Las matemáticas durante la Edad de Oro del Islam , especialmente durante los siglos IX y X, se basaron en síntesis de las matemáticas griegas ( Euclides , Arquímedes , Apolonio ) y las matemáticas indias ( Aryabhata , Brahmagupta ). Los desarrollos importantes de este período incluyen la extensión del sistema de valor posicional para incluir fracciones decimales , el estudio sistematizado del álgebra y los avances en geometría y trigonometría . [1]
El mundo islámico medieval experimentó importantes avances en matemáticas. Muhammad ibn Musa al-Khwārizmī desempeñó un papel clave en esta transformación, introduciendo el álgebra como un campo diferenciado en el siglo IX. El enfoque de Al-Khwārizmī , que se apartaba de las tradiciones aritméticas anteriores, sentó las bases para la aritmetización del álgebra , influyendo en el pensamiento matemático durante un período prolongado. Los sucesores como Al-Karaji ampliaron su trabajo, contribuyendo a los avances en varios dominios matemáticos. La practicidad y la amplia aplicabilidad de estos métodos matemáticos facilitaron la difusión de las matemáticas árabes en Occidente, contribuyendo sustancialmente a la evolución de las matemáticas occidentales. [2]
El conocimiento matemático árabe se difundió a través de varios canales durante la era medieval , impulsado por las aplicaciones prácticas de los métodos de Al-Khwārizmī . Esta difusión estuvo influenciada no solo por factores económicos y políticos, sino también por intercambios culturales, ejemplificados por eventos como las Cruzadas y el movimiento traductor. La Edad de Oro islámica , que abarcó desde el siglo VIII al XIV, marcó un período de avances considerables en varias disciplinas científicas, atrayendo a académicos de la Europa medieval que buscaban acceso a este conocimiento. Las rutas comerciales y las interacciones culturales desempeñaron un papel crucial en la introducción de las ideas matemáticas árabes en Occidente. La traducción de textos matemáticos árabes, junto con obras griegas y romanas, durante el siglo XIV al XVII, jugó un papel fundamental en la configuración del paisaje intelectual del Renacimiento .
Las matemáticas árabes, en particular el álgebra, se desarrollaron significativamente durante el período medieval . El trabajo de Muhammad ibn Musa al-Khwārizmī ( árabe : محمد بن موسى الخوارزمي ; c. 780 – c. 850 ) entre los años 813 y 833 d. C. en Bagdad fue un punto de inflexión. Introdujo el término "álgebra" en el título de su libro, " Kitab al-jabr wa al-muqabala ", marcándolo como una disciplina distinta. Consideró su trabajo como "una obra breve sobre el cálculo por (las reglas de) completitud y reducción, confinándolo a lo que es más fácil y más útil en aritmética". [3] Más tarde, la gente comentó que su trabajo no era solo un tratado teórico sino también práctico, destinado a resolver problemas en áreas como el comercio y la medición de tierras.
El enfoque de Al-Khwārizmī fue innovador en el sentido de que no surgió de ninguna tradición "aritmética" anterior, incluida la de Diofanto . Desarrolló un nuevo vocabulario para el álgebra, distinguiendo entre términos puramente algebraicos y aquellos compartidos con la aritmética. Al-Khwārizmī notó que la representación de números es crucial en la vida diaria. Por lo tanto, quería encontrar o resumir una forma de simplificar la operación matemática, llamada más tarde, el álgebra. [3] Su álgebra se centró inicialmente en ecuaciones lineales y cuadráticas y la aritmética elemental de binomios y trinomios. Este enfoque, que implicaba resolver ecuaciones utilizando radicales y cálculos algebraicos relacionados, influyó en el pensamiento matemático mucho después de su muerte.
La demostración de Al-Khwārizmī de la regla para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma (ax^2 + bx = c), comúnmente conocida como "cuadrados más raíces son números iguales", fue un logro monumental en la historia del álgebra. Este avance sentó las bases para el enfoque sistemático para resolver ecuaciones cuadráticas, que se convirtió en un aspecto fundamental del álgebra a medida que se desarrollaba en el mundo occidental. [4] El método de Al-Khwārizmī, que implicaba completar el cuadrado, no solo proporcionó una solución práctica para ecuaciones de este tipo, sino que también introdujo un enfoque abstracto y generalizado para los problemas matemáticos. Su trabajo, encapsulado en su texto seminal "Al-Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wal-Muqabala" (El libro compendioso sobre el cálculo por completación y balanceo), fue traducido al latín en el siglo XII. Esta traducción jugó un papel fundamental en la transmisión del conocimiento algebraico a Europa, influyendo significativamente en los matemáticos durante el Renacimiento y dando forma a la evolución de las matemáticas modernas. [4] Las contribuciones de Al-Khwārizmī, especialmente su prueba de ecuaciones cuadráticas, son un testimonio de la rica herencia matemática del mundo islámico y su impacto duradero en las matemáticas occidentales.
La difusión de las matemáticas árabes en Occidente se vio facilitada por varios factores. La practicidad y la aplicabilidad general de los métodos de al-Khwārizmī fueron significativas. Fueron diseñados para convertir problemas numéricos o geométricos en ecuaciones en forma normal, lo que dio lugar a fórmulas de solución canónicas. Su trabajo y el de sus sucesores como al-Karaji sentaron las bases para los avances en varios campos matemáticos, incluida la teoría de números , el análisis numérico y el análisis diofántico racional . [5]
El álgebra de Al-Khwārizmī era una disciplina autónoma con su propia perspectiva histórica, que finalmente condujo a la "aritmetización del álgebra". Sus sucesores ampliaron su trabajo, adaptándolo a nuevos desafíos teóricos y técnicos y reorientándolo hacia una dirección más aritmética para el cálculo algebraico abstracto.
Las matemáticas árabes, cuyo ejemplo más representativo es el trabajo de al-Khwārizmī, fueron fundamentales para configurar el panorama matemático. Su difusión en Occidente estuvo impulsada por sus aplicaciones prácticas, la expansión de los conceptos matemáticos por parte de sus sucesores y la traducción y adaptación de estas ideas al contexto occidental. Esta difusión fue un proceso complejo que abarcó la economía, la política y el intercambio cultural, y que influyó enormemente en las matemáticas occidentales.
El período conocido como la Edad de Oro islámica (siglos VIII al XIV) se caracterizó por avances significativos en varios campos, incluidas las matemáticas . Los eruditos del mundo islámico hicieron contribuciones sustanciales a las matemáticas , la astronomía , la medicina y otras ciencias . Como resultado, los logros intelectuales de los eruditos islámicos atrajeron la atención de los eruditos de la Europa medieval que buscaban acceder a esta riqueza de conocimiento. Las rutas comerciales, como la Ruta de la Seda , facilitaron el movimiento de bienes, ideas y conocimientos entre Oriente y Occidente. Ciudades como Bagdad , El Cairo y Córdoba se convirtieron en centros de aprendizaje y atrajeron a eruditos de diferentes orígenes culturales. Por lo tanto, el conocimiento matemático del mundo islámico encontró su camino hacia Europa a través de varios canales. Mientras tanto, las Cruzadas conectaron a los europeos occidentales con el mundo islámico. Si bien el propósito principal de las Cruzadas era militar, también hubo intercambio cultural y exposición al conocimiento islámico, incluidas las matemáticas. Los eruditos europeos que viajaron a Tierra Santa y otras partes del mundo islámico obtuvieron acceso a manuscritos árabes y tratados matemáticos. Durante los siglos XIV al XVII, la traducción de textos matemáticos árabes, junto con los griegos y romanos , desempeñó un papel crucial en la configuración del panorama intelectual del Renacimiento. Figuras como Fibonacci , que estudió en el norte de África y Oriente Medio, ayudaron a introducir y popularizar los números arábigos y los conceptos matemáticos en Europa.
El estudio del álgebra , cuyo nombre se deriva de la palabra árabe que significa finalización o "reunión de partes rotas", [6] floreció durante la edad de oro islámica . Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi , un erudito persa de la Casa de la Sabiduría en Bagdad fue el fundador del álgebra, es junto con el matemático griego Diofanto , conocido como el padre del álgebra. En su libro The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , Al-Khwarizmi trata las formas de resolver las raíces positivas de ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado (lineales y cuadráticas) . Introduce el método de reducción y, a diferencia de Diofanto, también da soluciones generales para las ecuaciones que trata. [7] [8] [9]
El álgebra de Al-Juarizmi era retórica, lo que significa que las ecuaciones se escribían en oraciones completas. Esto era diferente del trabajo algebraico de Diofanto, que era sincopado, lo que significa que se utilizaba algún simbolismo. La transición al álgebra simbólica, donde solo se utilizan símbolos, se puede ver en el trabajo de Ibn al-Banna' al-Marrakushi y Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī . [10] [9]
Sobre el trabajo realizado por Al-Khwarizmi, JJ O'Connor y Edmund F. Robertson dijeron: [11]
"Quizás uno de los avances más significativos de las matemáticas árabes comenzó en esta época con el trabajo de al-Khwarizmi, es decir, los inicios del álgebra. Es importante entender lo importante que fue esta nueva idea. Fue un cambio revolucionario respecto del concepto griego de matemáticas, que era esencialmente geometría. El álgebra era una teoría unificadora que permitía que los números racionales , los números irracionales , las magnitudes geométricas, etc., fueran tratados como "objetos algebraicos". Le dio a las matemáticas un camino de desarrollo completamente nuevo, mucho más amplio en concepto que el que había existido antes, y proporcionó un vehículo para el desarrollo futuro de la materia. Otro aspecto importante de la introducción de ideas algebraicas fue que permitió que las matemáticas se aplicaran a sí mismas de una manera que no había sucedido antes".
Varios otros matemáticos durante este período de tiempo ampliaron el álgebra de Al-Juarizmi. Abu Kamil Shuja escribió un libro de álgebra acompañado de ilustraciones y pruebas geométricas. También enumeró todas las posibles soluciones a algunos de sus problemas. Abu al-Jud , Omar Khayyam , junto con Sharaf al-Dīn al-Tūsī , encontraron varias soluciones de la ecuación cúbica . Omar Khayyam encontró la solución geométrica general de una ecuación cúbica. [ cita requerida ]
Omar Khayyam (c. 1038/48 en Irán – 1123/24) [12] escribió el Tratado sobre la demostración de problemas de álgebra que contiene la solución sistemática de ecuaciones cúbicas o de tercer orden , yendo más allá del Álgebra de al-Khwārizmī. [13] Khayyám obtuvo las soluciones de estas ecuaciones al encontrar los puntos de intersección de dos secciones cónicas . Este método había sido utilizado por los griegos, [14] pero no generalizaron el método para cubrir todas las ecuaciones con raíces positivas . [13]
Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (en Tus, Irán – 1213/4) desarrolló un nuevo enfoque para la investigación de ecuaciones cúbicas, un enfoque que implicaba encontrar el punto en el que un polinomio cúbico obtiene su valor máximo. Por ejemplo, para resolver la ecuación , con a y b positivos, observaría que el punto máximo de la curva se encuentra en , y que la ecuación no tendría soluciones, una solución o dos soluciones, dependiendo de si la altura de la curva en ese punto era menor, igual o mayor que a . Sus obras sobrevivientes no dan ninguna indicación de cómo descubrió sus fórmulas para los máximos de estas curvas. Se han propuesto varias conjeturas para explicar su descubrimiento. [15]
Los primeros rastros implícitos de inducción matemática se pueden encontrar en la prueba de Euclides de que el número de primos es infinito (c. 300 a. C.). La primera formulación explícita del principio de inducción la dio Pascal en su Traité du triangle arithmétique (1665).
Entretanto, la prueba implícita por inducción para secuencias aritméticas fue introducida por al-Karaji (c. 1000) y continuada por al-Samaw'al , quien la utilizó para casos especiales del teorema binomial y propiedades del triángulo de Pascal .
Los griegos habían descubierto los números irracionales , pero no estaban contentos con ellos y solo pudieron lidiar con ellos estableciendo una distinción entre magnitud y número . En la visión griega, las magnitudes variaban continuamente y podían usarse para entidades como segmentos de línea, mientras que los números eran discretos. Por lo tanto, los irracionales solo podían manejarse geométricamente; y de hecho, las matemáticas griegas eran principalmente geométricas. Los matemáticos islámicos, incluidos Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam e Ibn Tahir al-Baghdadi, eliminaron lentamente la distinción entre magnitud y número, permitiendo que las cantidades irracionales aparecieran como coeficientes en ecuaciones y fueran soluciones de ecuaciones algebraicas. [16] [17] Trabajaron libremente con los irracionales como objetos matemáticos, pero no examinaron de cerca su naturaleza. [18]
En el siglo XII, las traducciones latinas de la Aritmética de Al-Khwarizmi sobre los numerales indios introdujeron el sistema de numeración posicional decimal en el mundo occidental . [19] Su Libro compendioso sobre cálculo por compleción y balanceo presentó la primera solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas . En la Europa del Renacimiento , se le consideró el inventor original del álgebra, aunque ahora se sabe que su trabajo se basa en fuentes indias o griegas más antiguas. [20] [21] Revisó la Geografía de Ptolomeo y escribió sobre astronomía y astrología. Sin embargo, CA Nallino sugiere que el trabajo original de al-Khwarizmi no se basó en Ptolomeo sino en un mapa del mundo derivado, [22] presumiblemente en siríaco o árabe .
La ley esférica de los senos fue descubierta en el siglo X: se ha atribuido a Abu-Mahmud Khojandi , Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur , con Abu al-Wafa' Buzjani como colaborador. [16] El libro de los arcos desconocidos de una esfera de Ibn Muʿādh al-Jayyānī en el siglo XI introdujo la ley general de los senos. [23] La ley plana de los senos fue descrita en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī . En su obra Sobre la figura sectorial , enunció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos y proporcionó pruebas para esta ley. [24]
En el siglo IX, los matemáticos islámicos estaban familiarizados con los números negativos a partir de las obras de los matemáticos indios, pero el reconocimiento y uso de los números negativos durante este período siguió siendo tímido. [25] Al-Khwarizmi no utilizó números negativos ni coeficientes negativos. [25] Pero cincuenta años después, Abu Kamil ilustró las reglas de los signos para expandir la multiplicación . [26] Al-Karaji escribió en su libro al-Fakhrī que "las cantidades negativas deben contarse como términos". [25] En el siglo X, Abū al-Wafā' al-Būzjānī consideró las deudas como números negativos en Un libro sobre lo necesario de la ciencia de la aritmética para escribas y hombres de negocios . [26]
En el siglo XII, los sucesores de Al-Karaji enunciaron las reglas generales de los signos y las usaron para resolver divisiones polinómicas . [25] Como escribe Al-Samaw'al :
el producto de un número negativo —al-nāqiṣ— por un número positivo —al-zāʾid— es negativo, y por un número negativo es positivo. Si restamos un número negativo de un número negativo superior, el resto es su diferencia negativa. La diferencia sigue siendo positiva si restamos un número negativo de un número negativo inferior. Si restamos un número negativo de un número positivo, el resto es su suma positiva. Si restamos un número positivo de una potencia vacía ( martaba khāliyya ), el resto es el mismo negativo, y si restamos un número negativo de una potencia vacía, el resto es el mismo número positivo. [25]
Entre los siglos IX y X, el matemático egipcio Abu Kamil escribió un tratado hoy perdido sobre el uso de la doble posición falsa, conocido como el Libro de los Dos Errores ( Kitāb al-khaṭāʾayn ). El escrito más antiguo que se conserva sobre la doble posición falsa de Oriente Medio es el de Qusta ibn Luqa (siglo X), un matemático árabe de Baalbek , Líbano . Justificó la técnica mediante una prueba geométrica formal de estilo euclidiano . Dentro de la tradición de las matemáticas musulmanas de la Edad de Oro, la doble posición falsa se conocía como hisāb al-khaṭāʾayn ("cálculo por dos errores"). Se utilizó durante siglos para resolver problemas prácticos como cuestiones comerciales y jurídicas (particiones de bienes según las reglas de herencia coránica ), así como problemas puramente recreativos. El algoritmo se memorizaba a menudo con ayuda de mnemotecnia , como un verso atribuido a Ibn al-Yasamin y diagramas de balanza explicados por al-Hassar e Ibn al-Banna , ambos matemáticos de origen marroquí . [27]
La influencia de las matemáticas árabe-islámicas medievales en el resto del mundo es amplia y profunda, tanto en el ámbito de la ciencia como en el de las matemáticas. El conocimiento de los árabes llegó al mundo occidental a través de España y Sicilia durante el movimiento de traducción. «Los moros (mahometanos occidentales de esa parte del norte de África una vez conocida como Mauritania) cruzaron a España a principios del siglo VII, trayendo consigo los recursos culturales del mundo árabe». [28] En el siglo XIII, el rey Alfonso X de Castilla estableció la Escuela de Traductores de Toledo , en el Reino de Castilla , donde los eruditos tradujeron numerosas obras científicas y filosóficas del árabe al latín . Las traducciones incluyeron contribuciones islámicas a la trigonometría , que ayuda a los matemáticos y astrónomos europeos en sus estudios. Eruditos europeos como Gerardo de Cremona (1114-1187) desempeñaron un papel clave en la traducción y difusión de estas obras, haciéndolas así accesibles a un público más amplio. Se dice que Cremona tradujo al latín «no menos de 90 textos árabes completos». [28] Los matemáticos europeos, basándose en las bases establecidas por los eruditos islámicos, desarrollaron aún más la trigonometría práctica para aplicaciones en la navegación, la cartografía y la navegación astronómica, impulsando así la era de los descubrimientos y la revolución científica. Las aplicaciones prácticas de la trigonometría para la navegación y la astronomía adquirieron cada vez mayor importancia durante la Era de la Exploración.
Al-Battānī es uno de los matemáticos islámicos que hicieron grandes contribuciones al desarrollo de la trigonometría. "Innovó nuevas funciones trigonométricas, creó una tabla de cotangentes y formuló algunas fórmulas de trigonometría esférica". [29] Estos descubrimientos, junto con sus trabajos astronómicos, que son elogiados por su precisión, hicieron avanzar enormemente los cálculos y los instrumentos astronómicos.
Al-Khayyām (1048-1131) fue un matemático, astrónomo y poeta persa, conocido por su trabajo sobre álgebra y geometría, en particular sus investigaciones sobre las soluciones de ecuaciones cúbicas. Fue "el primero en la historia en elaborar una teoría geométrica de ecuaciones con grados ≤ 3", [30] y tiene una gran influencia en el trabajo de Descartes, un matemático francés que a menudo es considerado como el fundador de la geometría analítica. De hecho, "leer la Géométrie de Descartes es mirar hacia arriba, hacia al-Khayyām y al-Ṭūsī; y hacia abajo, hacia Newton, Leibniz, Cramer, Bézout y los hermanos Bernoulli". [30] Numerosos problemas que aparecen en "La Géométrie" (Geometría) tienen fundamentos que se remontan a al-Khayyām.
Abū Kāmil (árabe: أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع , también conocido como Al-ḥāsib al-miṣrī—lit. "El calculador egipcio") (c. 850 - c. 930), estudió álgebra siguiendo al autor de Álgebra , al-Khwārizmī. Su Libro de álgebra (Kitāb fī al-jabr wa al-muqābala) es "esencialmente un comentario y una elaboración de la obra de al-Khwārizmī; en parte por esa razón y en parte por su propio mérito, el libro gozó de una amplia popularidad en el mundo musulmán". [31] Contiene 69 problemas, más que los 40 que tenía Al-Khwārizmī. [31] El Álgebra de Abū Kāmil juega un papel importante en la conformación de la trayectoria de las matemáticas occidentales, particularmente en su impacto en las obras del matemático italiano Leonardo de Pisa, ampliamente reconocido como Fibonacci. En su Liber Abaci (1202), Fibonacci incorporó ampliamente ideas de matemáticos árabes, utilizando aproximadamente 29 problemas del Libro del Álgebra con escasas modificaciones. [31]
A pesar de los trabajos fundamentales que los matemáticos árabes han hecho sobre el desarrollo del álgebra y la geometría algebraica, los historiadores occidentales del siglo XVIII y principios del XIX todavía consideraban un hecho que la ciencia clásica y las matemáticas eran fenómenos únicos de Occidente. Aunque ocasionalmente se reconocen algunas contribuciones matemáticas de los matemáticos árabes, se considera que están "fuera de la historia o solo integradas en la medida en que contribuyeron a la ciencia, que es esencialmente europea", [32] y solo algunas innovaciones técnicas a la herencia griega en lugar de abrir una rama completamente nueva de las matemáticas. En la obra del filósofo francés Ernest Renan , las matemáticas árabes son simplemente "un reflejo de Grecia , combinado con influencias persas e indias". Y según Duhem , "la ciencia árabe solo reprodujo las enseñanzas recibidas de la ciencia griega". Además de ser consideradas como meras adiciones o reflexiones insignificantes a la gran tradición de la ciencia clásica griega, las obras matemáticas de los matemáticos árabes también son culpadas de falta de rigor y demasiado centradas en aplicaciones prácticas y cálculos, y es por eso que los historiadores occidentales argumentaron que nunca podrían alcanzar el nivel de los matemáticos griegos. [32] Como escribió Tannery , las matemáticas árabes "de ninguna manera superaron el nivel alcanzado por Diofanto". Por otro lado, percibieron que los matemáticos occidentales tomaron un camino muy diferente tanto en su método empleado como en su propósito final, "el sello distintivo de la ciencia occidental en sus orígenes griegos, así como en su renacimiento moderno, es su conformidad con estándares rigurosos". [32] Por lo tanto, la prueba no rigurosa percibida en el libro de los matemáticos árabes autoriza a Bourbaki a excluir el período árabe cuando volvió a trazar la evolución del álgebra. [32] En cambio, la historia del álgebra clásica se escribe como obra del Renacimiento y el origen de la geometría algebraica se remonta a Descartes, mientras que las contribuciones de los matemáticos árabes se ignoran deliberadamente. En palabras de Rashed: "Para justificar la exclusión de la ciencia escrita en árabe de la historia de la ciencia, se invoca su ausencia de rigor, su apariencia calculadora y sus fines prácticos. Además, estrictamente dependientes de la ciencia griega y, por último, incapaces de introducir normas experimentales, los científicos de esa época fueron relegados al papel de guardianes conscientes del museo helenístico". [32]
En Alemania y Francia del siglo XVIII , la visión orientalista predominante era que "Oriente y Occidente se oponen entre sí no como positividades geográficas sino históricas", [32] lo que etiquetaba al " Racionalismo " como la esencia de Occidente, mientras que el movimiento "Llamado de Oriente " surgido en el siglo XIX se interpretó como "contra el Racionalismo" [32] y un retorno a un estilo de vida más "espiritual y armonioso". Por lo tanto, el orientalismo predominante en ese período fue una de las principales razones por las que los matemáticos árabes a menudo fueron ignorados por sus contribuciones, ya que se consideraba que las personas fuera de Occidente carecían de la racionalidad y el espíritu científico necesarios para hacer contribuciones significativas a las matemáticas y la ciencia.
El mundo árabe-islámico medieval desempeñó un papel crucial en la conformación de la trayectoria de las matemáticas, con las innovaciones algebraicas de al-Khwārizmī sirviendo como piedra angular. La difusión de las matemáticas árabes a Occidente durante la Edad de Oro islámica , facilitada por los intercambios culturales y las traducciones, dejó un impacto duradero en el pensamiento matemático occidental. Matemáticos como Al-Battānī , Al-Khayyām y Abū Kāmil , con sus contribuciones a la trigonometría , el álgebra y la geometría , extendieron su influencia más allá de su tiempo. A pesar de las contribuciones fundacionales de los matemáticos árabes, los historiadores occidentales de los siglos XVIII y principios del XIX, influenciados por las opiniones orientalistas , a veces marginaron estos logros. La falta de racionalidad y espíritu científico en Oriente perpetuó una perspectiva sesgada, lo que dificultó el reconocimiento del importante papel desempeñado por las matemáticas árabes en el desarrollo del álgebra y otras disciplinas matemáticas. Para reevaluar la historia de las matemáticas es necesario reconocer la interconexión de las diversas tradiciones matemáticas y disipar la idea de una herencia matemática exclusivamente europea. Las contribuciones de los matemáticos árabes, marcadas por aplicaciones prácticas e innovaciones teóricas, forman parte integral del rico tapiz de la historia matemática y merecen reconocimiento.
{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft págs. 62-160.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )