Ondícula de Shannon

En el análisis funcional , la wavelet de Shannon (o wavelet sinc ) es una descomposición que se define mediante el análisis de señales mediante filtros de paso de banda ideales . La wavelet de Shannon puede ser de tipo real o complejo .

La ondícula de Shannon no está bien localizada (no es compacta) en el dominio del tiempo, pero su transformada de Fourier está limitada en banda (soporte compacto). Por lo tanto, la ondícula de Shannon tiene una localización temporal deficiente pero una buena localización en frecuencia. Estas características contrastan marcadamente con las de la ondícula de Haar . Los sistemas Haar y sinc son duales de Fourier entre sí.

Definición

La función Sinc es el punto de partida para la definición de la wavelet de Shannon.

Función de escala

Primero, definimos la función de escala como la función sinc.

${\displaystyle \phi ^{\text{(Sha)}}(t):={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).}$

Y definir las instancias dilatadas y traducidas como

${\displaystyle \phi _{k}^{n}(t):=2^{n/2}\phi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)}$

donde el parámetro significa la dilatación y la traslación de la ondícula respectivamente. ${\displaystyle n,k}$

Luego podemos derivar la transformada de Fourier de la función de escala:

${\displaystyle \Phi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\Pi ({\frac {\omega }{2\pi }})={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }},&{\mbox{if }}{|\omega |\leq \pi },\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}}$donde la función de puerta (normalizada) está definida por

${\displaystyle \Pi (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}}$También para las instancias dilatadas y traducidas de la función de escala: ${\displaystyle \Phi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n+1}\pi }})}$

Ondícula madre

Utilizando una aproximación multiresolución podemos derivar la transformada de Fourier de la wavelet madre: ${\displaystyle \Phi ^{\text{(Sha)}}}$

${\displaystyle \Psi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}e^{-i\omega }{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}}$

Y las instancias dilatadas y traducidas:

${\displaystyle \Psi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}}$

Luego, la función wavelet madre de Shannon y la familia de instancias dilatadas y trasladadas se pueden obtener mediante la transformada de Fourier inversa:

${\displaystyle \psi ^{\text{(Sha)}}(t)={\frac {\sin \pi (t-(1/2))-\sin 2\pi (t-(1/2))}{\pi (t-1/2)}}=\operatorname {sinc} {\bigg (}t-{\frac {1}{2}}{\bigg )}-2\operatorname {sinc} {\bigg (}2(t-{\frac {1}{2}}){\bigg )}}$

${\displaystyle \psi _{k}^{n}(t)=2^{n/2}\psi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)}$

Propiedad de la wavelet madre y función de escala

• Las ondículas madre son ortonormales, es decir,

${\displaystyle <\psi _{k}^{n}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=\delta ^{nm}\delta _{hk}={\begin{cases}1,&{\text{if }}h=k{\text{ and }}n=m\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

• Las instancias traducidas de la función de escalamiento en el nivel son ortogonales ${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle <\phi _{k}^{0}(t),\phi _{h}^{0}(t)>=\delta ^{kh}}$

• Las instancias traducidas de la función de escala en el nivel son ortogonales a las wavelets madre ${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle <\phi _{k}^{0}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=0}$

• Las wavelets de Shannon tienen un número infinito de momentos de desaparición.

Reconstrucción de una función mediante wavelets de Shannon

Supongamos que y para cualquier dilatación y el parámetro de traslación , ${\displaystyle f(x)\in L_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} \operatorname {FT} \{f\}\subset [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle n,k}$

${\displaystyle {\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\phi _{k}^{0}(t)dt{\Bigg |}<\infty }$, ${\displaystyle {\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\psi _{k}^{n}(t)dt{\Bigg |}<\infty }$

Entonces

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=\infty }^{\infty }\alpha _{k}\phi _{k}^{0}(t)}$es uniformemente convergente, donde ${\displaystyle \alpha _{k}=f(k)}$

Ondícula real de Shannon

Ondícula real de Shannon

La transformada de Fourier de la ondícula madre de Shannon viene dada por:

${\displaystyle \Psi ^{(\operatorname {Sha} )}(w)=\prod \left({\frac {w-3\pi /2}{\pi }}\right)+\prod \left({\frac {w+3\pi /2}{\pi }}\right).}$

donde la función de puerta (normalizada) está definida por

${\displaystyle \prod (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}}$

La expresión analítica de la wavelet de Shannon real se puede encontrar tomando la transformada de Fourier inversa :

${\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi t}{2}}\right)}$

o alternativamente como

${\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=2\cdot \operatorname {sinc} (2t)-\operatorname {sinc} (t),}$

dónde

${\displaystyle \operatorname {sinc} (t):={\frac {\sin {\pi t}}{\pi t}}}$

es la función sinc habitual que aparece en el teorema de muestreo de Shannon .

Esta wavelet pertenece a la clase de diferenciabilidad , pero disminuye lentamente en el infinito y no tiene soporte acotado , ya que las señales limitadas en banda no pueden estar limitadas en el tiempo. ${\displaystyle C^{\infty }}$

La función de escala para el MRA de Shannon (o Sinc -MRA) viene dada por la función de muestra:

${\displaystyle \phi ^{(Sha)}(t)={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).}$

Ondícula de Shannon compleja

En el caso de la ondícula continua compleja , la ondícula de Shannon se define por

${\displaystyle \psi ^{(CSha)}(t)=\operatorname {sinc} (t)\cdot e^{-2\pi it}}$,

Referencias

• SG Mallat, Un recorrido wavelet por el procesamiento de señales , Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
• CS Burrus , RA Gopinath, H. Guo, Introducción a wavelets y transformadas wavelet: una introducción , Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9 .