Convolución de Dirichlet

Operación matemática sobre funciones aritméticas

En matemáticas , la convolución de Dirichlet (o convolución del divisor ) es una operación binaria definida para funciones aritméticas ; es importante en la teoría de números . Fue desarrollada por Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Definición

Si son dos funciones aritméticas desde los números enteros positivos hasta los números complejos , la convolución de Dirichlet f ∗ g es una nueva función aritmética definida por: ${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle (f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b)}$

donde la suma se extiende sobre todos los divisores positivos d de  n , o equivalentemente sobre todos los pares distintos ( a , b ) de números enteros positivos cuyo producto es n .

Este producto se produce de forma natural en el estudio de las series de Dirichlet, como la función zeta de Riemann . Describe la multiplicación de dos series de Dirichlet en términos de sus coeficientes:

${\displaystyle \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).}$

Propiedades

El conjunto de funciones aritméticas forma un anillo conmutativo , elAnillo de Dirichlet , bajoadición puntual, donde f + g se define por( f + g )( n ) = f ( n ) + g ( n ), y convolución de Dirichlet. La identidad multiplicativa es lafunción unitaria εdefinida por ε ( n ) = 1si n = 1y ε ( n ) = 0si n > 1. Lasunidades(elementos invertibles) de este anillo son las funciones aritméticasfcon f (1) ≠ 0.

Específicamente, ^[1] la convolución de Dirichlet es asociativa ,

${\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h),}$

distributivo sobre adición

${\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h}$,

conmutativo ,

${\displaystyle f*g=g*f}$,

y tiene un elemento de identidad,

${\displaystyle f*\varepsilon }$= . ${\displaystyle \varepsilon *f=f}$

Además, para cada uno que tenga , existe una función aritmética con , llamada ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)\neq 0}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f*f^{-1}=\varepsilon }$Inversa de Dirichlet de. ${\displaystyle f}$

La convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es nuevamente multiplicativa, y toda función multiplicativa que no sea constantemente cero tiene una inversa de Dirichlet que también es multiplicativa. En otras palabras, las funciones multiplicativas forman un subgrupo del grupo de elementos invertibles del anillo de Dirichlet. Sin embargo, tenga en cuenta que la suma de dos funciones multiplicativas no es multiplicativa (ya que ), por lo que el subconjunto de funciones multiplicativas no es un subanillo del anillo de Dirichlet. El artículo sobre funciones multiplicativas enumera varias relaciones de convolución entre funciones multiplicativas importantes. ${\displaystyle (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1}$

Otra operación sobre funciones aritméticas es la multiplicación puntual: fg se define por ( fg )( n ) = f ( n ) g ( n ) . Dada una función completamente multiplicativa , la multiplicación puntual por se distribuye sobre la convolución de Dirichlet: . ^[2] La convolución de dos funciones completamente multiplicativas es multiplicativa, pero no necesariamente completamente multiplicativa. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (f*g)h=(fh)*(gh)}$

Propiedades y ejemplos

En estas fórmulas utilizamos las siguientes funciones aritméticas :

• ${\displaystyle \varepsilon }$es la identidad multiplicativa: , en caso contrario 0 ( ). ${\displaystyle \varepsilon (1)=1}$ ${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor }$
• ${\displaystyle 1}$es la función constante con valor 1: para todo . Tenga en cuenta que no es la identidad. (Algunos autores lo denotan como porque la serie de Dirichlet asociada es la función zeta de Riemann .) ${\displaystyle 1(n)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \zeta }$
• ${\displaystyle 1_{C}}$for es una función indicadora de conjunto : si y solo si , en caso contrario 0. ${\displaystyle C\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle 1_{C}(n)=1}$ ${\displaystyle n\in C}$
• ${\displaystyle {\text{Id}}}$es la función identidad con valor n : . ${\displaystyle {\text{Id}}(n)=n}$
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}}$es la función potencia k : . ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}}$

Se cumplen las siguientes relaciones:

• ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$, la inversa de Dirichlet de la función constante es la función de Möbius (ver prueba ). Por lo tanto: ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle g=f*1}$ Si y sólo si , la fórmula de inversión de Möbius ${\displaystyle f=g*\mu }$
• ${\displaystyle \sigma _{k}={\text{Id}}_{k}*1}$, la función suma de la k-ésima potencia de los divisores σ _k
• ${\displaystyle \sigma ={\text{Id}}*1}$, la función suma de divisores σ = σ ₁
• ${\displaystyle \tau =1*1}$, la función de número de divisores τ ( n ) = σ ₀
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu }$, por inversión de Möbius de las fórmulas para σ _k , σ y τ
• ${\displaystyle {\text{Id}}=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle 1=\tau *\mu }$
• ${\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}$, demostrado bajo la función totiente de Euler
• ${\displaystyle \phi ={\text{Id}}*\mu }$, por inversión de Möbius
• ${\displaystyle \sigma =\phi *\tau }$  , a partir de la convolución de 1 en ambos lados de ${\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}$
• ${\displaystyle \lambda *|\mu |=\varepsilon }$  donde λ es la función de Liouville
• ${\displaystyle \lambda *1=1_{\text{Sq}}}$ donde Sq = {1, 4, 9, ...} es el conjunto de cuadrados
• ${\displaystyle {\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon }$
• ${\displaystyle \tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}}$
• ${\displaystyle J_{k}*1={\text{Id}}_{k}}$Función totiente de Jordan
• ${\displaystyle ({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}}$
• ${\displaystyle \Lambda *1=\log }$, donde está la función de von Mangoldt ${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle |\mu |\ast 1=2^{\omega },}$¿Dónde está la función omega prima que cuenta los factores primos distintos de n? ${\displaystyle \omega (n)}$
• ${\displaystyle \Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}}$, la función característica de las potencias primarias.
• ${\displaystyle \omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }}$donde es la función característica de los primos. ${\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}}$

Esta última identidad muestra que la función de conteo de primos está dada por la función sumatoria

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{n\leq x}(\omega \ast \mu )(n)=\sum _{d=1}^{x}\omega (d)M\left(\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor \right)}$

donde es la función de Mertens y es la función de conteo de factores primos distinta de la anterior. Esta expansión se deduce de la identidad para las sumas sobre convoluciones de Dirichlet que se proporciona en la página de identidades de suma de divisores (un truco estándar para estas sumas). ^[3] ${\displaystyle M(x)}$ ${\displaystyle \omega }$

Inversa de Dirichlet

Ejemplos

Dada una función aritmética, su inversa de Dirichlet puede calcularse recursivamente: el valor de es en términos de para . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{-1}}$ ${\displaystyle g(n)}$ ${\displaystyle g(m)}$ ${\displaystyle m<n}$

Para : ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle (f*g)(1)=f(1)g(1)=\varepsilon (1)=1}$, entonces

${\displaystyle g(1)=1/f(1)}$. Esto implica que no tiene una inversa de Dirichlet si . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1)=0}$

Para : ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle (f*g)(2)=f(1)g(2)+f(2)g(1)=\varepsilon (2)=0}$,

${\displaystyle g(2)=-(f(2)g(1))/f(1)}$,

Para : ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle (f*g)(3)=f(1)g(3)+f(3)g(1)=\varepsilon (3)=0}$,

${\displaystyle g(3)=-(f(3)g(1))/f(1)}$,

Para : ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle (f*g)(4)=f(1)g(4)+f(2)g(2)+f(4)g(1)=\varepsilon (4)=0}$,

${\displaystyle g(4)=-(f(4)g(1)+f(2)g(2))/f(1)}$,

y en general para , ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle g(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}$

Propiedades

Se cumplen las siguientes propiedades de la inversa de Dirichlet: ^[4]

• La función f tiene una inversa de Dirichlet si y sólo si f (1) ≠ 0 .
• La inversa de Dirichlet de una función multiplicativa es nuevamente multiplicativa.
• La inversa de Dirichlet de una convolución de Dirichlet es la convolución de las inversas de cada función: . ${\displaystyle (f\ast g)^{-1}=f^{-1}\ast g^{-1}}$
• Una función multiplicativa f es completamente multiplicativa si y sólo si . ${\displaystyle f^{-1}(n)=\mu (n)f(n)}$
• Si f es completamente multiplicativa , entonces siempre que y donde denotan multiplicación puntual de funciones. ${\displaystyle (f\cdot g)^{-1}=f\cdot g^{-1}}$ ${\displaystyle g(1)\neq 0}$ ${\displaystyle \cdot }$

Otras fórmulas

En Identidades de suma de divisores se proporciona una fórmula exacta y no recursiva para la inversa de Dirichlet de cualquier función aritmética f . Una expresión más teórica de partición para la inversa de Dirichlet de f se proporciona mediante

${\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{\Omega (n)}\left\{\sum _{{\lambda _{1}+2\lambda _{2}+\cdots +k\lambda _{k}=n} \atop {\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}|n}}{\frac {(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})!}{1!2!\cdots k!}}(-1)^{k}f(\lambda _{1})f(\lambda _{2})^{2}\cdots f(\lambda _{k})^{k}\right\}.}$

La siguiente fórmula proporciona una forma compacta de expresar la inversa de Dirichlet de una función aritmética invertible f  :

${\displaystyle f^{-1}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(f(1)\varepsilon -f)^{*k}}{f(1)^{k+1}}}}$

donde la expresión representa la función aritmética convolucionada consigo misma k veces. Nótese que, para un entero positivo fijo , si entonces , esto es porque y cada forma de expresar n como un producto de k enteros positivos debe incluir un 1, por lo que la serie en el lado derecho converge para cada entero positivo fijo n. ${\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}}$ ${\displaystyle f(1)\varepsilon -f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k>\Omega (n)}$ ${\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}(n)=0}$ ${\displaystyle f(1)\varepsilon (1)-f(1)=0}$

Serie de Dirichlet

Si f es una función aritmética, la función generadora de la serie de Dirichlet se define por

${\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

Para aquellos argumentos complejos s para los cuales la serie converge (si los hay). La multiplicación de series de Dirichlet es compatible con la convolución de Dirichlet en el siguiente sentido:

${\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}$

para todos los s para los cuales ambas series del lado izquierdo convergen, una de ellas al menos converge absolutamente (nótese que la simple convergencia de ambas series del lado izquierdo no implica convergencia del lado derecho). Esto es similar al teorema de convolución si uno piensa en la serie de Dirichlet como una transformada de Fourier .

Conceptos relacionados

La restricción de los divisores en la convolución a divisores unitarios , bi-unitarios o infinitarios define operaciones conmutativas similares que comparten muchas características con la convolución de Dirichlet (existencia de una inversión de Möbius, persistencia de la multiplicidad, definiciones de tocientes, fórmulas de producto de tipo Euler sobre primos asociados, etc.).

La convolución de Dirichlet es un caso especial de la multiplicación por convolución para el álgebra de incidencia de un conjunto ordenado , en este caso el conjunto ordenado de números enteros positivos ordenados por divisibilidad.

El método de hipérbola de Dirichlet calcula la suma de una convolución en términos de sus funciones y sus funciones de suma.

Véase también

• Función aritmética
• Identidades de suma de divisores
• Fórmula de inversión de Möbius

Referencias

1. Las pruebas están en Chan, cap. 2
2. Una prueba se encuentra en el artículo Función completamente multiplicativa#Prueba de la propiedad distributiva .
3. Schmidt, Maxie. Introducción de Apostol a la teoría analítica de números .Esta identidad es algo un poco especial que yo llamo "crotones". Se desprende de varios capítulos de ejercicios del libro clásico de Apostol.
4. Véase nuevamente el capítulo 2 del Apóstol y los ejercicios al final del capítulo.
5. Véase Apostol Capítulo 2.

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Chan, Heng Huat (2009). Teoría analítica de números para estudiantes de grado . Monografías sobre teoría de números. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4271-36-3.
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Cambridge Tracts in Advanced Mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 38. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Cohen, Eckford (1959). "Una clase de sistemas de residuos (mod r) y funciones aritméticas relacionadas. I. Una generalización de la inversión de Möbius". Pacific J. Math . Vol. 9, núm. 1. págs. 13–23. MR  0109806.
• Cohen, Eckford (1960). "Funciones aritméticas asociadas a los divisores unitarios de un número entero". Mathematische Zeitschrift . 74 : 66–80. doi :10.1007/BF01180473. SEÑOR  0112861.
• Cohen, Eckford (1960). "El número de divisores unitarios de un entero". American Mathematical Monthly . Vol. 67, núm. 9. págs. 879–880. MR  0122790.
• Cohen, Graeme L. (1990). "Sobre los divisores infinitarios de números enteros". Math. Comp . 54 (189): 395–411. doi : 10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5 . MR  0993927.
• Cohen, Graeme L. (1993). "Funciones aritméticas asociadas con divisores infinitarios de un entero". Int. J. Math. Sci . 16 (2): 373–383. doi : 10.1155/S0161171293000456 .
• Haukkanen, Pentti (2000). "Expresiones para la inversa de Dirichlet de funciones aritméticas". Notas sobre teoría de números y matemáticas discretas . 6 (4): 118–124.
• Sandor, Jozsef; Berge, Antal (2003). "La función de Möbius: generalizaciones y extensiones". Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang) . 6 (2): 77–128. MR  1962765.
• Finch, Steven (2004). "Unitarismo e infinitarismo" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de febrero de 2015.

Enlaces externos

• "Convolución de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]