Dispersión (ondas de agua)

Dispersión de ondas en una superficie de agua

En dinámica de fluidos , la dispersión de las ondas en el agua generalmente se refiere a la dispersión de frecuencia , lo que significa que las ondas de diferentes longitudes de onda viajan a diferentes velocidades de fase . Las ondas en el agua, en este contexto, son ondas que se propagan en la superficie del agua , con la gravedad y la tensión superficial como fuerzas restauradoras . Como resultado, el agua con una superficie libre generalmente se considera un medio dispersivo .

Para una cierta profundidad de agua, las ondas de gravedad superficiales (es decir, las ondas que se producen en la interfaz aire-agua y la gravedad como la única fuerza que la restablece a la planitud) se propagan más rápido con el aumento de la longitud de onda . Por otro lado, para una longitud de onda dada (fija), las ondas de gravedad en aguas más profundas tienen una velocidad de fase mayor que en aguas menos profundas . ^[1] En contraste con el comportamiento de las ondas de gravedad, las ondas capilares (es decir, solo forzadas por la tensión superficial) se propagan más rápido para longitudes de onda más cortas.

Además de la dispersión de frecuencia, las ondas de agua también presentan dispersión de amplitud. Se trata de un efecto no lineal , por el cual las ondas de mayor amplitud tienen una velocidad de fase diferente a la de las ondas de menor amplitud.

Dispersión de frecuencias para ondas gravitacionales superficiales

Esta sección trata sobre la dispersión de frecuencias de las ondas en una capa de fluido forzadas por la gravedad y de acuerdo con la teoría lineal. Para conocer los efectos de la tensión superficial en la dispersión de frecuencias, consulte los efectos de la tensión superficial en la teoría de ondas de Airy y ondas capilares .

Propagación y dispersión de ondas

Onda sinusoidal.

La onda que se propaga de forma invariable más simple es una onda sinusoidal . Una onda sinusoidal con elevación de la superficie del agua η ( x , t ) se expresa mediante: ^[2]

${\displaystyle \eta (x,t)=a\sin \left(\theta (x,t)\right),\,}$

donde a es la amplitud (en metros) y θ = θ ( x , t ) es la función de fase (en radianes ), dependiendo de la posición horizontal ( x , en metros) y el tiempo ( t , en segundos ): ^[3]

${\displaystyle \theta =2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{T}}\right)=kx-\omega t,}$ con y ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}},}$

dónde:

• λ es la longitud de onda (en metros),
• T es el período (en segundos),
• k es el número de onda (en radianes por metro) y
• ω es la frecuencia angular (en radianes por segundo).

Las fases características de una ola de agua son:

• el cruce por cero ascendente en θ = 0 ,
• la cresta de la ola en θ =  ⁠1/2⁠  π ,
• el cruce por cero descendente en θ = π y
• el valle de la onda en θ  =  ⁠1+1/2⁠  π.

Una determinada fase se repite después de un número entero m múltiplo de 2π : sin( θ ) = sin( θ+m•2π ).

Esencial para las ondas de agua y otros fenómenos ondulatorios en física , es que las ondas de propagación libre de amplitud distinta de cero solo existen cuando la frecuencia angular ω y el número de onda k (o equivalentemente la longitud de onda λ y el período T ) satisfacen una relación funcional : la relación de dispersión de frecuencia ^{[4] [5]}

${\displaystyle \omega ^{2}=\Omega ^{2}(k).\,}$

La relación de dispersión tiene dos soluciones: ω = +Ω(k) y ω = −Ω(k) , correspondientes a ondas que se propagan en la dirección x positiva o negativa . La relación de dispersión dependerá, en general, de varios otros parámetros además del número de onda k . Para las ondas de gravedad, según la teoría lineal, estos son la aceleración de la gravedad g y la profundidad del agua h . La relación de dispersión para estas ondas es: ^{[6] [5]}

${\displaystyle \omega ^{2}=g\,k\,\tanh(k\,h)}$  o  ${\displaystyle \displaystyle \lambda ={\frac {g}{2\pi }}\,T^{2}\,\tanh \left(2\pi \,{\frac {h}{\lambda }}\right),}$

una ecuación implícita donde tanh denota la función tangente hiperbólica .

Una fase de onda inicial θ = θ ₀ se propaga en función del espacio y del tiempo . Su posición posterior viene dada por:

${\displaystyle x={\frac {\lambda }{T}}\,t+{\frac {\lambda }{2\pi }}\,\theta _{0}={\frac {\omega }{k}}\,t+{\frac {\theta _{0}}{k}}.}$

Esto demuestra que la fase se mueve con la velocidad: ^[2]

${\displaystyle c_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\Omega (k)}{k}},}$

que se llama velocidad de fase.

Velocidad de fase

Una onda sinusoidal , de pequeña amplitud de elevación superficial y con una longitud de onda constante , se propaga con la velocidad de fase , también llamada celeridad o velocidad de fase. Mientras que la velocidad de fase es un vector y tiene una dirección asociada, la celeridad o velocidad de fase se refieren únicamente a la magnitud de la velocidad de fase. Según la teoría lineal para las ondas forzadas por la gravedad, la velocidad de fase depende de la longitud de onda y de la profundidad del agua. Para una profundidad de agua fija, las ondas largas (con gran longitud de onda) se propagan más rápido que las ondas más cortas.

En la figura de la izquierda, se puede ver que las ondas en aguas poco profundas , con longitudes de onda λ mucho mayores que la profundidad del agua h , viajan con la velocidad de fase ^[2]

${\displaystyle c_{p}={\sqrt {gh}}\qquad \scriptstyle {\text{(shallow water),}}\,}$

donde g es la aceleración de la gravedad y c _p la velocidad de fase. Como esta velocidad de fase en aguas poco profundas es independiente de la longitud de onda, las ondas en aguas poco profundas no tienen dispersión de frecuencia.

Utilizando otra normalización para la misma relación de dispersión de frecuencia, la figura de la derecha muestra que para una longitud de onda fija λ la velocidad de fase c _p aumenta con el aumento de la profundidad del agua. ^[1] Hasta que, en aguas profundas con una profundidad h mayor que la mitad de la longitud de onda λ (por lo que para h/λ > 0,5 ), la velocidad de fase c _p es independiente de la profundidad del agua: ^[2]

${\displaystyle c_{p}={\sqrt {\frac {g\lambda }{2\pi }}}={\frac {g}{2\pi }}T\qquad \scriptstyle {\text{(deep water),}}}$

donde T es el período de la ola (el recíproco de la frecuencia f , T=1/f ). Por lo tanto, en aguas profundas la velocidad de fase aumenta con la longitud de onda y con el período.

Dado que la velocidad de fase satisface c _p = λ/T = λf , la longitud de onda y el período (o frecuencia) están relacionados. Por ejemplo, en aguas profundas:

${\displaystyle \lambda ={\frac {g}{2\pi }}T^{2}\qquad \scriptstyle {\text{(deep water).}}}$

Las características de dispersión para la profundidad intermedia se dan a continuación.

Velocidad de grupo

Dispersión de frecuencias en grupos bicromáticos de ondas gravitacionales en la superficie de aguas profundas. El cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase y los círculos verdes se propagan con la velocidad de grupo.

La interferencia de dos ondas sinusoidales con longitudes de onda ligeramente diferentes, pero con la misma amplitud y dirección de propagación, da como resultado un patrón de batido , llamado grupo de ondas. Como se puede ver en la animación, el grupo se mueve con una velocidad de grupo c _g diferente de la velocidad de fase c _p , debido a la dispersión de frecuencia.

La velocidad de grupo se representa mediante las líneas rojas (marcadas B ) en las dos figuras anteriores. En aguas poco profundas, la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase en aguas poco profundas. Esto se debe a que las olas en aguas poco profundas no son dispersivas. En aguas profundas, la velocidad de grupo es igual a la mitad de la velocidad de fase: {{math| c _g = ⁠1/2⁠ c _p . ^[7]

La velocidad de grupo también resulta ser la velocidad de transporte de energía, es decir, la velocidad con la que la energía media de las ondas se transporta horizontalmente en un campo de ondas de banda estrecha . ^{[8] [9]}

En el caso de una velocidad de grupo diferente de la velocidad de fase, una consecuencia es que el número de ondas contadas en un grupo de ondas es diferente cuando se cuentan a partir de una instantánea en el espacio en un momento determinado, que cuando se cuentan en el tiempo a partir de la elevación de la superficie medida en una posición fija. Consideremos un grupo de ondas de longitud Λ _g y una duración de grupo de τ _g . La velocidad de grupo es: ^[10]

${\displaystyle c_{g}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}.}$

El número de ondas por grupo observadas en el espacio en un momento determinado (línea azul superior), es diferente del número de ondas por grupo observadas en el tiempo en una posición fija (línea naranja inferior), debido a la dispersión de frecuencia.

Olas de tormenta del Pacífico Norte vistas desde el M/V Noble Star de la NOAA , invierno de 1989.

El número de ondas de un grupo de ondas, medido en el espacio en un momento determinado, es: Λ _g  / λ . Si bien se mide en un lugar fijo en el tiempo, el número de ondas de un grupo es: τ _g  / T . Por lo tanto, la relación entre el número de ondas medidas en el espacio y las medidas en el tiempo es:

${\displaystyle {\tfrac {\text{No. of waves in space}}{\text{No. of waves in time}}}={\frac {\Lambda _{g}/\lambda }{\tau _{g}/T}}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}\cdot {\frac {T}{\lambda }}={\frac {c_{g}}{c_{p}}}.}$

Entonces, en aguas profundas, con c _g = ⁠1/2⁠ c _p , ^[11] un grupo de ondas tiene el doble de ondas en el tiempo que en el espacio. ^[12]

La elevación de la superficie del agua η(x,t) , en función de la posición horizontal x y el tiempo t , para un grupo de ondas bicromáticas de modulación completa se puede formular matemáticamente como: ^[11]

${\displaystyle \eta =a\,\sin \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)+a\,\sin \left(k_{2}x-\omega _{2}t\right),}$

con:

• a la amplitud de onda de cada componente de frecuencia en metros,
• k ₁ y k ₂ el número de onda de cada componente de onda, en radianes por metro, y
• ω ₁ y ω ₂ la frecuencia angular de cada componente de onda, en radianes por segundo.

Tanto ω ₁ como k ₁ , así como ω ₂ y k ₂ , deben satisfacer la relación de dispersión:

${\displaystyle \omega _{1}^{2}=\Omega ^{2}(k_{1})\,}$ y ${\displaystyle \omega _{2}^{2}=\Omega ^{2}(k_{2}).\,}$

Utilizando identidades trigonométricas , la elevación de la superficie se escribe como: ^[10]

${\displaystyle \eta =\left[2\,a\,\cos \left({\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t\right)\right]\;\cdot \;\sin \left({\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right).}$

La parte entre corchetes es la amplitud que varía lentamente del grupo, con número de onda del grupo .1/2⁠  ( k ₁  − k ₂  ) y frecuencia angular del grupo ⁠1/2⁠  ( ω ₁  − ω ₂  ) . Como resultado, la velocidad del grupo es, para el límite k ₁  → k ₂  : ^{[10] [11]}

${\displaystyle c_{g}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{k_{1}-k_{2}}}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\Omega (k_{1})-\Omega (k_{2})}{k_{1}-k_{2}}}={\frac {{\text{d}}\Omega (k)}{{\text{d}}k}}.}$

Los grupos de ondas solo se pueden discernir en el caso de una señal de banda estrecha, con una diferencia de número de onda k ₁  − k ₂ pequeña en comparación con el número de onda medio .1/2⁠  ( _k1  + _k2 ) .

Patrones de ondas de múltiples componentes

Dispersión de frecuencias de ondas gravitacionales superficiales en aguas profundas. Se muestra la superposición (línea azul oscuro) de tres componentes de onda sinusoidales (líneas azul claro).

El efecto de la dispersión de frecuencia es que las ondas se propagan en función de la longitud de onda, de modo que las propiedades de fase espacial y temporal de la onda que se propaga cambian constantemente. Por ejemplo, bajo la acción de la gravedad, las ondas de agua con una longitud de onda más larga se propagan más rápido que las de una longitud de onda más corta.

Mientras que dos ondas sinusoidales superpuestas, llamadas ondas bicromáticas, tienen una envolvente que se propaga sin cambios, tres o más componentes de ondas sinusoidales dan como resultado un patrón cambiante de las ondas y su envolvente. Un estado del mar , es decir, olas reales en el mar o el océano, puede describirse como una superposición de muchas ondas sinusoidales con diferentes longitudes de onda, amplitudes, fases iniciales y direcciones de propagación. Cada uno de estos componentes se propaga con su propia velocidad de fase, de acuerdo con la relación de dispersión. Las estadísticas de una superficie de este tipo pueden describirse mediante su espectro de potencia . ^[13]

Relación de dispersión

En la siguiente tabla se da la relación de dispersión ω ² = [ Ω(k) ] ² entre la frecuencia angular ω = 2π / T y el número de onda k = 2π / λ , así como las velocidades de fase y de grupo. ^[10]

Las aguas profundas corresponden a profundidades de agua mayores que la mitad de la longitud de onda , que es la situación común en el océano. En aguas profundas, las ondas de período más largo se propagan más rápido y transportan su energía más rápido. La velocidad de grupo de aguas profundas es la mitad de la velocidad de fase . En aguas poco profundas , para longitudes de onda mayores que veinte veces la profundidad del agua, ^[14] como se encuentra bastante a menudo cerca de la costa, la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase.

Historia

La ecuación de dispersión lineal completa fue descubierta por primera vez por Pierre-Simon Laplace , aunque hubo algunos errores en su solución para el problema de las ondas lineales. La teoría completa para las ondas lineales en el agua, incluida la dispersión, fue derivada por George Biddell Airy y publicada alrededor de 1840. Una ecuación similar también fue descubierta por Philip Kelland aproximadamente en la misma época (pero cometió algunos errores en su derivación de la teoría de las ondas). ^[15]

El límite de aguas poco profundas (con h / λ pequeño ), ω ² = gh k ² , fue derivado por Joseph Louis Lagrange .

Efectos de la tensión superficial

Dispersión de ondas de gravedad por capilaridad en la superficie de aguas profundas. Velocidad de fase y de grupo dividida por en función de la longitud de onda relativa inversa . Líneas azules (A): velocidad de fase, Líneas rojas (B): velocidad de grupo. Líneas dibujadas: relación de dispersión para ondas de gravedad por capilaridad. Líneas discontinuas: relación de dispersión para ondas de gravedad en aguas profundas. Líneas discontinuas y de puntos: relación de dispersión válida para ondas capilares en aguas profundas. ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\lambda }}{\sqrt {\sigma /(\rho g)}}}$

En el caso de ondas gravitacionales-capilares, donde la tensión superficial afecta las ondas, la relación de dispersión se convierte en: ^[5]

${\displaystyle \omega ^{2}=\left(gk+{\frac {\sigma }{\rho }}k^{3}\right)\tanh(kh),}$

siendo σ la tensión superficial (en N/m).

En una interfaz agua-aire (con σ = 0,074 N/m y ρ = 1000 kg/m ³ ), las ondas pueden aproximarse como ondas capilares puras –dominadas por efectos de tensión superficial– para longitudes de onda inferiores a 0,4 cm (0,2 pulgadas). Para longitudes de onda superiores a 7 cm (3 pulgadas), las ondas son, en buena aproximación , ondas gravitacionales superficiales puras con muy pocos efectos de tensión superficial. ^[16]

Ondas interfaciales

Movimiento ondulatorio en la interfase entre dos capas de fluidos homogéneos no viscosos de diferente densidad, confinados entre límites rígidos horizontales (en la parte superior e inferior). El movimiento es forzado por la gravedad. La capa superior tiene una profundidad media h y una densidad ρ , mientras que la capa inferior tiene una profundidad media h y una densidad ρ . La amplitud de la onda es a , la longitud de onda se denota por λ .

Para dos capas homogéneas de fluidos, de espesor medio h por debajo de la interfaz y h ′ por encima – bajo la acción de la gravedad y limitadas arriba y abajo por paredes rígidas horizontales – la relación de dispersión ω ²  = Ω ² ( k ) para las ondas de gravedad se proporciona por: ^[17]

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {g\,k(\rho -\rho ')}{\rho \,\coth(kh)+\rho '\,\coth(kh')}},}$

donde nuevamente ρ y ρ ′ son las densidades por debajo y por encima de la interfaz, mientras que coth es la función cotangente hiperbólica . Para el caso en que ρ ′ es cero, esto se reduce a la relación de dispersión de las ondas de gravedad superficiales en agua de profundidad finita h .

Cuando la profundidad de las dos capas de fluido se vuelve muy grande ( h →∞, h ′ →∞), las cotangentes hiperbólicas en la fórmula anterior se aproximan al valor de uno. Entonces:

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g\,k.}$

Efectos no lineales

Aguas poco profundas

Los efectos de dispersión de amplitud aparecen, por ejemplo, en la onda solitaria : una única joroba de agua que se desplaza con velocidad constante en aguas poco profundas con un lecho horizontal. Obsérvese que las ondas solitarias son casi solitones , pero no exactamente: después de la interacción de dos ondas solitarias (que chocan o se adelantan), han cambiado un poco en amplitud y queda un residuo oscilatorio. ^[18] La solución de un solo solitón de la ecuación de Korteweg-de Vries , de altura de onda H en la profundidad del agua h lejos de la cresta de la onda, se desplaza con la velocidad:

${\displaystyle c_{p}=c_{g}={\sqrt {g(h+H)}}.}$

Por lo tanto, para esta onda de gravedad no lineal, la profundidad total del agua bajo la cresta de la ola es lo que determina la velocidad, y las olas más altas viajan más rápido que las olas más bajas. Tenga en cuenta que las soluciones de ondas solitarias solo existen para valores positivos de H ; no existen ondas de gravedad solitarias de depresión.

Aguas profundas

La relación de dispersión lineal – no afectada por la amplitud de la onda – es también correcta para ondas no lineales en el segundo orden de la expansión de la teoría de perturbación , con los órdenes en términos de la inclinación de la onda ka (donde a es la amplitud de la onda ). En el tercer orden, y para aguas profundas, la relación de dispersión es ^[19]

${\displaystyle \omega ^{2}=gk\left[1+(ka)^{2}\right],}$  entonces  ${\displaystyle c_{p}={\sqrt {\frac {g}{k}}}\,\left[1+{\tfrac {1}{2}}\,(ka)^{2}\right]+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$

Esto implica que las ondas grandes viajan más rápido que las pequeñas de la misma frecuencia. Esto solo se nota cuando la pendiente de la onda ka es grande.

Ondas en una corriente media: desplazamiento Doppler

Las ondas de agua en un flujo medio (es decir, una onda en un medio en movimiento) experimentan un efecto Doppler . Supongamos que la relación de dispersión para un medio inmóvil es:

${\displaystyle \omega ^{2}=\Omega ^{2}(k),\,}$

donde k es el número de onda. Entonces, para un medio con vector de velocidad media V , la relación de dispersión con el desplazamiento Doppler se convierte en: ^[20]

${\displaystyle \left(\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {V} \right)^{2}=\Omega ^{2}(k),}$

donde k es el vector de número de onda, relacionado con k como: k = | k |. El producto escalar k • V es igual a: k • V = kV cos α , con V la longitud del vector de velocidad media V : V = | V |. Y α el ángulo entre la dirección de propagación de la onda y la dirección media del flujo. Para ondas y corriente en la misma dirección, k • V = kV .

Véase también

Otros artículos sobre la dispersión

• Ecuación diferencial parcial dispersiva
• Onda capilar

Modelos de ondas de agua dispersivas

• Teoría de las ondas de Airy
• Ecuación de Benjamin-Bona-Mahony
• Aproximación de Boussinesq (ondas de agua)
• Onda cnoidal
• Ecuación de Camassa-Holm
• Ecuación de Davey-Stewartson
• Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili (también conocida como ecuación KP)
• Ecuación de Korteweg-de Vries (también conocida como ecuación de KdV)
• El principio variacional de Lucas
• Ecuación no lineal de Schrödinger
• Ecuaciones de aguas poco profundas
• Teoría de ondas de Stokes
• Onda trocoidal
• Turbulencia de las olas
• Ecuación de Whitham

Notas

1. Pond, S.; Pickard, GL (1978), Oceanografía dinámica introductoria , Pergamon Press, págs. 170-174, ISBN 978-0-08-021614-0
2. Véase Lamb (1994), §229, págs. 366–369.
3. Véase Whitham (1974), pág. 11.
4. medio homogéneo no móvil , es decir, en el caso de ondas de agua para una profundidad de agua constante y sin corriente media.
5. Véase Phillips (1977), pág. 37.
6. Véase, por ejemplo, Dingemans (1997), pág. 43.
7. Véase Phillips (1977), pág. 25.
8. Reynolds, O. (1877), "Sobre la velocidad de progresión de los grupos de ondas y la velocidad a la que se transmite la energía por las ondas", Nature , 16 (408): 343–44, Bibcode :1877Natur..16R.341., doi : 10.1038/016341c0
   Lord Rayleigh (JW Strutt) (1877), "Sobre ondas progresivas", Actas de la London Mathematical Society , 9 : 21–26, doi :10.1112/plms/s1-9.1.21Reimpreso como Apéndice en: Theory of Sound 1 , MacMillan, 2.a edición revisada, 1894.
9. Véase Lamb (1994), §237, págs. 382–384.
10. Véase Dingemans (1997), sección 2.1.2, págs. 46-50.
11. Véase Lamb (1994), §236, págs. 380–382.
12. Henderson, KL; Peregrine, DH ; Dold, JW (1999), "Modulaciones inestables de las ondas de agua: soluciones completamente no lineales y comparación con la ecuación no lineal de Schrödinger", Wave Motion , 29 (4): 341–361, Bibcode :1999WaMot..29..341H, CiteSeerX 10.1.1.499.727 , doi :10.1016/S0165-2125(98)00045-6 
13. Véase Phillips (1977), pág. 102.
14. Véase Dean y Dalrymple (1991), página 65.
15. Véase Craik (2004).
16. Véase Lighthill (1978), págs. 224-225.
17. Turner, JS (1979), Efectos de flotabilidad en fluidos , Cambridge University Press, pág. 18, ISBN 978-0521297264
18. Véase, por ejemplo: Craig, W.; Guyenne, P.; Hammack, J.; Henderson, D.; Sulem, C. (2006), "Interacciones de ondas de agua solitarias", Physics of Fluids , 18 (57106): 057106–057106–25, Bibcode :2006PhFl...18e7106C, doi :10.1063/1.2205916
19. Véase Lamb (1994), §250, págs. 417–420.
20. Véase Phillips (1977), pág. 24.

Referencias

• Craik, ADD (2004), "Los orígenes de la teoría de las ondas de agua", Annual Review of Fluid Mechanics , 36 : 1–28, Bibcode :2004AnRFM..36....1C, doi :10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118
• Dean, RG; Dalrymple, RA (1991), "Mecánica de las ondas de agua para ingenieros y científicos", Eos Transactions , Advanced Series on Ocean Engineering, 2 (24): 490, Bibcode :1985EOSTr..66..490B, doi :10.1029/EO066i024p00490-06, ISBN 978-981-02-0420-4, OCLC  22907242
• Dingemans, MW (1997), Propagación de ondas de agua sobre fondos irregulares , Advanced Series on Ocean Engineering, vol. 13, World Scientific, pág. 25769, ISBN 978-981-02-0427-3, OCLC  36126836, 2 partes, 967 páginas.
• Lamb, H. (1994), Hidrodinámica (6.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9, OCLC  30070401Publicada originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1987), Mecánica de fluidos , Curso de física teórica, vol. 6 (2.ª ed.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-033932-0
• Lighthill, MJ (1978), Ondas en fluidos , Cambridge University Press, 504 pp., ISBN 978-0-521-29233-7, OCLC  2966533
• Phillips, OM (1977), La dinámica de la capa superior del océano (2.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-29801-8, OCLC  7319931
• Whitham, GB (1974), Ondas lineales y no lineales , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-94090-6, OCLC  815118

Enlaces externos

• Los aspectos matemáticos de las ondas dispersivas se discuten en Dispersive Wiki.