Ondícula

Función para transformada integral tipo Fourier

Una wavelet es una oscilación similar a una onda con una amplitud que comienza en cero, aumenta o disminuye y luego regresa a cero una o más veces. Las ondas se denominan "oscilación breve". Se ha establecido una taxonomía de wavelets, basada en el número y dirección de sus pulsos. Las wavelets están dotadas de propiedades específicas que las hacen útiles para el procesamiento de señales .

Onda sísmica

Por ejemplo, se podría crear una wavelet para que tenga una frecuencia de C medio y una duración corta de aproximadamente una décima de segundo. Si esta wavelet se convolucionara con una señal creada a partir de la grabación de una melodía, entonces la señal resultante sería útil para determinar cuándo apareció la nota C media en la canción. Matemáticamente, una wavelet se correlaciona con una señal si una parte de la señal es similar. La correlación es el núcleo de muchas aplicaciones prácticas de wavelets.

Como herramienta matemática, las wavelets se pueden utilizar para extraer información de muchos tipos de datos, incluidas señales de audio e imágenes. Se necesitan conjuntos de wavelets para analizar los datos por completo. Las ondas "complementarias" descomponen una señal sin espacios ni superposiciones, de modo que el proceso de descomposición es matemáticamente reversible. Por lo tanto, los conjuntos de wavelets complementarios son útiles en algoritmos de compresión/descompresión basados ​​en wavelets , donde es deseable recuperar la información original con una pérdida mínima.

En términos formales, esta representación es una representación en serie de ondas de una función integrable al cuadrado con respecto a un conjunto ortonormal completo de funciones básicas , o un conjunto o marco sobrecompleto de un espacio vectorial , para el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado . . Esto se logra a través de estados coherentes .

En física clásica , el fenómeno de difracción se describe mediante el principio de Huygens-Fresnel que trata cada punto en un frente de onda en propagación como una colección de ondas esféricas individuales. ^[1] El patrón de flexión característico es más pronunciado cuando una onda de una fuente coherente (como un láser) encuentra una rendija/apertura que es comparable en tamaño a su longitud de onda . Esto se debe a la adición, o interferencia , de diferentes puntos en el frente de onda (o, de manera equivalente, cada ondícula) que viajan por caminos de diferentes longitudes hasta la superficie de registro. Múltiples aberturas estrechamente espaciadas (por ejemplo, una rejilla de difracción ) pueden dar como resultado un patrón complejo de intensidad variable.

Etimología

La palabra wavelet se ha utilizado durante décadas en el procesamiento de señales digitales y en la geofísica de exploración. ^[2] Morlet y Grossmann utilizaron la palabra francesa equivalente ondelette, que significa "ola pequeña" , a principios de los años 1980.

Teoría de las ondículas

La teoría wavelet es aplicable a varios temas. Todas las transformadas wavelet pueden considerarse formas de representación de tiempo-frecuencia para señales de tiempo continuo (analógicas) y, por lo tanto, están relacionadas con el análisis armónico . La transformada de ondas discretas (continua en el tiempo) de una señal de tiempo discreto (muestreada) mediante el uso de bancos de filtros de tiempo discreto de configuración diádica (banda de octava) es una aproximación de ondas a esa señal. Los coeficientes de dicho banco de filtros se denominan coeficientes de desplazamiento y escala en la nomenclatura de wavelets. Estos bancos de filtros pueden contener filtros de respuesta de impulso finita (FIR) o de respuesta de impulso infinita (IIR). Las ondas que forman una transformada de ondas continua (CWT) están sujetas al principio de incertidumbre de la teoría de muestreo respectiva del análisis de Fourier: dada una señal con algún evento, no se puede asignar simultáneamente una escala exacta de respuesta de tiempo y frecuencia a ese evento. El producto de las incertidumbres del tiempo y la escala de respuesta en frecuencia tiene un límite inferior. Por lo tanto, en el escalaograma de una transformada wavelet continua de esta señal, tal evento marca una región completa en el plano de la escala de tiempo, en lugar de solo un punto. Además, las bases de ondículas discretas pueden considerarse en el contexto de otras formas del principio de incertidumbre. ^{[3] [4] [5] [6]}

Las transformadas Wavelet se dividen en términos generales en tres clases: continuas, discretas y basadas en multiresolución.

Transformadas wavelet continuas (parámetros de escala y cambio continuo)

En las transformadas wavelet continuas , una señal dada de energía finita se proyecta en una familia continua de bandas de frecuencia (o subespacios similares del espacio funcional L p L ² ( R ) ). Por ejemplo, la señal puede representarse en cada banda de frecuencia de la forma [ f , 2 f ] para todas las frecuencias positivas f > 0. Luego, la señal original puede reconstruirse mediante una integración adecuada de todos los componentes de frecuencia resultantes.

Las bandas de frecuencia o subespacios (subbandas) son versiones escaladas de un subespacio a escala 1. Este subespacio, a su vez, se genera en la mayoría de las situaciones por los cambios de una función generadora ψ en L ² ( R ), la wavelet madre . Para el ejemplo de la escala de una banda de frecuencia [1, 2] esta función es

$${\displaystyle \psi (t)=2\,\operatorname {sinc} (2t)-\,\operatorname {sinc} (t)={\frac {\sin(2\pi t)-\sin(\pi t)}{\pi t}}}$$

función sinc

El subespacio de escala a o banda de frecuencia [1/ a , 2/ a ] es generado por las funciones (a veces llamadas ondas secundarias )

$${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right),}$$

ababR ₊R.

La proyección de una función x en el subespacio de escala a tiene entonces la forma

$${\displaystyle x_{a}(t)=\int _{\mathbb {R} }WT_{\psi }\{x\}(a,b)\cdot \psi _{a,b}(t)\,db}$$

coeficientes wavelet

$${\displaystyle WT_{\psi }\{x\}(a,b)=\langle x,\psi _{a,b}\rangle =\int _{\mathbb {R} }x(t){\psi _{a,b}(t)}\,dt.}$$

Para el análisis de la señal x , se pueden ensamblar los coeficientes wavelet en un escalaograma de la señal.

Vea una lista de algunas wavelets continuas .

Transformadas wavelet discretas (parámetros de escala y desplazamiento discretos, continuos en el tiempo)

Es computacionalmente imposible analizar una señal utilizando todos los coeficientes wavelet, por lo que uno puede preguntarse si es suficiente elegir un subconjunto discreto del semiplano superior para poder reconstruir una señal a partir de los coeficientes wavelet correspondientes. Uno de esos sistemas es el sistema afín para algunos parámetros reales a > 1, b > 0. El subconjunto discreto correspondiente del semiplano consta de todos los puntos ( a ^m , nb a ^m ) con m , n en Z . Las ondas secundarias correspondientes ahora se dan como

$${\displaystyle \psi _{m,n}(t)={\frac {1}{\sqrt {a^{m}}}}\psi \left({\frac {t-nba^{m}}{a^{m}}}\right).}$$

Una condición suficiente para la reconstrucción de cualquier señal x de energía finita mediante la fórmula

$${\displaystyle x(t)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\sum _{n\in \mathbb {Z} }\langle x,\,\psi _{m,n}\rangle \cdot \psi _{m,n}(t)}$$

base ortonormalL ²R ${\displaystyle \{\psi _{m,n}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

Transformadas wavelet discretas basadas en resolución múltiple (continuas en el tiempo)

Ondícula D4

En cualquier transformada wavelet discretizada, sólo hay un número finito de coeficientes wavelet para cada región rectangular acotada en el semiplano superior. Aún así, cada coeficiente requiere la evaluación de una integral. En situaciones especiales, esta complejidad numérica se puede evitar si las ondas escaladas y desplazadas forman un análisis multiresolución . Esto significa que tiene que existir una función auxiliar , la wavelet padre φ en L ² ( R ), y que a es un número entero. Una elección típica es a = 2 y b = 1. El par de ondas padre y madre más famoso es la ondícula de 4 pulsaciones de Daubechies . Tenga en cuenta que no todas las ondas discretas ortonormales pueden asociarse a un análisis multiresolución; por ejemplo, la wavelet Journe no admite análisis multiresolución. ^[7]

A partir de las ondas madre y padre se construyen los subespacios.

$${\displaystyle V_{m}=\operatorname {span} (\phi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ where }}\phi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi (2^{-m}t-n)}$$

$${\displaystyle W_{m}=\operatorname {span} (\psi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ where }}\psi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi (2^{-m}t-n).}$$

${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}}$

De estos se requiere que la secuencia

$${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset V_{-2}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$$

análisis multiresoluciónL ²W _mV _mV _{m −1} ${\displaystyle \dots ,W_{1},W_{0},W_{-1},\dots }$

$${\displaystyle V_{m}\oplus W_{m}=V_{m-1}.}$$

Por analogía con el teorema de muestreo se puede concluir que el espacio V _m con una distancia de muestreo de 2 ^m cubre más o menos la banda base de frecuencia de 0 a 1/2 ^{m -1} . Como complemento ortogonal, W _m cubre aproximadamente la banda [1/2 ^{m −1} , 1/2 ^m ].

De aquellas inclusiones y relaciones de ortogonalidad, especialmente , se desprende la existencia de sucesiones y que satisfacen las identidades ${\displaystyle V_{0}\oplus W_{0}=V_{-1}}$ ${\displaystyle h=\{h_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle g=\{g_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$

$${\displaystyle g_{n}=\langle \phi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$

${\textstyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }g_{n}\phi (2t-n),}$

$${\displaystyle h_{n}=\langle \psi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$

ecuación de refinamientotransformada wavelet rápida ${\textstyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }h_{n}\phi (2t-n).}$

Del análisis multiresolución se deriva la descomposición ortogonal del espacio L ² como

$${\displaystyle L^{2}=V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}-1}\oplus W_{j_{0}-2}\oplus W_{j_{0}-3}\oplus \cdots }$$

${\displaystyle S\in L^{2}}$

$${\displaystyle S=\sum _{k}c_{j_{0},k}\phi _{j_{0},k}+\sum _{j\leq j_{0}}\sum _{k}d_{j,k}\psi _{j,k}}$$

$${\displaystyle c_{j_{0},k}=\langle S,\phi _{j_{0},k}\rangle }$$

$${\displaystyle d_{j,k}=\langle S,\psi _{j,k}\rangle .}$$

Ondas causales del tiempo

Para procesar señales temporales en tiempo real, es esencial que los filtros wavelet no accedan a valores de señal del futuro y que se puedan obtener latencias temporales mínimas. Szu et al ^[8] y Lindeberg, ^[9] han desarrollado representaciones de wavelets causales en el tiempo, y este último método también implica una implementación recursiva en el tiempo eficiente en memoria.

Ola madre

Para aplicaciones prácticas, y por razones de eficiencia, se prefieren funciones continuamente diferenciables con soporte compacto como wavelet (funciones) madre (prototipo). Sin embargo, para satisfacer los requisitos analíticos (en el WT continuo) y en general por razones teóricas, se eligen las funciones wavelet de un subespacio del espacio. Este es el espacio de funciones medibles de Lebesgue que son absolutamente integrables y integrables al cuadrado en el sentido de que ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|\,dt<\infty }$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt<\infty .}$$

Estar en este espacio asegura que uno pueda formular las condiciones de media cero y norma cuadrática uno:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0}$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt=1}$$

Para que ψ sea una wavelet para la transformada wavelet continua (ver allí para la declaración exacta), la wavelet madre debe satisfacer un criterio de admisibilidad (en términos generales, una especie de media diferenciabilidad) para obtener una transformada establemente invertible.

Para la transformada wavelet discreta , se necesita al menos la condición de que la serie wavelet sea una representación de la identidad en el espacio L ² ( R ). La mayoría de las construcciones de WT discreta hacen uso del análisis multiresolución , que define la wavelet mediante una función de escala. Esta función de escala en sí misma es una solución a una ecuación funcional.

En la mayoría de las situaciones es útil restringir ψ para que sea una función continua con un mayor número M de momentos de fuga, es decir, para todo número entero m < M

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{m}\,\psi (t)\,dt=0.}$$

La wavelet madre se escala (o dilata) por un factor de a y se traslada (o desplaza) por un factor de b para dar (según la formulación original de Morlet):

$${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({t-b \over a}\right).}$$

Para el WT continuo, el par ( a , b ) varía en todo el semiplano R ₊ × R ; para el WT discreto este par varía en un subconjunto discreto del mismo, que también se denomina grupo afín .

Estas funciones a menudo se denominan incorrectamente funciones básicas de la transformada (continua). De hecho, al igual que en la transformada continua de Fourier, no existe ninguna base en la transformada wavelet continua. La interpretación tiempo-frecuencia utiliza una formulación sutilmente diferente (según Delprat).

Restricción:

1. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{a1,b1}(t)\varphi \left({\frac {t-b}{a}}\right)\,dt}$cuando a ₁ = a y b ₁ = b ,
2. ${\displaystyle \Psi (t)}$tiene un intervalo de tiempo finito

Comparaciones con la transformada de Fourier (tiempo continuo)

La transformada wavelet a menudo se compara con la transformada de Fourier , en la que las señales se representan como una suma de sinusoides. De hecho, la transformada de Fourier puede verse como un caso especial de la transformada wavelet continua con la elección de la wavelet madre . La principal diferencia en general es que las wavelets se localizan tanto en tiempo como en frecuencia, mientras que la transformada estándar de Fourier sólo se localiza en frecuencia . La transformada de Fourier de corto tiempo (STFT) es similar a la transformada wavelet, en el sentido de que también está localizada en el tiempo y la frecuencia, pero existen problemas con el compromiso de resolución entre frecuencia y tiempo. ${\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}$

En particular, suponiendo una región de ventana rectangular, se puede pensar en STFT como una transformación con un núcleo ligeramente diferente.

$${\displaystyle \psi (t)=g(t-u)e^{-2\pi it}}$$

uel teorema de Parseval ${\displaystyle g(t-u)}$ ${\textstyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-u}{\Delta _{t}}}\right)}$ ${\displaystyle \Delta _{t}}$

$${\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$

u

$${\displaystyle \sigma _{u}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}$$

y el cuadrado del soporte espectral de la ventana actuando sobre una frecuencia ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\xi }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$

La multiplicación con una ventana rectangular en el dominio del tiempo corresponde a la convolución con una función en el dominio de la frecuencia, lo que da como resultado artefactos de timbre espurios para ventanas temporales cortas/localizadas. Con la Transformada de Fourier de tiempo continuo, y esta convolución es con una función delta en el espacio de Fourier, lo que da como resultado la verdadera transformada de Fourier de la señal . La función de ventana puede ser algún otro filtro apodizante , como un gaussiano . La elección de la función de ventana afectará el error de aproximación relativo a la verdadera transformada de Fourier. ${\displaystyle \operatorname {sinc} (\Delta _{t}\omega )}$ ${\displaystyle \Delta _{t}\to \infty }$ ${\displaystyle x(t)}$

El producto tiempo-ancho de banda de una determinada celda de resolución no puede excederse con el STFT. Todos los elementos básicos de STFT mantienen un soporte espectral y temporal uniforme para todos los cambios o compensaciones temporales, logrando así una resolución igual en el tiempo para frecuencias más bajas y más altas. La resolución está determinada puramente por el ancho de muestreo.

Por el contrario, las propiedades multiresolución de la transformada wavelet permiten grandes soportes temporales para frecuencias más bajas mientras mantienen anchos temporales cortos para frecuencias más altas mediante las propiedades de escala de la transformada wavelet. Esta propiedad extiende el análisis de tiempo-frecuencia convencional al análisis de escala de tiempo. ^[10]

Átomos de tiempo-frecuencia STFT (izquierda) y átomos de escala de tiempo DWT (derecha). Los átomos de tiempo-frecuencia son cuatro funciones básicas diferentes utilizadas para el STFT (es decir, se requieren cuatro transformadas de Fourier separadas ). Los átomos de escala de tiempo del DWT logran anchos temporales pequeños para frecuencias altas y buenos anchos temporales para frecuencias bajas con un conjunto de bases de transformación única .

La transformada wavelet discreta es menos compleja desde el punto de vista computacional y requiere un tiempo O( N ) en comparación con O( N  log  N ) para la transformada rápida de Fourier . Esta ventaja computacional no es inherente a la transformada, pero refleja la elección de una división logarítmica de frecuencia, en contraste con las divisiones de frecuencia equiespaciadas de la FFT (transformada rápida de Fourier), que utiliza las mismas funciones básicas que la DFT (transformada discreta de Fourier). . ^[11] También es importante tener en cuenta que esta complejidad solo se aplica cuando el tamaño del filtro no tiene relación con el tamaño de la señal. Una wavelet sin soporte compacto como la wavelet de Shannon requeriría O( N ² ). (Por ejemplo, también existe una transformada logarítmica de Fourier con complejidad O( N ), pero la señal original debe muestrearse logarítmicamente en el tiempo, lo que sólo es útil para ciertos tipos de señales. ^[12] )

Definición de wavelet

Una wavelet (o una familia de wavelets) se puede definir de varias maneras:

Filtro de escala

Una wavelet ortogonal está completamente definida por el filtro de escala: un filtro de respuesta de impulso finito (FIR) de paso bajo de longitud 2 N y suma 1. En las wavelets biortogonales , se definen filtros separados de descomposición y reconstrucción.

Para el análisis con wavelets ortogonales, el filtro de paso alto se calcula como el filtro de espejo en cuadratura del paso bajo, y los filtros de reconstrucción son el tiempo inverso de los filtros de descomposición.

Las ondas Daubechies y Symlet se pueden definir mediante el filtro de escala.

Función de escala

Las wavelets se definen por la función wavelet ψ( t ) (es decir, la wavelet madre) y la función de escala φ( t ) (también llamada wavelet padre) en el dominio del tiempo.

La función wavelet es, en efecto, un filtro de paso de banda y un escalamiento que para cada nivel reduce a la mitad su ancho de banda. Esto crea el problema de que para cubrir todo el espectro se necesitaría un número infinito de niveles. La función de escala filtra el nivel más bajo de la transformación y garantiza que se cubra todo el espectro. Véase ^[13] para una explicación detallada.

Para una wavelet con soporte compacto, φ( t ) puede considerarse de longitud finita y es equivalente al filtro de escala g .

Las wavelets de Meyer se pueden definir mediante funciones de escala

Función wavelet

La wavelet solo tiene una representación en el dominio del tiempo como la función wavelet ψ( t ).

Por ejemplo, las wavelets del sombrero mexicano se pueden definir mediante una función wavelet. Vea una lista de algunas ondas continuas .

Historia

El desarrollo de las wavelets puede vincularse a varias líneas de pensamiento distintas, comenzando con el trabajo de Haar a principios del siglo XX. Un trabajo posterior de Dennis Gabor produjo átomos de Gabor (1946), que se construyen de manera similar a las ondas y se aplican con propósitos similares.

Las contribuciones notables a la teoría de las wavelets desde entonces pueden atribuirse al descubrimiento de Zweig de la transformada wavelet continua (CWT) en 1975 (originalmente llamada transformada coclear y descubierta mientras estudiaba la reacción del oído al sonido), ^[14] Pierre Goupillaud, La formulación de Grossmann y Morlet de lo que ahora se conoce como CWT (1982), los primeros trabajos de Jan-Olov Strömberg sobre wavelets discretas (1983), el banco de filtros no ortogonales de 5/3 grifos de Le Gall-Tabatabai (LGT) con fase lineal (1988), ^{[15] [16] [17]} Wavelets ortogonales con soporte compacto de Ingrid Daubechies (1988), marco multiresolución no ortogonal de Mallat (1989), Binomial QMF de Ali Akansu (1990), Nathalie La interpretación tiempo-frecuencia de Delprat del CWT (1991), la transformada wavelet armónica de Newland (1993) y la partición de conjuntos en árboles jerárquicos (SPIHT) desarrollada por Amir Said con William A. Pearlman en 1996. ^[18]

El estándar JPEG 2000 fue desarrollado entre 1997 y 2000 por un comité del Grupo Conjunto de Expertos en Fotografía (JPEG) presidido por Touradj Ebrahimi (más tarde presidente de JPEG). ^[19] A diferencia del algoritmo DCT utilizado por el formato JPEG original , JPEG 2000 utiliza algoritmos de transformada wavelet discreta (DWT). Utiliza la transformada wavelet CDF 9/7 (desarrollada por Ingrid Daubechies en 1992) para su algoritmo de compresión con pérdida , y el banco de filtros de tiempo discreto Le Gall-Tabatabai (LGT) 5/3 (desarrollado por Didier Le Gall y Ali J. Tabatabai en 1988) por su algoritmo de compresión sin pérdidas . ^{[20] La tecnología} JPEG 2000 , que incluye la extensión Motion JPEG 2000 , fue seleccionada como estándar de codificación de vídeo para cine digital en 2004. ^[21]

Línea de tiempo

• Primera wavelet ( Haar Wavelet ) de Alfréd Haar (1909)
• Desde los años 1970: George Zweig , Jean Morlet , Alex Grossmann
• Desde los años 1980: Yves Meyer , Didier Le Gall, Ali J. Tabatabai, Stéphane Mallat , Ingrid Daubechies , Ronald Coifman , Ali Akansu , Victor Wickerhauser
• Desde la década de 1990: Nathalie Delprat, Newland, Amir Said, William A. Pearlman, Touradj Ebrahimi, JPEG 2000

transformaciones wavelet

Una wavelet es una función matemática que se utiliza para dividir una función determinada o una señal de tiempo continuo en diferentes componentes de escala. Generalmente se puede asignar un rango de frecuencia a cada componente de la escala. Luego, cada componente de escala se puede estudiar con una resolución que coincida con su escala. Una transformada wavelet es la representación de una función mediante wavelets. Las ondas son copias escaladas y traducidas (conocidas como "ondas hijas") de una forma de onda oscilante de longitud finita o de rápida decadencia (conocida como "ondas madre"). Las transformadas Wavelet tienen ventajas sobre las transformadas de Fourier tradicionales para representar funciones que tienen discontinuidades y picos agudos, y para deconstruir y reconstruir con precisión señales finitas, no periódicas y/o no estacionarias .

Las transformadas wavelet se clasifican en transformadas wavelet discretas (DWT) y transformadas wavelet continuas (CWT). Tenga en cuenta que tanto DWT como CWT son transformaciones de tiempo continuo (analógicas). Se pueden utilizar para representar señales de tiempo continuo (analógicas). Los CWT operan en todas las escalas y traducciones posibles, mientras que los DWT utilizan un subconjunto específico de valores de escala y traducción o cuadrícula de representación.

Hay una gran cantidad de transformadas wavelet, cada una de las cuales es adecuada para diferentes aplicaciones. Para obtener una lista completa, consulte la lista de transformaciones relacionadas con wavelets, pero las más comunes se enumeran a continuación:

• Transformada wavelet continua (CWT)
• Transformada wavelet discreta (DWT)
• Transformada wavelet rápida (FWT)
• Esquema de elevación y esquema de elevación generalizado.
• Descomposición de paquetes wavelet (WPD)
• Transformada wavelet estacionaria (SWT)
• Transformada fraccionaria de Fourier (FRFT)
• Transformada wavelet fraccional (FRWT)

Transformaciones generalizadas

Hay una serie de transformadas generalizadas de las cuales la transformada wavelet es un caso especial. Por ejemplo, Yosef Joseph Segman introdujo la escala en el grupo de Heisenberg , dando lugar a un espacio de transformación continuo que es función del tiempo, la escala y la frecuencia. El CWT es un corte bidimensional a través del volumen de frecuencia-escala de tiempo 3D resultante.

Otro ejemplo de una transformada generalizada es la transformada chirplet en la que el CWT también es un corte bidimensional a través de la transformada chirplet.

Un área de aplicación importante para las transformadas generalizadas involucra sistemas en los que la resolución de alta frecuencia es crucial. Por ejemplo, las transformadas ópticas de electrones de campo oscuro intermedias entre el espacio directo y recíproco se han utilizado ampliamente en el análisis armónico de la agrupación de átomos, es decir, en el estudio de cristales y defectos cristalinos . ^[22] Ahora que los microscopios electrónicos de transmisión son capaces de proporcionar imágenes digitales con información a escala picométrica sobre la periodicidad atómica en nanoestructuras de todo tipo, se amplía el rango de aplicaciones de reconocimiento de patrones ^[23] y deformación ^[24] / metrología ^[25] para transformadas intermedias. con resolución de alta frecuencia (como brushlets ^[26] y ridgelets ^[27] ) está creciendo rápidamente.

La transformada wavelet fraccional (FRWT) es una generalización de la transformada wavelet clásica en los dominios de la transformada fraccional de Fourier. Esta transformada es capaz de proporcionar información en el dominio de tiempo y fraccional simultáneamente y representar señales en el plano de frecuencia fraccional de tiempo. ^[28]

Aplicaciones

Generalmente, se utiliza una aproximación a DWT para la compresión de datos si ya se ha muestreado una señal, y el CWT para el análisis de la señal . ^[29] Por lo tanto, la aproximación DWT se usa comúnmente en ingeniería e informática, ^[30] y la CWT en investigación científica. ^[31]

Al igual que otras transformaciones, las transformaciones wavelet se pueden utilizar para transformar datos y luego codificar los datos transformados, lo que da como resultado una compresión efectiva. Por ejemplo, JPEG 2000 es un estándar de compresión de imágenes que utiliza wavelets biortogonales. Esto significa que aunque el marco está sobrecompleto, es un marco ajustado (ver tipos de marcos de un espacio vectorial ), y las mismas funciones de marco (excepto la conjugación en el caso de wavelets complejas) se utilizan tanto para el análisis como para la síntesis, es decir , tanto en la transformada directa como en la inversa. Para obtener más información, consulte compresión wavelet .

Un uso relacionado es el de suavizar/eliminar ruido de datos basándose en el umbral del coeficiente de wavelet, también llamado contracción de wavelet. Umbralizando de forma adaptativa los coeficientes wavelet que corresponden a componentes de frecuencia no deseados, se pueden realizar operaciones de suavizado y/o eliminación de ruido.

Las transformadas Wavelet también se están empezando a utilizar para aplicaciones de comunicación. Wavelet OFDM es el esquema de modulación básico utilizado en HD-PLC (una tecnología de comunicaciones por línea eléctrica desarrollada por Panasonic ), y en uno de los modos opcionales incluidos en el estándar IEEE 1901 . Wavelet OFDM puede lograr muescas más profundas que FFT OFDM tradicional, y wavelet OFDM no requiere un intervalo de guarda (lo que generalmente representa una sobrecarga significativa en los sistemas FFT OFDM). ^[32]

Como representación de una señal.

A menudo, las señales se pueden representar bien como una suma de sinusoides. Sin embargo, considere una señal no continua con una discontinuidad abrupta; Esta señal todavía se puede representar como una suma de sinusoides, pero requiere un número infinito, lo cual es una observación conocida como fenómeno de Gibbs . Esto, entonces, requiere un número infinito de coeficientes de Fourier, lo que no es práctico para muchas aplicaciones, como la compresión. Las wavelets son más útiles para describir estas señales con discontinuidades debido a su comportamiento localizado en el tiempo (tanto la transformada de Fourier como la wavelet están localizadas en frecuencia, pero las wavelets tienen una propiedad adicional de localización en el tiempo). Debido a esto, muchos tipos de señales en la práctica pueden no ser dispersas en el dominio de Fourier, pero muy dispersas en el dominio wavelet. Esto es particularmente útil en la reconstrucción de señales, especialmente en el campo recientemente popular de la detección comprimida . (Tenga en cuenta que la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT) también está localizada en el tiempo y la frecuencia, pero a menudo hay problemas con el equilibrio entre la resolución frecuencia-tiempo. Las wavelets son mejores representaciones de señales debido al análisis de resolución múltiple ).

Esto motiva por qué las transformadas wavelet se están adoptando ahora para una gran cantidad de aplicaciones, reemplazando a menudo a la transformada de Fourier convencional . Muchas áreas de la física han visto este cambio de paradigma, incluida la dinámica molecular , la teoría del caos , ^[33] cálculos ab initio , la astrofísica , el análisis de datos transitorios de ondas gravitacionales , ^{[34] [35] la localización} de la matriz de densidad , la sismología , la óptica , la turbulencia y la cuántica. mecánica . Este cambio también se ha producido en el procesamiento de imágenes , EEG , EMG , ^[36] análisis de ECG , ritmos cerebrales , análisis de ADN , análisis de proteínas , climatología , análisis de la respuesta sexual humana, ^[37] procesamiento general de señales , reconocimiento de voz , acústica, señales de vibración, ^[38] gráficos por computadora , análisis multifractal y codificación dispersa . En visión por computadora y procesamiento de imágenes , la noción de representación espacial de escala y operadores derivados gaussianos se considera una representación canónica de múltiples escalas.

Eliminación de ruido de ondas

Eliminación de ruido de señal mediante umbralización de transformada wavelet

Supongamos que medimos una señal ruidosa , donde representa la señal y representa el ruido. Supongamos que tiene una representación escasa en una determinada base de ondículas, y ${\displaystyle x=s+v}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle v\ \sim \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

Sea la transformada wavelet de , donde es la transformada wavelet del componente de señal y es la transformada wavelet del componente de ruido. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=W^{T}x=W^{T}s+W^{T}v=p+z}$ ${\displaystyle p=W^{T}s}$ ${\displaystyle z=W^{T}v}$

La mayoría de los elementos son 0 o cercanos a 0, y ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle z\ \sim \ \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

Como es ortogonal, el problema de estimación equivale a la recuperación de una señal en ruido gaussiano iid . Como es escaso, un método consiste en aplicar un modelo de mezcla gaussiana para . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Supongamos un prior , donde es la varianza de los coeficientes "significativos" y es la varianza de los coeficientes "insignificantes". ${\displaystyle p\ \sim \ a{\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{1}^{2})+(1-a){\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{2}^{2})}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Entonces , se llama factor de contracción, que depende de las varianzas anteriores y . Al establecer en cero los coeficientes que caen por debajo de un umbral de contracción, una vez que se aplica la transformación inversa, se pierde una pequeña cantidad esperada de señal debido al supuesto de escasez. Se espera que los coeficientes más grandes representen principalmente la señal debido a la escasez, y estadísticamente se espera que muy poca señal, aunque la mayor parte del ruido, esté representada en coeficientes de magnitud tan baja... por lo tanto, se espera que la operación de puesta a cero Elimina la mayor parte del ruido y poca señal. Normalmente, los coeficientes superiores al umbral no se modifican durante este proceso. Algunos algoritmos para la eliminación de ruido basados ​​en wavelets también pueden atenuar coeficientes más grandes, basándose en una estimación estadística de la cantidad de ruido que se espera que se elimine mediante dicha atenuación. ${\displaystyle {\tilde {p}}=E(p/y)=\tau (y)y}$ ${\displaystyle \tau (y)}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Por último, aplique la transformada wavelet inversa para obtener ${\displaystyle {\tilde {s}}=W{\tilde {p}}}$

Red climática multiescala

Agarwal et al. propuso métodos avanzados lineales ^[39] y no lineales ^[40] basados ​​en wavelets para construir e investigar el clima como redes complejas en diferentes escalas de tiempo. Las redes climáticas construidas utilizando conjuntos de datos de TSM en diferentes escalas de tiempo afirmaron que el análisis de procesos climáticos a múltiples escalas basado en ondas promete una mejor comprensión de la dinámica del sistema que puede pasarse por alto cuando los procesos se analizan en una sola escala de tiempo ^[41]

Lista de ondas

Ondas discretas

• Beilkin (18)
• Ola de Moore
• Ondas biortogonales casi de coiflet (BNC)
• Cofia (6, 12, 18, 24, 30)
• Wavelet de Cohen-Daubechies-Feauveau (a veces denominada CDF N/P o wavelets biortogonales de Daubechies)
• Ondícula de Daubechies (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, etc.)
• QMF binomial (también conocido como wavelet de Daubechies)
• onda de pelo
• Ola de Mathieu
• Ola de Legendre
• Ola de Villaseñor
• Simlet ^[42]

Ondas continuas

Valor real

• Ondícula beta
• onda hermitiana
• Ondícula de Meyer
• Ola de sombrero mexicano
• Ondícula de Poisson
• Onda de Shannon
• Ondícula spline
• Onda de Strömberg

Valor complejo

• Wavelet de sombrero mexicano complejo
• ondícula fbsp
• Onda de Morlet
• Onda de Shannon
• Ondícula de Morlet modificada

Ver también

• Transformación de chirplets
• Curva
• Cine digital
• Reducción de dimensiones
• Bancos de filtros
• Transformadas relacionadas con Fourier
• Compresión fractal
• Transformada fraccionaria de Fourier
• Ondícula de Gabor § Espacio de ondículas ^[43]
• Principio de Huygens-Fresnel (ondas físicas)
• JPG 2000
• Análisis espectral de mínimos cuadrados para calcular la periodicidad en cualquier dato que incluya datos espaciados de manera desigual
• Análisis multiresolución
• Ruido
• Ondícula no separable
• Espacio de escala
• Correlación escalada
• Shearlet
• Transformada de Fourier de corto tiempo
• espectrograma
• Radio de banda ultra ancha : transmite ondas

Referencias

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3. Meyer, Yves (1992), Wavelets y operadores, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42000-8 
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Otras lecturas

• Haar A., ​​Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme , Mathematische Annalen, 69 , págs. 331–371, 1910.
• Ingrid Daubechies , Diez conferencias sobre wavelets , Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 1992, ISBN 0-89871-274-2 . 
• Ali Akansu y Richard Haddad, Descomposición de señales multiresolución: transformaciones, subbandas, ondículas , Academic Press, 1992, ISBN 0-12-047140-X . 
• PP Vaidyanathan , Sistemas multitasa y bancos de filtros , Prentice Hall, 1993, ISBN 0-13-605718-7 . 
• Gerald Kaiser, Una guía sencilla de Wavelets , Birkhauser, 1994, ISBN 0-8176-3711-7 . 
• Mladen Victor Wickerhauser, Análisis Wavelet adaptado de la teoría al software , AK Peters Ltd, 1994, ISBN 1-56881-041-5 . 
• Martin Vetterli y Jelena Kovačević, "Wavelets and Subband Coding", Prentice Hall, 1995, ISBN 0-13-097080-8 . 
• Barbara Burke Hubbard , "El mundo según las wavelets: la historia de una técnica matemática en ciernes", AK Peters Ltd, 1998, ISBN 1-56881-072-5 , ISBN 978-1-56881-072-0 .  
• Stéphane Mallat , "Un recorrido por el procesamiento de señales con ondas", 2.ª edición, Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X . 
• Donald B. Percival y Andrew T. Walden, Métodos Wavelet para análisis de series temporales , Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-68508-7 . 
• Ramazan Gençay, Faruk Selçuk y Brandon Whitcher, Introducción a las wavelets y otros métodos de filtrado en finanzas y economía , Academic Press, 2001, ISBN 0-12-279670-5 . 
• Paul S. Addison, Manual ilustrado de la transformada Wavelet , Instituto de Física , 2002, ISBN 0-7503-0692-0 . 
• B. Boashash, editor, "Análisis y procesamiento de señales de tiempo-frecuencia: una referencia completa", Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN 0-08-044335-4 . 
• Tony F. Chan y Jackie (Jianhong) Shen, Procesamiento y análisis de imágenes: métodos variacionales, PDE, wavelet y estocásticos , Sociedad de Matemáticas Aplicadas, ISBN 0-89871-589-X (2005). 
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 13.10. Transformadas Wavelet", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 11 de agosto de 2011 , consultado el 13 de agosto de 2011.
• "Cómo las Wavelets permiten a los investigadores transformar y comprender los datos". Revista Quanta . 2021-10-13 . Consultado el 20 de octubre de 2021 .

enlaces externos

• "Análisis de ondas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• 1er Simposio NJIT sobre Wavelets (30 de abril de 1990) (Primera Conferencia Wavelets en EE. UU.)
• Wavelets Daubechies Binomial-QMF
• Wavelets de Gilbert Strang, American Scientist 82 (1994) 250–255. (Una muy breve y excelente introducción)
• Curso de Wavelets impartido en UC Santa Barbara, 2004
• Wavelets for Kids (archivo PDF) (Introductorio (¡para niños muy inteligentes!))
• INGENIOS: ¿Dónde está la estrella? Un diccionario de decenas de wavelets y términos relacionados con wavelets que terminan en -let, desde activelets hasta x-lets pasando por bandlets, contourlets, curvelets, noiselets y cuñas.
• La transformada wavelet fraccional spline describe una transformada wavelet fraccionaria basada en b-splines fraccionales.
• Un panorama sobre representaciones geométricas multiescala, entrelazamiento de selectividad espacial, direccional y de frecuencia proporciona un tutorial sobre ondas orientadas bidimensionales y transformaciones geométricas multiescala relacionadas.
• Introducción concisa a las Wavelets de René Puschinger
• Una guía realmente amigable sobre Wavelets por Clemens Valens
• "Cómo las Wavelets permiten a los investigadores transformar y comprender los datos". Revista Quanta . 2021-10-13 . Consultado el 20 de octubre de 2021 .