Serie Lambert

Término matemático

Función , representada como un gráfico de Matplotlib , utilizando una versión del método de coloración de dominio ^[1] ${\textstyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

En matemáticas , una serie de Lambert , llamada así por Johann Heinrich Lambert , es una serie que toma la forma

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.}$

Se puede resumir formalmente desarrollando el denominador:

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}$

donde los coeficientes de la nueva serie están dados por la convolución de Dirichlet de a _n con la función constante 1( n ) = 1:

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,}$

Esta serie se puede invertir mediante la fórmula de inversión de Möbius y es un ejemplo de una transformada de Möbius .

Ejemplos

Dado que esta última suma es una suma típica de la teoría de números, casi cualquier función multiplicativa natural será exactamente sumable cuando se utilice en una serie de Lambert. Así, por ejemplo, se tiene

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}$

donde es el número de divisores positivos del número  n . ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$

Para las funciones de suma de divisores de orden superior , se tiene

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}$

¿Dónde está cualquier número complejo y ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}$

es la función divisora. En particular, para , la serie de Lambert se obtiene es ${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}}$

que es (hasta el factor de ) la derivada logarítmica de la función generadora habitual para números de partición ${\displaystyle q}$

${\displaystyle F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.}$

Las series de Lambert adicionales relacionadas con la identidad anterior incluyen aquellas para las variantes de la función de Möbius que se indican a continuación. ${\displaystyle \mu (n)}$

^[2]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.}$

Las series de Lambert relacionadas con la función de Möbius incluyen las siguientes identidades para cualquier primo : ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)q^{n}}{1+q^{n}}}=q-2q^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{1-q^{n}}}=-\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}}.}$ ^{[ cita requerida ]}

La prueba de la primera identidad anterior se deriva de una identidad de múltiples secciones (o bisecciones) de estas funciones generadoras de series de Lambert en la siguiente forma, donde denotamos como la función generadora de series de Lambert de la función aritmética f : ${\displaystyle L_{f}(q):=q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1+q^{n}}}&=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}-\sum _{n\geq 1}{\frac {2f(n)q^{2n}}{1-q^{2n}}}\\&=L_{f}(q)-2\cdot L_{f}(q^{2}).\end{aligned}}}$

Para la función totiente de Euler : ${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

Para la función de Von Mangoldt : ${\displaystyle \Lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(n)q^{n}}$

Para la función de Liouville : ${\displaystyle \lambda (n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}}$

con la suma a la derecha similar a la función theta de Ramanujan o la función theta de Jacobi . Nótese que las series de Lambert en las que a _n son funciones trigonométricas , por ejemplo, a _n = sen(2 n x ), pueden evaluarse mediante varias combinaciones de las derivadas logarítmicas de las funciones theta de Jacobi . ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ 

En términos generales, podemos extender la expansión de la función generadora anterior haciendo que denote la función característica de las potencias, , para números naturales positivos y definiendo la función lambda de m -Liouville generalizada como la función aritmética que satisface . Esta definición de implica claramente que , lo que a su vez muestra que ${\displaystyle \chi _{m}(n)}$ ${\displaystyle m^{th}}$ ${\displaystyle n=k^{m}\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle m>2}$ ${\displaystyle \chi _{m}(n):=(1\ast \lambda _{m})(n)}$ ${\displaystyle \lambda _{m}(n)}$ ${\displaystyle \lambda _{m}(n)=\sum _{d^{m}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{m}}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{m}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n\geq 1}q^{n^{m}},\ {\text{ for }}m\geq 2.}$

También tenemos una expansión de la serie de Lambert ligeramente más generalizada que genera la función de suma de cuadrados en la forma de ^[3] ${\displaystyle r_{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4\cdot (-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }r_{2}(m)q^{m}.}$

En general, si escribimos la serie de Lambert sobre la cual se generan las funciones aritméticas , los siguientes pares de funciones corresponden a otras convoluciones bien conocidas expresadas por sus funciones generadoras de series de Lambert en las formas de ${\displaystyle f(n)}$ ${\displaystyle g(m)=(f\ast 1)(m)}$

${\displaystyle (f,g)=(\mu ,\varepsilon ),(\varphi ,\operatorname {Id} _{1}),(\lambda ,\chi _{\operatorname {sq} }),(\Lambda ,\log ),(|\mu |,2^{\omega }),(J_{t},\operatorname {Id} _{t}),(d^{3},(d\ast 1)^{2}),}$

donde es la identidad multiplicativa para las convoluciones de Dirichlet , es la función identidad para potencias, denota la función característica de los cuadrados, que cuenta el número de factores primos distintos de (ver función omega prima ), es la función totient de Jordan , y es la función divisor (ver convoluciones de Dirichlet ). ${\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$ ${\displaystyle k^{th}}$ ${\displaystyle \chi _{\operatorname {sq} }}$ ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J_{t}}$ ${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)}$

El uso convencional de la letra q en las sumatorias es un uso histórico, que hace referencia a sus orígenes en la teoría de curvas elípticas y funciones theta, como el nombre .

Forma alternativa

Sustituyendo uno se obtiene otra forma común para la serie, como ${\displaystyle q=e^{-z}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}}$

dónde

${\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,}$

como antes. Los ejemplos de series de Lambert en esta forma, con , aparecen en expresiones para la función zeta de Riemann para valores enteros impares; consulte Constantes zeta para obtener más detalles. ${\displaystyle z=2\pi }$

Uso actual

En la literatura encontramos series de Lambert aplicadas a una amplia variedad de sumas. Por ejemplo, dado que es una función polilogarítmica , podemos referirnos a cualquier suma de la forma ${\displaystyle q^{n}/(1-q^{n})=\mathrm {Li} _{0}(q^{n})}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\mathrm {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\mathrm {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}}$

como una serie de Lambert, suponiendo que los parámetros están adecuadamente restringidos.

${\displaystyle 12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\mathrm {Li} _{-3}(q^{n}),}$

que se cumple para todos los complejos q que no están en el círculo unitario, se consideraría una identidad de la serie de Lambert. Esta identidad se desprende de manera directa de algunas identidades publicadas por el matemático indio S. Ramanujan . Se puede encontrar una exploración muy completa de las obras de Ramanujan en las obras de Bruce Berndt .

Teoremas de factorización

Una construcción algo más nueva publicada recientemente entre 2017 y 2018 se relaciona con los denominados teoremas de factorización de series de Lambert de la forma ^[4]

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1\pm q^{n}}}={\frac {1}{(\mp q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left((s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k))a_{k}\right)q^{n},}$

donde es la suma o diferencia respectiva de las funciones de partición restringidas que denotan el número de en todas las particiones de en un número par (respectivamente, impar ) de partes distintas. Sea la secuencia triangular inferior invertible cuyos primeros valores se muestran en la tabla siguiente. ${\displaystyle s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k)=[q^{n}](\mp q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1\pm q^{k}}}}$ ${\displaystyle s_{e/o}(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{n,k}:=s_{e}(n,k)-s_{o}(n,k)=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}}$

Otra forma característica de las expansiones del teorema de factorización de series de Lambert está dada por ^[5]

${\displaystyle L_{f}(q):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(s_{n,k}f(k)\right)q^{n},}$

donde es el símbolo q-Pochhammer (infinito) . Los productos matriciales invertibles del lado derecho de la ecuación anterior corresponden a productos matriciales inversos cuyas entradas triangulares inferiores se dan en términos de la función de partición y la función de Möbius por las sumas de los divisores. ${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$

${\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}=\sum _{d|n}p(d-k)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}$

La siguiente tabla enumera las primeras filas de estas matrices inversas correspondientes. ^[6]

Sea , denotamos la sucesión de números pentagonales intercalados , es decir, de modo que el teorema del número pentagonal se desarrolla en la forma de ${\displaystyle G_{j}:={\frac {1}{2}}\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil \left\lceil {\frac {3j+1}{2}}\right\rceil }$

${\displaystyle (q;q)_{\infty }=\sum _{n\geq 0}(-1)^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }q^{G_{n}}.}$

Entonces, para cualquier serie de Lambert que genere la secuencia de , tenemos la relación de inversión correspondiente del teorema de factorización desarrollado anteriormente dada por ^[7] ${\displaystyle L_{f}(q)}$ ${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{d|n}p(d-k)\mu (n/d)\times \sum _{j:k-G_{j}>0}(-1)^{\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil }b(k-G_{j}).}$

Este trabajo sobre los teoremas de factorización de series de Lambert se extiende en ^[8] a expansiones más generales de la forma

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{C(q)}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}(\gamma ){\widetilde {a}}_{k}(\gamma )\right)q^{n},}$

donde es cualquier función generadora recíproca (relacionada con la partición), es cualquier función aritmética , y donde los coeficientes modificados se expanden por ${\displaystyle C(q)}$ ${\displaystyle \gamma (n)}$

${\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{d|k}\sum _{r|{\frac {k}{d}}}a_{d}\gamma (r).}$

Las matrices inversas correspondientes en la expansión anterior satisfacen

${\displaystyle s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )=\sum _{d|n}[q^{d-k}]{\frac {1}{C(q)}}\gamma \left({\frac {n}{d}}\right),}$

de modo que, como en la primera variante del teorema de factorización de Lambert anterior, obtenemos una relación de inversión para los coeficientes del lado derecho de la forma

${\displaystyle {\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )\times [q^{k}]\left(\sum _{d=1}^{k}{\frac {a_{d}q^{d}}{1-q^{d}}}C(q)\right).}$

Relaciones de recurrencia

En esta sección definimos las siguientes funciones para números naturales : ${\displaystyle n,x\geq 1}$

${\displaystyle g_{f}(n):=(f\ast 1)(n),}$

${\displaystyle \Sigma _{f}(x):=\sum _{1\leq n\leq x}g_{f}(n).}$

También adoptamos la notación de la sección anterior que

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}},}$

donde es el símbolo infinito q-Pochhammer . Entonces tenemos las siguientes relaciones de recurrencia para involucrar estas funciones y los números pentagonales demostrados en: ^[7] ${\displaystyle (q;q)_{\infty }}$

${\displaystyle g_{f}(n+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24n+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}g_{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k),}$

${\displaystyle \Sigma _{f}(x+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24x+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}\Sigma _{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{n=0}^{x}\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k).}$

Derivados

Las derivadas de una serie de Lambert se pueden obtener mediante la diferenciación de la serie término por término con respecto a . Tenemos las siguientes identidades para las derivadas término por término de una serie de Lambert para cualquier ^{[9] [10]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle s^{th}}$ ${\displaystyle s\geq 1}$

${\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\frac {(-1)^{s-k}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}}$

${\displaystyle q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{r=0}^{s}\left[\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {s-k}{r}}{\frac {(-1)^{s-k-r}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right]q^{(r+1)i},}$

donde los coeficientes triangulares entre corchetes en las ecuaciones anteriores denotan los números de Stirling de primera y segunda especie . También tenemos la siguiente identidad para extraer los coeficientes individuales de los términos implícitos en las expansiones anteriores dadas en la forma de

${\displaystyle [q^{n}]\left(\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{mi}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right)=\sum _{\begin{matrix}d|n\\t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor \end{matrix}}{\binom {{\frac {n}{d}}-m+k}{k}}a_{d}.}$

Ahora bien, si definimos las funciones para cualquier por ${\displaystyle A_{t}(n)}$ ${\displaystyle n,t\geq 1}$

${\displaystyle A_{t}(n):=\sum _{\begin{matrix}0\leq k\leq m\leq t\\0\leq r\leq t\end{matrix}}\sum _{d|n}\left[{\begin{matrix}t\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {t-k}{r}}{\binom {{\frac {n}{d}}-1-r+k}{k}}(-1)^{t-k-r}k!d^{m}\cdot a_{d}\cdot \left[t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{r+1}}\right\rfloor \right]_{\delta },}$

donde denota la convención de Iverson , entonces tenemos los coeficientes para las derivadas de una serie de Lambert dados por ${\displaystyle [\cdot ]_{\delta }}$ ${\displaystyle t^{th}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{t}(n)&=[q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)\\&=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(A_{t}\ast \mu )(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).\end{aligned}}}$

Por supuesto, mediante un argumento típico puramente por operaciones sobre series de potencias formales también tenemos que

${\displaystyle [q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq 1}{\frac {f(i)q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)={\frac {n!}{(n-t)!}}\cdot (f\ast 1)(n).}$

Véase también

• Constante de Erdös-Borwein
• Función aritmética
• Convolución de Dirichlet

Referencias

1. "Visor de cuadernos Jupyter".
2. Consulte la publicación del foro aquí (o el artículo arXiv :1112.4911) y la sección de conclusiones de arXiv :1712.00611 de Merca y Schmidt (2018) para el uso de estas dos series de Lambert menos estándar para la función de Moebius en aplicaciones prácticas.
3. Weisstein, Eric W. "Serie Lambert". MathWorld . Consultado el 22 de abril de 2018 .
4. Merca, Mircea (13 de enero de 2017). "El teorema de factorización de series de Lambert". The Ramanujan Journal . 44 (2): 417–435. doi :10.1007/s11139-016-9856-3. S2CID  125286799.
5. Merca, M. y Schmidt, MD (2019). "Generación de funciones aritméticas especiales mediante factorizaciones de series de Lambert". Contribuciones a las matemáticas discretas . 14 (1): 31–45. arXiv : 1706.00393 . Bibcode :2017arXiv170600393M. doi : 10.11575/cdm.v14i1.62425 .
6. "A133732". Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Consultado el 22 de abril de 2018 .
7. Schmidt, Maxie D. (8 de diciembre de 2017). "Nuevas relaciones de recurrencia y ecuaciones matriciales para funciones aritméticas generadas por series de Lambert". Acta Arithmetica . 181 (4): 355–367. arXiv : 1701.06257 . Código Bibliográfico :2017arXiv170106257S. doi :10.4064/aa170217-4-8. S2CID  119130467.
8. M. Merca y Schmidt, MD (2017). "Nuevos pares de factores para factorizaciones de funciones generadoras de series de Lambert". arXiv : 1706.02359 [math.CO].
9. Schmidt, Maxie D. (2017). "Sumas combinatorias e identidades que involucran funciones divisoras generalizadas con divisores acotados". arXiv : 1704.05595 [math.NT].
10. Schmidt, Maxie D. (2017). "Teoremas de factorización para productos de Hadamard y derivadas de orden superior de funciones generadoras de series de Lambert". arXiv : 1712.00608 [math.NT].

• Berry, Michael V. (2010). Funciones de la teoría de números. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. pp. 637–641. ISBN 978-0-521-19225-5.
• Lambert, Preston A. (1904). "Expansiones de funciones algebraicas en puntos singulares". Proc. Am. Philos. Soc . 43 (176): 164–172. JSTOR  983503.
• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• "Serie Lambert", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Serie Lambert". MathWorld .
• Schmidt, Maxie Dion (6 de abril de 2020). "Un catálogo de identidades de series de Lambert interesantes y útiles". arXiv : 2004.02976 [math.NT].