ecuación de Boltzmann

Ecuación de la mecánica estadística.

El lugar de la ecuación cinética de Boltzmann en la escalera de la reducción de modelos de la dinámica microscópica a la dinámica macroscópica del continuo (ilustración del contenido del libro ^[1] )

La ecuación de Boltzmann o ecuación de transporte de Boltzmann ( BTE ) describe el comportamiento estadístico de un sistema termodinámico que no se encuentra en estado de equilibrio ; fue ideado por Ludwig Boltzmann en 1872. ^[2] El ejemplo clásico de tal sistema es un fluido con gradientes de temperatura en el espacio que causan que el calor fluya de regiones más calientes a otras más frías, mediante el transporte aleatorio pero sesgado de las partículas que lo componen. líquido. En la literatura moderna, el término ecuación de Boltzmann se utiliza a menudo en un sentido más general, refiriéndose a cualquier ecuación cinética que describe el cambio de una cantidad macroscópica en un sistema termodinámico, como la energía, la carga o el número de partículas.

La ecuación surge no analizando las posiciones individuales y los momentos de cada partícula en el fluido, sino más bien considerando una distribución de probabilidad para la posición y el momento de una partícula típica, es decir, la probabilidad de que la partícula ocupe una región muy pequeña del espacio. (matemáticamente el elemento de volumen ) centrado en la posición , y tiene un impulso casi igual a un vector de impulso dado (ocupando así una región muy pequeña del espacio de impulso ), en un instante de tiempo. ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$

La ecuación de Boltzmann se puede utilizar para determinar cómo cambian las cantidades físicas, como la energía térmica y el momento , cuando un fluido está en transporte. También se pueden derivar otras propiedades características de los fluidos, como la viscosidad , la conductividad térmica y la conductividad eléctrica (tratando los portadores de carga de un material como un gas). ^[2] Véase también la ecuación de convección-difusión .

La ecuación es una ecuación integrodiferencial no lineal , y la función desconocida en la ecuación es una función de densidad de probabilidad en un espacio de seis dimensiones de la posición y el momento de una partícula. El problema de la existencia y unicidad de las soluciones aún no está completamente resuelto, pero algunos resultados recientes son bastante prometedores. ^{[3] [4]}

Descripción general

El espacio de fase y la función de densidad.

El conjunto de todas las posiciones posibles r y momentos p se denomina espacio de fase del sistema; en otras palabras, un conjunto de tres coordenadas para cada coordenada de posición x, y, z , y tres más para cada componente de impulso p _x , p _y , p _z . Todo el espacio es de 6 dimensiones : un punto en este espacio es ( r , p ) = ( x, y, z, p _x , p _y , p _z ) , y cada coordenada está parametrizada por el tiempo t . El volumen pequeño (" elemento de volumen diferencial ") se escribe

$${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}.}$$

Dado que la probabilidad de N moléculas, todas las cuales tienen r y p dentro de , está en duda, en el centro de la ecuación hay una cantidad f que da esta probabilidad por unidad de volumen del espacio de fase, o probabilidad por unidad de longitud al cubo por unidad de momento al cubo. , en un instante de tiempo t . Esta es una función de densidad de probabilidad : f ( r , p , t ) , definida de modo que, ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$

$${\displaystyle dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$$

tienenrde espacio de impulsopt^[5] La integración ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}N&=\int \limits _{\mathrm {momenta} }d^{3}\mathbf {p} \int \limits _{\mathrm {positions} }d^{3}\mathbf {r} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\\[5pt]&=\iiint \limits _{\mathrm {momenta} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {positions} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}\end{aligned}}}$$

que es una integral séxtuple . Mientras que f está asociado con varias partículas, el espacio de fases es para una partícula (no para todas, lo que suele ser el caso de los sistemas deterministas de muchos cuerpos ), ya que solo se trata de una r y una p . No es parte del análisis usar r ₁ , p ₁ para la partícula 1, r ₂ , p ₂ para la partícula 2, etc. hasta r _N , p _N para la partícula N .

Se supone que las partículas del sistema son idénticas (por lo que cada una tiene una masa idéntica m ). Para una mezcla de más de una especie química , se necesita una distribución para cada una, ver más abajo.

Declaración principal

La ecuación general se puede escribir entonces como ^[6]

$${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{force}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{diff}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$$

donde el término "fuerza" corresponde a las fuerzas ejercidas sobre las partículas por una influencia externa (no por las partículas mismas), el término "diff" representa la difusión de partículas y "coll" es el término de colisión , que representa las fuerzas. actuando entre partículas en colisiones. A continuación se proporcionan expresiones para cada término del lado derecho. ^[6]

Tenga en cuenta que algunos autores utilizan la velocidad de la partícula v en lugar del momento p ; están relacionados en la definición de impulso por p = m v .

Los términos de fuerza y ​​difusión.

Considere las partículas descritas por f , cada una de las cuales experimenta una fuerza externa F que no se debe a otras partículas (consulte el término de colisión para este último tratamiento).

Supongamos que en el momento t un número de partículas tienen todas la posición r dentro del elemento y un momento p dentro . Si una fuerza F actúa instantáneamente sobre cada partícula, entonces en el tiempo t + Δ t su posición será y el momento p + Δ p = p + F Δ t . Entonces, en ausencia de colisiones, f debe satisfacer ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} =\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t}$

$${\displaystyle f\left(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,\Delta t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \,\Delta t,t+\Delta t\right)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$$

Tenga en cuenta que hemos utilizado el hecho de que el elemento volumen del espacio de fases es constante, lo que se puede demostrar utilizando las ecuaciones de Hamilton (consulte la discusión bajo el teorema de Liouville ). Sin embargo, dado que ocurren colisiones, la densidad de partículas en el volumen del espacio de fases cambia, por lo que ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$ ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$

donde Δ f es el cambio total en f . Dividiendo ( 1 ) por y tomando los límites Δ t → 0 y Δ f → 0 , tenemos ${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} \,\Delta t}$

El diferencial total de f es:

donde ∇ es el operador de gradiente , · es el producto escalar ,

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\mathbf {\hat {e}} _{x}{\frac {\partial f}{\partial p_{x}}}+\mathbf {\hat {e}} _{y}{\frac {\partial f}{\partial p_{y}}}+\mathbf {\hat {e}} _{z}{\frac {\partial f}{\partial p_{z}}}=\nabla _{\mathbf {p} }f}$$

∇ê _xê _yê _zvectores unitarios cartesianos

Declaración final

Dividiendo ( 3 ) por dt y sustituyendo en ( 2 ) se obtiene:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}$$

En este contexto, F ( r , t ) es el campo de fuerza que actúa sobre las partículas en el fluido y m es la masa de las partículas. El término del lado derecho se añade para describir el efecto de las colisiones entre partículas; si es cero entonces las partículas no chocan. La ecuación de Boltzmann sin colisiones, donde las colisiones individuales se reemplazan con interacciones agregadas de largo alcance, por ejemplo, interacciones de Coulomb , a menudo se denomina ecuación de Vlasov .

Esta ecuación es más útil que la principal anterior, pero aún está incompleta, ya que f no se puede resolver a menos que se conozca el término de colisión en f . Este término no se puede encontrar tan fácil o generalmente como los demás: es un término estadístico que representa las colisiones de partículas y requiere conocimiento de las estadísticas que obedecen las partículas, como las distribuciones de Maxwell-Boltzmann , Fermi-Dirac o Bose-Einstein .

El término de colisión (Stosszahlansatz) y el caos molecular

Término de colisión de dos cuerpos

Una idea clave aplicada por Boltzmann fue determinar el término de colisión resultante únicamente de colisiones de dos cuerpos entre partículas que se supone no estaban correlacionadas antes de la colisión. Boltzmann se refirió a esta suposición como " Stosszahlansatz " y también se la conoce como "suposición del caos molecular ". Bajo este supuesto, el término de colisión se puede escribir como una integral de momento-espacio sobre el producto de funciones de distribución de una partícula: ^[2]

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{B},}$$

p _Ap _BABp′ _Ap′ _B

$${\displaystyle g=|\mathbf {p} _{B}-\mathbf {p} _{A}|=|\mathbf {p'} _{B}-\mathbf {p'} _{A}|}$$

velocidad relativaI ( g , Ω)sección transversal diferencialθángulo sólido d Ω

Simplificaciones del término de colisión

Dado que gran parte del desafío para resolver la ecuación de Boltzmann se origina en el término de colisión complejo, se han realizado intentos de "modelar" y simplificar el término de colisión. El modelo de ecuación más conocido se debe a Bhatnagar, Gross y Krook. ^[7] El supuesto en la aproximación BGK es que el efecto de las colisiones moleculares es forzar una función de distribución de no equilibrio en un punto del espacio físico a volver a una función de distribución de equilibrio de Maxwell y que la velocidad a la que esto ocurre es proporcional a la frecuencia de colisión molecular. Por tanto, la ecuación de Boltzmann se modifica a la forma BGK:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\nu (f_{0}-f),}$$

donde es la frecuencia de colisión molecular y es la función de distribución local de Maxwell dada la temperatura del gas en este punto del espacio. Esto también se denomina "aproximación del tiempo de relajación". ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle f_{0}}$

Ecuación general (para una mezcla)

Para una mezcla de especies químicas etiquetadas por índices i = 1, 2, 3, ..., n la ecuación para la especie i es ^[2]

$${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\cdot \nabla f_{i}+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\text{coll}},}$$

donde f _i = f _i ( r , p _i , t ) y el término de colisión es

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }=\sum _{j=1}^{n}\iint g_{ij}I_{ij}(g_{ij},\Omega )[f'_{i}f'_{j}-f_{i}f_{j}]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p'} ,}$$

donde f′ = f′ ( p′ _i , t ) , la magnitud de los momentos relativos es

$${\displaystyle g_{ij}=|\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{j}|=|\mathbf {p'} _{i}-\mathbf {p'} _{j}|,}$$

y I _ij es la sección transversal diferencial, como antes, entre las partículas i y j . La integración se realiza sobre los componentes del momento en el integrando (que están etiquetados como i y j ). La suma de integrales describe la entrada y salida de partículas de la especie i dentro o fuera del elemento del espacio de fases.

Aplicaciones y extensiones

Ecuaciones de conservación

La ecuación de Boltzmann se puede utilizar para derivar las leyes de conservación de la dinámica de fluidos para masa, carga, momento y energía. ^{[8] : 163} Para un fluido que consta de un solo tipo de partícula, la densidad numérica n está dada por

$${\displaystyle n=\int f\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

El valor promedio de cualquier función A es

$${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{n}}\int Af\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

Dado que las ecuaciones de conservación involucran tensores, se utilizará la convención de suma de Einstein cuando índices repetidos en un producto indiquen suma sobre esos índices. Por tanto y , ¿dónde está el vector de velocidad de las partículas? Defina como alguna función únicamente del momento , que se conserva en una colisión. Supongamos también que la fuerza es función únicamente de la posición y que f es cero para . Multiplicar la ecuación de Boltzmann por A e integrar sobre el momento produce cuatro términos que, usando la integración por partes, se pueden expresar como ${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \mapsto p_{i}=mv_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle A(p_{i})}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\to \pm \infty }$

$${\displaystyle \int A{\frac {\partial f}{\partial t}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle A\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int {\frac {p_{j}A}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {1}{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n\langle Ap_{j}\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int AF_{j}{\frac {\partial f}{\partial p_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} =-nF_{j}\left\langle {\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}\right\rangle ,}$$

$${\displaystyle \int A\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}\,d^{3}\mathbf {p} =0,}$$

donde el último término es cero, ya que A se conserva en una colisión. Los valores de A corresponden a momentos de velocidad (y momento , ya que son linealmente dependientes). ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

momento cero

Dejando , la masa de la partícula, la ecuación integrada de Boltzmann se convierte en la ecuación de conservación de la masa: ^{[8] : 12, 168} ${\displaystyle A=m(v_{i})^{0}=m}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{j})=0,}$$

${\displaystyle \rho =mn}$ ${\displaystyle V_{i}=\langle v_{i}\rangle }$

Primer momento

Dejando , el momento de la partícula, la ecuación integrada de Boltzmann se convierte en la ecuación de conservación del momento: ^{[8] : 15, 169} ${\displaystyle A=m(v_{i})^{1}=p_{i}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(\rho V_{i}V_{j}+P_{ij})-nF_{i}=0,}$$

donde es el tensor de presión (el tensor de tensión viscosa más la presión hidrostática ). ${\displaystyle P_{ij}=\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{j}-V_{j})\rangle }$

Segundo momento

Dejando , la energía cinética de la partícula, la ecuación integrada de Boltzmann se convierte en la ecuación de conservación de la energía: ^{[8] : 19, 169} ${\displaystyle A={\frac {m(v_{i})^{2}}{2}}={\frac {p_{i}p_{i}}{2m}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(u+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i})+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(uV_{j}+{\tfrac {1}{2}}\rho V_{i}V_{i}V_{j}+J_{qj}+P_{ij}V_{i})-nF_{i}V_{i}=0,}$$

donde es la densidad de energía térmica cinética y es el vector de flujo de calor. ${\textstyle u={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{i}-V_{i})\rangle }$ ${\textstyle J_{qi}={\tfrac {1}{2}}\rho \langle (v_{i}-V_{i})(v_{k}-V_{k})(v_{k}-V_{k})\rangle }$

Mecánica hamiltoniana

En mecánica hamiltoniana , la ecuación de Boltzmann a menudo se escribe de manera más general como

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],}$$

Loperador de LiouvilleCL

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$$

Teoría cuántica y violación de la conservación del número de partículas.

Es posible escribir ecuaciones cuánticas relativistas de Boltzmann para sistemas cuánticos relativistas en los que el número de partículas no se conserva en las colisiones. Esto tiene varias aplicaciones en cosmología física , ^[9] incluida la formación de elementos ligeros en la nucleosíntesis del Big Bang , la producción de materia oscura y la bariogénesis . No está claro a priori que el estado de un sistema cuántico pueda caracterizarse por una densidad espacial de fase clásica f . Sin embargo, para una amplia clase de aplicaciones existe una generalización bien definida de f que es la solución de una ecuación de Boltzmann efectiva que puede derivarse de los primeros principios de la teoría cuántica de campos . ^[10]

Relatividad general y astronomía.

La ecuación de Boltzmann es útil en la dinámica galáctica. Una galaxia, bajo ciertas suposiciones, puede aproximarse a un fluido continuo; su distribución de masa está entonces representada por f ; En las galaxias, las colisiones físicas entre las estrellas son muy raras y el efecto de las colisiones gravitacionales puede despreciarse durante tiempos mucho más largos que la edad del universo .

Su generalización en la relatividad general es ^[11]

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{\partial p^{\alpha }}},}$$

Γ ^α _βγsímbolo de Christoffel( xi , p _i ) ^espacio de( xi ^, p ⁱ )^{[12] [13]}

En cosmología física, se ha utilizado el enfoque totalmente covariante para estudiar la radiación cósmica de fondo de microondas. ^[14] De manera más genérica, el estudio de los procesos en el universo temprano a menudo intenta tener en cuenta los efectos de la mecánica cuántica y la relatividad general . ^[9] En el medio muy denso formado por el plasma primordial después del Big Bang , las partículas se crean y aniquilan continuamente. En tal entorno, la coherencia cuántica y la extensión espacial de la función de onda pueden afectar la dinámica, lo que hace cuestionable si la distribución clásica del espacio de fase f que aparece en la ecuación de Boltzmann es adecuada para describir el sistema. Sin embargo, en muchos casos es posible derivar una ecuación de Boltzmann eficaz para una función de distribución generalizada a partir de los primeros principios de la teoría cuántica de campos . ^[10] Esto incluye la formación de los elementos ligeros en la nucleosíntesis del Big Bang , la producción de materia oscura y la bariogénesis .

Resolviendo la ecuación

En algunos casos se ha demostrado que existen soluciones exactas a las ecuaciones de Boltzmann; ^[15] este enfoque analítico proporciona información, pero generalmente no se puede utilizar en problemas prácticos.

En cambio, los métodos numéricos (incluidos los métodos de elementos finitos y de celosía de Boltzmann ) se utilizan generalmente para encontrar soluciones aproximadas a las diversas formas de la ecuación de Boltzmann. Los ejemplos de aplicaciones van desde la aerodinámica hipersónica en flujos de gas enrarecido ^{[16] [17]} hasta flujos de plasma. ^[18] Una aplicación de la ecuación de Boltzmann en electrodinámica es el cálculo de la conductividad eléctrica; el resultado es, en orden principal, idéntico al resultado semiclásico. ^[19]

Cerca del equilibrio local , la solución de la ecuación de Boltzmann puede representarse mediante una expansión asintótica en potencias del número de Knudsen (la expansión de Chapman-Enskog ^[20] ). Los dos primeros términos de esta expansión dan las ecuaciones de Euler y las ecuaciones de Navier-Stokes . Los términos superiores tienen singularidades. El problema de desarrollar matemáticamente los procesos limitantes que conducen desde la visión atomista (representada por la ecuación de Boltzmann) a las leyes del movimiento de los continuos, es una parte importante del sexto problema de Hilbert . ^[21]

Limitaciones y usos adicionales de la ecuación de Boltzmann

La ecuación de Boltzmann es válida sólo bajo varios supuestos. Por ejemplo, se supone que las partículas son puntuales, es decir, sin tamaño finito. Existe una generalización de la ecuación de Boltzmann que se llama ecuación de Enskog . ^[22] El término de colisión se modifica en las ecuaciones de Enskog de modo que las partículas tienen un tamaño finito; por ejemplo, pueden modelarse como esferas que tienen un radio fijo.

Para las partículas no se suponen más grados de libertad que el movimiento de traslación. Si hay grados de libertad internos, la ecuación de Boltzmann debe generalizarse y podría poseer colisiones inelásticas . ^[22]

Muchos fluidos reales, como líquidos o gases densos, además de las características mencionadas anteriormente, tienen formas de colisión más complejas; no solo habrá colisiones binarias, sino también ternarias y de orden superior. ^[23] Estos deben derivarse utilizando la jerarquía BBGKY .

Para el movimiento de las células también se utilizan ecuaciones tipo Boltzmann . ^{[24] [25]} Dado que las células son partículas compuestas que tienen grados de libertad internos, las ecuaciones de Boltzmann generalizadas correspondientes deben tener integrales de colisión inelásticas. Estas ecuaciones pueden describir invasiones de células cancerosas en tejidos, morfogénesis y efectos relacionados con la quimiotaxis .

Ver también

• ecuación de vlasov
• La ecuación de Vlasov-Poisson
• Ecuación de Fokker-Planck
• Ecuación de Williams-Boltzmann
• Derivación de la ecuación de Navier-Stokes a partir de LBE
• Derivación de la ecuación de Jeans de BE
• teorema de jeans
• teorema h

Notas

1. Gorban, Alexander N.; Karlin, Ilya V. (2005). Colectores invariantes para cinética física y química. Apuntes de conferencias de física (LNP, vol. 660). Berlín, Heidelberg: Springer. doi :10.1007/b98103. ISBN 978-3-540-22684-0.URL alternativa
2. Encyclopaedia of Physics (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3.
3. DiPerna, RJ; Leones, P.-L. (1989). "Sobre el problema de Cauchy para las ecuaciones de Boltzmann: existencia global y estabilidad débil". Ana. de Matemáticas . 2. 130 (2): 321–366. doi :10.2307/1971423. JSTOR  1971423.
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5. Huang, Kerson (1987). Mecánica estadística (Segunda ed.). Nueva York: Wiley. pag. 53.ISBN _ 978-0-471-81518-1.
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25. Conte, Martina; Loy, Nadia (12 de febrero de 2022). "Modelo cinético de múltiples señales con detección no local para la migración celular en una red de fibra con quimiotaxis". Boletín de Biología Matemática . 84 (3): 42. doi :10.1007/s11538-021-00978-1. ISSN  1522-9602. PMC 8840942 . PMID  35150333. 

Referencias

• Harris, Stewart (1971). Una introducción a la teoría de la ecuación de Boltzmann. Libros de Dover. pag. 221.ISBN _ 978-0-486-43831-3.. Introducción muy económica al marco moderno (a partir de una deducción formal de Liouville y la jerarquía Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon (BBGKY) en la que se ubica la ecuación de Boltzmann). La mayoría de los libros de texto de mecánica estadística como Huang todavía tratan el tema utilizando los argumentos originales de Boltzmann. Para derivar la ecuación, estos libros utilizan una explicación heurística que no resalta el rango de validez y los supuestos característicos que distinguen la de Boltzmann de otras ecuaciones de transporte como las ecuaciones de Fokker-Planck o Landau.

• Arkeryd, Leif (1972). "Sobre la ecuación de Boltzmann parte I: Existencia". Arco. Mecánico racional. Anal . 45 (1): 1–16. Código Bib : 1972ArRMA..45....1A. doi :10.1007/BF00253392. S2CID  117877311.
• Arkeryd, Leif (1972). "Sobre la ecuación de Boltzmann, parte II: el problema del valor inicial completo". Arco. Mecánico racional. Anal . 45 (1): 17–34. Código Bib : 1972ArRMA..45...17A. doi :10.1007/BF00253393. S2CID  119481100.
• Arkeryd, Leif (1972). "Sobre la ecuación de Boltzmann parte I: Existencia". Arco. Mecánico racional. Anal . 45 (1): 1–16. Código Bib : 1972ArRMA..45....1A. doi :10.1007/BF00253392. S2CID  117877311.
• DiPerna, RJ; Leones, P.-L. (1989). "Sobre el problema de Cauchy para las ecuaciones de Boltzmann: existencia global y estabilidad débil". Ana. de Matemáticas . 2. 130 (2): 321–366. doi :10.2307/1971423. JSTOR  1971423.

enlaces externos

• La ecuación de transporte de Boltzmann de Franz Vesely
• Comportamientos gaseosos de Boltzmann resueltos