Aproximación diofántica

Aproximación con números racionales de un número real

Mejores aproximantes racionales para π (círculo verde), e (diamante azul), ϕ (oblongo rosa), (√3)/2 (hexágono gris), 1/√2 (octógono rojo) y 1/√3 (triángulo naranja) calculado a partir de sus expansiones de fracciones continuas, representadas como pendientes y / x con errores de sus valores verdaderos (guiones negros)  

• v
• t
• mi

En teoría de números , el estudio de la aproximación diofántica se ocupa de la aproximación de números reales mediante números racionales . Lleva el nombre de Diofanto de Alejandría .

El primer problema era saber qué tan bien se puede aproximar un número real mediante números racionales. Para este problema, un número racional p / q es una "buena" aproximación de un número real α si el valor absoluto de la diferencia entre p / q y α no puede disminuir si p / q se reemplaza por otro número racional con un número menor. denominador. Este problema se solucionó durante el siglo XVIII mediante fracciones continuas .

Conociendo las "mejores" aproximaciones de un número dado, el principal problema del campo es encontrar límites superiores e inferiores definidos de la diferencia anterior, expresada en función del denominador . Parece que estos límites dependen de la naturaleza de los números reales que se van a aproximar: el límite inferior para la aproximación de un número racional por otro número racional es mayor que el límite inferior para los números algebraicos , que a su vez es mayor que el límite inferior para todos los números reales. Así, un número real que puede aproximarse mejor que el límite de los números algebraicos es ciertamente un número trascendental .

Este conocimiento permitió a Liouville , en 1844, producir el primer número trascendental explícito. Posteriormente, las pruebas de que π y e son trascendentales se obtuvieron mediante un método similar.

Las aproximaciones diofánticas y la teoría de números trascendental son áreas muy cercanas que comparten muchos teoremas y métodos. Las aproximaciones diofánticas también tienen aplicaciones importantes en el estudio de las ecuaciones diofánticas .

La Medalla Fields 2022 fue otorgada a James Maynard por su trabajo sobre la aproximación diofántica.

Mejores aproximaciones diofánticas de un número real

Dado un número real α , hay dos formas de definir la mejor aproximación diofántica de α . Para la primera definición, ^[1] el número racional p / q es la mejor aproximación diofántica de α si

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,}$

para todo número racional p' / q' distinto de p / q tal que 0 < q ′ ≤  q .

Para la segunda definición, ^{[2] [3]} la desigualdad anterior se reemplaza por

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.}$

Una mejor aproximación a la segunda definición es también una mejor aproximación a la primera, pero lo contrario no es cierto en general. ^[4]

La teoría de las fracciones continuas nos permite calcular las mejores aproximaciones de un número real: para la segunda definición, son los convergentes de su expresión como fracción continua regular. ^{[3] [4] [5]} Para la primera definición, hay que considerar también los semiconvergentes . ^[1]

Por ejemplo, la constante e = 2,718281828459045235... tiene la representación de fracción continua (regular)

${\displaystyle [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].}$

Sus mejores aproximaciones para la segunda definición son

${\displaystyle 3,{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {87}{32}},\ldots \,,}$

mientras que, para la primera definición, son

${\displaystyle 3,{\tfrac {5}{2}},{\tfrac {8}{3}},{\tfrac {11}{4}},{\tfrac {19}{7}},{\tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.}$

Medida de la precisión de las aproximaciones.

La medida obvia de la precisión de una aproximación diofántica de un número real α por un número racional p / q es. Sin embargo, esta cantidad siempre puede hacerse arbitrariamente pequeña aumentando los valores absolutos de p y q ; por lo tanto, la precisión de la aproximación generalmente se estima comparando esta cantidad con alguna función φ del denominador q , típicamente una potencia negativa de la misma. ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$

Para tal comparación, es posible que deseemos límites superiores o inferiores de precisión. Un límite inferior normalmente se describe mediante un teorema como "para cada elemento α de algún subconjunto de números reales y cada número racional p / q , tenemos ". En algunos casos, "todo número racional" puede sustituirse por "todos los números racionales excepto un número finito de ellos", lo que equivale a multiplicar φ por alguna constante dependiente de α . ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$

Para los límites superiores, hay que tener en cuenta que no todas las "mejores" aproximaciones diofánticas proporcionadas por los convergentes pueden tener la precisión deseada. Por lo tanto, los teoremas toman la forma "para cada elemento α de algún subconjunto de los números reales, hay infinitos números racionales p / q tales que ". ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$

Números mal aproximados

Un número mal aproximable es un x para el cual existe una constante positiva c tal que para todo p / q racional tenemos

${\displaystyle \left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .}$

Los números mal aproximables son precisamente aquellos que tienen cocientes parciales acotados . ^[6]

De manera equivalente, un número es mal aproximable si y sólo si su constante de Markov es acotada.

Límites inferiores para aproximaciones diofánticas

Aproximación de un racional por otros racionales

Un número racional se puede aproximar de forma obvia y perfecta mediante para cada entero positivo i . ${\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}}$ ${\textstyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$

si tenemos ${\textstyle {\frac {p}{q}}\not =\alpha ={\frac {a}{b}}\,,}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}},}$

porque es un número entero positivo y, por tanto, no es inferior a 1. Por tanto, la precisión de la aproximación es mala en relación con los números irracionales (consulte las siguientes secciones). ${\displaystyle |aq-bp|}$

Cabe señalar que la prueba anterior utiliza una variante del principio del casillero : un número entero no negativo que no es 0 no es menor que 1. Esta observación aparentemente trivial se utiliza en casi todas las pruebas de límites inferiores para aproximaciones diofánticas, incluso las los más sofisticados.

En resumen, un número racional se aproxima perfectamente por sí mismo, pero cualquier otro número racional lo aproxima mal.

Aproximación de números algebraicos, resultado de Liouville

En la década de 1840, Joseph Liouville obtuvo el primer límite inferior para la aproximación de números algebraicos : si x es un número algebraico irracional de grado n sobre los números racionales, entonces existe una constante c ( x ) > 0 tal que

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n}}}}$

es válido para todos los números enteros p y q donde q > 0 .

Este resultado le permitió producir el primer ejemplo probado de un número trascendental, la constante de Liouville.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots \,,}$

que no satisface el teorema de Liouville, sea cual sea el grado n elegido.

Este vínculo entre las aproximaciones diofánticas y la teoría de números trascendental continúa hasta el día de hoy. Muchas de las técnicas de prueba se comparten entre las dos áreas.

Aproximación de números algebraicos, teorema de Thue-Siegel-Roth

Durante más de un siglo, hubo muchos esfuerzos para mejorar el teorema de Liouville: cada mejora de la cota nos permite demostrar que más números son trascendentales. Las principales mejoras se deben a Axel Thue  (1909), Siegel  (1921), Freeman Dyson  (1947) y Klaus Roth  (1955), que finalmente llevaron al teorema de Thue-Siegel-Roth: si x es un número algebraico irracional y ε un número real positivo (pequeño), entonces existe una constante positiva c ( x , ε ) tal que

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

se cumple para cada número entero p y q tal que q > 0 .

En cierto sentido, este resultado es óptimo, ya que el teorema sería falso con ε  = 0. Esta es una consecuencia inmediata de los límites superiores que se describen a continuación.

Aproximaciones simultáneas de números algebraicos

Posteriormente, Wolfgang M. Schmidt generalizó esto al caso de aproximaciones simultáneas, demostrando que: Si x ₁ , ..., x _n son números algebraicos tales que 1, x ₁ , ..., x _n son linealmente independientes respecto del racional números y ε es cualquier número real positivo dado, entonces sólo hay un número finito de n -tuplas racionales ( p ₁ / q , ..., p _n / q ) tales que

${\displaystyle \left|x_{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Nuevamente, este resultado es óptimo en el sentido de que no se puede eliminar ε del exponente.

Límites efectivos

Todos los límites inferiores anteriores no son efectivos , en el sentido de que las pruebas no proporcionan ninguna forma de calcular la constante implícita en los enunciados. Esto significa que no se pueden utilizar los resultados o sus pruebas para obtener límites en el tamaño de las soluciones de ecuaciones diofánticas relacionadas. Sin embargo, estas técnicas y resultados a menudo se pueden utilizar para limitar el número de soluciones de dichas ecuaciones.

Sin embargo, un refinamiento del teorema de Baker por parte de Feldman proporciona una cota efectiva: si x es un número algebraico de grado n sobre los números racionales, entonces existen constantes efectivamente computables c ( x ) > 0 y 0 <  d ( x ) <  n tales eso

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)}}}}$

es válido para todos los números enteros racionales.

Sin embargo, como ocurre con toda versión efectiva del teorema de Baker, las constantes d y 1/ c son tan grandes que este resultado efectivo no se puede utilizar en la práctica.

Límites superiores para aproximaciones diofánticas

Límite superior general

El primer resultado importante sobre los límites superiores de las aproximaciones diofánticas es el teorema de aproximación de Dirichlet , que implica que, para cada número irracional α , hay infinitas fracciones tales que ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}\,.}$

Esto implica inmediatamente que no se puede suprimir ε en el enunciado del teorema de Thue-Siegel-Roth.

Adolf Hurwitz (1891) ^[7] reforzó este resultado, demostrando que para cada número irracional α , hay infinitas fracciones tales que ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}\,.}$

Por tanto, es un límite superior para las aproximaciones diofánticas de cualquier número irracional. Es posible que la constante de este resultado no se pueda mejorar más sin excluir algunos números irracionales (ver más abajo). ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2}}}}$

Émile Borel (1903) ^[8] demostró que, de hecho, dado cualquier número irracional α , y dados tres convergentes consecutivos de α , al menos uno debe satisfacer la desigualdad dada en el Teorema de Hurwitz.

Números reales equivalentes

Definición : Dos números reales se llaman equivalentes ^{[9] [10]} si existen números enteros tales que: ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle a,b,c,d\;}$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1\;}$

${\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.}$

Entonces, la equivalencia se define mediante una transformación entera de Möbius en los números reales, o por un miembro del grupo Modular , el conjunto de matrices invertibles de 2 × 2 sobre los números enteros. Cada número racional equivale a 0; por tanto, los números racionales son una clase de equivalencia para esta relación. ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )}$

La equivalencia se puede leer en la representación de fracción continua regular, como lo muestra el siguiente teorema de Serret :

Teorema : Dos números irracionales x e y son equivalentes si y sólo si existen dos números enteros positivos h y k tales que las representaciones de fracciones continuas regulares de x e y

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,\\y&=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{aligned}}}$

satisfacer

${\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i}}$

para cada entero no negativo i . ^[11]

Por tanto, excepto por una secuencia inicial finita, los números equivalentes tienen la misma representación de fracción continua.

Los números equivalentes son aproximables en el mismo grado, en el sentido de que tienen la misma constante de Markov .

espectro de Lagrange

Como se dijo anteriormente, la constante del teorema de Borel no puede mejorarse, como lo demostró Adolf Hurwitz en 1891. ^[12] Sea la proporción áurea . Entonces, para cualquier constante real c con solo hay un número finito de números racionales p / q tales que ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle c>{\sqrt {5}}\;}$

${\displaystyle \left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.}$

Por lo tanto, sólo se puede lograr una mejora si se excluyen las cifras equivalentes a . Más precisamente: ^{[13] [14]} Para cada número irracional , que no es equivalente a , existen infinitas fracciones tales que ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\;}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {8}}q^{2}}}.}$

Mediante exclusiones sucesivas (la siguiente debe excluir los números equivalentes a ) de más y más clases de equivalencia, el límite inferior puede ampliarse aún más. Los valores que se pueden generar de esta manera son números de Lagrange , que forman parte del espectro de Lagrange . Convergen al número 3 y están relacionados con los números de Markov . ^{[15] [16]} ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Teorema de Khinchin sobre aproximación y extensiones métricas diofánticas

Sea una función positiva de valor real sobre números enteros positivos (es decir, una secuencia positiva) tal que no sea creciente. Un número real x (no necesariamente algebraico) se llama -aproximable si existen infinitos números racionales p / q tales que ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle q\psi (q)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.}$

Aleksandr Khinchin demostró en 1926 que si la serie diverge, entonces casi todos los números reales (en el sentido de la medida de Lebesgue ) son aproximables, y si la serie converge, entonces casi todos los números reales no son aproximables. El círculo de ideas que rodean este teorema y sus parientes se conoce como aproximación métrica diofántica o teoría métrica de la aproximación diofántica (que no debe confundirse con las "métricas" de altura en la geometría diofántica ) o teoría métrica de números . ${\textstyle \sum _{q}\psi (q)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Duffin y Schaeffer (1941) demostraron una generalización del resultado de Khinchin y plantearon lo que ahora se conoce como la conjetura de Duffin-Schaeffer sobre el análogo de la dicotomía de Khinchin para secuencias generales, no necesariamente decrecientes . Beresnevich y Velani (2006) demostraron que una medida de Hausdorff análoga a la conjetura de Duffin-Schaeffer es equivalente a la conjetura original de Duffin-Schaeffer, que es a priori más débil. En julio de 2019, Dimitris Koukoulopoulos y James Maynard anunciaron una prueba de la conjetura. ^{[17] [18]} ${\displaystyle \psi }$

Dimensión Hausdorff de conjuntos excepcionales

Un ejemplo importante de una función a la que se puede aplicar el teorema de Khinchin es la función , donde c  > 1 es un número real. Para esta función, la serie relevante converge y por eso el teorema de Khinchin nos dice que casi todos los puntos no son aproximables. Así, el conjunto de números que son aproximables forma un subconjunto de la recta real de medida de Lebesgue cero. El teorema de Jarník-Besicovitch, debido a V. Jarník y AS Besicovitch , establece que la dimensión de Hausdorff de este conjunto es igual a . ^[19] En particular, el conjunto de números que son aproximables para algunos (conocido como el conjunto de números muy aproximables ) tiene dimensión de Hausdorff uno, mientras que el conjunto de números que son aproximables para todos (conocido como el conjunto de Liouville números ) tiene dimensión de Hausdorff cero. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c}}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle 1/c}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle \psi _{c}}$ ${\displaystyle c>1}$

Otro ejemplo importante es la función , donde es un número real. Para esta función, la serie relevante diverge y por eso el teorema de Khinchin nos dice que casi todos los números son aproximables. Esto es lo mismo que decir que cada número es bien aproximable , donde un número se llama bien aproximable si no es mal aproximable. Por tanto, un análogo apropiado del teorema de Jarník-Besicovitch debería referirse a la dimensión de Hausdorff del conjunto de números mal aproximables. De hecho, V. Jarník demostró que la dimensión de Hausdorff de este conjunto es igual a uno. Este resultado fue mejorado por WM Schmidt , quien demostró que el conjunto de números mal aproximables es incompresible , lo que significa que si es una secuencia de aplicaciones bi-Lipschitz , entonces el conjunto de números x para los cuales todos son mal aproximables tiene dimensión de Hausdorff uno. Schmidt también generalizó el teorema de Jarník a dimensiones superiores, un logro significativo porque el argumento de Jarník es esencialmente unidimensional, dependiendo del aparato de fracciones continuas. ${\displaystyle \psi _{\varepsilon }(q)=\varepsilon q^{-1}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \psi _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots }$

Distribución uniforme

Otro tema que ha experimentado un profundo desarrollo es la teoría de la distribución uniforme mod 1 . Tome una sucesión a ₁ , a ₂ ,... de números reales y considere sus partes fraccionarias . Es decir, de manera más abstracta, observe la secuencia en , que es un círculo. Para cualquier intervalo I en el círculo observamos la proporción de los elementos de la secuencia que se encuentran en él, hasta algún número entero N , y la comparamos con la proporción de la circunferencia ocupada por I. Distribución uniforme significa que en el límite, a medida que N crece, la proporción de aciertos en el intervalo tiende al valor "esperado". Hermann Weyl demostró un resultado básico mostrando que esto era equivalente a límites para sumas exponenciales formadas a partir de la secuencia. Esto demostró que los resultados de la aproximación diofántica estaban estrechamente relacionados con el problema general de la cancelación en sumas exponenciales, que ocurre en toda la teoría analítica de números en la delimitación de términos de error. ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

Relacionado con la distribución uniforme está el tema de las irregularidades de la distribución, que es de naturaleza combinatoria .

Algoritmos

Grotschel, Lovasz y Schrijver describen algoritmos para encontrar aproximaciones diofánticas aproximadamente mejores, tanto para números reales individuales como para conjuntos de números reales. Este último problema se denomina aproximación diofántica simultánea . ^{[20] : Sec. 5.2}

Problemas no resueltos

Todavía quedan problemas sin resolver planteados de manera simple en la aproximación diofántica, por ejemplo, la conjetura de Littlewood y la conjetura del corredor solitario . También se desconoce si existen números algebraicos con coeficientes ilimitados en su expansión en fracción continua.

Desarrollos recientes

En su discurso plenario en el Congreso Internacional de Matemáticas en Kioto (1990), Grigory Margulis esbozó un amplio programa basado en la teoría ergódica que permite probar resultados de la teoría de números utilizando las propiedades dinámicas y ergódicas de las acciones de subgrupos de grupos de Lie semisimples . El trabajo de D. Kleinbock, G. Margulis y sus colaboradores demostró el poder de este novedoso enfoque de los problemas clásicos en la aproximación diofántica. Entre sus éxitos notables se encuentran la prueba de la conjetura de Oppenheim de décadas de antigüedad de Margulis, con extensiones posteriores de Dani y Margulis y Eskin-Margulis-Mozes, y la prueba de las conjeturas de Baker y Sprindzhuk en las aproximaciones diofánticas sobre variedades de Kleinbock y Margulis. Dentro de este marco también se han obtenido varias generalizaciones de los resultados anteriores de Aleksandr Khinchin en la aproximación métrica diofántica.

Ver también

• Teorema de Davenport-Schmidt
• Teorema de Duffin-Schaeffer
• conjunto heilbronn
• Secuencia de baja discrepancia

Notas

1. Khinchin 1997, pág. 21
2. Cassels 1957, pág. 2
3. Lang 1995, pág. 9
4. Khinchin 1997, pág. 24
5. Cassels 1957, págs. 5-8
6. Bugeaud 2012, pag. 245
7. Hurwitz 1891, pag. 279
8. Perron 1913, Capítulo 2, Teorema 15
9. Hurwitz 1891, pag. 284
10. Hardy y Wright 1979, capítulo 10.11
11. Véase Perron 1929, Capítulo 2, Teorema 23, p. 63
12. Hardy y Wright 1979, pág. 164
13. Cassels 1957, pág. 11
14. Hurwitz 1891
15. Cassels 1957, pág. 18
16. Véase Michel Waldschmidt: Introducción a los métodos diofánticos, irracionalidad y trascendencia Archivado el 9 de febrero de 2012 en Wayback Machine , págs.
17. Koukoulopoulos, D.; Maynard, J. (2019). "Sobre la conjetura de Duffin-Schaeffer". arXiv : 1907.04593 [matemáticas.NT].
18. Sloman, Leila (2019). "Nueva prueba resuelve el problema de los números irracionales de 80 años". Científico americano .
19. Bernik y col. 2013, pág. 24
20. Grötschel, Martín ; Lovász, László ; Schrijver, Alexander (1993), Algoritmos geométricos y optimización combinatoria, Algoritmos y combinatoria, vol. 2 (2ª ed.), Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-78240-4, ISBN 978-3-642-78242-8, señor  1261419

Referencias

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enlaces externos

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• "Aproximaciones diofánticas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]