Las leyes del pensamiento son reglas axiomáticas fundamentales sobre las que se suele considerar que se basa el propio discurso racional. La formulación y clarificación de dichas reglas tienen una larga tradición en la historia de la filosofía y la lógica . Generalmente se las toma como leyes que guían y fundamentan el pensamiento, los pensamientos , las expresiones, las discusiones, etc. de todos. Sin embargo, tales ideas clásicas suelen ser cuestionadas o rechazadas en desarrollos más recientes, como la lógica intuicionista , el dialeísmo y la lógica difusa .
Según el Cambridge Dictionary of Philosophy de 1999 , [1] las leyes del pensamiento son leyes por las cuales o de acuerdo con las cuales procede el pensamiento válido, o que justifican una inferencia válida, o a las cuales toda deducción válida es reducible. Las leyes del pensamiento son reglas que se aplican sin excepción a cualquier tema de pensamiento, etc.; a veces se dice que son el objeto de la lógica [ se necesita más explicación ] . El término, rara vez utilizado exactamente en el mismo sentido por diferentes autores, ha sido asociado durante mucho tiempo con tres expresiones igualmente ambiguas: la ley de identidad (ID), la ley de contradicción (o no contradicción; NC) y la ley del tercero excluido (EM). A veces, estas tres expresiones se toman como proposiciones de ontología formal que tienen el tema más amplio posible, proposiciones que se aplican a entidades como tales: (ID), todo es (es decir, es idéntico a) sí mismo; (NC) ninguna cosa que tenga una cualidad dada también tiene el negativo de esa cualidad (por ejemplo, ningún número par es no par); (EM) cada cosa tiene una cualidad dada o tiene el negativo de esa cualidad (por ejemplo, cada número es par o no par). Igualmente común en obras antiguas es el uso de estas expresiones para principios de metalógica sobre proposiciones: (ID) cada proposición se implica a sí misma; (NC) ninguna proposición es verdadera y falsa a la vez; (EM) cada proposición es verdadera o falsa.
Desde mediados hasta finales del siglo XIX, estas expresiones se han utilizado para denotar proposiciones del álgebra de Boole sobre clases: (ID) cada clase se incluye a sí misma; (NC) cada clase es tal que su intersección ("producto") con su propio complemento es la clase nula; (EM) cada clase es tal que su unión ("suma") con su propio complemento es la clase universal. Más recientemente, las dos últimas de las tres expresiones se han utilizado en relación con la lógica proposicional clásica y con la denominada lógica proposicional prototética o cuantificada ; en ambos casos, la ley de no contradicción implica la negación de la conjunción ("y") de algo con su propia negación, ¬(A∧¬A), y la ley del tercero excluido implica la disyunción ("o") de algo con su propia negación, A∨¬A. En el caso de la lógica proposicional, el "algo" es una letra esquemática que sirve como marcador de posición, mientras que en el caso de la lógica prototética el "algo" es una variable genuina. Las expresiones "ley de no contradicción" y "ley del tercero excluido" también se utilizan para los principios semánticos de la teoría de modelos relativos a las oraciones y las interpretaciones: (NC) bajo ninguna interpretación, una oración dada es verdadera y falsa a la vez, (EM) bajo cualquier interpretación, una oración dada es verdadera o falsa.
Las expresiones mencionadas anteriormente se han utilizado de muchas otras maneras. Muchas otras proposiciones también se han mencionado como leyes del pensamiento, incluyendo el dictum de omni et nullo atribuido a Aristóteles , la sustitutividad de los idénticos (o iguales) atribuida a Euclides , la llamada identidad de los indiscernibles atribuida a Gottfried Wilhelm Leibniz y otras "verdades lógicas".
La expresión "leyes del pensamiento" ganó mayor prominencia a través de su uso por Boole (1815-1864) para denotar teoremas de su "álgebra de la lógica"; de hecho, tituló su segundo libro de lógica Una investigación de las leyes del pensamiento en las que se fundan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades (1854). Los lógicos modernos, en desacuerdo casi unánime con Boole, toman esta expresión como un nombre inapropiado; ninguna de las proposiciones anteriores clasificadas bajo "leyes del pensamiento" se refieren explícitamente al pensamiento per se, un fenómeno mental estudiado por la psicología , ni implican una referencia explícita a un pensador o conocedor como sería el caso en la pragmática o en la epistemología . La distinción entre psicología (como estudio de los fenómenos mentales) y lógica (como estudio de la inferencia válida) es ampliamente aceptada.
Hamilton ofrece una historia de las tres leyes tradicionales que comienza con Platón , continúa con Aristóteles y termina con los escolásticos de la Edad Media ; además, ofrece una cuarta ley (véase la entrada siguiente, bajo Hamilton ):
A continuación se exponen las tres "leyes" tradicionales en palabras de Bertrand Russell (1912):
La ley de identidad : “Todo lo que es, es”. [2]
Para todo a: a = a.
Respecto a esta ley, Aristóteles escribió:
En primer lugar, al menos es evidente que la palabra «ser» o «no ser» tiene un significado determinado, de modo que no todo será «así o no». Además, si «hombre» tiene un significado, sea «animal de dos patas»; por tener un significado entiendo esto: si «hombre» significa «X», entonces, si A es un hombre, «X» será lo que «ser hombre» significa para él. (No importa que se diga que una palabra tiene varios significados, siempre que su número sea limitado, pues a cada definición se le podría asignar una palabra diferente. Por ejemplo, podríamos decir que «hombre» no tiene un solo significado, sino varios, de los cuales uno tendría una sola definición, a saber, «animal de dos patas», mientras que también podría haber varias otras definiciones si su número fuera limitado, pues a cada una de ellas se le podría asignar un nombre peculiar. Pero si no estuvieran limitadas, sino que se dijera que la palabra tiene un número infinito de significados, es evidente que sería imposible razonar, pues no tener un solo significado es no tener significado, y si las palabras no tienen significado, nuestro razonamiento entre nosotros y, en realidad, con nosotros mismos ha sido aniquilado, pues es imposible pensar en algo si no pensamos en una cosa; pero si esto es posible, se podría asignar un nombre a esa cosa.)
— Aristóteles, Metafísica , Libro IV, Parte 4 (traducido por WD Ross) [3]
Más de dos milenios después, George Boole aludió al mismo principio que Aristóteles cuando hizo la siguiente observación con respecto a la naturaleza del lenguaje y aquellos principios que deben ser inherentes naturalmente a ellos:
Existen, en efecto, ciertos principios generales fundados en la naturaleza misma del lenguaje, por los cuales se determina el uso de los símbolos, que no son sino elementos del lenguaje científico. Hasta cierto punto, estos elementos son arbitrarios. Su interpretación es puramente convencional: se nos permite emplearlos en el sentido que queramos. Pero este permiso está limitado por dos condiciones indispensables: primero, que nunca nos apartemos del sentido una vez establecido convencionalmente en el mismo proceso de razonamiento; segundo, que las leyes por las que se lleva a cabo el proceso se basen exclusivamente en el sentido o significado fijado anteriormente de los símbolos empleados.
— George Boole, Una investigación de las leyes del pensamiento
La ley de no contradicción (también llamada “ley de contradicción” [4] ): “Nada puede ser y no ser a la vez”. [2]
En otras palabras: "dos o más afirmaciones contradictorias no pueden ser verdaderas en el mismo sentido al mismo tiempo": ¬ (A ∧ ¬A).
En palabras de Aristóteles, “no se puede decir de algo que es y que no es en el mismo sentido y al mismo tiempo”. Como ilustración de esta ley, escribió:
Es imposible, pues, que «ser hombre» signifique precisamente no ser hombre, si «hombre» no sólo significa algo sobre un tema, sino que también tiene un significado... Y no será posible ser y no ser la misma cosa, excepto en virtud de la ambigüedad, exactamente como si a aquel a quien llamamos «hombre» lo llamaran otros «no-hombre»; pero la cuestión no es si la misma cosa puede al mismo tiempo ser y no ser hombre de nombre, sino si puede serlo de hecho.
— Aristóteles, Metafísica, Libro IV, Parte 4 (traducido por WD Ross) [3]
La ley del tercio excluido: «Todo debe ser o no ser». [2]
De acuerdo con la ley del tercero excluido o del tercero excluido, para toda proposición es verdadera tanto su forma positiva como su forma negativa: A ∨ ¬A.
Respecto a la ley del tercero excluido , Aristóteles escribió:
Pero, por otra parte, no puede haber un término medio entre las contradicciones, sino que de un sujeto debemos afirmar o negar cualquier predicado. Esto es evidente, en primer lugar, si definimos lo que es verdadero y lo que es falso. Decir de lo que es que no es, o de lo que no es que es, es falso, mientras que decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es, es verdadero; de modo que quien diga de algo que es o que no es, dirá lo que es verdadero o lo que es falso.
— Aristóteles, Metafísica, Libro IV, Parte 7 (traducido por WD Ross) [3]
Como indican las citas de Hamilton antes mencionadas, en particular la entrada sobre la "ley de identidad", la justificación y la expresión de las "leyes del pensamiento" han sido terreno fértil para el debate filosófico desde Platón. Hoy en día, el debate sobre cómo "llegamos a conocer" el mundo de las cosas y nuestros pensamientos continúa; para ver ejemplos de justificaciones, véanse las entradas que aparecen a continuación.
En uno de los diálogos socráticos de Platón , Sócrates describió tres principios derivados de la introspección :
Primero, que nada puede hacerse mayor o menor, ni en número ni en magnitud, mientras permanezca igual a sí mismo... Segundo, que sin adición ni sustracción no hay aumento ni disminución de nada, sino sólo igualdad... Tercero, que lo que antes no era no puede ser después, sin llegar a ser y haber llegado a ser.
La ley de no contradicción se encuentra en la lógica india antigua como una metarregla en los Shrauta Sutras , la gramática de Pāṇini [6] y los Brahma Sutras atribuidos a Vyasa . Posteriormente fue elaborada por comentaristas medievales como Madhvacharya [7] .
John Locke afirmó que los principios de identidad y contradicción (es decir, la ley de identidad y la ley de no contradicción) eran ideas generales que sólo se les ocurrían a las personas después de un considerable pensamiento filosófico abstracto. Caracterizó el principio de identidad como "Todo lo que es, es". Enunció el principio de contradicción como "Es imposible que una misma cosa sea y no sea". Para Locke, estos no eran principios innatos o a priori . [8]
Gottfried Leibniz formuló dos principios adicionales, cualquiera de los cuales o ambos pueden considerarse a veces como una ley del pensamiento:
En el pensamiento de Leibniz, así como en general en el enfoque del racionalismo , los dos últimos principios se consideran axiomas claros e incontestables . Fueron ampliamente reconocidos en el pensamiento europeo de los siglos XVII, XVIII y XIX, aunque fueron objeto de un mayor debate en el siglo XIX. Como resultó ser el caso con la ley de continuidad , estas dos leyes involucran asuntos que, en términos contemporáneos, están sujetos a mucho debate y análisis (respectivamente sobre el determinismo y la extensionalidad [ aclaración necesaria ] ). Los principios de Leibniz fueron particularmente influyentes en el pensamiento alemán. En Francia, la lógica de Port-Royal se vio menos influenciada por ellos. Hegel discutió sobre la identidad de los indiscernibles en su Ciencia de la lógica (1812-1816).
"Las leyes primarias del pensamiento, o las condiciones de lo pensable, son cuatro: 1. La ley de identidad [A es A]. 2. La ley de contradicción. 3. La ley de exclusión; o del tercero excluido. 4. La ley de la razón suficiente." (Thomas Hughes, La teoría ideal de Berkeley y el mundo real , Parte II, Sección XV, Nota a pie de página, p. 38)
Arthur Schopenhauer analizó las leyes del pensamiento e intentó demostrar que son la base de la razón. Las enumeró de la siguiente manera en su obra Sobre la raíz cuádruple del principio de razón suficiente , §33:
También:
Las leyes del pensamiento pueden expresarse de manera más inteligible así:
- Todo lo que es, existe.
- Nada puede ser y no ser simultáneamente.
- Todo y cada cosa es o no es.
- De todo lo que es se puede encontrar el porqué de su existencia.
A esto habría que añadir únicamente el hecho de que, de una vez por todas, en lógica la cuestión versa sobre lo que se piensa y, por tanto, sobre conceptos y no sobre cosas reales.
— Schopenhauer, Restos de manuscritos , vol. 4, "Pandectae II", §163
Para demostrar que son el fundamento de la razón , dio la siguiente explicación:
Por una reflexión, que yo podría llamar un autoexamen de la facultad de la razón, sabemos que estos juicios son la expresión de las condiciones de todo pensamiento y, por tanto, tienen en ellas su fundamento. Así, al hacer vanos intentos de pensar en contra de estas leyes, la facultad de la razón las reconoce como las condiciones de posibilidad de todo pensamiento. Entonces descubrimos que es tan imposible pensar en contra de ellas como mover nuestros miembros en una dirección contraria a sus articulaciones. Si el sujeto pudiera conocerse a sí mismo, conoceríamos esas leyes inmediatamente , y no primero a través de experimentos sobre objetos, es decir, representaciones (imágenes mentales).
— Schopenhauer, Sobre la raíz cuádruple del principio de razón suficiente, §33
Las cuatro leyes de Schopenhauer se pueden presentar esquemáticamente de la siguiente manera:
Más tarde, en 1844, Schopenhauer afirmó que las cuatro leyes del pensamiento podían reducirse a dos. En el noveno capítulo del segundo volumen de El mundo como voluntad y representación , escribió:
Me parece que la doctrina de las leyes del pensamiento podría simplificarse si se establecieran sólo dos, la ley del tercero excluido y la de la razón suficiente. La primera así: «Todo predicado puede ser confirmado o negado de todo sujeto». Aquí ya está contenido en el «o bien o bien» que ambas no pueden darse simultáneamente y, por consiguiente, exactamente lo que expresan las leyes de identidad y contradicción. Así, éstas se añadirían como corolarios de aquel principio que realmente dice que cada dos esferas de conceptos deben ser pensadas o bien como unidas o bien como separadas, pero nunca como ambas a la vez; y por tanto, aunque se junten palabras que expresen esto último, estas palabras afirman un proceso de pensamiento que no puede llevarse a cabo. La conciencia de esta inviabilidad es el sentimiento de contradicción. La segunda ley del pensamiento, el principio de razón suficiente, afirmaría que la atribución o refutación antes mencionadas debe estar determinada por algo diferente del juicio mismo, que puede ser una percepción (pura o empírica) o simplemente otro juicio. Esta otra cosa y diferente se llama entonces el fundamento o razón del juicio. En la medida en que un juicio satisface la primera ley del pensamiento, es pensable; en la medida en que satisface la segunda, es verdadero, o al menos en el caso en que el fundamento de un juicio es sólo otro juicio, es lógica o formalmente verdadero. [9]
El título del tratado de lógica de George Boole de 1854, Una investigación sobre las leyes del pensamiento , indica un camino alternativo. Las leyes se incorporan ahora a una representación algebraica de sus "leyes de la mente", perfeccionadas a lo largo de los años hasta convertirse en el álgebra de Boole moderna .
Boole comienza su capítulo I "Naturaleza y diseño de esta Obra" con una discusión de qué característica distingue, en general, las "leyes de la mente" de las "leyes de la naturaleza":
A esto contrastan lo que él llama "leyes de la mente": Boole afirma que éstas se conocen en primera instancia, sin necesidad de repetición:
Boole comienza con la noción de "signos" que representan "clases", "operaciones" e "identidad":
Boole aclara entonces qué representa un "símbolo literal", p. ej. x, y, z,...: un nombre aplicado a una colección de instancias en "clases". Por ejemplo, "pájaro" representa la clase entera de criaturas de sangre caliente, aladas y emplumadas. Para sus propósitos, extiende la noción de clase para representar la pertenencia a "uno", o "nada", o "el universo", es decir, la totalidad de todos los individuos:
Luego define lo que significa la cadena de símbolos, por ejemplo xy [&, conjunción lógica moderna]:
Dadas estas definiciones, ahora enumera sus leyes con su justificación más ejemplos (derivados de Boole):
OR lógico : Boole define la "reunión de partes en un todo o la separación de un todo en sus partes" (Boole 1854:32). Aquí el conectivo "y" se utiliza disyuntivamente, al igual que "o"; Boole presenta una ley conmutativa (3) y una ley distributiva (4) para la noción de "reunión". La noción de separación de una parte del todo la simboliza con la operación "-"; Boole define una ley conmutativa (5) y una ley distributiva (6) para esta noción:
Por último, existe una noción de "identidad" simbolizada por "=". Esto permite dos axiomas: (axioma 1): igual sumado a igual da como resultado igual, (axioma 2): igual restado de igual da como resultado igual.
Nada "0" y Universo "1" : Observa que los únicos dos números que satisfacen xx = x son 0 y 1. Luego observa que 0 representa la "Nada" mientras que "1" representa el "Universo" (del discurso).
El NO lógico : Boole define el contrario (NO lógico) de la siguiente manera (su Proposición III):
La noción de un particular en oposición a un universal : Para representar la noción de "algunos hombres", Boole escribe la letra minúscula "v" antes del símbolo de predicado "vx" (algunos hombres).
OR exclusivo e inclusivo : Boole no utiliza estos nombres modernos, pero los define como sigue x(1-y) + y(1-x) y x + y(1-x), respectivamente; estos concuerdan con las fórmulas derivadas por medio del álgebra de Boole moderna. [10]
Armado con su "sistema", deriva el "principio de [no] contradicción" a partir de su ley de identidad: x 2 = x. Resta x de ambos lados (su axioma 2), lo que da x 2 − x = 0. Luego factoriza x: x(x − 1) = 0. Por ejemplo, si x = "hombres", entonces 1 − x representa NO-hombres. Así que tenemos un ejemplo de la "Ley de Contradicción":
Esta noción se encuentra en todas las "Leyes del Pensamiento" de Boole, por ejemplo en 1854:28, donde el símbolo "1" (el entero 1) se utiliza para representar "Universo" y "0" para representar "Nada", y con mucho más detalle más adelante (páginas 42 y siguientes):
En su capítulo "El cálculo de predicados", Kleene observa que la especificación del "dominio" del discurso "no es una suposición trivial, ya que no siempre se satisface claramente en el discurso ordinario... en matemáticas, de la misma manera, la lógica puede volverse bastante resbaladiza cuando no se ha especificado ningún [dominio] explícita o implícitamente, o la especificación de un [dominio] es demasiado vaga (Kleene 1967:84).
Como se señaló anteriormente, Hamilton especifica cuatro leyes (las tres tradicionales más la cuarta, "Ley de la razón y la consecuencia"), como sigue:
Hamilton opina que el pensamiento se presenta en dos formas: “necesario” y “contingente” (Hamilton 1860:17). Con respecto a la forma “necesaria”, define su estudio como “lógica”: “La lógica es la ciencia de las formas necesarias del pensamiento” (Hamilton 1860:17). Para definir “necesario”, afirma que implica las siguientes cuatro “cualidades”: [12]
He aquí la cuarta ley de Hamilton de su LECT. V. LOGIC. 60–61:
En el siglo XIX, las leyes aristotélicas del pensamiento, así como a veces las leyes leibnizianas del pensamiento, eran material estándar en los libros de texto de lógica, y J. Welton las describió de esta manera:
Las leyes del pensamiento, principios reguladores del pensamiento o postulados del conocimiento son aquellas leyes mentales fundamentales, necesarias, formales y a priori, de acuerdo con las cuales debe desarrollarse todo pensamiento válido. Son a priori, es decir, resultan directamente de los procesos de la razón ejercidos sobre los hechos del mundo real. Son formales, pues, como leyes necesarias de todo pensamiento, no pueden, al mismo tiempo, determinar las propiedades definidas de ninguna clase particular de cosas, pues es opcional que pensemos en esa clase de cosas o no. Son necesarias, pues nadie las concibe ni puede concebirlas invertidas ni violarlas realmente, porque nadie acepta jamás una contradicción que se le presente a la mente como tal.
— Welton, Un manual de lógica , 1891, vol. I, pág. 30.
La continuación de "Los principios de las matemáticas" de Bertrand Russell de 1903 se convirtió en la obra de tres volúmenes llamada Principia Mathematica (en adelante PM ), escrita conjuntamente con Alfred North Whitehead . Inmediatamente después de que él y Whitehead publicaran PM, escribió su obra de 1912 "Los problemas de la filosofía". Sus "Problemas" reflejan "las ideas centrales de la lógica de Russell". [13]
En sus Principios de 1903, Russell define la lógica simbólica o formal (usa los términos como sinónimos) como "el estudio de los diversos tipos generales de deducción" (Russell 1903:11). Afirma que "la lógica simbólica se ocupa esencialmente de la inferencia en general" (Russell 1903:12) y, con una nota al pie, indica que no distingue entre inferencia y deducción ; además, considera que la inducción "es una deducción disfrazada o un mero método de hacer conjeturas plausibles" (Russell 1903:11). Esta opinión cambiará en 1912, cuando considere que su "principio de inducción" está a la par de los diversos "principios lógicos" que incluyen las "leyes del pensamiento".
En su Parte I "Los indefinibles de las matemáticas", Capítulo II "Lógica simbólica" Parte A "El cálculo proposicional", Russell reduce la deducción ("cálculo proposicional") a 2 "indefinibles" y 10 axiomas:
De estos, afirma poder derivar la ley del tercero excluido y la ley de la contradicción , pero no exhibe sus derivaciones (Russell 1903:17). Posteriormente, él y Whitehead perfeccionaron estos "principios primitivos" y axiomas hasta convertirlos en los nueve que se encuentran en PM , y aquí Russell exhibe realmente estas dos derivaciones en ❋1.71 y ❋3.24, respectivamente.
En 1912, Russell, en sus "Problemas", presta especial atención a la "inducción" (razonamiento inductivo) así como a la "deducción" (inferencia), las cuales representan sólo dos ejemplos de "principios lógicos evidentes" que incluyen las "Leyes del Pensamiento". [4]
Principio de inducción : Russell dedica un capítulo a su "principio de inducción". Lo describe como algo que se presenta en dos partes: en primer lugar, como una colección repetida de evidencias (sin que se conozcan fallos de asociación) y, por lo tanto, como una probabilidad creciente de que siempre que A sucede, B se sigue; en segundo lugar, en un nuevo caso en que A sucede, B se sigue: es decir, "un número suficiente de casos de asociación hará que la probabilidad de una nueva asociación sea casi una certeza, y la hará acercarse a la certeza sin límite". [15]
Luego reúne todos los casos (instancias) del principio de inducción (por ejemplo, caso 1: A 1 = "el sol naciente", B 1 = "el cielo del este"; caso 2: A 2 = "el sol poniente", B 2 = "el cielo del oeste"; caso 3: etc.) en una ley "general" de inducción que expresa de la siguiente manera:
Argumenta que este principio de inducción no puede ser refutado ni probado por la experiencia [17] , y que la imposibilidad de refutar la prueba se debe a que la ley trata con la probabilidad de éxito en lugar de con la certeza; y que la imposibilidad de probar la prueba se debe a que existen casos no examinados que todavía no se han experimentado, es decir, que ocurrirán (o no) en el futuro. "Por lo tanto, debemos aceptar el principio inductivo sobre la base de su evidencia intrínseca o renunciar a toda justificación de nuestras expectativas sobre el futuro". [18]
En su siguiente capítulo ("Sobre nuestro conocimiento de los principios generales"), Russell ofrece otros principios que tienen esta propiedad similar: "que no pueden ser probados ni refutados por la experiencia, sino que se utilizan en argumentos que parten de lo que se experimenta". Afirma que estos "tienen incluso mayor evidencia que el principio de inducción... el conocimiento de ellos tiene el mismo grado de certeza que el conocimiento de la existencia de datos sensoriales. Constituyen los medios para extraer inferencias de lo que se da en la sensación". [19]
Principio de inferencia : Russell ofrece entonces un ejemplo que él llama principio "lógico". En dos ocasiones anteriores había afirmado este principio, primero como el cuarto axioma en su obra de 1903 [20] y luego como su primera "proposición primitiva" de PM : "❋1.1 Todo lo que implica una proposición elemental verdadera es verdadero". [21] Ahora lo repite en su obra de 1912 en una forma refinada: "Así pues, nuestro principio establece que si esto implica aquello, y esto es verdadero, entonces eso es verdadero. En otras palabras, 'todo lo que implica una proposición verdadera es verdadero', o 'todo lo que se sigue de una proposición verdadera es verdadero'". [22] En este principio hace mucho hincapié, afirmando que "este principio está realmente involucrado -al menos, hay casos concretos de él- en todas las demostraciones". [4]
No llama a su principio de inferencia modus ponens , pero su expresión formal y simbólica en PM (2.ª edición, 1927) es la de modus ponens ; la lógica moderna llama a esto una "regla" en oposición a una "ley". [23] En la cita que sigue, el símbolo "⊦" es el "signo de afirmación" (cf PM :92); "⊦" significa "es cierto que", por lo tanto "⊦p" donde "p" es "el sol está saliendo" significa "es cierto que el sol está saliendo", alternativamente "La afirmación 'El sol está saliendo' es verdadera". El símbolo de "implicación" "⊃" se lee comúnmente "si p entonces q", o "p implica q" (cf PM :7). Incrustadas en esta noción de "implicación" hay dos "ideas primitivas", "la Función Contradictoria" (simbolizada por NOT, "~") y "la Suma Lógica o Disyunción" (simbolizada por OR, "⋁"); Estas aparecen como "proposiciones primitivas" ❋1.7 y ❋1.71 en PM (PM:97). Con estas dos "proposiciones primitivas", Russell define que "p ⊃ q" tiene la equivalencia lógica formal "NO-p O q" simbolizada por "~p ⋁ q":
En otras palabras, en una larga "cadena" de inferencias, después de cada inferencia podemos separar el "consecuente" "⊦q" de la cadena de símbolos "⊦p, ⊦(p⊃q)" y no llevar estos símbolos hacia adelante en una cadena de símbolos cada vez más larga.
Las tres "leyes" (principios) tradicionales del pensamiento : Russell continúa afirmando otros principios, de los cuales el principio lógico antes mencionado es "sólo uno". Afirma que "algunos de ellos deben ser aceptados antes de que cualquier argumento o prueba sea posible. Cuando algunos de ellos han sido aceptados, otros pueden ser probados". De estas diversas "leyes", afirma que "sin una razón muy buena, tres de estos principios han sido seleccionados por la tradición bajo el nombre de 'Leyes del Pensamiento'. [4] Y los enumera de la siguiente manera:
Fundamento : Russell opina que "el nombre 'leyes del pensamiento' es... engañoso, pues lo importante no es el hecho de que pensemos de acuerdo con estas leyes, sino el hecho de que las cosas se comporten de acuerdo con ellas; en otras palabras, el hecho de que cuando pensamos de acuerdo con ellas pensamos verdaderamente ". [25] Pero califica esto como una "gran cuestión" y la amplía en los dos capítulos siguientes, donde comienza con una investigación de la noción de conocimiento "a priori" (innato, incorporado), y finalmente llega a su aceptación del "mundo de universales" platónico. En su investigación vuelve de vez en cuando a las tres leyes tradicionales del pensamiento, destacando en particular la ley de la contradicción: "La conclusión de que la ley de la contradicción es una ley del pensamiento es, sin embargo, errónea... [más bien], la ley de la contradicción se refiere a las cosas, y no meramente a los pensamientos... un hecho relativo a las cosas en el mundo". [26]
Su argumento comienza con la afirmación de que las tres leyes tradicionales del pensamiento son "muestras de principios autoevidentes". Para Russell, la cuestión de lo "autoevidente" [27] simplemente introduce la cuestión más amplia de cómo obtenemos nuestro conocimiento del mundo. Cita la "controversia histórica... entre las dos escuelas llamadas respectivamente 'empiristas' [ Locke , Berkeley y Hume ] y 'racionalistas' [ Descartes y Leibniz ]" (estos filósofos son sus ejemplos). [28] Russell afirma que los racionalistas "mantuvieron que, además de lo que conocemos por experiencia, hay ciertas 'ideas innatas' y 'principios innatos', que conocemos independientemente de la experiencia"; [28] para eliminar la posibilidad de que los bebés tengan conocimiento innato de las "leyes del pensamiento", Russell renombra este tipo de conocimiento como a priori . Y aunque Russell está de acuerdo con los empiristas en que "nada puede saberse que existe excepto con la ayuda de la experiencia", [29] también está de acuerdo con los racionalistas en que algún conocimiento es a priori , específicamente "las proposiciones de la lógica y las matemáticas puras, así como las proposiciones fundamentales de la ética". [30]
Esta pregunta de cómo puede existir tal conocimiento a priori lleva a Russell a una investigación sobre la filosofía de Immanuel Kant , que después de una cuidadosa consideración rechaza de la siguiente manera:
Sus objeciones a Kant llevan entonces a Russell a aceptar la "teoría de las ideas" de Platón , "en mi opinión... uno de los intentos más exitosos realizados hasta ahora"; [32] afirma que "... debemos examinar nuestro conocimiento de los universales... donde encontraremos que [esta consideración] resuelve el problema del conocimiento a priori ". [32]
Desafortunadamente, los "Problemas" de Russell no ofrecen un ejemplo de un "conjunto mínimo" de principios que se aplicarían al razonamiento humano, tanto inductivo como deductivo. Pero PM al menos proporciona un conjunto de ejemplos (pero no el mínimo; ver Post más abajo) que es suficiente para el razonamiento deductivo por medio del cálculo proposicional (en oposición al razonamiento por medio del cálculo de predicados más complicado ) —un total de 8 principios al comienzo de la "Parte I: Lógica matemática". Cada una de las fórmulas :❋1.2 a :❋1.6 es una tautología (verdadera sin importar cuál sea el valor de verdad de p, q, r ...). Lo que falta en el tratamiento de PM es una regla formal de sustitución; [33] en su tesis doctoral de 1921 Emil Post corrige esta deficiencia (ver Post más abajo). En lo que sigue las fórmulas están escritas en un formato más moderno que el usado en PM ; los nombres se dan en PM ).
Russell resume estos principios con "Esto completa la lista de proposiciones primitivas requeridas para la teoría de la deducción aplicada a proposiciones elementales" (PM:97).
Partiendo de estas ocho tautologías y de un uso tácito de la "regla" de sustitución, PM deriva entonces más de cien fórmulas diferentes, entre las que se encuentran la Ley del Tercero Excluido ❋1.71 , y la Ley de Contradicción ❋3.24 (esta última requiere una definición del AND lógico simbolizado por el moderno ⋀: (p ⋀ q) = def ~(~p ⋁ ~q). ( PM utiliza el símbolo "punto" ▪ para el AND lógico)).
Casi al mismo tiempo (1912) en que Russell y Whitehead estaban terminando el último volumen de sus Principia Mathematica, y la publicación de "Los problemas de la filosofía" de Russell, al menos dos lógicos ( Louis Couturat , Christine Ladd-Franklin ) afirmaban que dos "leyes" (principios) de "contradicción" y "tercero excluido" son necesarias para especificar "contradicciones"; Ladd-Franklin rebautizó estos principios como principios de exclusión y agotamiento . Lo siguiente aparece como una nota al pie en la página 23 de Couturat 1914:
En otras palabras, la creación de "contradictorios" representa una dicotomía , es decir, la "división" de un universo de discurso en dos clases (colecciones) que tienen las siguientes dos propiedades: son (i) mutuamente excluyentes y (ii) (colectivamente) exhaustivas. [34] En otras palabras, ninguna cosa (extraída del universo del discurso) puede ser simultáneamente miembro de ambas clases (ley de no contradicción), pero [y] cada cosa (en el universo del discurso) debe ser miembro de una clase o de la otra (ley del tercero excluido).
Como parte de su tesis doctoral "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales", Emil Post demostró que "el sistema de proposiciones elementales de Principia [PM]", es decir, su "cálculo proposicional" [35] descrito por las primeras 8 "proposiciones primitivas" de PM, es consistente . La definición de "consistente" es ésta: que por medio del "sistema" deductivo en cuestión (sus axiomas, leyes y reglas enunciados) es imposible derivar (mostrar) tanto una fórmula S como su contradictoria ~S (es decir, su negación lógica) (Nagel y Newman 1958:50). Para demostrar esto formalmente, Post tuvo que añadir una proposición primitiva a las 8 proposiciones primitivas de PM, una "regla" que especificaba la noción de "sustitución" que faltaba en el PM original de 1910. [36]
Dado el pequeño conjunto de "proposiciones primitivas" de PM y la prueba de su consistencia, Post demuestra entonces que este sistema ("cálculo proposicional" de PM) es completo , lo que significa que se puede generar cada tabla de verdad posible en el "sistema":
Luego está la cuestión de la “independencia” de los axiomas. En su comentario anterior a Post 1921, van Heijenoort afirma que Paul Bernays resolvió la cuestión en 1918 (pero publicó en 1926) – la fórmula ❋1.5 Principio asociativo: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) puede demostrarse con los otros cuatro. En cuanto a qué sistema de “proposiciones primitivas” es el mínimo, van Heijenoort afirma que la cuestión fue “investigada por Zylinski (1925), el propio Post (1941) y Wernick (1942)”, pero van Heijenoort no responde a la pregunta. [38]
Kleene (1967:33) observa que la “lógica” puede “fundarse” de dos maneras: primero como una “teoría modelo”, o segundo como una “prueba” formal o una “teoría axiomática”; “las dos formulaciones, la de la teoría modelo y la de la teoría de la prueba, dan resultados equivalentes” (Kleene 1967:33). Esta elección fundacional, y su equivalencia, también se aplica a la lógica de predicados (Kleene 1967:318).
En su introducción a Post 1921, van Heijenoort observa que tanto la "tabla de verdad como los enfoques axiomáticos se presentan claramente". [39] Esta cuestión de una prueba de consistencia en ambos sentidos (por una teoría de modelos, por una teoría de prueba axiomática) surge en la versión más agradable de la prueba de consistencia de Post que se puede encontrar en Nagel y Newman 1958 en su capítulo V "Un ejemplo de una prueba absoluta exitosa de consistencia". En el cuerpo principal del texto utilizan un modelo para lograr su prueba de consistencia (también afirman que el sistema está completo pero no ofrecen una prueba) (Nagel y Newman 1958:45-56). Pero su texto promete al lector una prueba que es axiomática en lugar de depender de un modelo, y en el Apéndice presentan esta prueba basándose en las nociones de una división de fórmulas en dos clases K 1 y K 2 que son mutuamente excluyentes y exhaustivas (Nagel y Newman 1958:109-113).
El "cálculo de predicados de primer orden" (restringido) es el "sistema de lógica" que añade a la lógica proposicional (cf. Post , arriba) la noción de "sujeto-predicado", es decir, el sujeto x se extrae de un dominio (universo) del discurso y el predicado es una función lógica f(x): x como sujeto y f(x) como predicado (Kleene 1967:74). Aunque la prueba de Gödel implica la misma noción de "completitud" que la prueba de Post, la prueba de Gödel es mucho más difícil; lo que sigue es una discusión del conjunto de axiomas.
En su tesis doctoral de 1930 "La completitud de los axiomas del cálculo funcional de la lógica", Kurt Gödel demostró que en este "cálculo" (es decir, la lógica de predicados restringida con o sin igualdad) toda fórmula válida es "o refutable o satisfacible" [40] o lo que es lo mismo: toda fórmula válida es demostrable y, por lo tanto, la lógica es completa. He aquí la definición de Gödel de si el "cálculo funcional restringido" es "completo" o no:
Este cálculo de predicados en particular está "restringido al primer orden". Al cálculo proposicional le añade dos símbolos especiales que simbolizan las generalizaciones " para todos " y "existe (al menos uno)" que se extienden sobre el dominio del discurso . El cálculo requiere sólo la primera noción "para todos", pero típicamente incluye ambas: (1) la noción "para todo x" o "para cada x" se simboliza en la literatura de diversas formas como (x), ∀x, Πx, etc., y la (2) noción de "existe (al menos un x)" se simboliza de diversas formas como Ex, ∃x.
La restricción es que la generalización "para todos" se aplica sólo a las variables (objetos x, y, z, etc. extraídos del dominio del discurso) y no a las funciones, en otras palabras, el cálculo permitirá ∀xf(x) ("para todas las criaturas x, x es un pájaro") pero no ∀f∀x(f(x)) [pero si se añade "igualdad" al cálculo, permitirá ∀f:f(x); véase más abajo en Tarski ]. Ejemplo:
Kleene señala que "el cálculo de predicados (sin o con igualdad) cumple plenamente (para las teorías de primer orden) lo que se ha concebido como el papel de la lógica" (Kleene 1967:322).
Esta primera mitad de este axioma – "la máxima de todos" – aparecerá como el primero de dos axiomas adicionales en el conjunto de axiomas de Gödel. El "dictum de Aristóteles" ( dictum de omni et nullo ) a veces se llama "la máxima de todos y ninguno", pero en realidad son dos "máximas" que afirman: "Lo que es verdad de todos (los miembros del dominio) es verdad de algunos (los miembros del dominio)", y "Lo que no es verdad de todos (los miembros del dominio) no es verdad de ninguno (de los miembros del dominio)".
El "dictum" aparece en Boole 1854 en un par de lugares:
Pero más adelante parece argumentar en contra de ello: [42]
Pero la primera mitad de este "dictum" ( dictum de omni ) es retomada por Russell y Whitehead en PM, y por Hilbert en su versión (1927) de la "lógica de predicados de primer orden"; su (sistema) incluye un principio que Hilbert llama "dictum de Aristóteles" [43].
Este axioma también aparece en el conjunto de axiomas modernos ofrecido por Kleene (Kleene 1967:387), como su "∀-esquema", uno de los dos axiomas (él los llama "postulados") requeridos para el cálculo de predicados; el otro es el "∃-esquema" f(y) ⊃ ∃xf(x) que razona desde el f(y) particular hasta la existencia de al menos un sujeto x que satisface el predicado f(x); ambos requieren adherencia a un dominio definido (universo) del discurso.
Para complementar los cuatro (en lugar de cinco; ver Post ) axiomas del cálculo proposicional, Gödel 1930 agrega el dictum de omni como el primero de dos axiomas adicionales. Tanto este "dictum" como el segundo axioma, afirma en una nota al pie, derivan de Principia Mathematica . De hecho, PM incluye ambos como
Este último afirma que la suma lógica (es decir, ⋁, OR) de una proposición simple p y un predicado ∀xf(x) implica la suma lógica de cada uno por separado. Pero PM deriva ambas de seis proposiciones primitivas de ❋9, que en la segunda edición de PM se descarta y se reemplaza con cuatro nuevos "Pp" (principios primitivos) de ❋8 (véase en particular ❋8.2, y Hilbert deriva el primero de su "ε-axioma lógico" en su 1927 y no menciona el segundo. No está claro cómo Hilbert y Gödel llegaron a adoptar estos dos como axiomas.
También se requieren dos "reglas" más de separación ("modus ponens") aplicables a los predicados.
Alfred Tarski, en su obra de 1946 (segunda edición), "Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas", cita una serie de lo que considera "leyes universales" del cálculo de oraciones, tres "reglas" de inferencia y una ley fundamental de identidad (de la que deriva cuatro leyes más). Las "leyes del pensamiento" tradicionales están incluidas en su larga lista de "leyes" y "reglas". Su tratamiento se limita, como sugiere el título de su libro, a la "Metodología de las ciencias deductivas".
Fundamento : En su introducción (2ª edición) observa que lo que comenzó con una aplicación de la lógica a las matemáticas se ha ampliado a "todo el conocimiento humano":
Para añadir la noción de "igualdad" al "cálculo proposicional" (no debe confundirse esta nueva noción con la equivalencia lógica simbolizada por ↔, ⇄, "si y sólo si (si y sólo si)", "bicondicional", etc.), Tarski (cf p54-57) simboliza lo que llama "ley de Leibniz" con el símbolo "=". Esto extiende el dominio (universo) del discurso y los tipos de funciones a los números y las fórmulas matemáticas (Kleene 1967:148ff, Tarski 1946:54ff).
En pocas palabras: dado que “x tiene todas las propiedades que tiene y”, podemos escribir “x = y”, y esta fórmula tendrá un valor de verdad de “verdad” o “falsedad”. Tarski enuncia esta ley de Leibniz de la siguiente manera:
De esta ley deriva luego algunas otras "leyes":
Principia Mathematica define la noción de igualdad de la siguiente manera (en símbolos modernos); nótese que la generalización "para todos" se extiende sobre las funciones predicadas f():
Hilbert 1927:467 añade sólo dos axiomas de igualdad, el primero es x = x, el segundo es (x = y) → ((f(x) → f(y)); el "para todo f" falta (o está implícito). Gödel 1930 define la igualdad de forma similar a PM :❋13.01. Kleene 1967 adopta los dos de Hilbert 1927 más dos más (Kleene 1967:387).
George Spencer-Brown, en su libro de 1969 " Leyes de la forma " (LOF), comienza dando por sentado que "no podemos hacer una indicación sin establecer una distinción". Esto, por tanto, presupone la ley del tercio excluido. A continuación, define dos axiomas que describen cómo funcionan las distinciones (un "límite") y las indicaciones (un "llamado"):
Estos axiomas guardan cierta similitud con la "ley de identidad" y la "ley de no contradicción", respectivamente. Sin embargo, la ley de identidad se demuestra como un teorema (Teorema 4.5 en " Leyes de la forma ") dentro del marco de la lógica de primer orden. En general, la lógica de primer orden se puede reinterpretar como lógica de primer orden , lógica proposicional y lógica de segundo orden asignando interpretaciones específicas a los símbolos y valores de la lógica de primer orden.
Todos los "sistemas de lógica" mencionados anteriormente se consideran "clásicos", lo que significa que las proposiciones y las expresiones predicativas tienen dos valores, ya sea "verdad" o "falsedad", pero no ambos (Kleene 1967:8 y 83). Si bien la lógica intuicionista cae dentro de la categoría "clásica", se opone a extender el operador "para todos" a la Ley del Tercero Excluido; permite instancias de la "Ley", pero no su generalización a un dominio infinito del discurso.
La " lógica intuicionista ", a veces llamada de manera más general " lógica constructiva ", se refiere a sistemas de lógica simbólica que difieren de los sistemas utilizados para la lógica clásica al reflejar más fielmente la noción de prueba constructiva . En particular, los sistemas de lógica intuicionista no asumen la ley del tercero excluido y la eliminación de la doble negación , que son reglas de inferencia fundamentales en la lógica clásica.
La " lógica paraconsistente " se refiere a los llamados sistemas lógicos tolerantes a las contradicciones en los que una contradicción no necesariamente resulta en trivialismo . En otras palabras, el principio de explosión no es válido en tales lógicas. Algunos (en concreto, los dialeteístas) argumentan que la ley de no contradicción es negada por la lógica dialéctica . Están motivados por ciertas paradojas que parecen implicar un límite de la ley de no contradicción, a saber, la paradoja del mentiroso . Para evitar un sistema lógico trivial y aún así permitir que ciertas contradicciones sean verdaderas, los dialeteístas emplearán una lógica paraconsistente de algún tipo.
TBD cf Lógica de tres valores prueba esto Aritmética y lógica ternaria – Semantic Scholar [47]
(cf Kleene 1967:49): Estos " cálculos " incluyen los símbolos ⎕A, que significa "A es necesario" y ◊A, que significa "A es posible". Kleene afirma que:
La " lógica difusa " es una forma de lógica de múltiples valores ; se ocupa de un razonamiento aproximado en lugar de fijo y exacto.