Método de volumen finito

Método para representar y evaluar ecuaciones diferenciales parciales.

El método de volúmenes finitos ( FVM ) es un método para representar y evaluar ecuaciones diferenciales parciales en forma de ecuaciones algebraicas. ^[1] En el método de volumen finito, las integrales de volumen en una ecuación diferencial parcial que contienen un término de divergencia se convierten en integrales de superficie , utilizando el teorema de divergencia . Luego, estos términos se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito. Debido a que el flujo que entra en un volumen dado es idéntico al que sale del volumen adyacente, estos métodos son conservadores . Otra ventaja del método de volúmenes finitos es que se formula fácilmente para permitir mallas no estructuradas. El método se utiliza en muchos paquetes de dinámica de fluidos computacional . "Volumen finito" se refiere al pequeño volumen que rodea cada punto de nodo en una malla. ^[2]

Los métodos de volúmenes finitos se pueden comparar y contrastar con los métodos de diferencias finitas , que aproximan derivadas utilizando valores nodales, o métodos de elementos finitos , que crean aproximaciones locales de una solución utilizando datos locales y construyen una aproximación global uniéndolas. Por el contrario, un método de volumen finito evalúa expresiones exactas para el valor promedio de la solución en un cierto volumen y utiliza estos datos para construir aproximaciones de la solución dentro de las celdas. ^{[3] [4]}

Ejemplo

Considere un problema simple de advección 1D :

Aquí, representa la variable de estado y representa el flujo o flujo de . Convencionalmente, positivo representa flujo hacia la derecha mientras que negativo representa flujo hacia la izquierda. Si asumimos que la ecuación ( 1 ) representa un medio fluido de área constante, podemos subdividir el dominio espacial, en volúmenes finitos o celdas con centros de celda indexados como . Para una celda en particular, podemos definir el valor promedio de volumen de en el momento y , como ${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)}$ ${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)}$ ${\displaystyle {t=t_{1}}}$ ${\displaystyle {x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}}$

y en el momento como, ${\displaystyle t=t_{2}}$

donde y representan ubicaciones de las caras o bordes aguas arriba y aguas abajo, respectivamente, de la celda. ${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}}$

Integrando la ecuación ( 1 ) en el tiempo, tenemos:

dónde . ${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Para obtener el promedio de volumen de at time , integramos el volumen de la celda y dividimos el resultado entre , es decir ${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$ ${\displaystyle t=t_{2}}$ ${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}$ ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}$

Suponemos que se porta bien y que podemos invertir el orden de integración. Además, recuerde que el flujo es normal a la unidad de área de la celda. Ahora, dado que en una dimensión , podemos aplicar el teorema de la divergencia , es decir , y sustituir la integral de volumen de la divergencia con los valores de evaluados en la superficie de la celda (bordes y ) del volumen finito de la siguiente manera: ${\displaystyle f\ }$ ${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$ ${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}}$

dónde . ${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t\right)}$

Por lo tanto, podemos derivar un esquema numérico semidiscreto para el problema anterior con centros de celda indexados como , y con flujos de borde de celda indexados como , diferenciando ( 6 ) con respecto al tiempo para obtener: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\pm {\frac {1}{2}}}$

donde los valores de los flujos de borde, , se pueden reconstruir mediante interpolación o extrapolación de los promedios de las celdas. La ecuación ( 7 ) es exacta para los promedios de volumen; es decir, no se han realizado aproximaciones durante su derivación. ${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}}$

Este método también se puede aplicar a una situación 2D considerando las caras norte y sur junto con las caras este y oeste alrededor de un nodo.

Ley general de conservación

También podemos considerar el problema de la ley general de conservación , representado por el siguiente PDE ,

Aquí, representa un vector de estados y representa el tensor de flujo correspondiente . Nuevamente podemos subdividir el dominio espacial en volúmenes o celdas finitos. Para una celda en particular, tomamos la integral de volumen sobre el volumen total de la celda, lo que da, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$

Al integrar el primer término para obtener el promedio del volumen y aplicar el teorema de la divergencia al segundo, se obtiene

donde representa el área de superficie total de la celda y es un vector unitario normal a la superficie y que apunta hacia afuera. Entonces, finalmente, podemos presentar el resultado general equivalente a ( 8 ), es decir ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle {\mathbf {n} }}$

Nuevamente, los valores de los flujos de borde se pueden reconstruir mediante interpolación o extrapolación de los promedios de las celdas. El esquema numérico real dependerá de la geometría del problema y de la construcción de la malla. La reconstrucción MUSCL se utiliza a menudo en esquemas de alta resolución donde hay shocks o discontinuidades en la solución.

Los esquemas de volumen finito son conservadores ya que los promedios de las celdas cambian a través de los flujos de borde. En otras palabras, ¡ la pérdida de una célula es siempre la ganancia de otra !

Ver también

• Método de elementos finitos
• Limitador de flujo
• El esquema de Godunov
• Teorema de Godunov
• Esquema de alta resolución
• KIVA (software)
• Modelo de circulación general del MIT
• Esquema MUSCL
• Serguéi K. Godunov
• Variación total disminuyendo
• Método de volumen finito para flujo inestable

Referencias

1. LeVeque, Randall (2002). Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos. ISBN 9780511791253.
2. Wanta, D.; Smolik, WT; Kryszyn, J.; Wróblewski, P.; Midura, M. (octubre de 2021). "Un método de volumen finito que utiliza una malla estructurada no uniforme de Quadtree para modelado en tomografía de capacitancia eléctrica". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de la India Sección A: Ciencias Físicas . 92 (3): 443–452. doi : 10.1007/s40010-021-00748-7 .
3. Fallah, NA; Bailey, C.; Cruz, M.; Taylor, Georgia (1 de junio de 2000). "Comparación de la aplicación de métodos de elementos finitos y volúmenes finitos en análisis de tensiones geométricamente no lineales". Modelado Matemático Aplicado . 24 (7): 439–455. doi : 10.1016/S0307-904X(99)00047-5 . ISSN  0307-904X.
4. Ranganayakulu, C. (Chennu) (2 de febrero de 2018). "Capítulo 3, Sección 3.1". Intercambiadores de calor compactos: análisis, diseño y optimización mediante enfoque FEM y CFD . Seetharamu, KN Hoboken, Nueva Jersey. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC  1006524487.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Otras lecturas

• Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) El método del volumen finito Manual de análisis numérico, vol. VII, 2000, pág. 713–1020. Editores: PG Ciarlet y JL Lions.
• Hirsch, C. (1990), Computación numérica de flujos internos y externos, Volumen 2: Métodos computacionales para flujos viscosos y no viscosos , Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Dinámica de gases computacional , Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Métodos numéricos para las leyes de conservación , Serie de conferencias de matemáticas ETH, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos , Cambridge University Press.
• Patankar, Suhas V. (1980), Transferencia numérica de calor y flujo de fluidos , Hemisferio.
• Tannehill, John C., et al., (1997), Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor , 2.ª ed., Taylor y Francis.
• Toro, EF (1999), Solvers de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos , Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), Principios de la dinámica de fluidos computacional , Springer-Verlag.

enlaces externos

• Métodos de volúmenes finitos de R. Eymard, T Gallouët y R. Herbin , actualización del artículo publicado en Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Rübenkönig, Oliver. "El método del volumen finito (FVM): una introducción". Archivado desde el original el 2 de octubre de 2009., disponible bajo la GFDL .
• FiPy: un solucionador de PDE de volumen finito que utiliza Python del NIST.
• CLAWPACK: un paquete de software diseñado para calcular soluciones numéricas a ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas utilizando un enfoque de propagación de ondas