Estados coherentes en la física matemática

El papel de los Estados coherentes

Los estados coherentes se han introducido en un contexto físico, primero como estados cuasi-clásicos en la mecánica cuántica , luego como la columna vertebral de la óptica cuántica y se describen con ese espíritu en el artículo Estados coherentes (véase también ^[1] ). Sin embargo, han generado una enorme variedad de generalizaciones, que han dado lugar a una enorme cantidad de literatura en física matemática . En este artículo, esbozamos las principales direcciones de la investigación en esta línea. Para más detalles, nos remitimos a varias encuestas existentes. ^{[2] [3] [4]}

Una definición general

Sea un espacio de Hilbert complejo y separable , un espacio localmente compacto y una medida en . Para cada en , denotemos un vector en . Supongamos que este conjunto de vectores posee las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d\nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

1. La función es débilmente continua, es decir, para cada vector en , la función es continua (en la topología de ). ${\displaystyle x\mapsto |x\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$ ${\displaystyle X}$
2. La resolución de la identidad se cumple en sentido débil en el espacio de Hilbert , es decir, para cualesquiera dos vectores en , se cumple la siguiente igualdad: $${\displaystyle \int _{X}|x\rangle \langle x|\,d\nu (x)=I_{\mathfrak {H}}}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle ,|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle \int _{X}\langle \phi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \,d\nu (x)=\langle \phi |\psi \rangle \,.}$$

Un conjunto de vectores que satisface las dos propiedades anteriores se denomina familia de estados coherentes generalizados . Para recuperar la definición anterior (dada en el artículo Estado coherente ) de estados coherentes canónicos o estándar (CCS), basta tomar , el plano complejo y ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle X\equiv \mathbb {C} }$ ${\textstyle d\nu (x)\equiv {\frac {1}{\pi }}d^{2}x.}$

A veces, la resolución de la condición de identidad se reemplaza por una condición más débil, en la que los vectores simplemente forman un conjunto total ^{[ aclaración necesaria ]} en y las funciones , como pasa por , forman un espacio de Hilbert de núcleo reproductor . El objetivo en ambos casos es asegurar que un vector arbitrario se pueda expresar como una combinación lineal (integral) de estos vectores. De hecho, la resolución de la identidad implica inmediatamente que donde . ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\,}$ ${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{X}\Psi (x)\left|x\right\rangle \,d\nu (x)\,,}$$ ${\displaystyle \Psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$

Estos vectores son funciones continuas integrables al cuadrado y satisfacen la propiedad de reproducción donde es el núcleo de reproducción, que satisface las siguientes propiedades ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \int _{X}K(x,y)\Psi (y)\,d\nu (y)=\Psi (x)\,,}$$ ${\displaystyle K(x,y)=\langle x|y\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(x,y)&={\overline {K(y,x)}}\;,\qquad K(x,x)>0\,,\\\int _{X}K(x,z)\,K(z,y)\,d\nu (z)&=K(x,y)\,.\end{aligned}}}$$

Algunos ejemplos

Presentamos en esta sección algunos de los tipos de estados coherentes más comúnmente utilizados, como ilustraciones de la estructura general dada anteriormente.

Estados coherentes no lineales

Una amplia clase de generalizaciones del SCC se obtiene mediante una simple modificación de su estructura analítica. Sea una secuencia infinita de números positivos ( ). Definamos y por convención establecemos . En el mismo espacio de Fock en el que se describieron los SCC, definimos ahora los estados coherentes deformados o no lineales relacionados mediante la expansión ${\displaystyle \varepsilon _{1}\leq \varepsilon _{2}\leq \dots \leq \varepsilon _{n}\leq \cdots }$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}\neq 0}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}!=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\ldots \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}!=1}$

$${\displaystyle \vert \alpha \rangle ={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-1/2}\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \,.}$$El factor de normalización se elige de modo que . Estos estados coherentes generalizados son sobrecompletos en el espacio de Fock y satisfacen una resolución de la identidad ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})}$ ${\displaystyle \langle \alpha \vert \alpha \rangle =1}$ $${\displaystyle \int _{\mathcal {D}}\vert \alpha \rangle \langle \alpha \vert \;{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})\;d\nu (\alpha ,{\overline {\alpha }})=I\,,}$$

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$al ser un disco abierto en el plano complejo de radio , el radio de convergencia de la serie (en el caso del CCS, .) La medida es genéricamente de la forma (para ), donde está relacionada con la condición a través del momento. ${\displaystyle L}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}}$ ${\displaystyle L=\infty }$ ${\displaystyle d\nu }$ ${\displaystyle d\theta \,d\lambda (r)}$ ${\displaystyle \alpha =re^{i\theta }}$ ${\displaystyle d\lambda }$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}!}$

Una vez más, vemos que para un vector arbitrario en el espacio de Fock, la función tiene la forma , donde es una función analítica en el dominio . El núcleo reproductor asociado a estos estados coherentes es ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \Phi (\alpha )=\langle \phi |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \Phi (\alpha )={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}f(\alpha )}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ $${\displaystyle K({\overline {\alpha }},\alpha ')=\langle \alpha |\alpha '\rangle =\left[{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2}){\mathcal {N}}(\vert \alpha '\vert ^{2})\right]^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\overline {\alpha }}\alpha ')^{n}}{\varepsilon _{n}!}}\,.}$$

Estados coherentes de Barut-Girardello

Por analogía con el caso CCS, se puede definir un operador de aniquilación generalizado por su acción sobre los vectores , y su operador adjunto . Estos actúan sobre los estados de Fock como Dependiendo de los valores exactos de las cantidades , estos dos operadores, junto con la identidad y todos sus conmutadores, podrían generar una amplia gama de álgebras incluyendo varios tipos de álgebras cuánticas deformadas . El término "no lineal", como se aplica a menudo a estos estados coherentes generalizados, proviene de nuevo de la óptica cuántica donde muchas de estas familias de estados se utilizan en el estudio de la interacción entre el campo de radiación y los átomos, donde la fuerza de la interacción en sí depende de la frecuencia de la radiación. Por supuesto, estos estados coherentes no tendrán en general ni las propiedades teóricas de grupo ni las de incertidumbre mínima del CCS (podrían tener otras más generales). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ $${\displaystyle A|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,,}$$ ${\displaystyle A^{\dagger }}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ $${\displaystyle A|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n}}}|n-1\rangle \,,\qquad A^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n+1}}}|n+1\rangle \,.}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle I}$

Los operadores y del tipo general definidos anteriormente también se conocen como operadores de escalera . Cuando dichos operadores aparecen como generadores de representaciones de álgebras de Lie, los vectores propios de se denominan habitualmente estados coherentes de Barut-Girardello . ^[5] Un ejemplo típico se obtiene a partir de las representaciones del álgebra de Lie de SU(1,1) en el espacio de Fock . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$

Estados coherentes de Gazeau-Klauder

Una extensión no analítica de la expresión anterior de los estados coherentes no lineales se utiliza a menudo para definir estados coherentes generalizados asociados a hamiltonianos físicos que tienen espectros de puntos puros. Estos estados coherentes, conocidos como estados coherentes de Gazeau-Klauder , están etiquetados por variables de ángulo de acción . ^[6] Supongamos que se nos da el hamiltoniano físico , con , es decir, tiene los autovalores de energía y los autovectores , que suponemos que forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert de estados . Escribamos los autovalores como introduciendo una secuencia de cantidades adimensionales ordenadas como: . Entonces, para todos y , los estados coherentes de Gazeau-Klauder se definen como ${\textstyle H=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|}$ ${\displaystyle E_{0}=0}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle E_{n}=\omega \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle \{\varepsilon _{n}\}}$ ${\displaystyle 0=\varepsilon _{0}<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}<\cdots }$ ${\displaystyle J\geq 0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle |J,\gamma \rangle ={\mathcal {N}}(J)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {J^{n/2}e^{-i\varepsilon _{n}\gamma }}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \,,}$$donde nuevamente es un factor de normalización, que resulta depender únicamente de . Estos estados coherentes satisfacen la condición de estabilidad temporal , ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle e^{-iHt}\vert J,\gamma \rangle =\vert J,\gamma +\omega t\rangle \,,}$$y la identidad de acción , Si bien estos estados coherentes generalizados forman un conjunto sobrecompleto en , la resolución de la identidad generalmente no está dada por una relación integral como la anterior, sino por una integral en el sentido de Bohr, como se usa en la teoría de funciones casi periódicas . $${\displaystyle \langle J,\gamma |H|J,\gamma \rangle _{\mathfrak {H}}=\omega J\,.}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$

En realidad, la construcción del CS de Gazeau-Klauder se puede extender a CS vectoriales y a hamiltonianos con espectros degenerados, como lo demostraron Ali y Bagarello. ^[7]

Estados coherentes del núcleo de calor

Otro tipo de estado coherente surge cuando se considera una partícula cuyo espacio de configuración es la variedad de grupo de un grupo de Lie compacto K . Hall introdujo estados coherentes en los que el gaussiano habitual en el espacio euclidiano se reemplaza por el núcleo de calor en K . ^[8] El espacio de parámetros para los estados coherentes es la " complejización " de K ; por ejemplo, si K es SU( n ) entonces la complejización es SL( n , C ) . Estos estados coherentes tienen una resolución de la identidad que conduce a un espacio de Segal-Bargmann sobre la complejización. Los resultados de Hall se extendieron a espacios simétricos compactos, incluidas las esferas, por Stenzel. ^{[9] [10]} Los estados coherentes de núcleo de calor, en el caso , se han aplicado en la teoría de la gravedad cuántica por Thiemann y sus colaboradores. ^[11] Aunque hay dos grupos de Lie diferentes involucrados en la construcción, los estados coherentes de núcleo de calor no son del tipo Perelomov. ${\displaystyle K=\mathrm {SU} (2)}$

El enfoque teórico-grupal

Gilmore y Perelomov, de forma independiente, se dieron cuenta de que la construcción de estados coherentes a veces puede verse como un problema teórico de grupo. ^{[12] [13] [14] [15] [16] [17]}

Para ver esto, retrocedamos un momento al caso del CCS. Allí, de hecho, el operador de desplazamiento no es otra cosa que el representante en el espacio de Fock de un elemento del grupo de Heisenberg (también llamado grupo de Weyl-Heisenberg), cuya álgebra de Lie está generada por y . Sin embargo, antes de continuar con el CCS, tomemos primero el caso general. ${\displaystyle D(\alpha )}$ ${\displaystyle X,\,P}$ ${\displaystyle I}$

Sea un grupo localmente compacto y supongamos que tiene una representación continua e irreducible en un espacio de Hilbert mediante operadores unitarios . Esta representación se llama integrable al cuadrado si existe un vector distinto de cero en para el cual la integral converge. Aquí está la medida de Haar invariante por la izquierda en . Un vector para el cual se dice que es admisible , y se puede demostrar que la existencia de un vector de este tipo garantiza la existencia de un conjunto denso completo de tales vectores en . Además, si el grupo es unimodular , es decir, si las medidas invariantes izquierda y derecha coinciden, entonces la existencia de un vector admisible implica que todo vector en es admisible. Dada una representación integrable al cuadrado y un vector admisible , definamos los vectores ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle U(g),\;g\in G}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle c(\psi )=\int _{G}\vert \langle \psi |U(g)\psi \rangle \vert ^{2}\,d\mu (g)}$$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle c(\psi )<\infty }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle |g\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\,U(g)|\psi \rangle ,{\text{ for all }}g\in G.}$$Estos vectores son los análogos de los estados coherentes canónicos, escritos allí en términos de la representación del grupo de Heisenberg (sin embargo, vea la sección sobre CS de Gilmore-Perelomov, a continuación). A continuación, se puede demostrar que la resolución de la identidad se cumple en . Por lo tanto, los vectores constituyen una familia de estados coherentes generalizados. Las funciones para todos los vectores en son integrables al cuadrado con respecto a la medida y el conjunto de tales funciones, que de hecho son continuas en la topología de , forma un subespacio cerrado de . Además, la aplicación es una isometría lineal entre y y bajo esta isometría la representación se asigna a una subrepresentación de la representación regular izquierda de en . $${\displaystyle \int _{G}\left|g\right\rangle \left\langle g\right|\,d\mu (g)=I_{\mathfrak {H}}}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle F(g)=\langle g|\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$ ${\displaystyle \phi \mapsto F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(G,d\mu )}$

Un ejemplo: wavelets

Un ejemplo típico de la construcción anterior lo proporciona el grupo afín de la línea, . Este es el grupo de todas las matrices 2×2 del tipo, y siendo números reales con . También escribiremos , con la acción sobre dada por . Este grupo no es unimodular, con la medida invariante izquierda dada por (la medida invariante derecha siendo ). El grupo afín tiene una representación irreducible unitaria en el espacio de Hilbert . Los vectores en son funciones mensurables de la variable real y los operadores (unitarios) de esta representación actúan sobre ellas como Si es una función en tal que su transformada de Fourier satisface la condición (de admisibilidad) , entonces se puede demostrar que es un vector admisible, es decir, Por lo tanto, siguiendo la construcción general descrita anteriormente, los vectores definen una familia de estados coherentes generalizados y uno tiene la resolución de la identidad en . En la literatura de análisis de señales, un vector que satisface la condición de admisibilidad anterior se denomina wavelet madre y los estados coherentes generalizados se denominan wavelets . Las señales se identifican luego con vectores en y la función se denomina transformada wavelet continua de la señal . ^{[18] [19]} ${\displaystyle G_{\text{Aff}}}$ $${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle g=(b,a)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (b,a)\cdot x=b+ax}$ ${\displaystyle d\mu (b,a)=a^{-2}\,db\,da}$ ${\displaystyle a^{-1}\,db\,da}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U(b,a)}$ $${\displaystyle (U(b,a)\varphi )(x)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\,\varphi \left({\frac {x-b}{a}}\right)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\,\varphi \left((b,a)^{-1}\cdot x\right)\,.}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ ${\displaystyle {\widehat {\psi }}}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\vert {\widehat {\psi }}(k)\vert ^{2}}{\vert k\vert }}\,dk<\infty \,,}$$ $${\displaystyle c(\psi )=\int _{G_{\text{Aff}}}\left\vert \left\langle \psi |U(b,a)\psi \right\rangle \right\vert ^{2}\,{\frac {db\,da}{a^{2}}}<\infty \,.}$$ $${\displaystyle |b,a\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\,U(b,a)\psi \,,\qquad (b,a)\in G_{\text{Aff}}}$$ $${\displaystyle \int _{G_{\text{Aff}}}\left|b,a\right\rangle \left\langle b,a\right|{\frac {db\,da}{a^{2}}}=I}$$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ ${\displaystyle |b,a\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,dx)}$ $${\displaystyle F(b,a)=\langle b,a|\varphi \rangle \,,}$$ ${\displaystyle \varphi }$

Este concepto puede extenderse a dos dimensiones, siendo reemplazado el grupo por el llamado grupo de similitud del plano, que consiste en traslaciones, rotaciones y dilataciones globales del plano. Las wavelets 2D resultantes, y algunas generalizaciones de ellas, se utilizan ampliamente en el procesamiento de imágenes . ^[20] ${\displaystyle G_{\text{Aff}}}$

Estados coherentes de Gilmore-Perelomov

La construcción de estados coherentes utilizando representaciones de grupo descritas anteriormente no es suficiente. Ya no puede producir los CCS, ya que estos no están indexados por los elementos del grupo de Heisenberg , sino más bien por puntos del cociente de este último por su centro, siendo ese cociente precisamente . La observación clave es que el centro del grupo de Heisenberg deja al vector de vacío invariante, hasta una fase. Generalizando esta idea, Gilmore y Perelomov ^{[12] [13] [14] [15]} consideran un grupo localmente compacto y una representación irreducible unitaria de en el espacio de Hilbert , no necesariamente integrable al cuadrado. Fijemos un vector en , de norma unidad, y denotemos por el subgrupo de que consiste en todos los elementos que lo dejan invariante hasta una fase , es decir, donde es una función de valor real de . Sea el espacio de clase lateral izquierda y un elemento arbitrario en . Eligiendo un representante de clase lateral , para cada clase lateral , definimos los vectores La dependencia de estos vectores de la elección específica del representante de clase lateral es solo a través de una fase. De hecho, si en lugar de , tomáramos un representante diferente para la misma clase lateral , entonces como para algún , tendríamos . Por lo tanto, mecánicamente cuántico, tanto y representan el mismo estado físico y, en particular, el operador de proyección depende solo de la clase lateral. Los vectores definidos de esta manera se denominan estados coherentes de Gilmore-Perelomov . Como se supone que es irreducible, el conjunto de todos estos vectores como pasa por es denso en . En esta definición de estados coherentes generalizados, no se postula ninguna resolución de la identidad. Sin embargo, si lleva una medida invariante, bajo la acción natural de , y si el operador formal definido como está acotado, entonces es necesariamente un múltiplo de la identidad y se recupera nuevamente una resolución de la identidad. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle U(h)\left|\psi \right|\rangle =e^{i\omega (h)}\left|\psi \right\rangle \,,}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X=G/H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g(x)\in G}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle |x\rangle =U(g(x))\left|\psi \right\rangle \in {\mathfrak {H}}.}$$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(x)'\in G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)'=g(x)h}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle U(g(x)')|\psi \rangle =e^{i\omega (h)}|x\rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle U(g(x)')|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \left|x\right\rangle \left\langle x\right|}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B=\int _{X}\left|x\right\rangle \left\langle x\right|d\mu (x)\,,}$$

Los estados coherentes de Gilmore-Perelomov se han generalizado a los grupos cuánticos , pero para ello nos remitimos a la literatura. ^{[21] [22] [23] [24] [25] [26]}

Generalización adicional: Estados coherentes en espacios de clases laterales

La construcción de Perelomov puede utilizarse para definir estados coherentes para cualquier grupo localmente compacto. Por otra parte, particularmente en caso de fracaso de la construcción de Gilmore-Perelomov, existen otras construcciones de estados coherentes generalizados, utilizando representaciones de grupo, que generalizan la noción de integrabilidad cuadrada a espacios homogéneos del grupo. ^{[2] [3]}

Brevemente, en este enfoque se comienza con una representación irreducible unitaria e intenta encontrar un vector , un subgrupo y una sección tales que donde , es un operador positivo acotado con inverso acotado y es una medida cuasi-invariante en . No se supone que sea invariante hasta una fase bajo la acción de y claramente, la mejor situación es cuando es un múltiplo de la identidad. Aunque algo técnica, esta construcción general es de enorme versatilidad para grupos de productos semidirectos del tipo , donde es un subgrupo cerrado de . Por lo tanto, es útil para muchos grupos físicamente importantes, como el grupo de Poincaré o el grupo euclidiano , que no tienen representaciones integrables cuadradas en el sentido de la definición anterior. En particular, la condición integral que define al operador asegura que cualquier vector en pueda escribirse en términos de los estados coherentes generalizados a saber, que es el objetivo principal de cualquier tipo de estados coherentes. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma :G/H\to G}$ $${\displaystyle \int _{G/H}\left|x\right\rangle \left\langle x\right|d\mu (x)=T\,,}$$ ${\displaystyle |x\rangle =U(\sigma (x))\left|\psi \right\rangle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle X=G/H}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rtimes K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ $${\displaystyle |\phi \rangle =\int _{X}\Psi (x)|x\rangle \,d\mu (x)\,,\qquad \Psi (x)=\langle x|T^{-1}\phi \rangle \,,}$$

Estados coherentes: una construcción bayesiana para la cuantificación de un conjunto de medidas

Ahora nos alejamos de la situación estándar y presentamos un método general de construcción de estados coherentes, comenzando con algunas observaciones sobre la estructura de estos objetos como superposiciones de estados propios de algún operador autoadjunto, como lo fue el hamiltoniano del oscilador armónico para el CS estándar. Es la esencia de la mecánica cuántica que esta superposición tenga un sabor probabilístico. De hecho, notamos que la estructura probabilística de los estados coherentes canónicos involucra dos distribuciones de probabilidad que sustentan su construcción. Hay, en una especie de dualidad, una distribución de Poisson que rige la probabilidad de detectar excitaciones cuando el sistema cuántico está en un estado coherente , y una distribución gamma en el conjunto de parámetros complejos, más exactamente en el rango del cuadrado de la variable radial. La generalización sigue ese esquema de dualidad. Sea un conjunto de parámetros equipado con una medida y su espacio de Hilbert asociado de funciones de valor complejo, integrable al cuadrado con respecto a . Elijamos en un conjunto ortonormal finito o numerable : En caso de numerabilidad infinita, este conjunto debe obedecer la condición de finitud (crucial): Sea un espacio de Hilbert complejo separable con base ortonormal en correspondencia biunívoca con los elementos de . Las dos condiciones anteriores implican que la familia de estados coherentes normalizados en , que se definen por resuelve la identidad en : Tal relación nos permite implementar una cuantificación de estado o marco coherente del conjunto de parámetros asociando a una función que satisface las condiciones apropiadas el siguiente operador en : El operador es simétrico si es de valor real, y es autoadjunto (como una forma cuadrática) si es real y semiacotado. El original es un símbolo superior , generalmente no único, para el operador . Se llamará observable clásico con respecto a la familia si el llamado símbolo inferior de , definido como tiene propiedades funcionales leves que se precisarán de acuerdo con otras propiedades topológicas otorgadas al conjunto original . Un último punto de esta construcción del espacio de estados cuánticos se refiere a sus aspectos estadísticos. En efecto, existe una interacción entre dos distribuciones de probabilidad: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |z\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{2}(X,d\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{2}(X,d\mu )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{\phi _{n}\,,\,n=0,1,\dots \}}$ $${\displaystyle \langle \phi _{m}|\phi _{n}\rangle =\int _{X}{\overline {\phi _{m}(x)}}\,\phi _{n}(x)\,d\mu (x)=\delta _{mn}\,.}$$ $${\displaystyle 0<{\mathcal {N}}(x):=\sum _{n}\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}<\infty \,\quad \mathrm {a.e.} \,.}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \,,\,n=0,1,\dots \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}=\{|x\rangle \,,\,x\in X\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle |x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {{\mathcal {N}}(x)}}}\sum _{n}{\overline {\phi _{n}(x)}}\,|e_{n}\rangle \,,}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle \int _{X}d\mu (x)\,{\mathcal {N}}(x)\left|x\right\rangle \left\langle x\right|=I_{\mathfrak {H}}\,.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\ni x\mapsto f(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ $${\displaystyle f(x)\mapsto A_{f}:=\int _{X}\mu (dx)\,{\mathcal {N}}(x)\,f(x)\left|x\right\rangle \left\langle x\right|.}$$ ${\displaystyle A_{f}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle A_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle A_{f}}$ $${\displaystyle {\check {f}}(x):=\langle x|A_{f}|x\rangle =\int _{X}\mu (dx')\,{\mathcal {N}}(x')\,f(x')\,\vert \langle x|x'\rangle \vert ^{2}\,.}$$ ${\displaystyle X}$

1. Para casi cada , una distribución discreta , ${\displaystyle x}$

   $${\displaystyle n\mapsto {\frac {\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}}{{\mathcal {N}}(x)}}.}$$

   Esta probabilidad podría considerarse como relativa a los experimentos realizados en el sistema dentro de algún protocolo experimental, con el fin de medir los valores espectrales de un determinado operador autoadjunto , es decir, un observable cuántico , que actúa y tiene una resolución espectral discreta . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\textstyle A=\sum _{n}a_{n}\left|e_{n}\right\rangle \left\langle e_{n}\right|}$
2. Para cada , una distribución continua en , Aquí, observamos una dualidad bayesiana típica de los estados coherentes. Hay dos interpretaciones: la resolución de la unidad verificada por los estados coherentes introduce una medida previa preferida en el conjunto , que es el conjunto de parámetros de la distribución discreta, con esta distribución misma jugando el papel de la función de verosimilitud . Las distribuciones continuas discretamente indexadas asociadas se convierten en la distribución posterior condicional relacionada . Por lo tanto, un enfoque probabilístico para las observaciones experimentales relacionadas con debería servir como guía para elegir el conjunto de los . Notamos que la distribución previa continua será relevante para la cuantificación mientras que la posterior discreta caracteriza la medición del espectro físico a partir del cual se construye la superposición coherente de estados cuánticos . ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ $${\displaystyle X\ni x\mapsto \vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}\,.}$$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{n}(x)}$ ${\displaystyle |e_{n}\rangle }$

Véase también

• Estados coherentes
• Conjetura de Lieb
• Cuantización

Referencias

1. JP. Gazeau, Estados coherentes en física cuántica , Wiley-VCH, Berlín, 2009.
2. ST Ali, JP. Antoine, JP. Gazeau y UA Mueller, Estados coherentes y sus generalizaciones: una visión general matemática, Reviews in Mathematical Physics 7 (1995) 1013-1104.
3. ST Ali, JP. Antoine y JP. Gazeau, Estados coherentes, wavelets y sus generalizaciones , Springer-Verlag, Nueva York, Berlín, Heidelberg, 2000.
4. ST Ali, Estados coherentes, Enciclopedia de física matemática , págs. 537-545; Elsevier, Ámsterdam, 2006.
5. Barut, AO; Girardello, L. (1971). "Nuevos estados "coherentes" asociados con grupos no compactos". Communications in Mathematical Physics . 21 (1): 41–55. Bibcode :1971CMaPh..21...41B. doi :10.1007/bf01646483. ISSN  0010-3616. S2CID  122468207.
6. Gazeau, Jean Pierre ; Klauder, John R (1999-01-01). "Estados coherentes para sistemas con espectro discreto y continuo". Journal of Physics A: Mathematical and General . 32 (1): 123–132. Bibcode :1999JPhA...32..123G. doi :10.1088/0305-4470/32/1/013. ISSN  0305-4470.
7. Ali, S. Twareque; Bagarello, F. (2005). "Algunas apariencias físicas de estados coherentes vectoriales y estados coherentes relacionados con hamiltonianos degenerados". Journal of Mathematical Physics . 46 (5): 053518. arXiv : quant-ph/0410151 . Bibcode :2005JMP....46e3518T. doi :10.1063/1.1901343. ISSN  0022-2488. S2CID  19024789.
8. Hall, BC (1994). "La transformada de "estado coherente" de Segal-Bargmann para grupos de Lie compactos". Revista de análisis funcional . 122 (1): 103–151. doi : 10.1006/jfan.1994.1064 . ISSN  0022-1236.
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