En geometría , los círculos de Malfatti son tres círculos dentro de un triángulo dado , de modo que cada círculo es tangente a los otros dos y a dos lados del triángulo. Reciben su nombre en honor a Gian Francesco Malfatti , quien realizó estudios tempranos sobre el problema de construir estos círculos con la creencia errónea de que tendrían el área total más grande posible de tres círculos disjuntos dentro del triángulo.
El problema de Malfatti se ha utilizado para referirse tanto al problema de construir los círculos de Malfatti como al problema de encontrar tres círculos que maximicen el área dentro de un triángulo. Steiner (1826) propuso una construcción sencilla de los círculos de Malfatti y muchos matemáticos han estudiado el problema desde entonces. El propio Malfatti proporcionó una fórmula para los radios de los tres círculos, que también pueden utilizarse para definir dos centros de triángulos , los puntos Ajima-Malfatti de un triángulo.
El problema de maximizar el área total de tres círculos en un triángulo nunca se resuelve con los círculos de Malfatti. En cambio, la solución óptima siempre se puede encontrar mediante un algoritmo voraz que encuentra el círculo más grande dentro del triángulo dado, el círculo más grande dentro de los tres subconjuntos conectados del triángulo fuera del primer círculo y el círculo más grande dentro de los cinco subconjuntos conectados del triángulo fuera de los dos primeros círculos. Aunque este procedimiento se formuló por primera vez en 1930, su exactitud no se demostró hasta 1994.
El problema de Malfatti
Problema sin resolver en matemáticas :
¿El algoritmo codicioso siempre encuentra empaquetamientos que maximizan el área de más de tres círculos en cualquier triángulo?
En un triángulo equilátero, el área de los círculos de Malfatti (izquierda) es aproximadamente 1% más pequeña que la de los tres círculos que maximizan el área (derecha).
Gian Francesco Malfatti (1803) planteó el problema de cortar tres columnas cilíndricas a partir de un prisma triangular de mármol, maximizando el volumen total de las columnas. Supuso que la solución a este problema estaba dada por tres círculos tangentes dentro de la sección transversal triangular de la cuña. Es decir, de manera más abstracta, conjeturó que los tres círculos de Malfatti tienen el área total máxima de tres círculos disjuntos cualesquiera dentro de un triángulo dado. [1]
El trabajo de Malfatti fue popularizado para un público más amplio en francés por Joseph Diaz Gergonne en el primer volumen de sus Annales (1811), con una discusión más amplia en el segundo y décimo. Sin embargo, Gergonne solo planteó el problema de la tangencia del círculo, no el de la maximización del área.
En un triángulo isósceles con un vértice agudo, los círculos de Malfatti (arriba) ocupan aproximadamente la mitad del área de tres círculos apilados con un algoritmo codicioso (abajo).
La suposición de Malfatti de que los dos problemas son equivalentes es incorrecta. Lob y Richmond (1930), que volvieron al texto original en italiano, observaron que para algunos triángulos se puede lograr un área mayor mediante un algoritmo voraz que inscribe un único círculo de radio máximo dentro del triángulo, inscribe un segundo círculo dentro de uno de los tres vértices restantes del triángulo, el que tiene el ángulo más pequeño, e inscribe un tercer círculo dentro del más grande de los cinco trozos restantes. La diferencia en el área para un triángulo equilátero es pequeña, apenas por encima del 1%, [2] pero como señaló Howard Eves (1946), para un triángulo isósceles con un vértice muy agudo, los círculos óptimos (apilados uno sobre el otro sobre la base del triángulo) tienen casi el doble del área de los círculos de Malfatti. [3]
De hecho, los círculos de Malfatti nunca son óptimos. Se descubrió mediante cálculos numéricos en la década de 1960, y luego se demostró rigurosamente, que el procedimiento de Lob-Richmond siempre produce los tres círculos con el área más grande, y que estos siempre son más grandes que los círculos de Malfatti. [4] Melissen (1997) conjeturó de manera más general que, para cualquier entero n , el algoritmo voraz encuentra el conjunto de n círculos que maximiza el área dentro de un triángulo dado; se sabe que la conjetura es verdadera para n ≤ 3 . [5]
Historia
El problema de construir tres círculos tangentes entre sí dentro de un triángulo fue planteado por el matemático japonés del siglo XVIII Ajima Naonobu antes del trabajo de Malfatti, e incluido en una colección inédita de las obras de Ajima realizada un año después de la muerte de Ajima por su estudiante Kusaka Makoto. [5] [6] Incluso antes, el mismo problema fue considerado en un manuscrito de 1384 de Gilio di Cecco da Montepulciano, ahora en la Biblioteca Municipal de Siena , Italia . [7] Jacob Bernoulli (1744) estudió un caso especial del problema, para un triángulo isósceles específico .
Desde el trabajo de Malfatti, ha habido una cantidad significativa de trabajo sobre métodos para construir los tres círculos tangentes de Malfatti; Richard K. Guy escribe que la literatura sobre el problema es "extensa, ampliamente dispersa y no siempre consciente de sí misma". [8] Cabe destacar que Jakob Steiner (1826) presentó una construcción geométrica simple basada en bitangentes ; otros autores han afirmado desde entonces que la presentación de Steiner carecía de una prueba, que luego fue proporcionada por Andrew Hart (1856), pero Guy señala la prueba dispersa en dos de los propios artículos de Steiner de esa época. Las soluciones basadas en formulaciones algebraicas del problema incluyen las de CL Lehmus (1819), EC Catalan (1846), C. Adams (1846, 1849), J. Derousseau (1895) y Andreas Pampuch (1904). Las soluciones algebraicas no distinguen entre tangencias internas y externas entre los círculos y el triángulo dado; Si el problema se generaliza para permitir tangencias de cualquier tipo, entonces un triángulo dado tendrá 32 soluciones diferentes y, a la inversa, un triple de círculos mutuamente tangentes será una solución para ocho triángulos diferentes. [8] Bottema (2001) atribuye la enumeración de estas soluciones a Pampuch (1904), pero Cajori (1893) señala que este recuento del número de soluciones ya se dio en una observación de Steiner (1826). El problema y sus generalizaciones fueron el tema de muchas otras publicaciones matemáticas del siglo XIX, [9] y su historia y matemáticas han sido objeto de estudio continuo desde entonces. [10]
También ha sido un tema frecuente en libros de geometría. [11]
Gatto (2000) y Mazzotti (1998) relatan un episodio de las matemáticas napolitanas del siglo XIX relacionado con los círculos de Malfatti. En 1839, Vincenzo Flauti , un geómetra sintético , planteó un desafío que implicaba la solución de tres problemas de geometría, uno de los cuales era la construcción de los círculos de Malfatti; su intención al hacerlo era demostrar la superioridad de las técnicas sintéticas sobre las analíticas. A pesar de que Fortunato Padula, un estudiante de una escuela rival de geometría analítica , dio una solución, Flauti le otorgó el premio a su propio estudiante, Nicola Trudi, cuyas soluciones Flauti conocía cuando planteó su desafío. Más recientemente, el problema de la construcción de los círculos de Malfatti se ha utilizado como un problema de prueba para sistemas de álgebra computacional . [12]
Aunque gran parte del trabajo inicial sobre los círculos de Malfatti utilizó geometría analítica , Steiner (1826) proporcionó la siguiente construcción sintética simple.
Un círculo que es tangente a dos lados de un triángulo, como los círculos de Malfatti, debe estar centrado en una de las bisectrices del triángulo (verde en la figura). Estas bisectrices dividen el triángulo en tres triángulos más pequeños, y la construcción de Steiner de los círculos de Malfatti comienza dibujando un triplete diferente de círculos (mostrados en línea discontinua en la figura) inscrito dentro de cada uno de estos tres triángulos más pequeños. En general, estos círculos son disjuntos, por lo que cada par de dos círculos tiene cuatro bitangentes (líneas que se tocan a ambos). Dos de estas bitangentes pasan entre sus círculos: una es una bisectriz de ángulo y la segunda se muestra como una línea discontinua roja en la figura. Etiqueta los tres lados del triángulo dado como a , b y c , y etiqueta las tres bitangentes que no son bisectrices de ángulos como x , y y z , donde x es la bitangente de los dos círculos que no tocan el lado a , y es la bitangente de los dos círculos que no tocan el lado b , y z es la bitangente de los dos círculos que no tocan el lado c . Entonces los tres círculos de Malfatti son los círculos inscritos a los tres cuadriláteros tangenciales abyx , aczx y bczy . [13] En caso de simetría, dos de los círculos discontinuos pueden tocarse en un punto de una bisectriz, haciendo que dos bitangentes coincidan allí, pero aún así estableciendo los cuadriláteros relevantes para los círculos de Malfatti.
Las tres bitangentes x , y y z cruzan los lados del triángulo en el punto de tangencia con el tercer círculo inscrito, y también pueden encontrarse como las reflexiones de las bisectrices de los ángulos a través de las líneas que conectan pares de centros de estos incírculos. [8]
Fórmula del radio
El radio de cada uno de los tres círculos de Malfatti se puede determinar como una fórmula que involucra las longitudes de los tres lados a , b y c del triángulo, el radio interno r , el semiperímetro y las tres distancias d , e y f desde el incentro del triángulo hasta los vértices opuestos a los lados a , b y c respectivamente. Las fórmulas para los tres radios son: [14]
Se pueden utilizar fórmulas relacionadas para encontrar ejemplos de triángulos cuyas longitudes de lados, radios de incisión y radios de Malfatti sean todos números racionales o todos enteros. Por ejemplo, el triángulo con longitudes de lados 28392, 21000 y 25872 tiene radios de incisión 6930 y radios de Malfatti 3969, 4900 y 4356. Como otro ejemplo, el triángulo con longitudes de lados 152460, 165000 y 190740 tiene radios de incisión 47520 y radios de Malfatti 27225, 30976 y 32400. [15]
Puntos de Ajima-Malfatti
Primer punto Ajima–Malfatti
Dado un triángulo ABC y sus tres círculos de Malfatti, sean D , E y F los puntos en los que dos de los círculos se tocan entre sí, vértices opuestos A , B y C respectivamente. Entonces las tres líneas AD , BE y CF se encuentran en un único centro triangular conocido como el primer punto de Ajima-Malfatti después de las contribuciones de Ajima y Malfatti al problema del círculo. El segundo punto de Ajima-Malfatti es el punto de encuentro de tres líneas que conectan las tangencias de los círculos de Malfatti con los centros de los excírculos del triángulo. [16] [17] Otros centros de triángulos también asociados con los círculos de Malfatti incluyen el punto Yff–Malfatti, formado de la misma manera que el primer punto de Malfatti a partir de tres círculos mutuamente tangentes que son todos tangentes a las líneas que pasan por los lados del triángulo dado, pero que se encuentran parcialmente fuera del triángulo, [18] y el centro radical de los tres círculos de Malfatti (el punto donde se encuentran las tres bitangentes utilizadas en su construcción). [19]
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^ Hitotumatu (1995); Takeshima y Anai (1996).
^ Martin (1998), ejercicio 5.20, pág. 96.
↑ Según Stevanović (2003), estas fórmulas fueron descubiertas por Malfatti y publicadas póstumamente por él en 1811. Sin embargo, la publicación de 1811, "Résolues", Annales de Mathématiques Pures et Appliquées , 1 : 347–348, 1811, es una carta sin firmar (probablemente del editor de la revista Joseph Diez Gergonne ) que da esta fórmula como equivalente a los resultados de Malfatti (1803).
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Enlaces externos
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