión a ondas internas en una interfaz entre dominios de fluidos de diferente densidad de masa ,
• derivación de un principio variacional .

Otras aproximaciones para la propagación de ondas unidireccionales

Si bien las ecuaciones de Boussinesq permiten que las ondas se desplacen simultáneamente en direcciones opuestas, a menudo resulta ventajoso considerar únicamente las ondas que se desplazan en una dirección. Con pequeñas suposiciones adicionales, las ecuaciones de Boussinesq se reducen a:

• la ecuación de Korteweg-de Vries para la propagación de ondas en una dimensión horizontal ,
• la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili para la propagación de ondas (casi unidireccionales) en dos dimensiones horizontales ,
• la ecuación de Schrödinger no lineal (ecuación NLS) para la amplitud de valor complejo de ondas de banda estrecha (ondas moduladas lentamente ).

Además de las soluciones de ondas solitarias, la ecuación de Korteweg-de Vries también tiene soluciones periódicas y exactas, llamadas ondas cnoidales . Estas son soluciones aproximadas de la ecuación de Boussinesq.

Modelos numéricos

Simulación con un modelo de olas de tipo Boussinesq de olas cercanas a la costa que se desplazan hacia la entrada de un puerto. La simulación se realiza con el módulo BOUSS-2D de SMS .

Simulación más rápida que en tiempo real con el módulo Boussinesq de Celeris, que muestra la rotura y la refracción de las olas cerca de la playa. El modelo proporciona un entorno interactivo.

Para la simulación del movimiento de las olas cerca de costas y puertos, existen modelos numéricos, tanto comerciales como académicos, que emplean ecuaciones de tipo Boussinesq. Algunos ejemplos comerciales son los módulos de olas de tipo Boussinesq en MIKE 21 y SMS . Algunos de los modelos Boussinesq gratuitos son Celeris, ^[7] COULWAVE, ^[8] y FUNWAVE. ^[9] La mayoría de los modelos numéricos emplean técnicas de diferencias finitas , volúmenes finitos o elementos finitos para la discretización de las ecuaciones del modelo. Las revisiones científicas e intercomparaciones de varias ecuaciones de tipo Boussinesq, su aproximación numérica y rendimiento son, por ejemplo, Kirby (2003), Dingemans (1997, Parte 2, Capítulo 5) y Hamm, Madsen y Peregrine (1993).

Notas

1. Este artículo (Boussinesq, 1872) comienza con: "Tous les ingénieurs connaissent les belles expériences de J. Scott Russell et M. Basin sur la Production et la propagation des ondes solitaires" ( "Todos los ingenieros conocen los hermosos experimentos de J. Scott Russell y M. Basin sobre la generación y propagación de ondas solitarias" ).
2. Dingemans (1997), pág. 477.
3. Dingemans (1997), pág. 475.
4. Johnson (1997), pág. 219
5. Dingemans (1997), pág. 521.
6. Dingemans (1997), pág. 473 y 516.
7. "Celeria.org - Modelo de onda Celeris Boussinesq". Celeria.org - Modelo de onda Celeris Boussinesq .
8. "ISEC - Modelos". isec.nacse.org .
9. "James T. Kirby, programa Funwave". www1.udel.edu .

Referencias

• Boussinesq, J. (1871). "Théorie de l'intumescencia líquida, applelée onde solitario o de traducción, se propaga en un canal rectangular". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 72 : 755–759.
• Boussinesq, J. (1872). "Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensment pareilles de la Surface au fond". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . Segunda serie. 17 : 55-108.
• Dingemans, MW (1997). Propagación de olas sobre fondos irregulares. Serie avanzada sobre ingeniería oceánica 13. World Scientific, Singapur. ISBN 978-981-02-0427-3Archivado desde el original el 8 de febrero de 2012. Consultado el 21 de enero de 2008 . Véase la Parte 2, Capítulo 5 .
• Hamm, L.; Madsen, PA; Peregrine, DH (1993). "Transformación de las olas en la zona cercana a la costa: una revisión". Coastal Engineering . 21 (1–3): 5–39. Bibcode :1993CoasE..21....5H. doi :10.1016/0378-3839(93)90044-9.
• Johnson, RS (1997). Una introducción moderna a la teoría matemática de las ondas en el agua . Cambridge Texts in Applied Mathematics. Vol. 19. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59832-X.
• Kirby, JT (2003). "Modelos de Boussinesq y aplicaciones a la propagación de olas cercanas a la costa, procesos en zonas de rompientes y corrientes inducidas por olas". En Lakhan, VC (ed.). Avances en modelado costero . Serie Oceanografía de Elsevier. Vol. 67. Elsevier. págs. 1–41. ISBN 0-444-51149-0.
• Peregrine, DH (1967). "Ondas largas en una playa". Journal of Fluid Mechanics . 27 (4): 815–827. Bibcode :1967JFM....27..815P. doi :10.1017/S0022112067002605. S2CID  119385147.
• Peregrine, DH (1972). "Ecuaciones para ondas de agua y las aproximaciones que las sustentan". En Meyer, RE (ed.). Ondas en playas y transporte de sedimentos resultante . Academic Press. págs. 95–122. ISBN 0-12-493250-9.