Intuitivamente, una cubierta proyecta localmente una "pila de panqueques" sobre un vecindario abierto hacia
En topología , una proyección de cobertura o cobertura es un mapa entre espacios topológicos que, intuitivamente, actúa localmente como una proyección de múltiples copias de un espacio sobre sí mismo. En particular, las coberturas son tipos especiales de homeomorfismos locales . Si es una cobertura, se dice que es una cobertura espacio o cubierta de , y se dice que es la base de la cobertura , o simplemente la base . Por abuso de terminología , ya veces se le puede llamar cubrir espacios también. Dado que las coberturas son homeomorfismos locales, un espacio de cobertura es un tipo especial de espacio étale .
Los espacios de cobertura surgieron por primera vez en el contexto del análisis complejo (específicamente, la técnica de continuación analítica ), donde fueron introducidos por Riemann como dominios en los que funciones complejas naturalmente multivaluadas se vuelven univaluadas. Estos espacios ahora se denominan superficies de Riemann . [1] : 10
Cubrir espacios es una herramienta importante en varias áreas de las matemáticas. En la geometría moderna , los espacios de cobertura (o coberturas ramificadas , que tienen condiciones ligeramente más débiles) se utilizan en la construcción de variedades , orbifolds y los morfismos entre ellos. En topología algebraica , los espacios de cobertura están estrechamente relacionados con el grupo fundamental : por un lado, dado que todos los recubrimientos tienen la propiedad de elevación de homotopía , los espacios de cobertura son una herramienta importante en el cálculo de grupos de homotopía . Un ejemplo estándar en este sentido es el cálculo del grupo fundamental del círculo mediante la cobertura de by (ver más abajo). [2] : 29 Bajo ciertas condiciones, los espacios de cobertura también exhiben una correspondencia de Galois con los subgrupos del grupo fundamental.
Definición
Sea un espacio topológico. Una cobertura de es un mapa continuo.
tal que para cada existe una vecindad abierta de y un espacio discreto tal que y es un homeomorfismo para cada . Los conjuntos abiertos se denominan láminas , y se determinan unívocamente hasta el homeomorfismo si son conexos . [2] : 56 Para cada uno el conjunto discreto se llama fibra de . Si es conexo, se puede demostrar que es sobreyectivo , y la cardinalidad de es la misma para todos ; este valor se llama grado de cobertura. Si está conectado a un camino , entonces la cubierta se llama cubierta conectada a un camino . Esta definición es equivalente a la afirmación de que es un paquete de fibra localmente trivial .
Algunos autores también exigen que sea sobreyectivo en el caso de que no esté conexo. [3]
Ejemplos
Para cada espacio topológico , el mapa de identidad es una cobertura. Asimismo, para cualquier espacio discreto la toma de proyección es una cubierta. Las coberturas de este tipo se denominan coberturas triviales ; Si tiene un número finito de (digamos ) elementos, la cubierta se llama cubierta trivial de hojas .
El espacio es un espacio de cobertura de . Los conjuntos abiertos disjuntos se asignan homeomórficamente a . La fibra de consta de los puntos .
El mapa es una cobertura del círculo unitario . La base de la cubierta es y el espacio de la cubierta es . Para cualquier punto tal que , el conjunto es una vecindad abierta de . La preimagen de debajo es
y las láminas de la cubierta son para la fibra de es
Otra cobertura del círculo unitario es el mapa con para algunos. Para una vecindad abierta de an , se tiene:
.
Un mapa que es un homeomorfismo local pero no una cobertura del círculo unitario es con . Hay una hoja de una vecindad abierta de , que no está asignada homeomórficamente a .
Propiedades
Homeomorfismo local
Dado que una cobertura asigna homeomorfismo a cada uno de los conjuntos abiertos disjuntos de , es un homeomorfismo local, es decir, es un mapa continuo y para cada existe una vecindad abierta de , tal que es un homeomorfismo.
De ello se deduce que el espacio de cobertura y el espacio de base comparten localmente las mismas propiedades.
Si es una variedad conectada y no orientable , entonces hay una cobertura de grado , por lo que es una variedad conectada y orientable. [2] : 234
Si es un gráfico , entonces se deduce que para una cobertura también es un gráfico. [2] : 85
Si es un colector conectado , entonces hay una cubierta , por lo que hay un colector conectado y simplemente conectado . [5] : 32
Si es una superficie de Riemann conexa , entonces hay una cobertura que también es un mapa holomorfo [5] : 22 y es una superficie de Riemann conexa y simplemente conexa. [5] : 32
Factorización
Sean y espacios conectados por caminos, espacios conectados localmente por caminos, y y sean mapas continuos, de modo que el diagrama
viaja.
Si y son coberturas, también lo es .
Si y son coberturas, también lo es . [6] : 485
Producto de revestimientos
Sean y espacios topológicos y y coberturas, entonces con es una cobertura. [6] : 339 Sin embargo, no todas las coberturas son de esta forma en general.
Equivalencia de revestimientos
Sea un espacio topológico y y sean coberturas. Ambas coberturas se llaman equivalentes , si existe un homeomorfismo , tal que el diagrama
viaja. Si tal homeomorfismo existe, entonces se llama a los espacios de cobertura isomórficos .
Sea el intervalo unitario y sea una cobertura. Sea un mapa continuo y sea un ascensor de , es decir, un mapa continuo tal que . Entonces hay un mapa continuo determinado de forma única para cuál y cuál es un levantamiento de , es decir . [2] : 60
Si es un espacio conectado por caminos, entonces se deduce que el mapa es un levantamiento de un camino en y es un levantamiento de una homotopía de caminos en .
Como consecuencia, se puede demostrar que el grupo fundamental del círculo unitario es un grupo cíclico infinito , que es generado por las clases de homotopía del bucle con . [2] : 29
Sea un espacio conectado por un camino y una cubierta conectada. Sean dos puntos cualesquiera, que están conectados por un camino , es decir, y . Sea el ascensor único de , luego el mapa.
Sea un mapa holomorfo no constante entre superficies compactas de Riemann. Para cada existen gráficos para y y existe un determinado de forma única , de modo que la expresión local de in tiene la forma . [5] : 10 El número se llama índice de ramificación de in y el punto se llama punto de ramificación si . Si es para an , entonces no está ramificado . El punto imagen de un punto de ramificación se llama punto de ramificación.
Grado de un mapa holomorfo
Sea un mapa holomorfo no constante entre superficies compactas de Riemann. El grado de es la cardinalidad de la fibra de un punto no ramificado , es decir .
Este número está bien definido, ya que para cada fibra es discreta [5] : 20 y para dos puntos cualesquiera no ramificados , es:
Se puede calcular mediante:
[5] : 29
Cobertura ramificada
Definición
Un mapa continuo se llama cobertura ramificada , si existe un conjunto cerrado con complemento denso , tal que es una cobertura.
Ejemplos
Sea y , entonces con es una cobertura ramificada de grado , donde by es un punto de ramificación.
Cada mapa holomórfico no constante entre superficies compactas de grado de Riemann es una cobertura ramificada de grado .
Revestimiento universal
Definición
Sea una cubierta simplemente conectada . Si hay otra cobertura simplemente conexa, entonces existe un homeomorfismo determinado de manera única , tal que el diagrama
viaja. [6] : 482
Esto significa que , hasta la equivalencia, está unívocamente determinado y por esa propiedad universal se denota como cobertura universal del espacio .
Existencia
No siempre existe una cobertura universal, pero las siguientes propiedades garantizan su existencia:
La topología de se construye de la siguiente manera: Sea un camino con . Sea una vecindad simplemente conectada del punto final , entonces, para cada uno, los caminos dentro de a están determinados de forma única hasta la homotopía . Consideremos ahora que with es una biyección y puede equiparse con la topología final de .
El grupo fundamental actúa libremente sobre y con es un homeomorfismo, es decir .
Ejemplos
El pendiente hawaiano. Sólo se muestran los diez círculos más grandes.
con es la cobertura universal del círculo unitario .
Un espacio topológico que no tiene una cobertura universal es el pendiente hawaiano :
Se puede demostrar que ninguna vecindad del origen está simplemente conexa. [6] : 487, Ejemplo 1
Revestimientos G
Sea G un grupo discreto que actúa sobre el espacio topológico X. Esto significa que cada elemento g de G está asociado a un homeomorfismo H g de X sobre sí mismo, de tal manera que H g h es siempre igual a H g ∘ H h para dos elementos cualesquiera g y h de G . (O en otras palabras, una acción grupal del grupo G en el espacio X es simplemente un homomorfismo grupal del grupo G en el grupo Homeo( X ) de autohomeomorfismos de X .) Es natural preguntarse bajo qué condiciones La proyección desde X al espacio orbital X / G es un mapa de cobertura. Esto no siempre es cierto ya que la acción puede tener puntos fijos. Un ejemplo de esto es el grupo cíclico de orden 2 que actúa sobre un producto X × X por la acción de torsión donde el elemento sin identidad actúa por ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Por tanto, el estudio de la relación entre los grupos fundamentales de X y X / G no es tan sencillo.
Sin embargo, el grupo G actúa sobre el grupoide fundamental de X , por lo que el estudio se maneja mejor considerando los grupos que actúan sobre los grupoides y los grupoides de órbita correspondientes . La teoría para esto se establece en el Capítulo 11 del libro Topología y grupoides al que se hace referencia a continuación. El resultado principal es que para acciones discontinuas de un grupo G sobre un espacio de Hausdorff X que admite una cobertura universal, entonces el grupoide fundamental del espacio orbital X / G es isomorfo al grupoide orbital del grupoide fundamental de X , es decir, el cociente de ese grupoide por la acción del grupo G . Esto lleva a cálculos explícitos, por ejemplo del grupo fundamental del cuadrado simétrico de un espacio.
Transformación de cubierta
Definición
Sea una cubierta. Una transformación de mazo es un homeomorfismo , tal que el diagrama de mapas continuos
viaja. Junto con la composición de los mapas, el conjunto de transformación del mazo forma un grupo , que es lo mismo que .
Now suppose is a covering map and (and therefore also ) is connected and locally path connected. The action of on each fiber is transitive. If this action is free on some fiber, then it is free on all fibers, and we call the cover regular (or normal or Galois). Every such regular cover is a principal -bundle, where is considered as a discrete topological group.
Every universal cover is regular, with deck transformation group being isomorphic to the fundamental group.
Examples
Let be the covering for some , then the map is a deck transformation and .
Let be the covering , then the map with is a deck transformation and .
As another important example, consider the complex plane and the complex plane minus the origin. Then the map with is a regular cover. The deck transformations are multiplications with -th roots of unity and the deck transformation group is therefore isomorphic to the cyclic group. Likewise, the map with is the universal cover.
Properties
Let be a path-connected space and be a connected covering. Since a deck transformation is bijective, it permutes the elements of a fiber with and is uniquely determined by where it sends a single point. In particular, only the identity map fixes a point in the fiber.[2]: 70 Because of this property every deck transformation defines a group action on , i.e. let be an open neighborhood of a and an open neighborhood of an , then is a group action.
Normal coverings
Definition
A covering is called normal, if . This means, that for every and any two there exists a deck transformation , such that .
Properties
Let be a path-connected space and be a connected covering. Let be a subgroup of , then is a normal covering iff is a normal subgroup of .
If is a normal covering and , then .
If is a path-connected covering and , then , whereby is the normaliser of .[2]: 71
Sea un espacio topológico. Un grupo actúa discontinuamente , si cada uno tiene una vecindad abierta con , de modo que para cada uno uno tiene .
Si un grupo actúa discontinuamente en un espacio topológico , entonces el mapa cociente con es una cobertura normal. [2] : 72 Por la presente es el espacio cociente y es la órbita de la acción grupal.
Ejemplos
La cubierta es una cubierta normal para todos .
Cada cubierta simplemente conectada es una cubierta normal.
Cálculo
Sea un grupo que actúa discontinuamente sobre un espacio topológico y sea la cobertura normal.
Si está conectado por ruta, entonces . [2] : 72
Si es simplemente conexo, entonces . [2] : 71
Ejemplos
Dejar . El mapa antípoda genera , junto con la composición de mapas, un grupo e induce una acción grupal , que actúa de forma discontinua sobre . De ello se deduce que el mapa de cocientes es una cobertura normal y para una cobertura universal, por lo tanto, para .
Sea el grupo ortogonal especial , entonces el mapa es una cobertura normal y debido a , es la cobertura universal, por lo tanto .
Sea el toro que está incrustado en el . Entonces se obtiene un homeomorfismo , que induce una acción grupal discontinua , mediante la cual . De ello se deduce que el mapa es una cubierta normal de la botella klein, por lo tanto .
Quede incrustado en el . Dado que la acción del grupo es discontinua, por lo que son coprimos , el mapa es la cobertura universal del espacio de la lente , por lo tanto .
Sean y dos coberturas conectadas por caminos, entonces son equivalentes si son subgrupos y están conjugados entre sí. [6] : 482
Sea un espacio conexo y localmente simplemente conexo, entonces, hasta equivalencia entre revestimientos, existe una biyección:
Para una secuencia de subgrupos se obtiene una secuencia de coberturas . Para un subgrupo con índice , la cobertura tiene grado .
Clasificación
Definiciones
Categoría de revestimientos
Sea un espacio topológico. Los objetos de la categoría son las coberturas y los morfismos entre dos coberturas y son mapas continuos , de modo que el diagrama
viaja.
Conjunto G
Sea un grupo topológico . La categoría es la categoría de conjuntos que son conjuntos G. Los morfismos son mapas G entre conjuntos G. Satisfacen la condición para cada .
Equivalencia
Sea un espacio conexo y localmente simplemente conexo, y sea el grupo fundamental de . Dado que define, mediante elevación de caminos y evaluando en el punto final de la elevación, una acción grupal sobre la fibra de una cubierta, el functor es una equivalencia de categorías . [2] : 68–70
Aplicaciones
El bloqueo del cardán se produce porque cualquier mapa T 3 → RP 3 no es un mapa de cobertura. En particular, el mapa relevante lleva cualquier elemento de T 3 , es decir, un triple ordenado (a,b,c) de ángulos (números reales mod 2 π ), a la composición de los tres ejes de coordenadas de rotación R x (a) ∘R y (b)∘R z (c) por esos ángulos, respectivamente. Cada una de estas rotaciones, y su composición, es un elemento del grupo de rotación SO(3), que topológicamente es RP 3 . Esta animación muestra un conjunto de tres cardanes montados juntos para permitir tres grados de libertad. Cuando los tres cardanes están alineados (en el mismo plano), el sistema solo puede moverse en dos dimensiones desde esta configuración, no en tres, y está bloqueado con el cardán . En este caso puede cabecear o guiñar, pero no rodar (girar en el plano en el que se encuentran todos los ejes).
Sin embargo, a menudo es deseable representar las rotaciones mediante un conjunto de tres números, conocidos como ángulos de Euler (en numerosas variantes), porque esto es conceptualmente más simple para alguien familiarizado con la rotación plana y porque se puede construir una combinación de tres cardanes para producir rotaciones en tres dimensiones. Topológicamente esto corresponde a un mapa desde el 3-toro T 3 de tres ángulos hasta el espacio proyectivo real RP 3 de rotaciones, y el mapa resultante tiene imperfecciones debido a que este mapa no puede ser un mapa de cobertura. Específicamente, el hecho de que el mapa no sea un homeomorfismo local en ciertos puntos se conoce como bloqueo de cardán y se demuestra en la animación de la derecha: en algunos puntos (cuando los ejes son coplanares) el rango del mapa es 2, en lugar de 3, lo que significa que solo se pueden realizar 2 dimensiones de rotaciones desde ese punto cambiando los ángulos. Esto causa problemas en las aplicaciones y se formaliza mediante la noción de espacio de cobertura.
Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-79160-X. OCLC 45420394.
Forster, Otto (1981). Conferencias sobre superficies de Riemann . Nueva York. ISBN 0-387-90617-7. OCLC 7596520.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
Munkres, James R. (2018). Topología . Nueva York, NY. ISBN 978-0-13-468951-7. OCLC 964502066.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
Kühnel, Wolfgang (2011). Matrizen und Lie-Gruppen Eine geometrische Einführung (en alemán). Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag. doi :10.1007/978-3-8348-9905-7. ISBN 978-3-8348-9905-7. OCLC 706962685.
Referencias
^ Forster, Otto (1981). "Capítulo 1: Cubrir espacios". Conferencias sobre superficies de Riemann . GTM. Traducido por Bruce Gillian. Nueva York: Springer. ISBN9781461259633.
^ abcdefghijklmnop Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. ISBN0-521-79160-X.
^ Rowland, Todd. "Mapa de cobertura". De MathWorld: un recurso web de Wolfram, creado por Eric W. Weisstein. https://mathworld.wolfram.com/CoveringMap.html
^ Kühnel, Wolfgang (6 de diciembre de 2010). Matrizen und Lie-Gruppen . Stuttgart: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. ISBN978-3-8348-9905-7.
^ abcdefgForster , Otto (1991). Conferencias sobre superficies de Riemann . Múnich: Springer Berlín. ISBN978-3-540-90617-9.
^ abcde Munkres, James (2000). Topología . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall, Inc. ISBN978-0-13-468951-7.
^ Aguilar, Marcelo Alberto; Socolovsky, Miguel (23 de noviembre de 1999). "El grupo de cobertura universal de U (n) y representaciones proyectivas". Revista Internacional de Física Teórica . 39 (4). Springer EE. UU. (publicado en abril de 2000): 997–1013. arXiv : math-ph/9911028 . Código Bib : 1999math.ph..11028A. doi :10.1023/A:1003694206391. S2CID 18686364.