ecuación de vlasov

Descripción de la evolución temporal del plasma.

La ecuación de Vlasov es una ecuación diferencial que describe la evolución temporal de la función de distribución del plasma que consta de partículas cargadas con interacción de largo alcance, como la interacción de Coulomb . La ecuación fue sugerida por primera vez para la descripción del plasma por Anatoly Vlasov en 1938 ^{[1] [2]} y luego discutida en detalle por él en una monografía. ^[3]

Dificultades del enfoque cinético estándar.

En primer lugar, Vlasov sostiene que el enfoque cinético estándar basado en la ecuación de Boltzmann tiene dificultades cuando se aplica a una descripción del plasma con interacción de Coulomb de largo alcance . Menciona los siguientes problemas que surgen al aplicar la teoría cinética basada en colisiones de pares a la dinámica del plasma:

1. La teoría de las colisiones de pares no está de acuerdo con el descubrimiento de Rayleigh , Irving Langmuir y Lewi Tonks de las vibraciones naturales en el plasma de electrones.
2. La teoría de las colisiones de pares formalmente no es aplicable a la interacción de Coulomb debido a la divergencia de los términos cinéticos.
3. La teoría de las colisiones de pares no puede explicar los experimentos de Harrison Merrill y Harold Webb sobre la dispersión anómala de electrones en plasma gaseoso. ^[4]

Vlasov sugiere que estas dificultades se originan en el carácter de largo alcance de la interacción de Coulomb. Comienza con la ecuación de Boltzmann sin colisiones (a veces llamada ecuación de Vlasov, anacrónicamente en este contexto), en coordenadas generalizadas : $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=0,}$$

explícitamente una PDE : y la adaptó al caso de un plasma, lo que llevó a los sistemas de ecuaciones que se muestran a continuación. ^[5] Aquí f es una función de distribución general de partículas con momento p en las coordenadas r y un tiempo dado t . Tenga en cuenta que el término es la fuerza F que actúa sobre la partícula. $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0,}$$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$

El sistema de ecuaciones de Vlasov-Maxwell (unidades gaussianas)

En lugar de una descripción cinética basada en colisiones para la interacción de partículas cargadas en el plasma, Vlasov utiliza un campo colectivo autoconsistente creado por las partículas de plasma cargadas. Esta descripción utiliza funciones de distribución y para electrones e iones de plasma (positivos) . La función de distribución para la especie α describe el número de partículas de la especie α que tienen aproximadamente el impulso cerca de la posición en el momento t . En lugar de la ecuación de Boltzmann, se propuso el siguiente sistema de ecuaciones para describir los componentes cargados del plasma (electrones e iones positivos): ${\displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{e}\cdot \nabla f_{e}&-e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{e}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{e}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{i}\cdot \nabla f_{i}&+Z_{i}e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{i}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {E} &=4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \rho =e\int (Z_{i}f_{i}-f_{e})\mathrm {d} ^{3}p,\quad \mathbf {j} =e\int (Z_{i}f_{i}\mathbf {v} _{i}-f_{e}\mathbf {v} _{e})\mathrm {d} ^{3}p,\quad \mathbf {v} _{\alpha }={\frac {\frac {\mathbf {p} }{m_{\alpha }}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{(m_{\alpha }c)^{2}}}\right)^{1/2}}}}$$

Aquí e es la carga elemental ( ), c es la velocidad de la luz , m _i es la masa del ion y representa el campo electromagnético autoconsistente colectivo creado en el momento t por todas las partículas de plasma. La diferencia esencial entre este sistema de ecuaciones y las ecuaciones para partículas en un campo electromagnético externo es que el campo electromagnético autoconsistente depende de manera compleja de las funciones de distribución de electrones e iones y . ${\displaystyle e>0}$ ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$

La ecuación de Vlasov-Poisson

Las ecuaciones de Vlasov-Poisson son una aproximación de las ecuaciones de Vlasov-Maxwell en el límite del campo magnético cero no relativista: $${\displaystyle {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+\mathbf {v} _{\alpha }\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {q_{\alpha }\mathbf {E} }{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {v} }}=0,}$$

y la ecuación de Poisson para el campo eléctrico autoconsistente: $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +{\frac {\rho }{\varepsilon }}=0.}$$

Aquí q _α es la carga eléctrica de la partícula, m _α es la masa de la partícula, es el campo eléctrico autoconsistente , el potencial eléctrico autoconsistente , ρ es la densidad de carga eléctrica y es la permitividad eléctrica . ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Las ecuaciones de Vlasov-Poisson se utilizan para describir diversos fenómenos en el plasma, en particular el amortiguamiento de Landau y las distribuciones en un plasma de doble capa , donde son necesariamente fuertemente no maxwellianos y, por lo tanto, inaccesibles a los modelos de fluidos.

Ecuaciones de momento

En las descripciones de fluidos de plasmas (ver modelado de plasma y magnetohidrodinámica (MHD)) no se considera la distribución de velocidades. Esto se logra reemplazando con plasma momentos como la densidad numérica n , la velocidad del flujo u y la presión p . ^[6] Se denominan momentos de plasma porque el n -ésimo momento de se puede encontrar integrando sobre la velocidad. Estas variables son sólo funciones de posición y tiempo, lo que significa que se pierde parte de la información. En la teoría de fluidos múltiples, las diferentes especies de partículas se tratan como fluidos diferentes con diferentes presiones, densidades y velocidades de flujo. Las ecuaciones que gobiernan los momentos del plasma se denominan ecuaciones de momentos o de fluidos. ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v^{n}f}$

A continuación se presentan las dos ecuaciones de momento más utilizadas (en unidades SI ). Derivar las ecuaciones de momento a partir de la ecuación de Vlasov no requiere suposiciones sobre la función de distribución.

Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad describe cómo cambia la densidad con el tiempo. Se puede encontrar integrando la ecuación de Vlasov en todo el espacio de velocidades. $${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} ^{3}v=\int \left({\frac {\partial }{\partial t}}f+(\mathbf {v} \cdot \nabla _{r})f+(\mathbf {a} \cdot \nabla _{v})f\right)\mathrm {d} ^{3}v=0}$$

Después de algunos cálculos, se llega a $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n\mathbf {u} )=0.}$$

La densidad numérica n y la densidad de momento n u son momentos de orden cero y de primer orden: $${\displaystyle n=\int f\mathrm {d^{3}} v}$$ $${\displaystyle n\mathbf {u} =\int \mathbf {v} f\mathrm {d} ^{3}v}$$

Ecuación de momento

La tasa de cambio del momento de una partícula viene dada por la ecuación de Lorentz: $${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$$

Al usar esta ecuación y la ecuación de Vlasov, la ecuación de momento para cada fluido se convierte en donde está el tensor de presión. La derivada material es $${\displaystyle mn{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {u} =-\nabla \cdot {\mathcal {P}}+qn\mathbf {E} +qn\mathbf {u} \times \mathbf {B} ,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$$

El tensor de presión se define como la masa de la partícula multiplicada por la matriz de covarianza de la velocidad: $${\displaystyle p_{ij}=m\int (v_{i}-u_{i})(v_{j}-u_{j})f\mathrm {d} ^{3}v.}$$

La aproximación congelada

En cuanto al MHD ideal , se puede considerar que el plasma está ligado a las líneas del campo magnético cuando se cumplen ciertas condiciones. A menudo se dice que las líneas del campo magnético están congeladas en el plasma. Las condiciones de congelación se pueden derivar de la ecuación de Vlasov.

Introducimos las escalas T , L y V para tiempo, distancia y velocidad respectivamente. Representan magnitudes de los diferentes parámetros que dan grandes cambios en . Por grande queremos decir que ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}T\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right|L\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\right|V\sim f.}$$

luego escribimos $${\displaystyle t'={\frac {t}{T}},\quad \mathbf {r} '={\frac {\mathbf {r} }{L}},\quad \mathbf {v} '={\frac {\mathbf {v} }{V}}.}$$

La ecuación de Vlasov ahora se puede escribir. $${\displaystyle {\frac {1}{T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {V}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} '}}+{\frac {q}{mV}}(\mathbf {E} +V\mathbf {v} '\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}=0.}$$

Hasta el momento no se han realizado aproximaciones. Para poder proceder establecemos dónde está la frecuencia del giroscopio y R es el radio de giro . Dividiendo por ω _g , obtenemos ${\displaystyle V=R\omega _{g}}$ ${\displaystyle \omega _{g}=qB/m}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{g}T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {R}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} '}}+\left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}=0}$$

Si y , los dos primeros términos serán mucho menores que desde y debido a las definiciones de T , L y V anteriores. Como el último término es del orden de , podemos descuidar los dos primeros términos y escribir ${\displaystyle 1/\omega _{g}\ll T}$ ${\displaystyle R\ll L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial f/\partial t'\sim f,v'\lesssim 1}$ ${\displaystyle \partial f/\partial \mathbf {r} '\sim f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}\approx 0\Rightarrow (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\approx 0}$$

Esta ecuación se puede descomponer en un campo alineado y una parte perpendicular: $${\displaystyle \mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\parallel }}}+(\mathbf {E} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$$

El siguiente paso es escribir donde ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}+\Delta \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} =-\mathbf {E} _{\perp }}$$

Pronto quedará claro por qué se hace esto. Con esta sustitución obtenemos $${\displaystyle \mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\parallel }}}+(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$$

Si el campo eléctrico paralelo es pequeño, $${\displaystyle (\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$$

Esta ecuación significa que la distribución es girotrópica. ^[7] La ​​velocidad media de una distribución girotrópica es cero. Por lo tanto, es idéntica a la velocidad media, u , y tenemos ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} \approx 0}$$

En resumen, el período y el radio del giro deben ser mucho más pequeños que los tiempos y longitudes típicos que dan grandes cambios en la función de distribución. El radio del giroscopio a menudo se estima reemplazando V con la velocidad térmica o la velocidad de Alfvén . En el último caso, R suele denominarse longitud inercial. Las condiciones de congelación deben evaluarse para cada especie de partícula por separado. Debido a que los electrones tienen un período y un radio de giro mucho más pequeños que los iones, las condiciones de congelación se cumplirán con mayor frecuencia.

Ver también

• Ecuación de Fokker-Planck

Referencias

1. A. A. Vlasov (1938). "Sobre las propiedades de vibración del gas electrónico". J. Exp. Teor. Física. (en ruso). 8 (3): 291.
2. A. A. Vlasov (1968). "Las propiedades vibratorias de un gas de electrones". Física soviética Uspekhi . 10 (6): 721–733. Código bibliográfico : 1968SvPhU..10..721V. doi :10.1070/PU1968v010n06ABEH003709. S2CID  122952713.
3. A. A. Vlasov (1945). Teoría de las propiedades vibratorias de un gas electrónico y sus aplicaciones .
4. HJ Merrill y HW Webb (1939). "Dispersión de electrones y oscilaciones del plasma". Revisión física . 55 (12): 1191. Código bibliográfico : 1939PhRv...55.1191M. doi : 10.1103/PhysRev.55.1191.
5. Hénon, M. (1982). "¿Ecuación de Vlasov?". Astronomía y Astrofísica . 114 (1): 211–212. Código bibliográfico : 1982A y A...114..211H.
6. Baumjohann, W.; Treumann, RA (1997). Física básica del plasma espacial . Prensa del Imperial College. ISBN 1-86094-079-X.
7. Clemmow, ordenador personal; Dougherty, John P. (1969). Electrodinámica de partículas y plasmas . Pub Addison-Wesley. Co. ediciones: cMUlGV7CWTQC.

Otras lecturas

• Vlasov, AA (1961). "Teoría de muchas partículas y su aplicación al plasma". Nueva York . Código bibliográfico : 1961temc.book.....V.