Ecuación de Fokker-Planck

Ecuación diferencial parcial

Una solución a la ecuación unidimensional de Fokker-Planck, con los términos de deriva y difusión. En este caso, la condición inicial es una función delta de Dirac centrada lejos de la velocidad cero. Con el tiempo, la distribución se amplía debido a impulsos aleatorios.

En mecánica estadística y teoría de la información , la ecuación de Fokker-Planck es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad de la velocidad de una partícula bajo la influencia de fuerzas de arrastre y fuerzas aleatorias, como en el movimiento browniano . La ecuación también se puede generalizar a otros observables. ^[1] La ecuación de Fokker-Planck tiene múltiples aplicaciones en teoría de la información, teoría de grafos, ciencia de datos, finanzas, economía, etc.

Lleva el nombre de Adriaan Fokker y Max Planck , quienes la describieron en 1914 y 1917. ^{[2] [3]} También se la conoce como ecuación directa de Kolmogorov , en honor a Andrey Kolmogorov , quien la descubrió de forma independiente en 1931. ^[4] Cuando se aplica Para las distribuciones de posición de partículas, se conoce mejor como ecuación de Smoluchowski (en honor a Marian Smoluchowski ), ^[5] y en este contexto es equivalente a la ecuación de convección-difusión . Cuando se aplica a la posición de las partículas y a las distribuciones de momento, se conoce como ecuación de Klein-Kramers . El caso de difusión cero es la ecuación de continuidad . La ecuación de Fokker-Planck se obtiene a partir de la ecuación maestra mediante la expansión de Kramers-Moyal . ^[6]

La primera derivación microscópica consistente de la ecuación de Fokker-Planck en el esquema único de la mecánica clásica y cuántica fue realizada por Nikolay Bogoliubov y Nikolay Krylov . ^{[7] [8]}

Una dimensión

En una dimensión espacial x , para un proceso de Itô impulsado por el proceso de Wiener estándar y descrito por la ecuación diferencial estocástica (SDE) ${\displaystyle W_{t}}$

$${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}}$$

con coeficiente de deriva y difusión , la ecuación de Fokker-Planck para la densidad de probabilidad de la variable aleatoria es ^[9] ${\displaystyle \mu (X_{t},t)}$ ${\displaystyle D(X_{t},t)=\sigma ^{2}(X_{t},t)/2}$ ${\displaystyle p(x,t)}$ ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu (x,t)p(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)p(x,t)\right].}$

Vínculo entre Itô SDE y la ecuación de Fokker-Planck

A continuación, utilice . ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {2D}}}$

Defina el generador infinitesimal (lo siguiente se puede encontrar en la Ref. ^[10] ): ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}p(X_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {E} {\big [}p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x{\big ]}-p(x)\right).}$$

Aquí se introduce la probabilidad de transición , la probabilidad de pasar de a ; la expectativa se puede escribir como ${\displaystyle \mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')}$ ${\displaystyle (t',x')}$ ${\displaystyle (t,x)}$

$${\displaystyle \mathbb {E} (p(X_{t+\Delta t})\mid X_{t}=x)=\int p(y)\,\mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,dy.}$$

Ahora reemplazamos en la definición de , multiplicamos por e integramos sobre . El límite se asume ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')}$ ${\displaystyle dx}$

$${\displaystyle \int p(y)\int \mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx\,dy-\int p(x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.}$$

Tenga en cuenta ahora que

$${\displaystyle \int \mathbb {P} _{t+\Delta t,t}(y\mid x)\,\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\mathbb {P} _{t+\Delta t,t'}(y\mid x'),}$$

que es el teorema de Chapman-Kolmogorov. Cambiando la variable ficticia a , se obtiene ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int p(x)\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\mathbb {P} _{t+\Delta t,t'}(x\mid x')-\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\right)\,dx,\end{aligned}}}$$

que es una derivada del tiempo. Finalmente llegamos a

$${\displaystyle \int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)\,\partial _{t}\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx.}$$

De aquí se puede deducir la ecuación hacia atrás de Kolmogorov. Si en cambio usamos el operador adjunto de , definido de tal manera que ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\dagger }}$

$${\displaystyle \int [{\mathcal {L}}p(x)]\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')\,dx=\int p(x)[{\mathcal {L}}^{\dagger }\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')]\,dx,}$$

luego llegamos a la ecuación directa de Kolmogorov, o ecuación de Fokker-Planck, que, simplificando la notación , en su forma diferencial se lee ${\displaystyle p(x,t)=\mathbb {P} _{t,t'}(x\mid x')}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\dagger }p(x,t)=\partial _{t}p(x,t).}$$

Queda la cuestión de definir explícitamente . Esto se puede hacer tomando la expectativa de la forma integral del lema de Itô : ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle \mathbb {E} {\big (}p(X_{t}){\big )}=p(X_{0})+\mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}\left(\partial _{t}+\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2}\right)p(X_{t'})\,dt'\right).}$$

La parte que depende de desapareció debido a la propiedad martingala. ${\displaystyle dW_{t}}$

Entonces, para una partícula sujeta a una ecuación de Itô, usando

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mu \partial _{x}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{x}^{2},}$$

se puede calcular fácilmente, mediante integración por partes, que

$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\dagger }=-\partial _{x}(\mu \cdot )+{\frac {1}{2}}\partial _{x}^{2}(\sigma ^{2}\cdot ),}$$

lo que nos lleva a la ecuación de Fokker-Planck:

$${\displaystyle \partial _{t}p(x,t)=-\partial _{x}{\big (}\mu (x,t)\cdot p(x,t){\big )}+\partial _{x}^{2}\left({\frac {\sigma (x,t)^{2}}{2}}\,p(x,t)\right).}$$

Si bien la ecuación de Fokker-Planck se usa con problemas donde se conoce la distribución inicial, si el problema es conocer la distribución en momentos anteriores, se puede usar la fórmula de Feynman-Kac , que es consecuencia de la ecuación hacia atrás de Kolmogorov.

El proceso estocástico definido anteriormente en el sentido de Itô puede reescribirse dentro de la convención de Stratonovich como un SDE de Stratonovich:

$${\displaystyle dX_{t}=\left[\mu (X_{t},t)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X_{t}}}D(X_{t},t)\right]\,dt+{\sqrt {2D(X_{t},t)}}\circ dW_{t}.}$$

La ecuación de deriva cero con difusión constante puede considerarse como un modelo de movimiento browniano clásico :

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=D_{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[p(x,t)\right].}$$

Este modelo tiene un espectro discreto de soluciones si se agrega la condición de límites fijos para : ${\displaystyle \{0\leq x\leq L\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(0,t)&=p(L,t)=0,\\p(x,0)&=p_{0}(x).\end{aligned}}}$$

Se ha demostrado ^[11] que en este caso un espectro analítico de soluciones permite derivar una relación de incertidumbre local para el volumen de fase de velocidad coordinada:

$${\displaystyle \Delta x\,\Delta v\geq D_{0}.}$$

${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle D_{j}}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta v}$

Dimensiones superiores

De manera más general, si

$${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,d\mathbf {W} _{t},}$$

donde y son vectores N -dimensionales , es una matriz y es un proceso de Wiener estándar M -dimensional , la densidad de probabilidad satisface la ecuación de Fokker-Planck ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle N\times M}$ ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right],}$

con vector de deriva y tensor de difusión , es decir ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{N})}$ ${\textstyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma \sigma }}^{\mathsf {T}}}$

$${\displaystyle D_{ij}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t).}$$

Si en lugar de una SDE de Itô se considera una SDE de Stratonovich ,

$${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\circ d\mathbf {W} _{t},}$$

la ecuación de Fokker-Planck leerá: ^{[10] : 129}

$${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\{\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]\right\}}$$

Generalización

En general, las ecuaciones de Fokker-Planck son un caso especial de la ecuación directa general de Kolmogorov.

$${\displaystyle \partial _{t}\rho ={\mathcal {A}}^{*}\rho }$$

donde el operador lineal es el adjunto hermitiano al generador infinitesimal para el proceso de Markov . ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$

Ejemplos

proceso de salchicha

Un proceso escalar estándar de Wiener se genera mediante la ecuación diferencial estocástica

$${\displaystyle dX_{t}=dW_{t}.}$$

Aquí el término de deriva es cero y el coeficiente de difusión es 1/2. Por tanto, la ecuación de Fokker-Planck correspondiente es

$${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},}$$

que es la forma más simple de una ecuación de difusión . Si la condición inicial es , la solución es ${\displaystyle p(x,0)=\delta (x)}$

$${\displaystyle p(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-{x^{2}}/({2t})}.}$$

Distribución de Boltzmann en el equilibrio termodinámico.

La ecuación de Langevin sobreamortiguada

$${\displaystyle dx_{t}=-{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}(\nabla _{x}U)dt+dW_{t}}$$

${\textstyle \partial _{t}p={\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {p}{k_{\text{B}}T}}\nabla U+\nabla p\right)}$ ${\displaystyle p(x)\propto e^{-U(x)/k_{\text{B}}T}}$ ${\displaystyle U}$

Proceso Ornstein-Uhlenbeck

El proceso Ornstein-Uhlenbeck es un proceso definido como

$${\displaystyle dX_{t}=-aX_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}.}$$

con . Físicamente, esta ecuación se puede motivar de la siguiente manera: una partícula de masa con velocidad que se mueve en un medio, por ejemplo, un fluido, experimentará una fuerza de fricción que resiste el movimiento cuya magnitud puede aproximarse como proporcional a la velocidad de la partícula con . Otras partículas en el medio patearán aleatoriamente la partícula cuando choquen con ella y este efecto puede aproximarse mediante un término de ruido blanco; . La segunda ley de Newton se escribe como ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V_{t}}$ ${\displaystyle -aV_{t}}$ ${\displaystyle a=\mathrm {constant} }$ ${\displaystyle \sigma (dW_{t}/dt)}$

$${\displaystyle m{\frac {dV_{t}}{dt}}=-aV_{t}+\sigma {\frac {dW_{t}}{dt}}.}$$

Tomando por simplicidad y cambiando la notación se llega a la forma familiar . ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle V_{t}\rightarrow X_{t}}$ ${\displaystyle dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t}}$

La ecuación de Fokker-Planck correspondiente es

$${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=a{\frac {\partial }{\partial x}}\left(x\,p(x,t)\right)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},}$$

La solución estacionaria ( ) es ${\displaystyle \partial _{t}p=0}$

$${\displaystyle p_{ss}(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{ax^{2}}/{\sigma ^{2}}}.}$$

Física del plasma

En física del plasma, la función de distribución de una especie de partícula , reemplaza a la función de densidad de probabilidad . La ecuación de Boltzmann correspondiente está dada por ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p_{s}(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial p_{s}}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}p_{s}+{\frac {Z_{s}e}{m_{s}}}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot {\boldsymbol {\nabla }}_{v}p_{s}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\rangle \right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v_{i}\,\partial v_{j}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle \right),}$$

donde el tercer término incluye la aceleración de las partículas debida a la fuerza de Lorentz y el término de Fokker-Planck en el lado derecho representa los efectos de las colisiones de partículas. Las cantidades y son el cambio promedio en la velocidad que experimenta una partícula de tipo debido a colisiones con todas las demás especies de partículas en la unidad de tiempo. Las expresiones para estas cantidades se dan en otra parte. ^[13] Si se ignoran las colisiones, la ecuación de Boltzmann se reduce a la ecuación de Vlasov . ${\displaystyle \langle \Delta v_{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle }$ ${\displaystyle s}$

Ecuación de difusión de Smoluchowski

Considere una partícula browniana sobreamortiguada sometida a una fuerza externa : ^[14] ${\displaystyle F(r)}$

$${\displaystyle m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)}$$

${\displaystyle m{\ddot {r}}}$ ${\displaystyle \gamma \,dr=F(r)\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

$${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot [D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})]}$$

${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$

Derivación de la ecuación de Smoluchowski a partir de la ecuación de Fokker-Planck

Comenzando con la ecuación de Langevin de una partícula browniana en un campo externo , donde es el término de fricción, es una fuerza fluctuante sobre la partícula y es la amplitud de la fluctuación. ${\displaystyle F(r)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)}$$

En el equilibrio, la fuerza de fricción es mucho mayor que la fuerza de inercia . Por tanto, la ecuación de Langevin queda, ${\displaystyle \left\vert \gamma {\dot {r}}\right\vert \gg \left\vert m{\ddot {r}}\right\vert }$

$${\displaystyle \gamma {\dot {r}}=F(r)+\sigma \xi (t)}$$

Lo que genera la siguiente ecuación de Fokker-Planck,

$${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla ^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}-\nabla \cdot {\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Reordenando la ecuación de Fokker-Planck,

$${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Dónde . Tenga en cuenta que el coeficiente de difusión puede no ser necesariamente espacialmente independiente si o son espacialmente dependientes. ${\displaystyle D={\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$

A continuación, el número total de partículas en cualquier volumen particular viene dado por,

$${\displaystyle N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}drP(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Por lo tanto, el flujo de partículas se puede determinar tomando la derivada temporal del número de partículas en un volumen dado, reemplazando la ecuación de Fokker-Planck y luego aplicando el teorema de Gauss .

$${\displaystyle \partial _{t}N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int _{V}dV\nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})=\int _{\partial V}d\mathbf {a} \cdot j(r,t|r_{0},t_{0})}$$

$${\displaystyle j(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

En equilibrio, se supone que el flujo llega a cero. Por lo tanto, la estadística de Boltzmann se puede aplicar para la probabilidad de que una partícula esté en equilibrio, donde es una fuerza conservativa y la probabilidad de que una partícula esté en un estado está dada por . ${\displaystyle F(r)=-\nabla U(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P(r,t|r_{0},t_{0})={\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}}$

$${\displaystyle j(r,t|r_{0},t_{0})=\left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right){\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}=0}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \nabla D=F(r)\left({\frac {1}{\gamma }}-D\beta \right)}$$

Esta relación es una realización del teorema de fluctuación-disipación . Ahora aplicando y utilizando el teorema de fluctuación-disipación, ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle DP(r,t|r_{0},t_{0})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \nabla DP(r,t|r_{0},t_{0})&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})\nabla D\\&=\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0}){\frac {F(r)}{\gamma }}-\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})D\beta F(r)\end{aligned}}}$$

Reorganizar,

$${\displaystyle \Rightarrow \nabla \cdot \left(\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}\right)P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

Por tanto, la ecuación de Fokker-Planck se convierte en la ecuación de Smoluchowski,

$${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})}$$

por una fuerza arbitraria . ${\displaystyle F(r)}$

Consideraciones computacionales

El movimiento browniano sigue la ecuación de Langevin , que puede resolverse para muchos forzamientos estocásticos diferentes promediando los resultados (conjunto canónico en dinámica molecular ). Sin embargo, en lugar de este enfoque computacional intensivo, se puede usar la ecuación de Fokker-Planck y considerar la probabilidad de que la partícula tenga una velocidad en el intervalo en el que comienza su movimiento en el tiempo 0. ${\displaystyle p(\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} }$ ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$

Simulación de dinámica browniana para partículas en potencial lineal 1-D en comparación con la solución de la ecuación de Fokker-Planck

Ejemplo de potencial lineal 1-D

La dinámica browniana en una dimensión es simple. ^{[14] [15]}

Teoría

Comenzando con un potencial lineal de la forma correspondiente a la ecuación de Smoluchowski, se convierte en, ${\displaystyle U(x)=cx}$

$${\displaystyle \partial _{t}P(x,t|x_{0},t_{0})=\partial _{x}D(\partial _{x}+\beta c)P(x,t|x_{0},t_{0})}$$

Donde la constante de difusión, , es constante en el espacio y el tiempo. Las condiciones de contorno son tales que la probabilidad desaparece en una condición inicial del conjunto de partículas que comienza en el mismo lugar, . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$ ${\displaystyle P(x,t|x_{0},t_{0})=\delta (x-x_{0})}$

Definir y aplicar la transformación de coordenadas, ${\displaystyle \tau =Dt}$ ${\displaystyle b=\beta c}$

$${\displaystyle y=x+\tau b,\ \ \ y_{0}=x_{0}+\tau _{0}b}$$

Con la ecuación de Smoluchowki se convierte en, ${\displaystyle P(x,t,|x_{0},t_{0})=q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})}$

$${\displaystyle \partial _{\tau }q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})=\partial _{y}^{2}q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})}$$

¿Cuál es la ecuación de difusión libre con solución?

$${\displaystyle q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi (\tau -\tau _{0})}}}e^{-{\frac {(y-y_{0})^{2}}{4(\tau -\tau _{0})}}}}$$

Y después de volver a transformar a las coordenadas originales,

$${\displaystyle P(x,t|x_{0},t_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi D(t-t_{0})}}}\exp {\left[{-{\frac {(x-x_{0}+D\beta c(t-t_{0}))^{2}}{4D(t-t_{0})}}}\right]}}$$

Simulación

La simulación de la derecha se completó utilizando una simulación de dinámica browniana . ^{[16] [17]} Comenzando con una ecuación de Langevin para el sistema,

$${\displaystyle m{\ddot {x}}=-\gamma {\dot {x}}-c+\sigma \xi (t)}$$

${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \left|\gamma {\dot {x}}\right|\gg \left|m{\ddot {x}}\right|}$

$${\displaystyle \gamma {\dot {x}}=-c+\sigma \xi (t)}$$

Para la simulación dinámica browniana, se supone que la fuerza de fluctuación es gaussiana y que la amplitud depende de la temperatura del sistema . Reescribiendo la ecuación de Langevin, ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\textstyle \sigma ={\sqrt {2\gamma k_{\text{B}}T}}}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-D\beta c+{\sqrt {2D}}\xi (t)}$$

método de Euler-Maruyama ${\textstyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{\gamma }}}$

Solución

Al ser una ecuación diferencial parcial , la ecuación de Fokker-Planck puede resolverse analíticamente sólo en casos especiales. Una analogía formal de la ecuación de Fokker-Planck con la ecuación de Schrödinger permite el uso de técnicas de operadores avanzadas conocidas de la mecánica cuántica para su solución en varios casos. Además, en el caso de dinámica sobreamortiguada, cuando la ecuación de Fokker-Planck contiene segundas derivadas parciales con respecto a todas las variables espaciales, la ecuación se puede escribir en forma de ecuación maestra que se puede resolver fácilmente numéricamente. ^[18] En muchas aplicaciones, uno sólo está interesado en la distribución de probabilidad de estado estacionario , que se puede encontrar en . El cálculo de los tiempos medios del primer paso y las probabilidades de división se puede reducir a la solución de una ecuación diferencial ordinaria que está íntimamente relacionada con la ecuación de Fokker-Planck. ${\displaystyle p_{0}(x)}$ ${\textstyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=0}$

Casos particulares con solución e inversión conocidas.

En las finanzas matemáticas para el modelado de opciones mediante volatilidad y sonrisa a través de la volatilidad local , uno tiene el problema de derivar un coeficiente de difusión consistente con una densidad de probabilidad obtenida a partir de cotizaciones de opciones de mercado. Por lo tanto, el problema es una inversión de la ecuación de Fokker-Planck: dada la densidad f(x,t) de la opción subyacente X deducida del mercado de opciones, se busca encontrar la volatilidad local consistente con f . Este es un problema inverso que ha sido resuelto en general por Dupire (1994, 1997) con una solución no paramétrica. ^{[19] [20]} Brigo y Mercurio (2002, 2003) proponen una solución en forma paramétrica a través de una volatilidad local particular consistente con una solución de la ecuación de Fokker-Planck dada por un modelo mixto . ^{[21] [22]} Más información está disponible también en Fengler (2008), ^[23] Gatheral (2008), ^[24] y Musiela y Rutkowski (2008). ^[25] ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$ ${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$

Ecuación de Fokker-Planck e integral de trayectoria

Cada ecuación de Fokker-Planck es equivalente a una integral de trayectoria . La formulación de la integral de trayectoria es un excelente punto de partida para la aplicación de métodos de teoría de campos. ^[26] Esto se utiliza, por ejemplo, en dinámica crítica .

Es posible deducir la integral de trayectoria de forma similar a como se hace en la mecánica cuántica. La derivación de una ecuación de Fokker-Planck con una variable es la siguiente. Comience insertando una función delta y luego integrando por partes: ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}p{\left(x',t\right)}&=-{\frac {\partial }{\partial x'}}\left[D_{1}(x',t)p(x',t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x'}^{2}}}\left[D_{2}(x',t)p(x',t)\right]\\[1ex]&=\int _{\mathbb {R} }dx\left[\left(D_{1}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}{\left(x,t\right)}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)\delta {\left(x'-x\right)}\right]p(x,t).\end{aligned}}}$$

Las derivadas aquí solo actúan sobre la función, no sobre . Integrar en un intervalo de tiempo , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle p(x,t)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle p(x',t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\,\mathrm {d} x\left(\left(1+\varepsilon \left[D_{1}(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\right)\delta (x'-x)\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).}$$

Insertar la integral de Fourier

$${\displaystyle \delta {\left(x'-x\right)}=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}e^{{\tilde {x}}{\left(x-x'\right)}}}$$

para la función, ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(x',t+\varepsilon )&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}\left(1+\varepsilon \left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)e^{{\tilde {x}}(x-x')}p(x,t)+O(\varepsilon ^{2})\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} {\tilde {x}}}{2\pi i}}\exp \left(\varepsilon \left[-{\tilde {x}}{\frac {(x'-x)}{\varepsilon }}+{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).\end{aligned}}}$$

Esta ecuación se expresa como funcional de . Iterar tiempos y realizar el límite da un camino integral con acción. ${\displaystyle p(x',t+\varepsilon )}$ ${\displaystyle p(x,t)}$ ${\displaystyle (t'-t)/\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$

$${\displaystyle S=\int \mathrm {d} t\left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)-{\tilde {x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\right].}$$

Las variables con las que se conjuga se denominan "variables de respuesta". ^[27] ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle x}$

Aunque formalmente equivalentes, diferentes problemas pueden resolverse más fácilmente en la ecuación de Fokker-Planck o en la formulación de integral de trayectoria. La distribución de equilibrio, por ejemplo, puede obtenerse más directamente a partir de la ecuación de Fokker-Planck.

Ver también

• Ecuación hacia atrás de Kolmogorov
• ecuación de Boltzmann
• Ecuación de Langevin
• ecuación de vlasov
• ecuación maestra
• Teoría de juegos de campo medio
• Jerarquía de ecuaciones de Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon
• Proceso Ornstein-Uhlenbeck
• Ecuación de convección-difusión
• Ecuación de Klein-Kramers

notas y referencias

1. Leo P. Kadanoff (2000). Física Estadística: estática, dinámica y renormalización. Científico mundial. ISBN 978-981-02-3764-6.
2. Fokker, ANUNCIO (1914). "Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld". Ana. Física. 348 (4. Siglo 43): 810–820. Código bibliográfico : 1914AnP...348..810F. doi : 10.1002/andp.19143480507.
3. Planck, M. (1917). "Über einen Satz der statistischen Dynamik und seine Erweiterung in der Quantentheorie". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin . 24 : 324–341.
4. Kolmogorov, Andréi (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitstheorie" [Sobre los métodos analíticos en la teoría de la probabilidad]. Mathematische Annalen (en alemán). 104 (1): 415–458 [págs. 448–451]. doi :10.1007/BF01457949. S2CID  119439925.
5. Dhont, JKG (1996). Introducción a la dinámica de los coloides. Elsevier. pag. 183.ISBN _ 978-0-08-053507-4.
6. Pablo, Wolfgang; Baschnagel, Jörg (2013). "Un breve estudio de las matemáticas de la teoría de la probabilidad". Procesos estocásticos . Saltador. págs. 17–61 [esp. 33–35]. doi :10.1007/978-3-319-00327-6_2. ISBN 978-3-319-00326-9.
7. NN Bogolyubov Jr. y DP Sankovich (1994). "NN Bogolyubov y la mecánica estadística". Matemáticas rusas. Encuestas 49 (5): 19—49. doi :10.1070/RM1994v049n05ABEH002419
8. NN Bogoliubov y NM Krylov (1939). "Ecuaciones de Fokker-Planck generadas en la teoría de la perturbación mediante un método basado en las propiedades espectrales de un hamiltoniano perturbado ". Zapiski Kafedry Fiziki Akademii Nauk RSS de Ucrania 4 : 81–157 (en ucraniano).
9. Risken, H. (1996), La ecuación de Fokker-Planck: métodos de solución y aplicaciones , vol. Segunda edición, tercera impresión, pág. 72
10. Öttinger, Hans Christian (1996). Procesos estocásticos en fluidos poliméricos . Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. pag. 75.ISBN _ 978-3-540-58353-0.
11. Kamenshchikov, S. (2014). "Agrupación e incertidumbre en sistemas de caos perfectos". Diario del Caos . 2014 : 1–6. arXiv : 1301.4481 . doi : 10.1155/2014/292096 . S2CID  17719673.
12. Pavliotis, Grigorios A. (2014). Procesos y aplicaciones estocásticos: procesos de difusión, ecuaciones de Fokker-Planck y Langevin . Saltador. págs. 38–40. doi :10.1007/978-1-4939-1323-7_2. ISBN 978-1-4939-1322-0.
13. Rosenbluth, Minnesota (1957). "Ecuación de Fokker-Planck para una fuerza del cuadrado inverso". Revisión física . 107 (1): 1–6. Código bibliográfico : 1957PhRv..107....1R. doi :10.1103/physrev.107.1.
14. Ioan, Kosztin (primavera de 2000). "Ecuación de difusión de Smoluchowski". Mecánica estadística de desequilibrio: notas del curso .
15. Kosztin, Ioan (primavera de 2000). "Se aplica el método de la dinámica browniana". Mecánica estadística de desequilibrio: notas del curso .
16. Koztin, Ioan. "Dinámica browniana". Mecánica estadística de desequilibrio: notas del curso . Archivado desde el original el 15 de enero de 2020 . Consultado el 18 de mayo de 2020 .
17. Kosztin, Ioan. "Se aplica el método de la dinámica browniana". Mecánica estadística de desequilibrio: notas del curso . Archivado desde el original el 15 de enero de 2020 . Consultado el 18 de mayo de 2020 .
18. Holubec Viktor, Kroy Klaus y Steffononi Stefano (2019). "Solucionador numérico físicamente consistente para ecuaciones de Fokker-Planck dependientes del tiempo". Física. Rev. E. 99 (4): 032117. arXiv : 1804.01285 . Código Bib : 2019PhRvE..99c2117H. doi : 10.1103/PhysRevE.99.032117. PMID  30999402. S2CID  119203025.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
19. Bruno Dupire (1994) Fijación de precios con una sonrisa. Revista Risk , enero 18-20.
20. Bruno Dupire (1997) Fijación de precios y cobertura con sonrisas. Matemáticas de valores derivados. Editado por MAH Dempster y SR Pliska, Cambridge University Press, Cambridge, 103–111. ISBN 0-521-58424-8 . 
21. Brigo, D.; Mercurio, Fabio (2002). "Dinámica de mezclas lognormales y calibración para sonrisas de volatilidad del mercado". Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas . 5 (4): 427–446. CiteSeerX 10.1.1.210.4165 . doi :10.1142/S0219024902001511. 
22. Brigo, D.; Mercurio, F.; Sartorelli, G. (2003). "La dinámica alternativa de precios de activos y la volatilidad sonríen". Finanzas Cuantitativas . 3 (3): 173–183. doi :10.1088/1469-7688/3/3/303. S2CID  154069452.
23. Fengler, señor (2008). Modelado semiparamétrico de la volatilidad implícita, 2005, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-26234-3 
24. Jim reunido (2008). La superficie de volatilidad. Wiley e hijos, ISBN 978-0-471-79251-2 . 
25. Marek Musiela, Marek Rutkowski. Métodos de martingala en modelos financieros , 2008, segunda edición, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20966-9 . 
26. Zinn-Justin, Jean (1996). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos . Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-851882-2.
27. Janssen, Hong Kong (1976). "Sobre un lagrangeano para la dinámica de campo clásica y el cálculo del grupo de renormalización de propiedades críticas dinámicas". Z. Física . B23 (4): 377–380. Código bibliográfico : 1976ZPhyB..23..377J. doi :10.1007/BF01316547. S2CID  121216943.

Otras lecturas

• Frank, hasta Daniel (2005). Ecuaciones no lineales de Fokker-Planck: fundamentos y aplicaciones . Serie Springer en Sinergética. Saltador. ISBN 3-540-21264-7.
• Gardiner, Crispin (2009). Métodos estocásticos (4ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-70712-7.
• Pavliotis, Grigorios A. (2014). Procesos y aplicaciones estocásticos: procesos de difusión, ecuaciones de Fokker-Planck y Langevin . Textos de Springer en Matemática Aplicada. Saltador. ISBN 978-1-4939-1322-0.
• Arriesgado, Hannes (1996). La ecuación de Fokker-Planck: métodos de soluciones y aplicaciones . Serie Springer en Sinergética (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-61530-X.