Ecuación cuántica de Boltzmann

La ecuación cuántica de Boltzmann, también conocida como ecuación de Uehling-Uhlenbeck , ^{[1] [2]} es la modificación mecánica cuántica de la ecuación de Boltzmann , que da la evolución temporal en desequilibrio de un gas de partículas que interactúan mecánicamente cuánticamente. Normalmente, la ecuación cuántica de Boltzmann se da sólo como el “término de colisión” de la ecuación de Boltzmann completa, dando el cambio en la distribución del momento de un gas localmente homogéneo, pero no la deriva y la difusión en el espacio. Fue formulado originalmente por LW Nordheim (1928), ^[3] y por EA Uehling y George Uhlenbeck (1933). ^[4]

En general (incluidos los términos de deriva del espacio p y del espacio x, que a menudo se ignoran), la ecuación se representa de manera análoga a la ecuación de Boltzmann. $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{x}+\mathbf {F} \cdot \nabla _{p}\right]f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)={\mathcal {Q}}[f](\mathbf {x} ,\mathbf {p} )}$$

donde representa un potencial aplicado externamente que actúa sobre la distribución del espacio p del gas y es el operador de colisión, que representa las interacciones entre las partículas del gas. La mecánica cuántica debe representarse en la forma exacta de , lo cual depende de la física del sistema a modelar. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

La ecuación cuántica de Boltzmann da un comportamiento irreversible y, por tanto, una flecha del tiempo ; es decir, después de un tiempo suficientemente largo se obtiene una distribución de equilibrio que ya no cambia. Aunque la mecánica cuántica es microscópicamente reversible en el tiempo, la ecuación cuántica de Boltzmann da un comportamiento irreversible porque se descarta la información de fase ^[6] y solo se mantiene el número de ocupación promedio de los estados cuánticos. La solución de la ecuación cuántica de Boltzmann es, por tanto, una buena aproximación al comportamiento exacto del sistema en escalas de tiempo cortas en comparación con el tiempo de recurrencia de Poincaré , lo que no suele ser una limitación grave, porque el tiempo de recurrencia de Poincaré puede ser muchas veces mayor que la edad de el universo incluso en sistemas pequeños.

La ecuación cuántica de Boltzmann se ha verificado mediante comparación directa con mediciones experimentales resueltas en el tiempo y, en general, ha encontrado mucho uso en óptica de semiconductores. ^[7] Por ejemplo, se ha demostrado que la distribución de energía de un gas de excitones en función del tiempo (en picosegundos), medida con una cámara de rayas ^[8] , se aproxima a una distribución de equilibrio de Maxwell-Boltzmann .

Aplicación a la física de semiconductores.

Un modelo típico de un semiconductor puede construirse sobre la base de los siguientes supuestos:

1. La distribución de electrones es espacialmente homogénea con una aproximación razonable (por lo que se puede suprimir toda dependencia de x)
2. El potencial externo es función únicamente de la posición y es isotrópico en el espacio p, por lo que puede establecerse en cero sin perder más generalidad. ${\displaystyle \mathbf {F} }$
3. El gas está lo suficientemente diluido como para ignorar las interacciones de tres cuerpos entre electrones.

Considerando el intercambio de momento entre electrones con momentos iniciales y , es posible derivar la expresión ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {k_{1}} }$ $${\displaystyle {\mathcal {Q}}[f](\mathbf {k} )={\frac {-2}{\hbar (2\pi )^{5}}}\int d\mathbf {q} \int d\mathbf {k_{1}} |{\hat {v}}(\mathbf {q} )|^{2}\delta \left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(|\mathbf {k-q} |^{2}+|\mathbf {k_{1}+q} |^{2}-\mathbf {k} _{1}^{2}-\mathbf {k} ^{2})\right)\left[f_{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k_{1}} }(1-f_{\mathbf {k-q} })(1-f_{\mathbf {k_{1}+q} })-f_{\mathbf {k-q} }f_{\mathbf {k_{1}+q} }(1-f_{\mathbf {k} })(1-f_{\mathbf {k_{1}} })\right]}$$

Referencias

1. Filbet, Francisco; Hu, Jingwei; Jin, Shi (2012). "Un esquema numérico para la ecuación cuántica de Boltzmann eficiente en el régimen de fluidos". Esaim: M2An . 46 (2): 443–463. arXiv : 1009.3352 . doi :10.1051/m2an/2011051.
2. Bao, Weizhu; Markowich, Peter; Pareschi, Lorenzo (2004). "Teoría cinética cuántica: modelado y números para la condensación de Bose-Einstein". Modelado y métodos computacionales para ecuaciones cinéticas . Modelado y Simulación en Ciencia, Ingeniería y Tecnología. págs. 287–320. doi :10.1007/978-0-8176-8200-2_10. ISBN 978-1-4612-6487-3. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
3. Nordhiem, LW; Fowler, Ralph Howard (2 de julio de 1928). "Sobre el método cinético en la nueva estadística y aplicación en la teoría electrónica de la conductividad". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter físico y matemático . 119 (783): 689–698. Código bibliográfico : 1928RSPSA.119..689N. doi : 10.1098/rspa.1928.0126 .
4. Uehling, EA; Uhlenbeck, GE (1 de abril de 1933). "Fenómenos de transporte en los gases de Einstein-Bose y Fermi-Dirac. I". Revisión física . 43 (7): 552–561. Código bibliográfico : 1933PhRv...43..552U. doi : 10.1103/PhysRev.43.552. ISSN  0031-899X.
5. Filbert, Francisco; Hu, Jingwei; Jin, Shi (2012). "Un esquema numérico para la ecuación cuántica de Boltzmann eficiente en el régimen de fluidos". Esaim: M2An . 46 (2): 443–463. arXiv : 1009.3352 . doi :10.1051/m2an/2011051.
6. Snoke, DW; Liu, G.; Girvin, SM (2012). "La base de la Segunda Ley de la termodinámica en la teoría cuántica de campos". Anales de Física . 327 (7): 1825–1851. arXiv : 1112.3009 . Código bibliográfico : 2012AnPhy.327.1825S. doi :10.1016/j.aop.2011.12.016. S2CID  118666925.
7. Snoke, DW (2011). "La ecuación cuántica de Boltzmann en física de semiconductores". Annalen der Physik . 523 (1–2): 87–100. arXiv : 1011.3849 . Código Bib : 2011AnP...523...87S. doi : 10.1002/andp.201000102. S2CID  119250989.
8. Snoke, DW; Braun, D.; Cardona, M. (1991). "Termalización de portadores en Cu ₂ O: emisión de fonones por excitones". Revisión Física B. 44 (7): 2991–3000. Código bibliográfico : 1991PhRvB..44.2991S. doi : 10.1103/PhysRevB.44.2991. PMID  9999890.