Ecuación de pulverización de Williams

En la combustión , la ecuación de pulverización de Williams , también conocida como ecuación de Williams-Boltzmann , describe la evolución estadística de las pulverizaciones contenidas en otro fluido, análoga a la ecuación de Boltzmann para las moléculas, que lleva el nombre de Forman A. Williams , quien derivó la ecuación en 1958. [ ^{1] [2]}

Descripción matemática[3]

Se supone que las pulverizaciones son esféricas con radio , aunque la suposición es válida para partículas sólidas (gotas de líquido) cuando su forma no tiene consecuencias sobre la combustión. Para que las gotas de líquido sean casi esféricas, el spray debe estar diluido (el volumen total ocupado por los sprays es mucho menor que el volumen del gas) y el número de Weber , donde es la densidad del gas, es la velocidad de la gota de spray, es la La velocidad del gas y es la tensión superficial del líquido rociado, debe ser . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle We=2r\rho _{g}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}/\sigma }$ ${\displaystyle \rho _{g}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle We\ll 10}$

La ecuación se describe mediante una función de densidad numérica , que representa el número probable de partículas de pulverización (gotas) de especies químicas (del total de especies), que se pueden encontrar con radios entre y , ubicadas en el rango espacial entre y , viajando con una velocidad entre y , teniendo la temperatura entre y en el tiempo . Entonces la ecuación de pulverización para la evolución de esta función de densidad viene dada por ${\displaystyle f_{j}(r,\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,T,t)\,dr\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {v} \,dT}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+dr}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} +d\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} +d\mathbf {v} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T+dT}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial t}}+\nabla _{x}\cdot (\mathbf {v} f_{j})+\nabla _{v}\cdot (F_{j}f_{j})=-{\frac {\partial }{\partial r}}(R_{j}f_{j})-{\frac {\partial }{\partial T}}(E_{j}f_{j})+Q_{j}+\Gamma _{j},\quad j=1,2,\ldots ,M.}$

dónde

${\displaystyle F_{j}=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{j}}$es la fuerza por unidad de masa que actúa sobre la especie pulverizada (aceleración aplicada a las pulverizaciones), ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle R_{j}=\left({\frac {dr}{dt}}\right)_{j}}$es la tasa de cambio del tamaño de la especie pulverizada, ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle E_{j}=\left({\frac {dT}{dt}}\right)_{j}}$es la tasa de cambio de la temperatura de la especie pulverizada debido a la transferencia de calor, ^[4] ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle Q_{j}}$ es la tasa de cambio de la función de densidad numérica de la pulverización de especies debido a la nucleación, la ruptura del líquido, etc., ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle \Gamma _{j}}$es la tasa de cambio de la función de densidad numérica de las especies pulverizadas debido a la colisión con otras partículas de pulverización. ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

Un modelo simplificado para cohetes de propulsor líquido.

Este modelo de motor cohete fue desarrollado por Probert, ^[5] Williams ^{[1] [6]} y Tanasawa. ^{[7] [8]} Es razonable ignorar , para distancias no muy cercanas al atomizador, donde ocurre la mayor parte de la combustión. Considere un motor de cohete unidimensional de propulsión líquida situado en , donde se pulveriza el combustible. Si se desprecia (la función de densidad se define sin la temperatura, por lo tanto, las dimensiones de los cambios corresponden) y debido al hecho de que el flujo medio es paralelo al eje, la ecuación de aspersión estacionaria se reduce a ${\displaystyle Q_{j},\ \Gamma _{j}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}(R_{j}f_{j})+{\frac {\partial }{\partial x}}(u_{j}f_{j})+{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}(F_{j}f_{j})=0}$

¿Dónde está la velocidad en la dirección? Integrando con respecto a los resultados de velocidad. ${\displaystyle u_{j}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left(\int R_{j}f_{j}\,du_{j}\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\int u_{j}f_{j}\,du_{j}\right)+[F_{j}f_{j}]_{0}^{\infty }=0}$

La contribución del último término (término de aceleración de pulverización) se vuelve cero (usando el teorema de divergencia ) desde cuando es muy grande, lo que suele ser el caso en los motores de cohetes. La tasa de tamaño de gota está bien modelada utilizando mecanismos de vaporización como ${\displaystyle f_{j}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R_{j}}$

${\displaystyle R_{j}=-{\frac {\chi _{j}}{r^{k_{j}}}},\quad \chi _{j}\geq 0,\quad 0\leq k_{j}\leq 1}$

donde es independiente de , pero puede depender del gas circundante. Definir el número de gotas por unidad de volumen por unidad de radio y las cantidades promedio promediadas sobre velocidades, ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle G_{j}=\int f_{j}\,du_{j},\quad {\bar {R}}_{j}={\frac {\int R_{j}f_{j}\,du_{j}}{G_{j}}},\quad {\bar {u}}_{j}={\frac {\int u_{j}f_{j}\,du_{j}}{G_{j}}}}$

la ecuación se convierte

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}({\bar {R}}_{j}G_{j})+{\frac {\partial }{\partial x}}({\bar {u}}_{j}G_{j})=0.}$

Si se supone además que es independiente de y con una coordenada transformada ${\displaystyle {\bar {u}}_{j}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \eta _{j}=\left[r^{k_{j}+1}+(k_{j}+1)\int _{0}^{x}{\frac {\chi _{j}}{{\bar {u}}_{j}}}\,dx\right]^{1/(k_{j}+1)}}$

Si la cámara de combustión tiene un área de sección transversal variable , una función conocida para y con área en el lugar de pulverización, entonces la solución viene dada por ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle A_{o}}$

${\displaystyle G_{j}(\eta _{j})=G_{j,o}(\eta _{j}){\frac {A_{o}{\bar {u}}_{j,o}}{A{\bar {u}}_{j}}}\left({\frac {r}{\eta _{j}}}\right)^{k_{j}}}$.

¿Dónde están la distribución numérica y la velocidad media respectivamente? ${\displaystyle G_{j,0}=G_{j}(r,0),\ {\bar {u}}_{j,0}={\bar {u}}_{j}(x=0)}$ ${\displaystyle x=0}$

Ver también

• ecuación de Boltzmann
• Spray (gota de líquido)
• Cohete de propulsor líquido
• Ecuación de coagulación de Smoluchowski

Referencias

1. Williams, FA (1958). "Atomización y combustión por aspersión". Física de Fluidos . dieciséis ). Publicación AIP: 541. Código bibliográfico : 1958PhFl....1..541W. doi :10.1063/1.1724379. ISSN  0031-9171.
2. Williams, FA (1961). "Avances en el análisis de combustión por aspersión". Simposio (Internacional) sobre Combustión . 8 (1). Elsevier BV: 50–69. doi :10.1016/s0082-0784(06)80487-x. ISSN  0082-0784.
3. Williams, FA (1985). Teoría de la combustión: la teoría fundamental de los sistemas de flujo que reaccionan químicamente . Redwood City, California: Addison/Wesley Pub. ISBN del condado 978-0-201-40777-8. OCLC  26785266.
4. Emre, O.; Kah, D.; Jay, Stéphane; Tran, Q.-H.; Velghe, A.; de Chaisemartin, S.; zorro, RO; Laurent, F.; Masot, M. (2015). "Métodos del momento euleriano para pulverizaciones automotrices" (PDF) . Atomización y Sprays . 25 (3). Casa Begell: 189–254. doi :10.1615/atomizspr.2015011204. ISSN  1044-5110.
5. Probert, RP (1946). "XV. La influencia del tamaño y distribución de las partículas de pulverización en la combustión de gotas de aceite". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín . 37 (265). Informa Reino Unido limitado: 94–105. doi :10.1080/14786444608561330. ISSN  1941-5982.
6. Williams, FA "Introducción a los modelos analíticos de inestabilidad de la combustión de alta frecuencia". Octavo Simposio (Internacional) sobre Combustión. Williams y Wilkins. 1962.
7. Tanasawa, Y. "Sobre la velocidad de combustión de un grupo de partículas de combustible inyectadas a través de una boquilla giratoria". Informes de tecnología de la Universidad de Tohoku 18 (1954): 195–208.
8. TANASAWA, Yasusi; TESIMA, Túneo (1958). "Sobre la teoría de la tasa de combustión de la pulverización de combustible líquido". Boletín de JSME . 1 (1): 36–41. doi : 10.1299/jsme1958.1.36 . ISSN  1881-1426.