Cuadrilátero tangencial

Polígono cuyos cuatro lados tocan un círculo.

Un cuadrilátero tangencial con su circunferencia.

En geometría euclidiana , un cuadrilátero tangencial (a veces simplemente cuadrilátero tangente ) o cuadrilátero circunscrito es un cuadrilátero convexo cuyos lados pueden ser todos tangentes a un solo círculo dentro del cuadrilátero. Esta circunferencia se llama circunferencia del cuadrilátero o su circunferencia inscrita, su centro es el incentro y su radio se llama inradio . Dado que estos cuadriláteros se pueden dibujar rodeando o circunscribiendo sus círculos, también se les ha llamado cuadriláteros circunscribibles , cuadriláteros circunscriptibles y cuadriláteros circunscriptibles . ^[1] Los cuadriláteros tangenciales son un caso especial de polígonos tangenciales .

Otros nombres utilizados con menos frecuencia para esta clase de cuadriláteros son cuadrilátero inscribible , cuadrilátero inscribible , cuadrilátero inscribible , cuadrilátero circuncíclico y cuadrilátero cocíclico . ^{[1] [2]} Debido al riesgo de confusión con un cuadrilátero que tiene un círculo circunstante, que se denomina cuadrilátero cíclico o cuadrilátero inscrito, es preferible no utilizar ninguno de los últimos cinco nombres. ^[1]

Todos los triángulos pueden tener un círculo, pero no todos los cuadriláteros. Un ejemplo de cuadrilátero que no puede ser tangencial es un rectángulo no cuadrado . La sección de caracterizaciones a continuación establece qué condiciones necesarias y suficientes debe satisfacer un cuadrilátero para poder tener un círculo.

Casos especiales

Ejemplos de cuadriláteros tangenciales son los cometas , que incluyen los rombos , que a su vez incluyen los cuadrados . Las cometas son exactamente los cuadriláteros tangenciales que también son ortodiagonales . ^[3] Una cometa derecha es una cometa con un círculo circunstante . Si un cuadrilátero es tangencial y cíclico , se llama cuadrilátero bicéntrico , y si es tangencial y trapezoide , se llama trapezoide tangencial .

Caracterizaciones

En un cuadrilátero tangencial, las cuatro bisectrices de los ángulos se encuentran en el centro de la circunferencia. Por el contrario, un cuadrilátero convexo en el que las cuatro bisectrices se encuentran en un punto debe ser tangencial y el punto común es el incentro. ^[4]

Según el teorema de Pitot , los dos pares de lados opuestos en un cuadrilátero tangencial suman la misma longitud total, que es igual al semiperímetro s del cuadrilátero:

${\displaystyle a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.}$

Por el contrario, un cuadrilátero convexo en el que a + c = b + d debe ser tangencial. ^{[1] : pág.65  [4]}

Si los lados opuestos en un cuadrilátero convexo ABCD (que no es un trapezoide ) se cruzan en E y F , entonces es tangencial si y solo si cualquiera de ^[4]

${\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF}$

o

${\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC:}$

Otra condición necesaria y suficiente es que un cuadrilátero convexo ABCD sea tangencial si y sólo si las circunferencias incisas de los dos triángulos ABC y ADC son tangentes entre sí. ^{[1] : pág.66}

A Iosifescu se le debe una caracterización respecto a los ángulos que forman la diagonal BD y los cuatro lados de un cuadrilátero ABCD . Demostró en 1954 que un cuadrilátero convexo tiene un círculo incírculo si y sólo si ^[5]

${\displaystyle \tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.}$

Un cuadrilátero tangencial (en azul) con su círculo (línea discontinua) y los cuatro círculos externamente tangentes (en rojo), cada uno tangente a un lado determinado y las extensiones de los lados adyacentes.

Además, un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a , b , c , d es tangencial si y sólo si

${\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}$

donde R _a , R _b , R _c , Rd _d son los radios en los círculos externamente tangentes a los lados a , b , c , d respectivamente y las extensiones de los dos lados adyacentes para cada lado. ^{[6] : pág.72}

Se conocen varias caracterizaciones más en los cuatro subtriángulos formados por las diagonales.

Puntos de contacto y longitudes tangentes.

Un cuadrilátero tagencial (en azul) y su cuadrilátero de contacto (en verde) que unen los cuatro puntos de contacto entre el círculo y los lados. También se muestran las cuerdas de tangencia que unen puntos de contacto opuestos (en rojo) y las longitudes tangentes en los lados.

La circunferencia es tangente a cada lado en un punto de contacto . Estos cuatro puntos definen un nuevo cuadrilátero dentro del cuadrilátero inicial: el cuadrilátero de contacto, que es cíclico al estar inscrito en la circunferencia del cuadrilátero inicial.

Las ocho longitudes tangentes ( e , f , g , h en la figura de la derecha) de un cuadrilátero tangencial son los segmentos de línea desde un vértice hasta los puntos de contacto. De cada vértice hay dos longitudes tangentes congruentes .

Las dos cuerdas de tangencia ( k y l en la figura) de un cuadrilátero tangencial son los segmentos de línea que conectan puntos de contacto en lados opuestos. Estas son también las diagonales del cuadrilátero de contacto.

Área

Fórmulas no trigonométricas

El área K de un cuadrilátero tangencial está dada por

${\displaystyle \displaystyle K=r\cdot s,}$

donde s es el semiperímetro y r es el radio interior . Otra fórmula es ^[7]

${\displaystyle \displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}}$

que da el área en términos de las diagonales p , q y los lados a , b , c , d del cuadrilátero tangencial.

El área también se puede expresar en términos de las cuatro longitudes tangentes. Si estos son e , f , g , h , entonces el cuadrilátero tangencial tiene el área ^[3]

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}$

Además, el área de un cuadrilátero tangencial se puede expresar en términos de los lados a, b, c, d y las longitudes tangentes sucesivas e, f, g, h como ^{[3] : p.128}

${\displaystyle K={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.}$

Dado que, por ejemplo , = fh si y sólo si el cuadrilátero tangencial también es cíclico y, por tanto, bicéntrico, ^[8] esto muestra que el área máxima se produce si y sólo si el cuadrilátero tangencial es bicéntrico. ${\displaystyle {\sqrt {abcd}}}$

Fórmulas trigonométricas

Una fórmula trigonométrica para el área en términos de los lados a , b , c , d y dos ángulos opuestos es ^{[7] [9] [10] [11]}

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

Para longitudes de lados dadas, el área es máxima cuando el cuadrilátero también es cíclico y, por tanto, un cuadrilátero bicéntrico . Entonces como los ángulos opuestos son ángulos suplementarios . Esto se puede demostrar de otra manera usando el cálculo . ^[12] ${\displaystyle K={\sqrt {abcd}}}$

Otra fórmula para el área de un cuadrilátero tangencial ABCD que involucra dos ángulos opuestos es ^{[10] : p.19}

${\displaystyle K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin {\frac {A+C}{2}}}$

donde yo es el incentro.

De hecho, el área se puede expresar en términos de sólo dos lados adyacentes y dos ángulos opuestos como ^[7]

${\displaystyle K=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.}$

Otra fórmula de área más es ^[7]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,}$

donde θ es cualquiera de los ángulos entre las diagonales. Esta fórmula no se puede utilizar cuando el cuadrilátero tangencial es una cometa, ya que entonces θ es 90° y la función tangente no está definida.

Desigualdades

Como se señaló indirectamente anteriormente, el área de un cuadrilátero tangencial con lados a , b , c , d satisface

${\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}}}$

con igualdad si y sólo si es un cuadrilátero bicéntrico .

Según TA Ivanova (en 1976), el semiperímetro s de un cuadrilátero tangencial satisface

${\displaystyle s\geq 4r}$

donde r es el inradio. Hay igualdad si y sólo si el cuadrilátero es un cuadrado . ^[13] Esto significa que para el área K = rs , existe la desigualdad

${\displaystyle K\geq 4r^{2}}$

con igualdad si y sólo si el cuadrilátero tangencial es un cuadrado.

Propiedades de partición

Cuadrilátero tangencial con inradio r

Los cuatro segmentos de línea entre el centro del círculo y los puntos donde es tangente al cuadrilátero dividen el cuadrilátero en cuatro cometas derechas .

Si una línea corta un cuadrilátero tangencial en dos polígonos con áreas iguales y perímetros iguales , entonces esa línea pasa por el incentro . ^[4]

radio

El inradio en un cuadrilátero tangencial con lados consecutivos a , b , c , d viene dado por ^[7]

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {K}{a+c}}={\frac {K}{b+d}}}$

donde K es el área del cuadrilátero y s es su semiperímetro. Para un cuadrilátero tangencial con lados dados, el inradio es máximo cuando el cuadrilátero también es cíclico (y, por tanto, un cuadrilátero bicéntrico ).

En términos de las longitudes tangentes, la circunferencia tiene radio ^{[8] : Lema2  [14]}

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}$

El inradio también se puede expresar en términos de las distancias desde el incentro I a los vértices del cuadrilátero tangencial ABCD . Si u = AI , v = BI , x = CI e y = DI , entonces

${\displaystyle r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}}$

dónde . ^[15] ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)}$

Si los círculos interiores en los triángulos ABC , BCD , CDA , DAB tienen radios respectivamente, entonces el radio interior de un cuadrilátero tangencial ABCD viene dado por ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}}$

${\displaystyle r={\frac {G+{\sqrt {G^{2}-4r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}{2(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}$

dónde . ^[dieciséis] ${\displaystyle G=r_{1}r_{2}r_{3}+r_{2}r_{3}r_{4}+r_{3}r_{4}r_{1}+r_{4}r_{1}r_{2}}$

Fórmulas de ángulos

Si e , f , g y h son las longitudes tangentes desde los vértices A , B , C y D respectivamente a los puntos donde la circunferencia es tangente a los lados de un cuadrilátero tangencial ABCD , entonces los ángulos del cuadrilátero se pueden calcular a partir de ^[3]

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}$

El ángulo entre las cuerdas de tangencia k y l viene dado por ^[3]

${\displaystyle \sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}$

Diagonales

Si e , f , g y h son las longitudes tangentes desde A , B , C y D respectivamente a los puntos donde la circunferencia es tangente a los lados de un cuadrilátero tangencial ABCD , entonces las longitudes de las diagonales p = AC y q = BD son ^{[8] : Lema3}

${\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$

${\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.}$

acordes de tangencia

Si e , f , g y h son las longitudes tangentes de un cuadrilátero tangencial, entonces las longitudes de las cuerdas de tangencia son ^[3]

${\displaystyle \displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}}}$

donde la cuerda de tangencia de longitud k conecta los lados de longitudes a = e + f y c = g + h , y la de longitud l conecta los lados de longitudes b = f + g y d = h + e . La relación al cuadrado de las cuerdas de tangencia satisface ^[3]

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.}$

Los dos acordes de tangencia

• son perpendiculares si y sólo si el cuadrilátero tangencial también tiene una circunferencia circunscrita (es bicéntrica ). ^{[3] : pág.124}
• tienen longitudes iguales si y sólo si el cuadrilátero tangencial es una cometa . ^{[17] : p.166}

La cuerda de tangencia entre los lados AB y CD en un cuadrilátero tangencial ABCD es más larga que la entre los lados BC y DA si y sólo si la bimediana entre los lados AB y CD es más corta que la entre los lados BC y DA . ^{[18] : p.162}

Si el cuadrilátero tangencial ABCD tiene puntos de tangencia W en AB e Y en CD , y si la cuerda de tangencia WY corta a la diagonal BD en M , entonces la relación de longitudes tangentes es igual a la relación de los segmentos de la diagonal BD . ^[19] ${\displaystyle {\tfrac {BW}{DY}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {BM}{DM}}}$

Puntos colineales

Construcción de la recta de Newton (en rojo) de un cuadrilátero tangencial (en azul), mostrando la alineación del incentro I , los puntos medios de las diagonales M ₁ y M ₂ y el medio M ₃ del segmento JK (en verde) que unen la intersección de lados opuestos.

Si M ₁ y M ₂ son los puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente en un cuadrilátero tangencial ABCD con incentro I , y si los pares de lados opuestos se encuentran en J y K siendo M ₃ el punto medio de JK , entonces los puntos M ₃ , M ₁ , I y M ₂ son colineales . ^{[4] : p.42} La recta que los contiene es la recta de Newton del cuadrilátero.

Si las extensiones de los lados opuestos en un cuadrilátero tangencial se cruzan en J y K , y las extensiones de los lados opuestos en su cuadrilátero de contacto se cruzan en L y M , entonces los cuatro puntos J , L , K y M son colineales. ^{[20] : Cor.3}

Un cuadrilátero tangencial está dividido en cuatro triángulos que se encuentran en su incentro I , sus ortocentros (púrpura) y la intersección de las diagonales P (en verde) son todos colineales.

_{Si la circunferencia} es tangente a los lados _AB , BC , CD , DA en T1 , T2 _, T3 _, T4 respectivamente , y si N1 , N2 , N3 _, N4 son los _conjugados isotómicos de _estos puntos con respecto a los lados correspondientes (es decir, AT ₁ = BN ₁ y así sucesivamente), entonces el punto de Nagel del cuadrilátero tangencial se define como la intersección de las rectas N ₁ N ₃ y N ₂ N ₄ . Ambas líneas dividen el perímetro del cuadrilátero en dos partes iguales. Más importante aún, el punto de Nagel N , el "centroide de área" G y el incentro I son colineales en este orden y NG = 2 GI . Esta línea se llama línea de Nagel de un cuadrilátero tangencial. ^[21]

En un cuadrilátero tangencial ABCD con incentro I y donde las diagonales se cortan en P , sean H _X , H _Y , H _Z , H _W los ortocentros de los triángulos AIB , BIC , CID , DIA . Entonces los puntos P , H _X , H _Y , H _Z , H _W son colineales. ^{[10] : pág.28}

Líneas concurrentes y perpendiculares.

Las dos diagonales y las dos cuerdas de tangencia son concurrentes . ^{[11] [10] : p.11} Una forma de ver esto es como un caso límite del teorema de Brianchon , que establece que un hexágono cuyos lados son todos tangentes a una sola sección cónica tiene tres diagonales que se encuentran en un punto. A partir de un cuadrilátero tangencial, se puede formar un hexágono con dos ángulos de 180°, colocando dos nuevos vértices en dos puntos de tangencia opuestos; Los seis lados de este hexágono se encuentran en líneas tangentes al círculo inscrito, por lo que sus diagonales se encuentran en un punto. Pero dos de estas diagonales son iguales a las diagonales del cuadrilátero tangencial, y la tercera diagonal del hexágono es la línea que pasa por dos puntos de tangencia opuestos. Repitiendo este mismo argumento con los otros dos puntos de tangencia se completa la prueba del resultado.

Si las extensiones de lados opuestos en un cuadrilátero tangencial se cortan en J y K , y las diagonales se cortan en P , entonces JK es perpendicular a la extensión de IP donde I es el incentro. ^{[20] : Cor.4}

En el centro

El incentro de un cuadrilátero tangencial se encuentra en su recta de Newton (que conecta los puntos medios de las diagonales). ^{[22] : Thm. 3}

La relación de dos lados opuestos en un cuadrilátero tangencial se puede expresar en términos de las distancias entre el incentro I y los vértices según ^{[10] : p.15}

${\displaystyle {\frac {AB}{CD}}={\frac {IA\cdot IB}{IC\cdot ID}},\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac {IB\cdot IC}{ID\cdot IA}}.}$

El producto de dos lados adyacentes en un cuadrilátero tangencial ABCD con incentro I satisface ^[23]

${\displaystyle AB\cdot BC=IB^{2}+{\frac {IA\cdot IB\cdot IC}{ID}}.}$

Si I es el incentro de un cuadrilátero tangencial ABCD , entonces ^{[10] : p.16}

${\displaystyle IA\cdot IC+IB\cdot ID={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}}.}$

El incentro I en un cuadrilátero tangencial ABCD coincide con el "centroide del vértice" del cuadrilátero si y sólo si ^{[10] : p.22}

${\displaystyle IA\cdot IC=IB\cdot ID.}$

Si M _p y M _q son los puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente en un cuadrilátero tangencial ABCD con incentro I , entonces ^{[10] : p.19  [24]}

${\displaystyle {\frac {IM_{p}}{IM_{q}}}={\frac {IA\cdot IC}{IB\cdot ID}}={\frac {e+g}{f+h}}}$

donde e , f , g y h son las longitudes tangentes en A , B , C y D respectivamente. Combinando la primera igualdad con una propiedad anterior, el "centroide de vértice" del cuadrilátero tangencial coincide con el incentro si y sólo si el incentro es el punto medio del segmento de recta que conecta los puntos medios de las diagonales.

Si un eslabón de cuatro barras se hace en forma de cuadrilátero tangencial, entonces permanecerá tangencial sin importar cómo se flexione el eslabón, siempre que el cuadrilátero permanezca convexo. ^{[25] [26]} (Así, por ejemplo, si un cuadrado se deforma en un rombo, permanece tangencial, aunque a un círculo más pequeño). Si un lado se mantiene en una posición fija, cuando el cuadrilátero se flexiona, el incentro traza un círculo de radio donde a, b, c, d son los lados en secuencia y s es el semiperímetro. ${\displaystyle {\sqrt {abcd}}/s}$

Caracterizaciones en los cuatro subtriángulos

Caracterización de Chao y Simeonov en términos de los radios de círculos dentro de cada uno de los cuatro triángulos.

En los triángulos no superpuestos APB , BPC , CPD , DPA formados por las diagonales en un cuadrilátero convexo ABCD , donde las diagonales se cruzan en P , existen las siguientes caracterizaciones de cuadriláteros tangenciales.

Sean r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ los radios de los círculos incírculos en los cuatro triángulos APB , BPC , CPD y DPA respectivamente. Chao y Simeonov demostraron que el cuadrilátero es tangencial si y sólo si ^[27]

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{4}}}.}$

Esta caracterización ya había sido demostrada cinco años antes por Vaynshtejn. ^{[17] : p.169  [28]} En la solución a su problema, Vasilyev y Senderov dieron una caracterización similar. Si h ₁ , h ₂ , h ₃ y h ₄ denotan las altitudes en los mismos cuatro triángulos (desde la intersección diagonal hasta los lados del cuadrilátero), entonces el cuadrilátero es tangencial si y solo si ^{[5] [28]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}.}$

Otra caracterización similar se refiere a los _{exradios r a, r b, r c y rd} en los _mismos cuatro triángulos ₍ los cuatro _excírculos son cada uno tangente a un lado del cuadrilátero y las extensiones de sus diagonales). Un cuadrilátero es tangencial si y sólo si ^{[1] : p.70}

${\displaystyle {\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{c}}}={\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{d}}}.}$

Si R ₁ , R ₂ , R ₃ y R ₄ denotan los radios en los círculos circunstantes de los triángulos APB , BPC , CPD y DPA respectivamente, entonces el cuadrilátero ABCD es tangencial si y solo si ^{[29] : págs. 23-24}

${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}$

En 1996, Vaynshtejn fue probablemente el primero en demostrar otra hermosa caracterización de los cuadriláteros tangenciales, que luego apareció en varias revistas y sitios web. ^{[1] : págs. 72–73} Afirma que cuando un cuadrilátero convexo se divide en cuatro triángulos no superpuestos por sus dos diagonales, entonces los incentros de los cuatro triángulos son concíclicos si y sólo si el cuadrilátero es tangencial. De hecho, los incentros forman un cuadrilátero cíclico ortodiagonal . ^{[1] : p.74} Un resultado relacionado es que los círculos interiores se pueden intercambiar por los círculos exteriores de los mismos triángulos (tangentes a los lados del cuadrilátero y las extensiones de sus diagonales). Así, un cuadrilátero convexo es tangencial si y sólo si los excentros de estos cuatro excírculos son los vértices de un cuadrilátero cíclico . ^{[1] : pág. 73}

Un cuadrilátero convexo ABCD , con diagonales que se cortan en P , es tangencial si y sólo si los cuatro excentros de los triángulos APB , BPC , CPD y DPA opuestos a los vértices B y D son concíclicos. ^{[1] : pág. 79} Si R _a , R _b , R _c y Rd son _los exradios de los triángulos APB , BPC , CPD y DPA respectivamente opuestos a los vértices B y D , entonces otra condición es que el cuadrilátero sea tangencial si y sólo si ^{[ 1] : pág. 80}

${\displaystyle {\frac {1}{R_{a}}}+{\frac {1}{R_{c}}}={\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{d}}}.}$

Además, un cuadrilátero convexo ABCD con diagonales que se cortan en P es tangencial si y sólo si ^[5]

${\displaystyle {\frac {a}{\triangle (APB)}}+{\frac {c}{\triangle (CPD)}}={\frac {b}{\triangle (BPC)}}+{\frac {d}{\triangle (DPA)}}}$

donde ∆( APB ) es el área del triángulo APB .

Denote los segmentos en los que la intersección diagonal P divide la diagonal AC como AP = p ₁ y PC = p ₂ , y de manera similar P divide la diagonal BD en los segmentos BP = q ₁ y PD = q ₂ . Entonces el cuadrilátero es tangencial si y sólo si cualquiera de las siguientes igualdades es verdadera: ^[30]

${\displaystyle ap_{2}q_{2}+cp_{1}q_{1}=bp_{1}q_{2}+dp_{2}q_{1}}$

o ^{[1] : pág. 74}

${\displaystyle {\frac {(p_{1}+q_{1}-a)(p_{2}+q_{2}-c)}{(p_{1}+q_{1}+a)(p_{2}+q_{2}+c)}}={\frac {(p_{2}+q_{1}-b)(p_{1}+q_{2}-d)}{(p_{2}+q_{1}+b)(p_{1}+q_{2}+d)}}}$

o ^{[1] : pág. 77}

${\displaystyle {\frac {(a+p_{1}-q_{1})(c+p_{2}-q_{2})}{(a-p_{1}+q_{1})(c-p_{2}+q_{2})}}={\frac {(b+p_{2}-q_{1})(d+p_{1}-q_{2})}{(b-p_{2}+q_{1})(d-p_{1}+q_{2})}}.}$

Condiciones para que un cuadrilátero tangencial sea otro tipo de cuadrilátero

Rombo

Un cuadrilátero tangencial es un rombo si y sólo si sus ángulos opuestos son iguales. ^[31]

Cometa

Un cuadrilátero tangencial es una cometa si y sólo si cualquiera de las siguientes condiciones es verdadera: ^[17]

• El área es la mitad del producto de las diagonales .
• Las diagonales son perpendiculares .
• Los dos segmentos de recta que conectan puntos de tangencia opuestos tienen longitudes iguales.
• Un par de longitudes tangentes opuestas tienen longitudes iguales.
• Las bimedianas tienen longitudes iguales.
• Los productos de lados opuestos son iguales.
• El centro del círculo se encuentra en la diagonal que es el eje de simetría.

Cuadrilátero bicéntrico

Un cuadrilátero bicéntrico ABCD : el cuadrilátero de contacto (rosa) es ortodiagonal.

Si la circunferencia es tangente a los lados AB , BC , CD , DA en W , X , Y , Z respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico (y por tanto bicéntrico ) si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: ^{[2] [3] : pág.124  [20]}

• WY es perpendicular a XZ
• ${\displaystyle AW\cdot CY=BW\cdot DY}$
• ${\displaystyle {\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}}$

El primero de estos tres significa que el cuadrilátero de contacto WXYZ es un cuadrilátero ortodiagonal .

Un cuadrilátero tangencial es bicéntrico si y sólo si su radio interior es mayor que el de cualquier otro cuadrilátero tangencial que tenga la misma secuencia de longitudes de lados. ^{[32] : págs. 392–393}

trapezoide tangencial

Si la circunferencia es tangente a los lados AB y CD en W e Y respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD es también un trapecio con lados paralelos AB y CD si y sólo si ^{[33] : Thm. 2}

${\displaystyle AW\cdot DY=BW\cdot CY}$

y AD y BC son los lados paralelos de un trapezoide si y sólo si

${\displaystyle AW\cdot BW=CY\cdot DY.}$

Ver también

• circulo circunscrito
• Cuadrilátero extangencial
• Triángulo tangencial
• Polígono tangencial

Referencias

1. Josefsson, Martin (2011), "Más caracterizaciones de cuadriláteros tangenciales" (PDF) , Forum Geometriorum , 11 : 65–82.
2. Bryant, Víctor; Duncan, John (2010), "Ruedas dentro de ruedas", The Mathematical Gazette , 94 (noviembre): 502–505.
3. Josefsson, Martin (2010), "Cálculos relativos a las longitudes tangentes y las cuerdas de tangencia de un cuadrilátero tangencial" (PDF) , Forum Geometriorum , 10 : 119-130.
4. Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006), Tesoros de la Olimpíada de Matemáticas , Birkhäuser, págs. 64–68.
5. Minculete, Nicusor (2009), "Caracterizaciones de un cuadrilátero tangencial" (PDF) , Forum Geometriorum , 9 : 113-118.
6. Josefsson, Martin (2012), "Caracterizaciones métricas similares de cuadriláteros tangenciales y extangenciales" (PDF) , Forum Geometriorum , 12 : 63–77
7. Durell, CV; Robson, A. (2003), Trigonometría avanzada , reimpresión de Dover, págs. 28–30.
8. Hajja, Mowaffaq (2008), "Una condición para que un cuadrilátero circunscriptible sea cíclico" (PDF) , Forum Geometriorum , 8 : 103-106.
9. Siddons, AW; Hughes, RT (1929), Trigonometría , Universidad de Cambridge. Prensa, pág. 203.
10. Grinberg, Darij, Cuadriláteros circunscritos revisados, 2008
11. Yiu, Paul, Geometría euclidiana , [1], 1998, págs.
12. Hoyt, John P. (1986), "Maximizar el área de un trapecio", American Mathematical Monthly , 93 (1): 54–56, doi :10.2307/2322549.
13. Publicación en El arte de resolver problemas, 2012
14. Hoyt, John P. (1984), "Quickies, Q694", Revista de Matemáticas , 57 (4): 239, 242.
15. Josefsson, Martin (2010), "Sobre el radio de un cuadrilátero tangencial" (PDF) , Forum Geometriorum , 10 : 27–34.
16. Bogomolny, Alexander (2016), Una relación inradii en cuadrilátero inscriptible, Cut-the-knot , [2].
17. Josefsson, Martin (2011), "¿Cuándo un cuadrilátero tangencial es una cometa?" (PDF) , Foro Geométrico , 11 : 165-174.
18. Josefsson, Martin (2011), "El área de un cuadrilátero bicéntrico" (PDF) , Forum Geometriorum , 11 : 155-164.
19. Gutiérrez, Antonio, "Cuadrilátero circunscrito, diagonal, cuerda, proporción", [3], consultado el 9 de abril de 2012.
20. Josefsson, Martin (2010), "Caracterizaciones de cuadriláteros bicéntricos" (PDF) , Forum Geometriorum , 10 : 165-173.
21. Myakishev, Alexei (2006), "Sobre dos líneas notables relacionadas con un cuadrilátero" (PDF) , Forum Geometriorum , 6 : 289–295.
22. Dergiades, Nikolaos; Christodoulou, Dimitris M. (2017), "Los dos incentros de un cuadrilátero convexo arbitrario" (PDF) , Forum Geométricorum , 17 : 245–254.
23. Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2005), 103 problemas de trigonometría de la capacitación del equipo de la OMI de EE. UU ., Birkhäuser, págs..
24. "Determinar la relación OM/ON", publicación en Art of Problem Solving, 2011
25. Barton, Helen (1926), "En un círculo unido a una barra plegable de cuatro", American Mathematical Monthly , 33 (9): 462–465, doi :10.2307/2299611, JSTOR  2299611.
26. Bogomolny, Alexander, "¿Cuándo un cuadrilátero es inscriptible?", Rompecabezas y miscelánea interactiva de matemáticas , [4].
27. Chao, Wu Wei; Simeonov, Plamen (2000), "Cuando los cuadriláteros tienen círculos inscritos (solución al problema 10698)", American Mathematical Monthly , 107 (7): 657–658, doi :10.2307/2589133.
28. Vaynshtejn, I.; Vasiliev, N.; Senderov, V. (1995), "(Solución al problema) M1495", Kvant (6): 27–28.
29. Josefsson, Martin (2012), "Caracterizaciones de cuadriláteros ortodiagonales" (PDF) , Forum Geometriorum , 12 : 13-25.
30. Hoehn, Larry (2011), "Una nueva fórmula sobre las diagonales y los lados de un cuadrilátero" (PDF) , Forum Geometriorum , 11 : 211–212.
31. De Villiers, Michael (2011), "Polígonos circunscritos equiangulares cíclicos y equiláteros", Mathematical Gazette , 95 (marzo): 102-107.
32. Hess, Albrecht (2014), "En un círculo que contiene los incentros de cuadriláteros tangenciales" (PDF) , Forum Geométricorum , 14 : 389–396.
33. Josefsson, Martin (2014), "El triángulo de punta diagonal revisitado" (PDF) , Forum Geometriorum , 14 : 381–385.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Cuadrilátero tangencial", MathWorld