Filtro de espejo en cuadratura

En el procesamiento de señales digitales , un filtro de espejo en cuadratura es un filtro cuya respuesta en magnitud es la imagen especular de la de otro filtro. En conjunto, estos filtros, introducidos por primera vez por Croisier et al., se conocen como el par de filtros de espejo en cuadratura. ${\displaystyle \pi /2}$

Un filtro es el filtro de espejo en cuadratura de if . ${\displaystyle H_{1}(z)}$ ${\displaystyle H_{0}(z)}$ ${\displaystyle H_{1}(z)=H_{0}(-z)}$

Las respuestas del filtro son simétricas respecto a : ${\displaystyle \Omega =\pi /2}$

${\displaystyle {\big |}H_{1}{\big (}e^{j\Omega }{\big )}{\big |}={\big |}H_{0}{\big (}e^{j(\pi -\Omega )}{\big )}{\big |}.}$

En los códecs de audio/voz, se suele utilizar un par de filtros de espejo en cuadratura para implementar un banco de filtros que divide una señal de entrada en dos bandas. Las señales de paso alto y paso bajo resultantes suelen reducirse por un factor de 2, lo que da una representación de dos canales muestreada críticamente de la señal original. Los filtros de análisis suelen estar relacionados por la siguiente fórmula, además de la propiedad de espejo en cuadratura:

${\displaystyle {\big |}H_{0}{\big (}e^{j\Omega }{\big )}{\big |}^{2}+{\big |}H_{1}{\big (}e^{j\Omega }{\big )}{\big |}^{2}=1,}$

donde es la frecuencia y la frecuencia de muestreo está normalizada a . Esto se conoce como propiedad complementaria de potencia. En otras palabras, la suma de potencias de los filtros de paso alto y paso bajo es igual a 1. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Ondículas ortogonales : las ondículas de Haar y las ondículas de Daubechies relacionadas , las ondículas de Coiflet y algunas desarrolladas por Mallat , se generan mediante funciones de escala que, con la ondícula, satisfacen una relación de filtro de espejo en cuadratura.

Relación con otros bancos de filtros

Los primeros wavelets se basaban en la expansión de una función en términos de pasos rectangulares, los wavelets de Haar. Esta suele ser una aproximación deficiente, mientras que los wavelets de Daubechies se encuentran entre las familias de wavelets más simples pero más importantes. Un filtro lineal que es cero para señales "suaves", dado un registro de puntos, se define como ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle y_{n}=\sum _{i=0}^{M-1}b_{i}x_{n-i}.}$

Es deseable que desaparezca para una constante, por lo que tomando el orden , por ejemplo, ${\displaystyle m=4}$

${\displaystyle b_{0}\cdot 1+b_{1}\cdot 1+b_{2}\cdot 1+b_{3}\cdot 1=0.}$

Y que desaparezca por una rampa lineal, de modo que

${\displaystyle b_{0}\cdot 0+b_{1}\cdot 1+b_{2}\cdot 2+b_{3}\cdot 3=0.}$

Un filtro lineal se desvanecerá para cualquier , y esto es todo lo que se puede hacer con una ondícula de cuarto orden. Se necesitarán seis términos para desvanecer una curva cuadrática, y así sucesivamente, dadas las otras restricciones que se incluirán. A continuación, se puede definir un filtro complementario como ${\displaystyle x=\alpha n+\beta }$

${\displaystyle z_{n}=\sum _{i=0}^{M-1}c_{i}x_{n-i}.}$

Este filtro responde de manera exactamente opuesta, siendo grande para señales suaves y pequeño para señales no suaves. Un filtro lineal es simplemente una convolución de la señal con los coeficientes del filtro, por lo que la serie de los coeficientes es la señal a la que el filtro responde de manera máxima. Por lo tanto, la salida del segundo filtro se anula cuando se introducen en él los coeficientes del primero. El objetivo es tener

${\displaystyle \sum _{i=0}^{M-1}c_{i}b_{i}=0.}$

Donde la serie temporal asociada invierte el orden de los coeficientes porque el filtro lineal es una convolución, y por lo tanto ambos tienen el mismo índice en esta suma. Un par de filtros con esta propiedad se definen como filtros de espejo en cuadratura. ^[1] Incluso si las dos bandas resultantes han sido submuestreadas por un factor de 2, la relación entre los filtros significa que es posible una reconstrucción aproximadamente perfecta . Es decir, las dos bandas pueden ser sobremuestreadas, filtradas nuevamente con los mismos filtros y sumadas, para reproducir la señal original exactamente (pero con un pequeño retraso). (En implementaciones prácticas, los problemas de precisión numérica en la aritmética de punto flotante pueden afectar la perfección de la reconstrucción).

Lectura adicional

• A. Croisier, D. Esteban, C. Galand. División perfecta de canales mediante el uso de técnicas de descomposición en árboles de interpolación/decimación . Primera Conferencia Internacional sobre Ciencias y Sistemas, Patras, agosto de 1976, págs. 443–446.
• Johnston, JD Una familia de filtros diseñada para su uso en bancos de filtros de espejo en cuadratura. ^{[ enlace muerto permanente ]} , Acústica, habla y procesamiento de señales, Conferencia internacional IEEE, 5, 291–294, abril de 1980.
• Filtros QMF binomiales , también conocidos como filtros wavelet de Daubechies .
• Simposios NJIT sobre subbandas y wavelets 1990, 1992, 1994, 1997.
• Mohlenkamp, ​​MJ Un tutorial sobre wavelets y sus aplicaciones. Universidad de Colorado, Boulder, Departamento de Matemáticas Aplicadas, 2004.
• Polikar, R. Análisis multirresolución: la transformada wavelet discreta. Rowan University, NJ, Departamento de Ingeniería Eléctrica y Computación.

Referencias

1. Gershenfeld, Neil (1998), La naturaleza del modelado matemático , Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, págs. 132-135, ISBN 0521570956.